Как найти координаты вершин треугольника

7

Даны координаты середин сторон треугольника

пусть точки A, B и C — вершины треугольника, точка E — середина стороны AB, точка F — середина стороны AC, а K — середина стороны BC. Требуется найти координаты точек A, B и C.

Обозначим через x_A и y_A — координаты вершины A, x_B и y_B — координаты вершины B, x_C и y_C — координаты вершины C.

(1)

(2)

(3)

Подставляя в эти формулы координаты точек E, F и K, мы для определения неизвестных получим следующие уравнения:

а) Уравнения, отмеченные (1), после подстановки в них координат точки E запишутся так:

x_A + x_B = 14; y_A + y_B = 16.

б) уравнения, отмеченные (2), если подставить в них координаты точки F, запишутся в виде

x_A + x_С = -8; y_A + y_С = 10.

в) Если же в уравнения, отмеченные (3), подставить координаты точки K, то эти уравнения запишутся так:

x_B + x_С = 2; y_B + y_С = -8.

Итак, для определения шести неизвестных мы получили такие две системы уравнений:

первая система уравнений

вторая система уравнений

Складывая почленно уравнения первой системы, будем иметь

x_A + x_B + x_A + x_C + x_B + x_C = 8.

После приведения подобных членов и деления обеих частей уравнения на 2 получим

x_A + x_B + x_C = 4. (4)

Так как на основании третьего уравнения первой системы x_B + x_C = 2, то из (4) получаем x_A + 2 = 4, а x_A = 2; используя второе уравнение первой системы x_A + x_C = -8, получим x_B — 8 = 4; x_B = 12; на основании первого уравнения первой системы x_A + x_B = 14, и уравнение (4) примет вид: x_C + 14 = 4, а x_C = -10. Итак, x_A = 2; x_B = 12; x_C = -10. Поступая так же, найдем из второй системы уравнений y_A = 17; y_B = -1; y_C = -7. Вершины треугольника имеют такие координаты: A(2, 17); B(12, -1); C(-10, -7)

Вычислить XY координаты вершины треугольника, зная длинны всех сторон

есть упрошенная формула определения координаты вершины треугольника, если основание треугольника расположено на оси X. (нужно для определения положения при навигации, используя всего 2 точки привязки, вместо 3)

А если вершина B находится не на оси Х? Входные данные для формулы все те же, это длинны сторон (abc), но точка B теперь имеет координаты B (65,25). Точку A (0,0) оставим в начале координат И нужно все также определить координаты точки С.

Ещё один способ:
-раз уж у вас есть функция для нахождения координат, когда B на оси — грешно её не использовать ещё раз. Найдите координаты сx,сy , как и ранее, как если бы B была на оси, используя длины сторон, а затем поверните их на угол между AB и осью OX. Для поворота нужны косинус и синус этого угла, их выразить из заданных величин нетрудно:

Раз уж вы нашли косинус и синус угла в треугольнике — дальше вы можете просто повернуть на этот угол вектор одной из сторон и получить направление второй стороны, а дальше нужно лишь изменить длину вектора.

Но есть и решение в векторах, вообще без тригонометрии.

Рассмотрим задачу в общем виде: у нас заданы вершины A и B, нам надо найти третью вершину треугольника С зная прилежащие к ней стороны — AC=a и BC=b соответственно. Построим окружности нужных радиусов с центрами в точках A и B, и тогда точка C как раз будет на их пересечении:

Обозначим через rA, rB и rC радиус-векторы точек. Тогда получаем следующую систему уравнений:

Решив её относительно rC можно получить ответ. Для решения первым делом вычтем одно уравнение из другого, чтобы избавиться от квадрата rC:

У нас получилось, внезапно или не очень, уравнение прямой в одном из своих форм. Этой прямой по построению принадлежат точки C и C’ — значит, это уравнение прямой CC’. Кстати, разности rB — rA будет в дальнейшем встречаться часто, поэтому обозначим её как AB (потому что это и есть вектор стороны AB).

В принципе, на этом этапе можно перейти от векторного вида к координатному, выразить через это уравнение переменную y через x или наоборот, подставить в любое уравнение окружности и решить обыкновенное квадратное уравнение. Однако, любого кто так попытается сделать, ожидает засада под названием "сингулярность": если прямая CC’ вертикальная, то при попытке выразить y через x в формуле будет деление на ноль, а если она горизонтальная — деление на ноль будет при попытке выразить x через y.

Можно было бы просто разобрать два случая, но есть вариант лучше. Для этого надо перейти к параметрическому виду уравнения прямой СС’. Напомню, что параметрический вид уравнения прямой выглядит вот так:

Чтобы получить параметрическое уравнение прямой, нужно знать направляющий вектор и любую точку на этой прямой. Точки C и С’ мы узнать не можем (точнее можем, но если узнаем — задача будет уже решена), поэтому попытаемся найти точку пересечения прямых CC’ и AB.

Это сделать не так сложно как кажется, потому что у нас есть уравнение прямой CC’ и мы можем составить параметрическое уравнение прямой AB:

Подставим первое уравнение во второе и решим его относительно переменной t:

Осталось подставить эту переменную обратно в параметрическое уравнение:

Формула выглядит страшно, но не имеет сингулярностей пока A и B — разные точки. Даже в случае некорректных начальных данных у тут будет какое-то решение.

Кстати, для проверки корректности формулы можно подставить сюда вырожденные треугольники: при a=0, b=AB точка r0 окажется равна rA; а при a=AB, b=0 точка r0 окажется равна rB. Пока всё нормально.

И так, у нас есть точка r0, осталось найти направляющий вектор прямой CC’. Ну, это тоже просто: надо лишь взять вектор AB и повернуть его на прямой угол в любую сторону. Это делается тоже просто, если вектор AB был с координатами (xB — xA, yB — yA) — то повёрнутый будет с координатами (-yB + yA, xB — xA). Почему так — объясняется по ссылке, которую я уже приводил ранее. Обозначим его через AB^.

Ну, теперь у нас есть параметрическое уравнение прямой CC’ и уравнение одной из окружностей, осталось их пересечь и мы найдём точки C и C’.

И снова мы можем просто подставить одно уравнение в другое (вот почему я так люблю параметрические уравнения прямых в задачах на геометрию!):

Тут есть и дальнейшие упрощения: вектор r0—rA сонаправлен AB, а потому при умножении на AB^ будет чистый ноль, можно и не считать. Кстати, длина вектора AB^ равна длине вектора AB, что тоже позволяет чуть упростить формулу.

Как найти координату вершины треугольника

Координаты вершины A найдем, решая систему, составленную из уравнений сторон AB и AC:

Систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными решаем способами, известными из элементарной алгебры, и получаем

Вершина A имеет координаты

Координаты вершины B найдем, решая систему из уравнений сторон AB и BC:

получаем .

Координаты вершины C получим, решая систему из уравнений сторон BC и AC:

Вершина C имеет координаты .

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Вершина треугольника – определение

В геометрии нередко рассматривают такое понятие, как «вершина треугольника». Это точка пересечения двух сторон данной фигуры. Практически в каждой задаче встречается это понятие, поэтому имеет смысл рассмотреть его более подробно.

Определение вершины треугольника

В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.

Рис. 1. Вершина в треугольнике.

Вершины в треугольниках обозначают большими латинскими буквами. Поэтому чаще всего в математике стороны обозначают двумя заглавными латинскими буквами, по названию вершин, которые входят в стороны. Например стороной АВ называют сторону треугольника, соединяющую вершины А и В.

Рис. 2. Обозначение вершин в треугольнике.

Характеристики понятия

Если взять произвольно ориентированный в плоскости треугольник, то на практике очень удобно выразить его геометрические характеристики через координаты вершин этой фигуры. Так, вершину А треугольника можно выразить точкой с определенными числовыми параметрами А(х; y).

Зная координаты вершин треугольника можно найти точки пересечения медиан, длину высоты, опущенную на одну из сторон фигуры, и площадь треугольника.

Для этого используются свойства векторов, изображаемых в системе декартовой системе координат, ведь длина стороны треугольника определятся через длину вектора с точками, в которых находятся соответствующие вершины этой фигуры.

Использование вершины треугольника

При любой вершине треугольника можно найти угол, который будет смежным внутреннему углу рассматриваемой фигуры. Для этого придется продлить одну из сторон треугольника. Поскольку сторон при каждой вершин две, то и внешних углов при каждой вершине два. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

Рис. 3. Свойство внешнего угла треугольника.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Что мы узнали?

Одним из важных понятий геометрии при рассмотрении различных типов треугольников является вершина. Это точка, где пересекаются две стороны угла данной геометрической фигуры. Ее обозначают одной из больших букв латинского алфавита. Вершину треугольника можно выразить через координаты x и y, это помогает определять длину стороны треугольника как длину вектора.

Даны вершины треугольника ABC.

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС

2) Координаты точки пересечения медиан

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Координаты т. E как середины отрезка ВС.

Координаты т. К как середины отрезка АВ.

3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А

Расстояние от точки до прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) Площадь треугольника

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

По координатам вершин треугольника ABC найти:

• периметр треугольника;
• уравнения сторон AB и BC;
• уравнение высоты AD; угол ABC;
• площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.

1) уравнение и длину стороны ВС;

2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;

3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

1)

2)

3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:

Определяем длину медианы АМ:

4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:

5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:

и подставляем в формулу, ,

6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:

7) Площадь треугольника АВС:

8) Находим угол ВАС треугольника:

9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:

Ответ:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1. Уравнение прямой
   Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:
   
   Уравнение прямой AB
   Каноническое уравнение прямой:
   
   или
   
   или
   y = -3 /₇x + 16 /₇ или 7y + 3x — 16 = 0
2. Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
   
   
   M(3;1)
   Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому:
   Каноническое уравнение прямой:
   
   или
   
   или
   y = -1 /₁₁x + 14 /₁₁ или 11y + x — 14 = 0
3. Уравнение высоты через вершину C
   Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
   
   Найдем уравнение высоты через вершину C
   
   y = 7 /₃x + 62 /₃ или 3y -7x — 62 = 0
4. уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
   Уравнение прямой AB: y = -3 /₇x + 16 /₇
   Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
   y — y₀ = k(x — x₀)
   Подставляя x₀ = -8, k = -3 /₇, y₀ = 2 получим:
   y-2 = -3 /₇(x-(-8))
   или
   y = -3 /₇x — 10 /₇ или 7y + 3x +10 = 0

Пример 7:

Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5).

Решение от преподавателя:

1) Длина стороны AB.
Расстояние d между точками M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂) определяется по формуле:

2) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4x -3 или y -4x +3 = 0, угловой коэффициент к₁=4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4 /₉x + 5 /₉ или 9y -4x — 5 = 0, угловой коэффициент к₂=4/9
3) Угол между прямыми

4) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C

y = -1 /₄x + 15 /₂ или 4y +x -30 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AB.
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k₁ = 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим:
4k = -1, откуда k = -1 /₄
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = -1 /₄,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 10, k = -1 /₄, y₀ = 5 получим:
y-5 = -1 /₄(x-10)
или
y = -1 /₄x + 15 /₂ или 4y + x — 30 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
y -4x +3 = 0
4y + x — 30 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 42 /₁₇
y = 117 /₁₇
D( 42 /₁₇; 117 /₁₇)
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0)

5,7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам.


Е(7;9)
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4 /₃x -1 /₃ или 3y -4x +1 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M( 11 /₂;3)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(4;13) и М( 11 /₂;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -20 /₃x + 119 /₃ или 3y + 20x — 119 = 0
Найдем точку пересечения медиан.
Имеем систему из двух уравнений:
3y -4x +1 = 0
3y + 20x — 119 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 5
y = 19 /₃

6) CD—диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD

Уравнение окружности (x-x₀) 2 +(y-y₀) 2 =r 2

(x-106/17) 2 +(y-101/17) 2 =256/17

8) Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A

Так как прямая проходит через точку А(1,1) и имеет k = -1 /₄, ( так как уравнение CD:y = -1 /₄x + 15 /₂ или 4y + x — 30 = 0 ),
то будем искать уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 1, k = -1 /₄, y₀ = 1получим:
y-1 = -1 /₄(x-1)
или
y = -1 /₄x + ¼+1 или 4y + x — 5 = 0

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)

Пример 9:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4), С (-1,6).

Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;

2) периметр (сумму длин) треугольника;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние d от точки С до прямой АВ;

5) сделайте чертеж.

Решение от преподавателя:

1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС

Уравнение, прямой проходящей через две точки

2) периметр (сумму длин) треугольника

Расстояние между двумя точками

3) уравнение высоты СН

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) расстояние d от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой

Пример 10:

Найти: 1) уравнение стороны AB;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Дан треугольник с координатами вершин найти:

а) длину стороны AB;

б) косинус угла ABC;

в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9).
1) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 3 /₂x -9 или 2y -3x +18 = 0

2) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(4;-3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 6 /₇x -45 /₇ или 7y -6x +45 = 0
3) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C

y = -2 /₃x -11 или 3y +2x + 33 = 0
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9)
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле:

Пример 14:

Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(8,1), B(0,3), C(-2,-3).
1) Уравнение прямой (АВ)
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

или

или
4y + x — 12 = 0

2)Уравнение медианы (АD)

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(-1;0)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому:

или

или
y = 1 /₉x + 1 /₉ или 9y -x — 1 = 0
3) Уравнение высоты через вершину B

Найдем уравнение высоты через вершину B

Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AC.

Уравнение прямой AC
уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

или

или
y = 2 /₅x -11 /₅ т.е. k₁ = 2 /₅
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим:
2 /₅k = -1, откуда k = -5 /₂
Так как перпендикуляр проходит через точку B(0,3) и имеет k = -5 /₂,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 0, k = -5 /₂, y₀ = 3 получим:
y-3 = -5 /₂(x-0)
или
y = -5 /₂x + 3 или 2y + 5x — 6 = 0 — уравнение (ВЕ)