Как найти жорданову форму матрицы

Алгоритм нахождения жордановой формы и жорданова базиса для матрицы 3-го порядка

Пусть дана матрица 3-го порядка. Надо найти жорданову форму и жорданов базис.

Пусть характеристический многочлен матрицы имеет вид

Тогда жорданова форма матрицы имеет вид .

Пусть характеристический многочлен матрицы имеет вид

где . Возможны два случая:

а) , поэтому и, следовательно, , поэтому жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением : ;

б) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит одну жорданову клетку с собственным значением : .

Пусть характеристический многочлен матрицы имеет вид

Возможны два случая:

а) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением : ;

б) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит одну жорданову клетку с собственным значением : .

Задача. Дана матрица . Найти .

Найдем характеристический многочлен матрицы:

Жорданова форма матрицы имеет вид .

Для нахождения воспользуемся формулой , где – матрица перехода от базиса к базису . Очевидно, что

Пример 1. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы оператора

следовательно, собственное значение , .

Найдем геометрическую кратность собственного значения . Для этого посчитаем ранг матрицы

поэтому жорданова форма имеет вид

Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Так как он удовлетворяет условию

то решим систему

Следовательно, координаты собственного вектора удовлетворяют уравнению

Заметим, что коэффициент при равен 0, поэтому может принимать любые значения. Отбрасывать нельзя .

Для нахождения ФСР построим таблицу

Векторы , образуют фундаментальную систему решений в собственном подпространстве , поэтому любой собственный вектор, отвечающий собственному значению , линейно через них выражается и, следовательно, имеет вид . Так как , , то должен быть один присоединенный вектор, который будет являться решением системы . Подберем коэффициенты и таким образом, чтобы система была совместна. Так как

то для совместности системы необходимо, чтобы выполнялось условие . Возьмем , тогда , и координаты присоединенного вектора являются решением системы

то есть удовлетворяют уравнению

Таким образом, у нас есть собственный вектор , присоединенный к нему и нужен еще один собственный вектор, отвечающий собственному значению . Можно взять или вектор , или , или любой другой, отличный от , отвечающий собственному значению . Эти три вектора и будут образовывать жорданов базис.

Пример 2. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы оператора

следовательно, собственное значение , .

Найдем геометрическую кратность собственного значения . Для этого посчитаем ранг матрицы

поэтому жорданова форма имеет вид

Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Так как он удовлетворяет условию

то решим систему

Очевидно, что координаты собственного вектора удовлетворяют уравнению

Для нахождения ФСР построим таблицу

Так как , , то должен быть один присоединенный вектор, который будет являться решением системы . Подберем коэффициенты и таким образом, чтобы система была совместна. Так как

то для совместности системы необходимо, чтобы выполнялось условие . Возьмем , тогда и координаты присоединенного вектора являются решением системы

то есть удовлетворяют уравнению

Пример 3. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы оператора

Таким образом, получили три собственных значения , , . Так как алгебраическая кратность каждого из них равна 1, то жорданова форма имеет следующий вид

Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Очевидно, что он является решением уравнения и, следовательно, его координаты удовлетворяют системе

то есть , поэтому можем взять .

Вычислим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Очевидно, что он удовлетворяет уравнению , а его координаты – системе

откуда следует, что , поэтому можем взять .

Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Так как он является решением уравнения , то его координаты удовлетворяют системе

и, следовательно, , поэтому можем взять .

Векторы образуют жорданов базис матрицы.

Пример 4. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы оператора

Таким образом, получили два собственных значения , . Так как алгебраическая кратность равна 2, нужно вычислить геометрическую кратность собственного значения . Для этого посчитаем ранг матрицы

Очевидно, что , поэтому и, следовательно, жорданова форма имеет следующий вид

Найдем собственные векторы , , соответствующие собственному значению . Очевидно, что они являются решением уравнения , а их координаты – решением системы

и, следовательно, удовлетворяют уравнению

Для нахождения ФСР построим таблицу

Так как , то нужно выбрать любые два линейно независимых вектора из этой линейной комбинации. Возьмем , .

Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Очевидно, что он удовлетворяет уравнению , а его координаты – системе

Приведение матрицы к жордановой форме

Задача приведения матрицы к жордановой форме формулируется следующим образом. Требуется привести квадратную матрицу при помощи преобразования подобия: , т.е.

найти жорданову форму квадратной матрицы (второй этап), для которой

В некоторых прикладных и теоретических задачах достаточно определить только жорданову форму матрицы, т.е. ограничиться первым этапом. Однако чаще кроме жордановой формы матрицы , т.е. выполнить оба этапа.

Нахождение жордановой формы матрицы

Для нахождения жордановой формы квадратной матрицы лекцию жордановой форме ).

1. Составить характеристическую матрицу .

2. Найти ее инвариантные множители (7.33) одним из способов, рассмотренных в предыдущей лекции .

3. По инвариантным множителям (7.33) составить таблицу (7.34) элементарных делителей.

4. По элементарным делителям составить жорданову форму .

Нахождение преобразующей матрицы

Рассмотрим два способа нахождения преобразующей матрицы.

Первый способ. Если жорданова форма матрицы нужно выполнить следующие действия.

1. Составить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы , которое равносильно однородной системе линейных уравнении с неизвестными элементами матрицы .

2. Найти такое частное решение этой системы уравнений, для которого .

Второй способ. Для нахождения преобразующей матрицы можно использовать следствие теоремы 7.7.

1. Составить блочную λ -матрицу , приписав к характеристической матрице единичную матрицу того же порядка. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый блок к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду , где — матрица нормального диагонального вида, эквивалентная матрице , a — некоторая элементарная λ -матрица.

2. Составить блочную λ -матрицу , приписав к характеристической матрице единичную матрицу того же порядка. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый блок к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду , где -такая же матрица, что и в пункте 1, а — некоторая элементарная λ -матрица.

3. Найти λ -матрицу .

4. Вычислить левое значение при замене переменной .

5. Найти преобразующую матрицу , обращая матрицу .

Действительно, при помощи элементарных преобразований характеристические матрицы и приводятся к одному и тому же нормальному диагональному виду

Отсюда , то есть

Согласно следствию теоремы j? 7.6, преобразующая числовая матрица , т.е. — это матрица, /Обратная к левому значению λ -матрицы при подстановке вместо .

1. Несмотря на простоту, первый способ мало пригоден из-за большого Объема вычислений. Количество решаемых уравнений .

2. Второй способ позволяет полностью решить задачу приведения матрицы к жордановой форме. Выполняя пункт 1, находим нормальный диагональный вид характеристической матрицы , и, как следствие, ее инвариантные множители . Тогда выполняя пункты 3, 4 алгоритма нахождения жордановой формы, получим жорданову форму матрицы 3. В пунктах 1,2 второго способа λ -матрицы, стоящие в левых блоках матриц и , приводятся к нормальному диагональному виду при помощи элементарных преобразований над строками и над столбцами. При этом правые блоки этих матриц "учитывают" только преобразования строк, в отличие от алгоритма, описанного в пункте 5 замечаний 7.4.

4. Преобразующая матрица в (7.39) определяется неоднозначно. В самом деле, если — преобразующая матрица, а — невырожденная матрица, перестановочная с , то матрица — обратимая и

Первый способ нахождения преобразующей матрицы, вообще говоря, позволяет найти все такие матрицы, перебирая в пункте 2 подходящие частные решения однородной системы. Второй способ позволяет найти одну преобразующую матрицу из этого множества. Как правило, на практике достаточно найти хотя бы одну преобразующую матрицу.

5. Задачу приведения матрицы к диагональному виду можно считать частным случаем задачи приведения матрицы к жордановой форме. Если квадратная матрица линейно независимых собственных векторов, то, как это следует из теоремы 7.5, ее жорданова форма является диагональной матрицей (с собственными значениями на главной диагонали), а преобразующая матрица может быть составлена из линейно независимых собственных векторов матрицы

Пример 7.15. Привести к жордановой форме следующие матрицы:

Первый этап — нахождение жордановой формы матрицы .

2. Инвариантные множители будем искать по формуле (7.11). Записываем миноры 1-го порядка: . Находим наибольший общий делитель этих многочленов: . Минор второго порядка равен определителю характеристической матрицы . Следовательно, . Таким образом, по формуле (7.11) получаем

3. По инвариантным множителям составляем таблицу (7.34) элемен тарных делителей. Так как собственное значение матрицы единственное , то таблица (7.34) состоит из одной строки (и одного столбца): .

4. Единственному элементарному делителю соответствует од на жорданова клетка 2-го порядка, образующая жорданову форму матрицы .

Второй этап — нахождение преобразующей матрицы. Воспользуемся первым способом.

1. Составляем матричное уравнение . Перемножая матрицы, получаем однородную систему уравнений относительно элементов искомой матрицы

2. Решаем эту систему. Расширенную матрицу системы приводим к ступенчатому, а затем к упрощенному виду:

где . Находим фундаментальную матрицу где — произвольные постоянные.

Следовательно, любая преобразующая матрица имеет вид

где — произвольные постоянные, но , так как матрица невырожденная:

Например, при получаем .

Используем второй способ нахождения преобразующей матрицы.

Составляем блочную матрицу: . При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и над столбцами этой блочной матрицы, приводим левый блок к нормальному диагональному виду. Меняем местами строки и умножаем первую строку на (-l). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы в первом столбце и в первой строке левого блока:

2. Составляем блочную матрицу и приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду

3. Обращаем матрицу . Находим λ -матрицу, которая оказалась не зависящей от

4. Так как λ -матрица оказалась числовой, то .

5. Находим преобразующую матрицу . Такой же результат, как частный случай, был получен первым способом.

Будем искать преобразующую матрицу вторым способом. При этом попутно найдем и жорданову форму матрицы

Выполняя элементарные преобразования над строками и над столбцами этой блочной матрицы, приводим левый блок к нормальному диагональному виду. Меняем местами первую и третью строки и умножаем первую строку на (-1). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы в первом столбце и в первой строке левого блока:

Меняем местами второй и третий столбцы и умножаем вторую строку на (-1). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы во втором столбце и во второй строке левого блока:

Умножая третий столбец на (-1), получаем нормальную диагональную форму характеристической матрицы и матрицу

Находим жорданову форму матрицы составляем таблицу элементарных делителей. Таблица состоит из одного делителя , которому соответствует одна жорданова клетка 3-го порядка (для собственного значения ):

2. Составляем блочную матрицу

Приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду. Меняем местами столбцы левого блока

Выбираем ведущий элемент, равный единице, в левом верхнем углу. Делаем в левом блоке равными нулю все элементы ведущей (первой) строки и ведущего (первого) столбца, за исключением ведущего элемента:

Выбираем ведущий элемент, равный единице, на пересечении второго столбца и второй строки. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на , а затем к третьему столбцу прибавляем второй, умноженный на , и, наконец, умножаем третий столбец на (-1). В результате получим

3. Обращаем матрицу .

Находим λ -матрицу

Представляем λ -матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами, ставя переменную

Подставляем вместо аргумента

5. Обращая полученную матрицу, находим преобразующую

Сделаем проверку, сравнивая левую и правую части равенства

Следовательно, равенство верное.

Применяем второй способ нахождения преобразующей матрицы, попутно определяя жорданову форму матрицы (см. пункт 2 замечаний 7.7).

1. Составляем блочную матрицу:

Элементарными преобразованиями приводим левый ее блок к нормальному диагональному виду (см. пример 7.12). Меняем местами первый и третий столбцы, выбираем первую строку и первый столбец в качестве ведущих и делаем равными нулю все элементы выбранной строки (в пределах левого блока) и выбранного столбца, за исключением ведущего элемента:

Умножаем второй столбец на (-l), выбираем ведущими вторую строку и второй столбец, делаем равными нулю соответствующие элементы этой строки и столбца:

Умножим третий столбец на (-1), чтобы старший коэффициент многочлена был равен единице. Итак, получили матрицу и нормальный диагональный вид характеристической матрицы . Составляем таблицу (7.33) инвариантных множителей:

Составляем таблицу (7.34) элементарных делителей: . Каждому из трех делителей соответствует жорданова клетка 1-го порядка (для собственных значений ), т.е. жорданова форма матрицы — диагональная матрица:

2. Составляем блочную матрицу

Левый блок этой матрицы имеет диагональный вид, который не является нормальным, так как не делится на . Прибавляем к первому столбцу третий, к третьей строке прибавляем первую, умноженную на (-1), меняем местами первую и третью строки:

Разделим первый столбец на 3, возьмем ведущий элемент, стоящий в левом верхнем углу, и сделаем равными нулю соответствующие элементы:

Умножив второй столбец на (-1), а третью строку на (-3), получим в левом блоке нормальный диагональный вид , а в правом блоке матрицу

3. Обращаем матрицу

Находим λ -матрицу S(\lambda)=S_J^<-1>(\lambda)\cdot S_C(\lambda):

4. Представляем λ -матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами, помещая переменную

Подставляем вместо аргумента

5. Обращая полученную матрицу, находим преобразующую

Сделаем проверку, вычислив матрицу

Заметим, что в примере 7.10 эта матрица была приведена к диагональному виду. Поэтому, согласно пункта 5 замечаний 7.7, ее жорданова форма является диагональной, а преобразующая матрица составляется из линейно независимых собственных векторов:

Эта матрица отличается от найденной вторым способом. Но она тоже является преобразующей (проверка равенства была фактически выполнена в примере 7.10).

Применяем второй способ нахождения преобразующей матрицы , попутно определяя жорданову форму матрицы

Элементарными преобразованиями приводим левый ее блок к нормальному диагональному виду. Взяв элемент, равный единице, в качестве ведущего, делаем равными нулю все элементы ведущего (первого) столбца и ведущей (третьей) строки (в пределах левого блока):

К первой строке прибавляем вторую, умноженную на , затем к третьему столбцу прибавляем второй, умноженный на

Ко второму столбцу прибавляем третий, умноженный на , а затем к первой строке прибавляем вторую, умноженную на

Читать:

Win32 malware gen что за вирус

Меняем местами второй и третий столбцы, затем умножим первую строку на 9, второй столбец разделим на (-9):

Меняем местами первую и третью строки, после чего получим в левом блоке нормальный диагональный вид характеристической матрицы , a в правом блоке — матрицу

Составляем таблицу (7.33) инвариантных множителей:

Составляем таблицу (7.34) элементарных делителей:

Делителю соответствует жорданова клетка 2-го порядка, а делителю — жорданова клетка 1-го порядка, т.е. жорданова форма матрицы

2. Составляем блочную матрицу:

Приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду. Выбираем единицу в качестве ведущего элемента и делаем равными нулю соответствующие элементы левого блока, а затем меняем местами первый и второй столбцы:

Полученный диагональный вид не является нормальным, так как не делится на . Поэтому прибавляем ко второму столбцу третий, умноженный на , а затем ко второй строке прибавляем третью, умноженную на

Разделив второй столбец на , получим элемент, равный единице, который принимаем за ведущий, и делаем равными нулю соответствующие элементы второй строки и второго столбца:

Умножив третью строку на , получим в левом блоке нормальный диагональный вид характеристической матрицы , а в правом блоке — матрицу

3. Обращаем матрицу

4. Представляем λ-матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами, помещая переменную

Построение жорданова базиса и жордановой матрицы

Для практического построения жорданова базиса матрицы А, т.е. для вычисления жордановой формы данной матрицы и трансформирующей матрицы, необходимо выполнить для каждого характеристического корня А* матрицы А, имеющего кратность т <,следующие действия.

1. Составить матрицу А — A* Е и возводить ее последовательно в степени га = 1,2. до тех пор, пока не получится равенство

где r(A — Ai Е) т — ранг матрицы (А — AiE) m п — порядок матрицы А mi — кратность характеристического корня А* матрицы А. Наименьшее натуральное число га, при котором выполняется равенство (6.12), даст максимальную длину ki жордановых цепочек в корневом подпространстве Ki.

2. Построить подпространство E(Xi) собственных векторов оператора Л по А^. Для этого следует найти какую-либо фундаментальную систему решений Ь, 62, . bi системы (А — AiE) X = 0 и положить

3. Найти пересечение

где L^-1 = (aii. сц_г) — пространство столбцов матрицы <А- —Ai E) ki

l (через щ_г, . щ_г обозначены базисные столбцы матрицы (А — Xi Е)^ -1 ). Для этого полагают

затем переходят к покоординатным равенствам и для полученной при этом однородной системы относительно а, . a_r, Pi, . находят какую-либо фундаментальную систему решений. Подставляя эти решения поочередно в (6.15), получают систему линейно независимых векторов

которые составляют базис в Rk_<— ь Эти векторы являются собственными векторами, с которых начинаются жордановы цепочки максимальной длины hi в корневом подпространстве К,.

4. Для каждого вектора е^ 1 , j = 1, 2. ,р, из системы векторов
(6.16) найти присоединенные векторы е^ 2 , . е^ кг составляющие j-ю жорданову цепочку длины к:_г, для чего решить систему

5. Если общее число векторов

построенных в предыдущих пунктах, меньше т*, то следует перейти к построению подпространства

где — подпространство столбцов матрицы (А — _гЕ) кг 2 . В подпространстве Rki-2 построить базис, содержащий использованные в предыдущих пунктах векторы е^, е^ . ер> системы (6.16). Пусть таким базисом в Rki-2 является система собственных векторов

Тогда векторы

будут собственными векторами, с которых начинаются жордановы цепочки длины ki — 1 в корневом подпространстве Ki.

6. Для каждого вектора е^ 1 , j = р + 1. ,р2, найти присоеди-
(2) (fei-1)

ненные векторы е — , . е:- , образующие j-ю жорданову цепочку

длины ki — 1, для чего решить систему

Так следует переходить от подпространства Rki-i к подпространству Rkt-y+i), I = 1,2. и поступать, как описано в предыдущих пунктах, до тех пор, пока общее число векторов во всех построенных жор- дановых цепочках не окажется равным rrii. Затем выписать все эти цепочки векторов одну за другой и получить жорданов базис оператора А в корневом подпространстве Ki. Проделав эти операции для каждого характеристического корня Лi,i = 1,2. s, и объединив полученные при этом жордановы базисы всех корневых подпространств К1, Къ, . K_s, получить жорданов базис оператора А во всем пространстве X.

7. Выписать жорданову матрицу J в соответствии с построенным жордановым базисом оператора А в пространстве X.
8. Выписать трансформирующую матрицу Т из столбцов координат векторов построенного жорданова базиса оператора А в пространстве X.

Замечание. Жорданов базис оператора А в пространстве X и трансформирующая матрица Т находятся неоднозначно.

Пример 6.1. Для матрицы

построить жорданову форму J и трансформирующую матрицу Т.

Решение. Будем считать, что в четырехмерном пространстве X в некотором фиксированном базисе матрица А определяет линейный оператор А, и построим в пространстве X жорданов базис этого оператора. Для этого сначала найдем характеристический многочлен

Он имеет лишь один корень Ai = 1 кратности mi — 4, а следовательно, пространство X является корневым по Л] =1.

Составим матрицу (А — Ai Е) = А — Е и будем возводить ее в степени m — 1,2. до тех пор, пока не получится равенство

При т = 1 При т — 2 При т = 3

Следовательно, в пространстве X жордановы цепочки имеют наибольшую длину к = 3.

Найдем подпространство Е( 1) собственных векторов матрицы А по Ai = 1. Для этого рассмотрим систему (А — Е) X = 0, т.е. систему

Одну из фундаментальных систем решений этой системы составляют векторы Ь = (0,0,1,0) т , 62 = (3,1,0,1) т . Поэтому Е( 1) =

Далее, найдем пересечение Rk-i = R2 = Lk-1 П?'(1) = L2 П?'(1), где L2 — пространство столбцов матрицы (Л — Е) 2 . Пространство L2 порождается вектором (3,1,3,1) т , поскольку ранг матрицы (Л — Е) 2 равен единице.

Замечаем, что (3,1,3,1) т = 3&i + &2- Поэтому R2 = L2 П Е(1) = L2 = ((3,1, 3,1) т ). Положим = (3,1,3,1) т . Это собственный вектор, с которого начинается жорданова цепочка длины к = 3. Присоединенные векторы

найдем из систем (А — Е) , / = 2,3, т.е. из систем

Решениями этих систем, например, являются

Жорданова цепочка векторов , е _: 2 , е^ 3 еще не дает базиса в корневом пространстве X. Поэтому перейдем к рассмотрению подпространства

где Ь — подпространство столбцов матрицы А — Е. Так как ранг матрицы А — Е равен двум, то Ь порождается двумя его линейно независимыми столбцами, например столбцами

Таким образом L = (аьаг), Е(1) = (61,62), где

Для отыскания базиса в R = L П ?7(1) составим векторное равенство с = ац а + а.2 «2 = 01 61 + 02 62 и перейдем от него к покоординатным равенствам. Тогда получим систему

Фундаментальную систему решений этой системы уравнений составляет, например, решение ct = 3, 0^2 = —1, 0 = 3, 02 = 1. Поэтому с = 3ai — 0,2 = (3,1,3,1) т и R = (с).

Подпространство R совпало с уже рассмотренным подпространством i?2- Поэтому следует перейти к подпространству

Выберем в Rq базис, начинающийся = (3,1,3,1) т . Очевидно, что До = , 6х) = (е^, (0,0,1,0) г ). Поэтому за следует принять

е2^ = (0,0,1,0) т . В итоге построен жорданов базис

В этом базисе матрица А имеет жорданову форму

а матрицей Т, трансформирующей А в J, является матрица

составленная из столбцов координат векторов построенного жорданова базиса. ?

При мер 6.2. Для матрицы

построить ее жорданову форму J и трансформирующую матрицу Т.

Решение. В пятимерном пространстве X в некотором базисе матрица А определяет линейный оператор А. Построим в пространстве X жорданов базис этого оператора. Для этого сначала найдем характеристический многочлен

Он имеет корень Ai = 2 кратности т = 3 и корень А2 = — 1 кратности m2 = 2. Поэтому пространство X распадается в прямую сумму корневых подпространств К и К2 соответственно поА1=2иА2 = —1. Сначала построим жорданов базис оператора А в К. Для этого составим матрицу А — 2 Е и будем возводить ее в степени т = 1,2. до тех пор, пока не получим равенство

При т = 1

Следовательно, в К жордановы цепочки имеют максимальную длину к = 2.

Ее фундаментальная система решений состоит из двух векторов, например из векторов

Поэтому Е(2) = (61,62)- Найдем пересечение

где Li = Lk_x-i = (a-i, «2,Лз,«4, «5) = («1,а2,аз) —пространство столбцов матрицы (A — 2E) kl

l = А — 2Е (через «ь «2, «з, «4, «5 обозначены столбцы матрицы А — 2Е). Положим

и от полученного векторного равенства перейдем к покоординатным равенствам

Эта система имеет фундаментальную систему решений от = О, 02 = —1, 03 = 0, /?i = 2, /?2 = —1. Она определяет лишь один вектор

Поэтому R = (е^) = ((1,1, —1, 2, —1) т ). Вектор является собственным вектором в К[, с которого начинается жорданова цепочка

длины 2. Присоединенный вектор жордановой цепочки, связанной

с найдем из системы (А — 2Е)е^ = е^ т.е из системы

Решая эту систему, находим, например, е^ 2 = (0, —1,0,0, 0) т .

Построенная жорданова цепочка векторов е^, еще не дает базиса в К. Поэтому перейдем к рассмотрению пересечения

Здесь Lo — подпространство столбцов единичной матрицы (А — 2Е)°. Поэтому Lq совпадает со всем пространством пятимерных векторов, и, следовательно, Rq будет совпадать с ?7(2), т.е. Ro = Е(2) = (61,62). В подпространстве Ro построим базис содержащий уже использован- ный ранее собственный вектор е . Таким базисом в Ro является, например, базис, состоящий из векторов и е₂ — b = (1, О, —1,1,0) т . Тогда вектор е₂ = 61 является собственным вектором в К, составляющим жорданову цепочку единичной длины.

Пиело построенных векторов е , е , е₂ совпадает с размерностью mi = 3 подпространства К. Следовательно, эти векторы составляют жорданов базис в К.

Перейдем к построению жорданова базиса оператора А в корневом подпространстве К2 по Л2 = —1. Для этого составим матрицу А + Е и будем ее возводить в степени т — 1,2. до тех пор, пока не получим равенство г <А + Е) т= п — m2 = 5 — 2 = 3.

Следовательно, в К2 жордановы цепочки имеют максимальную длину &2 = 2.

Найдем подпространство Е(—1) собственных векторов по Л = — 1. Для этого рассмотрим систему (А + Е) X = 0, т.е. систему

Ее фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, Ъ = —1,1, —1,1) т . Поэтому Е(—1) = (Ъ) = <(—1, —1,1,

—1,1) т ). Пересечение Rk₂—1 = Ri = Дь₂-1 n ^( _ 1) = L П E(—1), где Lk₂-1 == L — подпространство столбцов матрицы A + E, совпадает с E(—1), а вектор b — с третьим столбцом матрицы A + E.

Итак, Ri = E(—1) = (b). Поэтому полагаем: — b — (—1, —1,1,

—1,1) т . Присоединенный вектор найдем из системы (А+Е) =
(1)

= 63 , т.е. из системы

Одним из решений указанной системы является, например, вектор = (—1, — 1,2, — 1,1) т . Число векторов е^, построенной жордановой цепочки совпадает с размерностью тг = 2 корневого подпространства К2— Следовательно, эти векторы составляют базис

в К2— В итоге для оператора А в пространстве X построен жорданов

базис е , е , е , , е$ . Он состоит из трех жордановых цепочек.

имеющих соответственно длины 2, 1 и 2. Первые две относятся к корневому подпространству Кi по А = 2, третья — к корневому подпространству К2 по Л = —1. Поэтому жорданова форма матрицы А имеет вид:

Матрица Т, приводящая матрицу А к жордановой форме J со-

ставляется из столбцов координат векторов е,е,е₂,е₃,е^ и имеет вид:

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Помогите найти Жорданов матриц

Последний раз редактировалось Deggial 21.12.2014, 09:44, всего редактировалось 1 раз.

формулы поправил

Требуется найти базис $f_1, . , f_n$ , в котором матрица некоторого преобразования имеет жорданову форму
$A_J$ , и найти эту жорданову форму.
Матрица $A$ $$\begin<pmatrix>3& 2& -3\\ 4& 10& -12\\ 3& 6& -7&\\ \end<pmatrix>$» />. Чтобы найти жорданову матрицу находим собственные числа, которые будут равны таким <img decoding=$ , при котором определитель следующей матрицы равен нулю.
$$\begin<pmatrix>3-l& 2& -3\\ 4& 10-l& -12\\ 3& 6& -7-l&\\ \end<pmatrix>$» /> В данном случае получаем <img decoding=$
Значит матрица в жордановом матрице имеет вид:
$$\begin<pmatrix>2& *& *\\ 0& 2& *\\ 0& 0& 2&\\ \end<pmatrix>$» /> Помогите, пожалуйста, никак не могу понять как искать элементы Жордановой матрицы, которые будут стоять над диагональю! Интересует не столько этот пример, для меня главное понять алгоритм. Искал на разных сайтах, но объяснения очень непонятные. И насчет базисов, я правильно понимаю, что чтобы найти Жорданов базис надо вместо <img decoding=$ подставить в нашем случае 2 и, преобразовывая матрицу найти ее ранг и из этих векторов выписать базис?

Последний раз редактировалось svv 25.02.2014, 02:50, всего редактировалось 2 раз(а).

Давайте сначала разберемся с жордановой формой.

Какие-то начальные действия Вам же известны? Для каждого собственного значения надо составить матрицу $B=A-\lambda E$ и потом последовательно найти ранги её степеней:
$r_0=n$ (размер матрицы) — по определению,
$$r_1=\operatorname<rang>B$» />, <img decoding=$ , где $k$ — алгебраическая кратность значения $\lambda$ . И дальше они не уменьшаются.

Попробуйте, исходя из этой информации, найти $r_0, r_1, r_2. r_<k+1>$» />, не выполняя при этом лишнюю работу. То есть не находите следующую степень <img decoding= , если и так ясно, чему будет равен её ранг. Напишите, что получилось.

Последний раз редактировалось SlayZar 25.02.2014, 10:22, всего редактировалось 2 раз(а).

$B=A-\lambda E=$
$$\begin<pmatrix>1& 2& -3\\ 4& 8& -12\\ 3& 6& -9&\\ \end<pmatrix>$» /> Элементарными преобразованиями преобразовывая эту матрицу, получаем матрицу <img decoding=$ , $r_1=1$ и так как $r_\((n+1)\\$<r_n$ то $r_2=0$
А как теперь зная эти значения найти элементы над диагональю в Жордановой матрице?