Как найти скорость частицы

Как найти скорость частицы

Часто при изучении школьного курса электромагнетизма или при научных исследованиях возникает необходимость установить скорость, с которой двигалась какая-нибудь элементарная частица, например, электрон или протон.

Допустим, дана следующая задача: электрическое поле с напряженностью Е и магнитное поле с индукцией В, возбуждены перпендикулярно друг другу. Перпендикулярно им, равномерно и прямолинейно движется заряженная частица с зарядом q и скоростью v. Требуется определить ее скорость.

Решение очень простое. Если частица по условиям задачи движется равномерно и прямолинейно, значит, ее скорость v постоянная. Таким образом, в соответствии с первым законом Ньютона, величины действующих на нее сил взаимно уравновешены, то есть в сумме они равны нулю.

Какие силы действуют на частицу? Во-первых, электрическая составляющая силы Лоренца, которая вычисляется по формуле: Fэл = qE. Во-вторых, магнитная составляющая силы Лоренца, которую вычисляют по формуле: Fм = qvBSinα. Поскольку по условиям задачи частица движется перпендикулярно магнитному полю, угол α = 90 градусам, и соответственно, Sinα = 1. Тогда магнитная составляющая силы Лоренца Fм = qvB.

Электрическая и магнитная составляющие уравновешивают друг друга. Следовательно, величины qE и qvB численно равны. То есть Е = vB. Следовательно, скорость частицы вычисляется по такой формуле: v = E/B. Подставив в формулу значения Е и В, вы вычислите искомую скорость.

Или, например, у вас такая задача: частица с массой m и зарядом q, двигаясь со скоростью v, влетела в электромагнитное поле. Его силовые линии (как электрические, так и магнитные) параллельны. Частица влетала под углом α к направлению силовых линий и после этого началась двигаться с ускорением а. Требуется вычислить, с какой скоростью она двигалась первоначально. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела с массой m вычисляется по формуле: a = F/m.

Массу частицы вы знаете по условиям задачи, а F – результирующая (суммарная) величина сил, действующих на нее. В данном случае на частицу действуют электрическая и магнитная оставляющие силы Лоренца: F = qE + qBvSinα.

Но поскольку силовые линии полей (по условию задачи) параллельны, то вектор электрической силы перпендикулярен вектору магнитной индукции. Следовательно, суммарная сила F вычисляется по теореме Пифагора: F = [(qE)^2 + (qvBSinα)^2]^1/2

Преобразуя, получите: am = q[E^2 +B^2v^2Sin^2α]^1/2. Откуда: v^2 = (a^2m^2 – q^2E^2)/(q^2B^2Sin^2α). После вычисления и извлечения квадратного корня, получите искомую величину v.

Курс физики

Механика глава 1. Кинематика и динамика частицы § 1. Путь и перемещение

М />еханика — это раздел физики, в котором изучают механическое движение — изменение положения тела в пространстве с течением времени. Положение тела в пространстве определяют по отношению к другому телу, с которым связывают систему координат, например, декартову, представляющую собой три взаимно перпендикулярные оси x, y, z (рис. 1.1). Система координат плюс часы для отсчета времени образуют систему отсчета.

Рассмотрим кинематику движения тела, т. е. движение без учета его причины. Размерами движущегося тела будем пренебрегать и называть его просто частицей.

Положение тела (частицы) в любой момент времени можно задать с помощью радиуса-вектора , проведенного из начала координат 0 в точку пространства, в котором находится тело в момент времени (рис. 1.1). Из рис. 1.1 видно, что радиус-вектор можно записать в виде

(1.1)

где — координаты точки пространства, , — орты системы координат — единичные по модулю безразмерные векторы, направленные по осям соответственно.

Длина радиуса-вектора (его модуль)

(1.2)

Очевидно, при движении частицы ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор зависит от времени :

(1.3)

Если известна зависимость , говорят, что задан закон движения частицы.

Линию, описываемую частицей при ее движении, называют траекторией частицы (рис. 1.2). Пусть за промежуток времени частица переместилась вдоль траектории из точки 1 в точку 2 (рис. 1.2) Проведем из точки 1 в точку 2 вектор и назовем его перемещением частицы за промежуток времени Из рис. 1.2 видно, что

(1.4)

приращению радиуса-вектора частицы за промежуток времени .

С учетом выражения (1.1) можем написать

Элементарное перемещение частицы из точки 1 за элементарный (очень малый) промежуток времени

(1.6)

причем нетрудно видеть, что вектор направлен по касательной к траектории в точке 1.

Назовем длину отрезка траектории между точками 1 и 2 путем S, пройденным частицей за промежуток времени Из рис. 1.2 видно, что обычно путь больше длины (модуля) перемещения. Однако по мере уменьшения пути это различие уменьшается. Для элементарного (очень малого) пути оно становиться ничтожным, что дает право написать

где — модуль элементарного перемещения частицы.

§ 2. Скорость и ускорение

Мы уже говорили, что при движении частицы ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению. В кинематике вводят величину, характеризующую быстроту изменения радиуса-вектора со временем. Ее называют скоростью частицы.

Пусть в момент времени частица, двигаясь по траектории, находилась в точке 1 (рис. 2.1). За элементарный (очень малый) промежуток времени радиус-вектор частицы получит элементарное приращение . Векторную величину

(2.1)

называют скоростью частицы в точке 1 траектории. Вектор направлен, так же как и вектор , по касательной к траектории в точке 1.

Аналогично определяют скорость частицы в любой точке траектории или, что то же самое, в любой момент времени движения частицы. В математике правую часть равенства (2.1) называют производной радиуса-вектора по времени. Следовательно, скорость v частицы в момент времени равна производной по времени от радиуса-вектора этой частицы. Очевидно, для определения скорости частицы в любой момент времени надо знать закон движения частицы (1.3).

(2.2)

где — проекции вектора на координатные оси.

(2.3)

Принимая во внимание соотношения (1.7) и (2.1), можем записать выражение для элементарного пути, проходимого частицей за элементарный (очень малый) промежуток времени :

(2.4)

где v — модуль скорости.

Чтобы определить путь S, проходимый частицей за промежуток времени , надо просуммировать элементарные пути по длине отрезка траектории, проходимой частицей за этот промежуток времени. В математике такую операцию называют интегрированием. Можем написать

(2.5)

Путь, проходимый частицей за промежуток времени равен определенному интегралу от функции v(t), взятому в пределах от , до . Очевидно, чтобы произвести интегрирование (2.5), надо знать зависимость модуля скорости частицы от времени

При движении частицы ее скорость может меняться как по модулю, так и по направлению. В кинематике вводят величину, характеризующую быстроту изменения скорости со временем. Ее называют ускорением частицы.

Пусть в момент времени частица, двигаясь по траектории, находилась в точке 1 (рис. 2.2).

За элементарный (очень малый) промежуток времени скорость частицы получит элементарное приращение . Векторную величину

(2.6)

называют ускорением частицы в точке 1 траектории. Вектор направлен так же, как и вектор.

Аналогично определяют ускорение частицы в любой точке траектории или, что то же самое, в любой момент времени движения частицы. Ускорение частицы в момент времени равно производной по времени от скорости этой частицы.

Очевидно, зная закон движения частицы (1.3), можно найти зависимость скорости от времени а затем ускорение в любой момент времени.

, (2.7)

где — проекции вектора на координатные оси.

(2.8)

Проведем через некоторую точку траектории частицы две оси: ось τ, направленную по касательной к траектории в сторону вектора , и ось , направленную по нормали к траектории к центру кривизны траектории в одной точке (центру окружности, дугой которой является элементарный (очень малый) отрезок траектории частицы в районе данной точки) (рис. 2.3). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух составляющих и :

, (2.9)

где и — орты осей и ; и — проекции векторов и на эти оси. Вектор называют касательной или тангенциальным ускорением, вектор — нормальным ускорением.

Можно показать, что проекция

(2.10)

производной по времени от модуля скорости частицы. Тангенциальное ускорение частицы характеризует быстроту изменения модуля ее скорости. При ускоренном движении вектора совпадает с направлением скорости частицы. При замедленном движении вектор противоположен направлению скорости .

Можно показать, что проекция

где R — радиус кривизны траектории в данной точке. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости частицы. Вектор всегда направлен к центру кривизны траектории.

. (2.12)

Пример 2.1. Радиус-вектор при движении частицы по траектории изменяется по закону , м. Найти модуль скорости частицы в момент t₁ = 2с.

Ответ:

Пример 2.2. Закон движения частицы м. Найти проекцию ускорения частицы в момент времени t₁ = 5c.

.

.

Ответ: a_x(t₁) = – 90 м/с 2 .

Пример 2.3. В момент времени скорость частицы ускорение Найти радиус кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент времени .

.

Ответ:

Пример 2.4. Закон движения частицы Найти путь частицы за одиннадцатую секунду ее движения.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ

Координаты и скорость — это кинематические характеристики частицы. Они не отражают свойства частицы как реального физического объекта. Импульс — динамическая характеристика. По определению импульс равен

где V — скорость частицы; т — некоторое свойство частицы, называемое массой.

Масса — это первичное понятие, не сводимое к другим. Смысл этой величины и способ ее измерения прояснится далее.

При малых скоростях знаменатель в формуле (2.33) близок к единице, и в этом случае

Формула (2.34) является определением импульса в так называемой классической, или нерелятивистской (от слова relativity — относительность), механике.

Уравнения движения (законы Ньютона)

В основе динамики лежит ряд утверждений, принимаемых в качестве аксиом.

• 1. Свободная частица в инерциальной системе отсчета движется с постоянной скоростью (первый закон Ньютона). Под свободной частицей понимается частица, никак не взаимодействующая с другими телами.
• 2. При наличии взаимодействия имеет место уравнение

где р — импульс частицы, определяемый формулой (2.33) или (в классической механике) (2.34) (второй закон Ньютона).

Величина, стоящая в правой части уравнения (2.35), характеризующая взаимодействие частицы с остальным миром, называется силой. Фактически здесь утверждается, что во всех случаях удастся

подобрать такую векторную функцию F, что движение частицы будет подчиняться уравнению вида (2.35). Задачей физики является нахождение сил для различных взаимодействий.

Уравнение (2.35) означает, что за малое время At изменение импульса частицы будет равно

При малых скоростяхи уравнение (2.35) приобретает вид

При этих же условиях уравнение (2.36) примет вид

Силы, действующие на макроскопическое тело, могут быть измерены динамометром (устройством типа пружинных весов), и уравнение (2.38) в этом случае дает способ определения массы тела, так как изменение скорости тела за данное время может быть измерено.

Из этого же уравнения усматривается смысл массы: масса определяет отклик тела на данную силу. Чем больше масса, тем слабее отклик, тем меньше изменение скорости тела. Житейское понятие массы связано с весом тела, т. е. с силой притяжения тела к Земле (с силой гравитационного взаимодействия тела с планетой Земля), которая по некоторым (глубоким) причинам, не связанным с обсуждаемым вопросом, оказывается пропорциональна массе. Правильное ощущение массы, не связанное с весом, имеют космонавты, так как в космическом корабле вес не проявляется, и, как мы уже обсуждали, именно космический корабль является хорошей инерциальной системой.

3. Два тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению (третий закон Ньютона).

Это утверждение верно в классической механике, но если тела взаимодействуют на большом расстоянии или движутся с большими скоростям, ситуация не столь проста. Обсуждение возникающих здесь проблем увело бы нас далеко в сторону, и в дальнейшем будем считать это утверждение справедливым.

Задача 2.6. Пуля пробивает стену. Оценить силу, действующую на стену. Масса пули 10 г, скорость пули на входе 300 м/с, на выходе 100 м/с, толщина стены 5 см.

Решение. При прохождении пули сквозь стену импульс пули изменяется, откуда следует, что на пулю действует сила. Обратимся к равенству (2.38). Пусть пуля движется вдоль оси х, стена — в плоскости уС>1. Имеем:

где Д/ — время действия силы (время взаимодействия пули со стеной). Для оценки времени взаимодействия предположим, что скорость пули в стене убывает линейно со временем (ускорение постоянно). Тогда

где Дх — толщина стены, и для силы получим Подставляя числа, найдем

Это сила, действующая на пулю со стороны стены. На стену по третьему закону Ньютона будет действовать сила -F.

Задача 2.7. Ситуация та же, что и в предыдущей задаче, но пуля выходит из стены под небольшим углом а к нормали к стене.

Решение. Пусть траектория пули лежит в плоскости хОу. Для изменения импульса получим

Для силы, действующей на пулю, будем иметь

Как видим, появилась составляющая силы, параллельная стене.

Из уравнения (2.35) можно сразу получить некоторые важные следствия. Подчеркнем прежде всего, что это векторное уравнение. Из него можно получить бесчисленное множество скалярных уравнений следующим образом.

Пусть единичный вектор Я задаст некоторое неизменное направление. Скалярное произведение любого вектора на вектор Я даст число, которое есть проекция этого вектора на направление, задаваемое вектором Я: an = Acosa = я„, где a — угол между векторами Я, Я. Умножим уравнение (2.35) скалярно на вектор Я. Получим

Скалярное произведение дифференцируется по обычному правилу дифференцирования произведения:

Учитывая это правило, а также то, что Я — постоянный вектор, из (2.39) получим

Это скалярное уравнение для проекции импульса на направление п. Из него, в частности, следует, что если проекция силы на некоторое направление все время равна нулю, проекция импульса на это направление не изменяется. (Пример: горизонтальная составляющая скорости брошенного камня не изменяется.)

Уравнений вида (2.41) можно получить сколько угодно, выбирая различные векторы л, но не все они будут давать что-то новое. Достаточно написать такие уравнения для трех различных векторов. Все остальные уравнения будут следствиями этих трех. Выбор этой тройки векторов произволен и диктуется соображениями удобства.

Уравнение (2.35) можно проектировать и на меняющееся направление. Один из полезных способов следующий.

Пусть х — единичный касательный вектор к траектории движущейся частицы, а п — вектор нормали (см. п. 1.2.4). Очевидно, что р х = р. Умножим уравнение (2.35) скалярно на вектор х. Получим

Левую часть этого уравнения преобразуем с помощью тождества (2.41):

Умножим уравнение (2.35) на единичный вектор нормали к траектории п:

Левую часть этого уравнения преобразуем по формуле (2.40):

Первое слагаемое в правой части (2.48) равно нулю, так как векторы р и п ортогональны и их скалярное произведение все время равно нулю. Если траектория частицы лежит в плоскости, можно

показать, что , где Я — радиус кривизны траектории.

Подставляя это выражение в равенство (2.48) и возвращаясь к уравнению (2.47), получим

Нормальная составляющая силы определяет кривизну траектории.

Задача 2.8. В условиях задачи 1.13 определить силу, действующую на автомобиль.

Решение. Скорость автомобиля много меньше скорости света, р = ту, формула (2.49) дает Я_п = ту 2 /Я = та_п. Если водитель не нажимает на тормоз, скорость постоянна и тангенциальная сила равна нулю, так что/ г = / Если масса автомобиля т = 1000 кг, получим /*= 4- ДОН. Откуда берется эта сила? Это сила сцепления колес с дорогой. Если сила сцепления окажется меньше, радиус кривизны будет больше, автомобиль не впишется в поворот и вылетит на обочину (при данных условиях это так и будет).

Замечание. Может возникнуть вопрос, уместно ли применять обсуждаемые уравнения движения к автомобилю, учитывая, что они формулировались для частицы, т. е. для точечного объекта. Хотя автомобиль ни в каком смысле не точечный объект, приведенное решение законно. Это станет ясным в дальнейшем, когда мы обсудим динамику твердого тела.

Определить скорость частицы, при движении с которой её динамическая масса превышает

Определить скорость частицы, при движении с которой её динамическая масса превышает массу покоя в 3 раза.

Задача №11.5.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Решение задачи:

Релятивистскую (она же динамическая, как это говорится в условии) массу \(m\), т.е. массу частицы, движущейся относительно наблюдателя с некоторой скоростью \(\upsilon\), можно определить по формуле:

Здесь \(m_0\) – масса покоя, \(\upsilon\) – скорость движения частицы относительно наблюдателя, \(c\) – скорость света в вакууме, равная 3·10 8 м/с.

По условию задачи динамическая масса \(m\) превышает массу покоя \(m_0\) в 3 раза, то есть \(m=3m_0\), поэтому равенство (1) примет вид:

Возведем в квадрат обе части полученного равенства:

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

Численный ответ задачи равен:

Ответ: 2,83·10 8 м/с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.