Как изменится емкость конденсатора если между обкладками ввести диэлектрик

Предположим, что на обкладки конденсатора с диэлектриком подано напряжение. Электрическое поле проникает в диэлектрик, что приводит к возникновению связанных зарядов на егo поверхности. Если поверхность пластинки покрыть очень тонким проводящим слоем, то, как показано в задаче 3128, на его поверхностях появятся заряды противоположных знаков. Электрическое поле в конденсаторе не изменится, как не изменится и его емкость. В этом случае образуются три последовательно соединенных конденсатора, емкости которых: $C_ <1>= \frac < \epsilon_<0>S>< x>, C_ <2>= \frac < \epsilon \epsilon_<0>S>>, C_ <3>= \frac < \epsilon_<0>S> — x>$. (рис.). Общую емкость $C$ находим по формуле:

Диэлектрики

В большинстве конденсаторов между пластинами проложен изолирующий материал (диэлектрик), например, бумага или пластмассовая пленка. Этим достигается сразу несколько целей. Во-первых, диэлектрики лучше противостоят электрическому пробою, чем воздух, и к конденсатору можно приложить более высокое напряжение без утечки заряда через зазор между обкладками. Во-вторых, при наличии прокладки из диэлектрика пластины можно расположить ближе друг к другу без опасения, что они могут соприкасаться. Наконец, экспериментально обнаружено, что при заполнении пространства между пластинами диэлектриком его емкость увеличивается в К раз, т.е.

где С₀ — емкость, отвечающая вакууму между обкладками, а С — емкость в случае, когда пространство между пластинами заполнено диэлектриком. Множитель К называют относительной диэлектрической проницаемостью; значения К для ряда диэлектриков приведены в табл. 25.1.
Обратите внимание на то, что для воздуха при давлении 1 атм К = 1,0006, и поэтому емкость конденсатора с воздушным зазором очень мало отличается от емкости этого конденсатора в вакууме.

Для плоского конденсатора:

С = Кε₀ A/d — [плоский конденсатор] (25.8),

когда пространство между пластинами целиком заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью К. Величина Кε₀ так часто встречается в формулах, что нередко вводят величину

которую называют абсолютной диэлектрической проницаемостью. Тогда емкость плоского конденсатора принимает вид

Напомним, что ε₀ — это электрическая постоянная. Плотность энергии, запасенной электрическим полем Е

Влияние диэлектрика на емкость впервые всесторонне исследовал Фарадей. Он обнаружил, что, когда пространство между пластинами конденсатора заполнено диэлектриком, на пластинах при том же напряжении накапливается несколько больший заряд, нежели когда между пластинами воздух. Иначе говоря, если заряд на каждой пластине конденсатора с воздушным промежутком равен Q₀, то после введения диэлектрика и подключения конденсатора к батарее с прежним напряжением V₀ заряд каждой из пластин увеличится до

Q = KQ₀ [при постоянном напряжении] .

Это соответствует формуле (25.7), поскольку после введения диэлектрика емкость равна

где С₀ = Q₀/V₀ — емкость в отсутствие диэлектрика.

Рассмотрим теперь несколько иной случай (выше мы, вводя диэлектрик, поддерживали напряжение постоянным). Пусть пластины конденсатора, подключенного к батарее с напряжением V₀, приобретают заряд

Прежде чем ввести диэлектрик, отключим конденсатор от батареи. После введения диэлектрика (который заполняет все пространство между пластинами) заряд Q₀ на каждой из пластин не изменится. В этом случае мы обнаружим, что разность потенциалов между пластинами уменьшится в К раз:

Емкость же вновь будет равна

Оба этих результата согласуются с выражением (25.7).

Электрическое поле внутри диэлектрика также изменяется. При отсутствии диэлектрика между пластинами напряженность электрического поля между обкладками плоского конденсатора определяется формулой (24.3):

где V₀ — разность потенциалов между пластинами, a d — расстояние между ними.
Если конденсатор изолирован, так что заряд на пластинах после введения диэлектрика не изменяется, то разность потенциалов упадет до значения V = V₀/K. Напряженность электрического поля в диэлектрике теперь будет равна

E = V/d = V₀/Kd или Е = E₀/К [в диэлектрике]. (25.10)

Таким образом, напряженность электрического поля внутри диэлектрика также ослабляется в К раз. Электрическое поле внутри диэлектрика (изолятора) ослабляется, но, не до нуля, как в случае проводника.

Происходящее в диэлектрике можно объяснить с молекулярной точки зрения. Рассмотрим конденсатор, обкладки которого разделены воздушным «промежутком. На одной обкладке имеется заряд +Q, на другой заряд -Q (рис. 25.7, а).

Конденсатор изолирован (не подключен к батарее). Разность потенциалов между пластинами V₀ определяется выражением (25.1): Q = C₀V₀. (Индекс 0 соответствует воздуху между пластинами.) Введем теперь между пластинами диэлектрик (рис. 25.7, b). Молекулы диэлектрика могут быть полярными — иначе говоря, они могут обладать постоянным дипольным моментом, будучи нейтральными. В электрическом поле возникнет вращательный момент, который будет стремиться развернуть диполи параллельно полю (рис. 25.7, b); тепловое движение препятствует идеальной ориентации всех молекул, однако, чем сильнее поле, тем выше будет степень выстроенности молекул. Даже если молекулы не полярны, в электрическом поле между обкладками у них произойдет разделение заряда, и молекулы приобретут индуцированный (наведенный) дипольный момент: электроны, не отрываясь от молекулы, сместятся в сторону положительной обкладки. Поэтому картина всегда будет такой, как показано на рис. 25.7, b. В конечном итоге все выглядит так, как если бы на обращенной к положительной обкладке внешней стороне диэлектрика имелся результирующий отрицательный заряд, а на противоположной — положительный (рис. 25.7, c). Из-за появления на диэлектрике этого индуцированного заряда часть электрических силовых линий не пройдет сквозь диэлектрик, а будет заканчиваться (или начинаться) на зарядах, наведенных на его поверхности. Соответственно напряженность электрического поля внутри диэлектрика окажется меньше, чем в воздухе.

Можно представить себе эту картину и по-иному (рис. 25.7, d). Напряженность электрического поля внутри диэлектрика представляет собой векторную сумму напряженности поля Е₀, создаваемого «свободными» зарядами на обкладках, и напряженности поля Е_инд, создаваемого зарядами, индуцированными в диэлектрике; поскольку эти поля направлены в противоположные стороны, результирующая напряженность электрического поля внутри диэлектрика Е₀ — Е_инд будет меньше Е₀. Точное соотношение дается формулой (25.10):

Из соображений симметрии ясно, что, если размеры пластин велики по сравнению с расстоянием между ними, заряд, индуцированный на поверхности диэлектрика, не зависит от того, заполняет ли диэлектрик все пространство между пластинами или нет, если только его поверхности параллельны обкладкам. Формула (25.10) справедлива и в этом случае, хотя равенство V = V₀/K уже не верно (почему?). Электрическое поле между двумя параллельными пластинами связано с поверхностной плотностью заряда σ выражением

Таким образом, где σ = Q/A — поверхностная плотность заряда на обкладке, а Q — полный заряд проводника, называемый часто свободным зарядом (поскольку в проводнике заряды могут свободно перемещаться). Аналогично мы определим поверхностную плотность индуцированного заряда σ_инд

где E_инд — напряженность электрического поля, создаваемого индуцированным зарядом Q_инд = σ_индA на поверхности диэлектрика (рис. 25.7, г); Q_инд называют обычно связанным зарядом (так как в диэлектрике (изоляторе) заряды не могут свободно перемещаться). Поскольку, как показано выше, Е_инд = Е₀(1 — 1/К), получаем

Так как К больше 1, индуцированный на диэлектрике заряд всегда меньше заряда на обкладках конденсатора.

Электроёмкость. Конденсаторы. Энергия заряженного конденсатора.

Предположите, при каком условии можно накопить на проводниках большой электрический заряд.

При электризации двух проводников между ними появляется электрическое поле и возникает разность потенциалов (напряжение). С увеличением заряда проводников электрическое поле между ними усиливается.

В сильном электрическом поле возможен так называемый пробой диэлектрика: между проводниками проскакивает искра, и они разряжаются. Чем меньше увеличивается напряжение и соответственно напряжённость поля между проводниками с увеличением их зарядов, тем больший заряд можно на них накопить.

Физическая величина, характеризующая способность проводников накапливать электрический заряд, называется электроёмкостью.

Напряжение U между двумя проводниками пропорционально электрическим зарядам, которые находятся на проводниках (на одном +q, а на другом -q). Действительно, если заряды удвоить, то напряжённость электрического поля станет в 2 раза больше, соответственно в 2 раза увеличится и работа, совершаемая полем при перемещении заряда из одной точки поля в другую, т. е. в 2 раза увеличится напряжение. Поэтому отношение заряда q одного из проводников к разности потенциалов между проводниками не зависит от заряда. Оно определяется геометрическими размерами проводников, их формой и взаимным расположением, а также электрическими свойствами окружающей среды.

Это позволяет ввести понятие электроёмкости двух проводников.

Электроёмкостью двух проводников называют отношение заряда одного из проводников к разности потенциалов между ними:

Электроёмкость уединённого проводника равна отношению заряда проводника к его потенциалу, если все другие проводники бесконечно удалены и потенциал бесконечно удалённой точки равен нулю.

Чем больше электроёмкость, тем больший заряд скапливается на проводниках при одном и том же напряжении. Обратим внимание, что сама электроёмкость не зависит ни от сообщённых проводникам зарядов, ни от возникающего между ними напряжения.

Единицей электроёмкости в СИ является фарад.

1 фарад — это электроёмкость двух проводников в том случае, если при сообщении им зарядов +1 Кл и -1 Кл между ними возникает разность потенциалов 1 В: 1 Ф = 1 Кл/В.

Из-за того что заряд в 1 Кл очень велик, ёмкость 1 Ф оказывается очень большой. Поэтому на практике часто используют доли этой единицы: микрофарад (мкФ) — 10 -6 Ф и пикофарад (пФ) — 10 -1 2 Ф.

Конденсатор.

Устройства для накопления электрического заряда называются конденсаторами.

Слово «конденсатор» в переводе на русский язык означает «сгуститель». В данном случае — «сгуститель электрического поля».

Конденсатор представляет собой два проводника, разделенные слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников.

Проводники конденсатора называются обкладками.

Простейший плоский конденсатор состоит из двух одинаковых параллельных пластин, находящихся на малом расстоянии друг от друга.

Если заряды пластин одинаковы по модулю и противоположны по знаку, то силовые линии электрического поля начинаются на положительно заряженной обкладке конденсатора и оканчиваются на отрицательно заряженной. Поэтому почти всё электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора и однородно.

Для зарядки конденсатора нужно присоединить его обкладки к полюсам источника напряжения, например к полюсам батареи аккумуляторов. Можно также первую обкладку соединить с полюсом батареи, у которой другой полюс заземлён, а вторую обкладку конденсатора заземлить. Тогда на заземлённой обкладке останется заряд противоположный по знаку и равный по модулю заряду незаземлённой обкладки. Такой же по модулю заряд уйдёт в землю.

Заземление проводников — это соединение их с землёй (очень большим проводником) с помощью металлических листов в земле, водопроводных труб и т. д.

Под зарядом конденсатора понимают абсолютное значение заряда одной из обкладок.

Электроёмкость конденсатора определяется формулой (14.22).

Электрические поля окружающих тел почти не проникают внутрь конденсатора и не влияют на разность потенциалов между его обкладками. Поэтому электроёмкость конденсатора практически не зависит от наличия вблизи него каких-либо других тел.

Электроёмкость плоского конденсатора. Геометрические характеристики плоского конденсатора полностью определяются площадью S его пластин и расстоянием d между ними. От этих величин и должна зависеть ёмкость плоского конденсатора.

Чем больше площадь пластин, тем больший заряд можно на них накопить: q

S. Напряжение же между пластинами согласно формуле (14.21) пропорционально расстоянию между ними. Поэтому ёмкость

Кроме того, ёмкость конденсатора зависит от свойств диэлектрика между пластинами. Так как диэлектрик ослабляет поле, то электроёмкость при наличии диэлектрика увеличивается

где ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Последовательное и параллельное соединения конденсаторов. На практике конденсаторы часто соединяют различными способами. На рисунке 14.40 представлено последовательное соединение трёх конденсаторов. Если точки 1 и 2 подключить к источнику напряжения, то на левую пластину конденсатора С1 перейдёт заряд +q, на правую пластину конденсатора С3 – заряд –q. Вследствие электростатической индукции правая пластина конденсатора С1 будет иметь заряд –q, а так как пластины конденсаторов С1 и С2 соединены и до подключения напряжения были электронейтральны, то по закону сохранения заряда на левой пластине конденсатора С2 появится заряд +q и т. д. На всех пластинах конденсаторов при таком соединении будет одинаковый по модулю заряд:

Определить эквивалентную электроёмкость — это значит определить электроёмкость такого конденсатора, который при той же разности потенциалов будет накапливать тот же заряд q, что и система конденсаторов.

Разность потенциалов φ₁ – φ₂ складывается из суммы разностей потенциалов между пластинами каждого из конденсаторов:

Воспользовавшись формулой (14.23), запишем:

На рисунке 14.41 представлена схема параллельно соединённых конденсаторов. Разность потенциалов между пластинами всех конденсаторов одинакова и равна:

На эквивалентном конденсаторе ёмкостью С_экв заряд на пластинах при той же разности потенциалов

Для электроёмкости, согласно формуле (14.23) запишем: C_эквU = С₁U + C₂U + C₃U, следовательно, С_экв = С₁ + С₂ + С₃, и в общем случае

Различные типы конденсаторов. В зависимости от назначения конденсаторы имеют различное устройство. Обычный технический бумажный конденсатор состоит из двух полосок алюминиевой фольги, изолированных друг от друга и от металлического корпуса бумажными лентами, пропитанными парафином. Полоски и ленты туго свёрнуты в пакет небольшого размера.

В радиотехнике широко применяют конденсаторы переменной электроёмкости (рис. 14.42). Такой конденсатор состоит из двух систем металлических пластин, которые при вращении рукоятки могут входить одна в другую. При этом меняются площади перекрывающихся частей пластин и, следовательно, их электроёмкость. Диэлектриком в таких конденсаторах служит воздух. Сейчас во многих устройствах электроёмкость конденсаторов регулируется электронными устройствами.

Значительного увеличения электроёмкости за счёт уменьшения расстояния между обкладками достигают в так называемых электролитических конденсаторах (рис. 14.43). Диэлектриком в них служит очень тонкая плёнка оксидов, покрывающих одну из обкладок (полосу фольги). Другой обкладкой служит бумага, пропитанная раствором специального вещества (электролита).

Энергия заряженного конденсатора.

Для того чтобы зарядить конденсатор, нужно совершить работу по разделению положительных и отрицательных зарядов. Согласно закону сохранения энергии эта работа не пропадает, а идёт на увеличение энергии конденсатора. В том, что заряженный конденсатор обладает энергией, можно убедиться, если разрядить его через цепь, содержащую лампу накаливания, рассчитанную на напряжение в несколько вольт (рис. 14.44). При разрядке конденсатора лампа вспыхивает. Энергия конденсатора превращается в тепло и энергию излучения.

Выведем формулу для энергии плоского конденсатора.

Напряжённость поля, созданного зарядом одной из пластин, равна Е/2, где Е — напряжённость поля в конденсаторе. В однородном поле одной пластины находится заряд q, распределённый по поверхности другой пластины (рис. 14.45). Согласно формуле (14.14) потенциальная энергия заряда в однородном поле равна:

где q — заряд конденсатора, a d — расстояние между пластинами.

Так как Ed = U, где U — разность потенциалов между обкладками конденсатора, то его энергия равна:

Если заряд на пластинах остаётся постоянным, при сближении пластин поле совершает положительную работу:

При этом энергия электрического поля уменьшается.

Заменив в формуле (14.25) разность потенциалов или заряд с помощью выражения (14.22) для электроёмкости конденсатора, получим

Можно доказать, что эти формулы справедливы для любого конденсатора, а не только для плоского.

Энергия электрического поля. Согласно теории близкодействия вся энергия взаимодействия заряженных тел сконцентрирована в электрическом поле этих тел. Значит, энергия может быть выражена через основную характеристику поля — напряжённость.

Так как напряжённость электрического поля прямо пропорциональна разности потенциалов (U = Ed), то для энергии можно записать формулу

Энергия конденсатора прямо пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля внутри его: W_п

Применение конденсаторов. Зависимость электроёмкости конденсатора от расстояния между его пластинами используется при создании одного из типов клавиатур компьютера. На тыльной стороне каждой клавиши располагается одна пластина конденсатора, а на плате, расположенной под клавишами, — другая. Нажатие клавиши изменяет ёмкость конденсатора. Электронная схема, подключённая к этому конденсатору, преобразует сигнал в соответствующий код, передаваемый в компьютер.

Энергия конденсатора обычно не очень велика — не более сотен джоулей. К тому же она не сохраняется долго из-за неизбежной утечки заряда. Поэтому заряженные конденсаторы не могут заменить, например, аккумуляторы в качестве источников электрической энергии. Но это совсем не означает, что конденсаторы как накопители энергии не получили практического применения. Конденсаторы могут накапливать энергию более или менее длительное время, а при разрядке через цепь с малым сопротивлением они отдают энергию почти мгновенно. Именно это свойство широко используют на практике.

Лампа-вспышка, применяемая в фотографии, питается электрическим током разряда конденсатора, заряжаемого предварительно специальной батареей. Возбуждение квантовых источников света — лазеров осуществляется с помощью газоразрядной трубки, вспышка которой происходит при разрядке батареи конденсаторов большой электроёмкости. Однако основное применение конденсаторы находят в радиотехнике.

Домашнее задание:
I. Учить §§ 97 – 98.
II. Ответить на вопросы:
1. Что называют электроёмкостью двух проводников?
2. Почему понятие электроёмкости неприменимо к диэлектрикам?
3. От чего зависит электроёмкость?
4. Как изменяется ёмкость конденсатора при наличии диэлектрика между его обкладками?
5. Какие существуют типы конденсаторов?
6. Какую роль выполняют конденсаторы в технике?

7.Чему равна энергия заряженного конденсатора?
8. Перечислите основные области применения конденсаторов.
III. Выполнить задание А1 – А2 на стр. 326
А1. Как изменится энергия электрического поля конденсатора, если заряд на его обкладках уменьшить в 2 раза?
1) не изменится; 3) уменьшится в 4 раза
2) уменьшится в 2 раза; 4) увеличится в 2 раза

А2. Конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения. Как изменится энергия электрического поля внутри конденсатора, если увеличить в 2 раза расстояние между обкладками конденсатора?
1) не изменится; 3) уменьшится в 2 раза
2) увеличится в 2 раза; 4) правильный ответ не приведён

Электрическая емкость (страница 1)

1 Во сколько раз изменится емкость проводящего шара радиуса R, если он сначала помещен в керосин (диэлектрическая проницаемость ε₁ =2), а затем в глицерин (диэлектрическая проницаемость ε₂ = 56,2)?
Решение:
Емкости проводящего шара в керосине и в глицерине

Их отношение

2 Плоский конденсатор имеет емкость С=5 пФ. Какой заряд находится на каждой из его пластин, если разность потенциалов между ними V =1000 В?

Решение:
Заряд на пластине, заряженной положительно, q=CV= 5нКл.

3 Поверхностная плотность заряда на пластинах плоского вакуумного конденсатора σ = 0,3 мкКл/м2. Площадь пластины 5= 100 см 2 , емкость конденсатора С= 10 пФ. Какую скорость приобретает электрон, пройдя расстояние между пластинами конденсатора?

Решение:

4 Плоский воздушный конденсатор состоит из трех пластин, соединенных, как показано на рис. 77. Площадь каждой пластины s =100 см 2 , расстояние между ними d=0,5 см. Найти емкость конденсатора. Как изменится емкость конденсатора при погружении его в глицерин (диэлектрическая проницаемость ε = 56,2)?

Решение:
Конденсатор из трех пластин можно рассматривать как два плоских воздушных конденсатора с емкостью ε₀ S/d каждый, соединенных параллельно (рис. 77). Поэтому общая емкость (без диэлектрика)

При погружении конденсатора в глицерин его емкость

5 Конденсатор состоит из n латунных листов, проложенных стеклянными прокладками толщины d=2 мм. Площади латунного листа и стеклянной прокладки равны S =200 см 2 , диэлектрическая проницаемость стекла ε = 7. Найти емкость конденсатора, если n = 21 и выводы конденсатора присоединены к крайним листам.

Решение:

6 Маленький шарик, имеющий заряд q =10нКл, подвешен на нити в пространстве плоского воздушного конденсатора, круглые пластины которого расположены горизонтально. Радиус пластины конденсатора R =10см. Когда пластинам конденсатора сообщили заряд Q = 1 мкКл, сила натяжения нити увеличилась вдвое. Найти массу шарика.

Решение:

7 Между вертикальными пластинами плоского воздушного конденсатора подвешен на нити маленький шарик, несущий заряд q =10 нКл. Масса шарика m = 6 г, площадь пластины конденсатора S = 0,1 м 2 . Какой заряд Q надо сообщить пластинам конденсатора, чтобы нить отклонилась от вертикали на угол α = 45°?

Решение:
Напряженность электрического поля внутри плоского конденсатора связана с зарядом Q на его пластинах соотношением

На шарик внутри конденсатора действуют сила тяжести mg, сила натяжения нити Т и сила F=qE со стороны электрического поля (рис. 335). При равновесии шарика в пространстве конденсатора (см. задачу 591) qF=mg tg φ , или

8 Какой заряд пройдет по проводам, соединяющим пластины плоского воздушного конденсатора и источник тока с напряжением V =6,3 В, при погружении конденсатора в керосин (диэлектрическая проницаемость ε = 2)? Площадь пластины конденсатора S =180 см 2 , расстояние между пластинами d=2 мм.

Решение:
Если q₁ и q₂ — заряды на пластинах до и после погружения конденсатора в керосин, то

9 Плоский воздушный конденсатор зарядили до разности потенциалов V₀ = 200 В. Затем конденсатор отключили от источника тока. Какой станет разность потенциалов между пластинами, если расстояние между ними увеличить от d ₀ = 0,2 мм до d =0,7 мм, а пространство между пластинами заполнить слюдой (диэлектрическая проницаемость ε = 7)?

Решение:
Заряд на пластинах не изменяется, поэтому

10 Пластины плоского воздушного конденсатора присоединены к источнику тока с напряжением V=600 В. Площадь квадратной пластины конденсатора So = 100 см 2 , расстояние между пластинами d= 0,1 см. Какой ток будет проходить по проводам при параллельном перемещении одной пластины вдоль другой со скоростью ν = 6 см/с (рис. 78)?

Решение:
При перемещении пластины емкость конденсатора в данный момент времени определяется той частью площади пластин, по которой они перекрывают друг друга. В моменты времени t₁ и t₂ площади

где l =10 см-длина стороны пластины. В эти моменты времени конденсатор имеет емкости

а заряды на его пластинах

11 Найти заряд, который нужно сообщить двум параллельно соединенным конденсаторам с емкостями C ₁ = 2 мкФ и С ₂ =1 мкФ, чтобы зарядить их до разности потенциалов V =20кВ.

Решение:
Общий заряд параллельно соединенных конденсаторов

12 Два одинаковых плоских конденсатора соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов V ₀ = 6 В. Найти разность потенциалов V между пластинами конденсаторов, если после отключения конденсаторов от источника тока у одного конденсатора уменьшили расстояние между пластинами вдвое.

Решение:

13 Два конденсатора с емкостями С₁ = 1 мкФ и С₂ = 2мкФ зарядили до разностей потенциалов V ₁ =20B и V ₂ = 50 В. Найти разность потенциалов V после соединения — конденсаторов одноименными полосами.

Решение:

14 Конденсатор емкости C₁ = 20 мкФ, заряженный до разности потенциалов V ₁ = 100B, соединили параллельно с заряженным до разности потенциалов V ₁ =40 В конденсатором, емкость которого С ₂ неизвестна (соединили одноименно заряженные обкладки конденсаторов). Найти емкость С ₂ второго конденсатора, если разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соединения оказалась равной V =80 В.

Решение:

15 Конденсатор емкости С₁=4мкФ, заряженный до разности потенциалов V ₁ = 10B, соединен параллельно с заряженным до разности потенциалов V ₂ = 20 В конденсатором емкости С ₂ = 6 мкФ (соединили разноименно заряженные обкладки конденсаторов). Какой заряд окажется на пластинах первого конденсатора после соединения?

Решение:
Заряды конденсаторов до их соединения q ₁ = C ₁ V ₁ и q ₂ = C ₂ V ₂ . После соединения разноименно заряженных обкладок конденсаторов общий заряд q = |q ₂ -q ₁ | = (C ₁ + C ₂ )V и заряд первого конденсатора где V-разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соединения; отсюда

16 Конденсатор, заряженный до разности потенциалов V₁ = 20 В, соединили параллельно с заряженным до разности потенциалов V ₂ = 4 В конденсатором емкости С ₂ = 33 мкФ (соединили разноименно заряженные обкладки конденсаторов). Найти емкость С 1 первого конденсатора, если разность потенциалов между обкладками конденсаторов после их соединения V =2 В.

Решение:
После соединения разноименных обкладок общий заряд q = CV равен разности зарядов q ₁ = C ₁ V ₁ и q ₂ = C ₂ V ₂ отдельных конденсаторов, где С=С ₁ + С ₂ — общая емкость после соединения. Таким образом,

17 Конденсатор емкости С ₁ = 1 мкФ, заряженный до разности потенциалов V ₁ = 100B, соединили с конденсатором емкости С ₂ = 2 мкФ, разность потенциалов V ₂ на обкладках которого неизвестна (соединили разноименно заряженные обкладки конденсаторов). Найти разность потенциалов V ₂ , если разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соединения оказалась равной V =200 В.

Решение:
До соединения заряды первого и второго конденсаторов

После соединения разноименных обкладок общий заряд

Двойной знак мы здесь поставили потому, что заранее не известно, какой из зарядов, q ₂ или q ₁ больше; отсюда

Решение со знаком минус соответствует случаю, когда знаки зарядов на пластинах первого конденсатора после соединения пластин не меняются, а со знаком плюс-случаю, когда эти знаки становятся обратными. Так как в нашем случае , а величина |V ₂ | должна быть всегда положительной, то существует лишь одно решение-со знаком плюс. В результате |V ₂ | = 350 В.

18 Два проводящих шара с радиусами R ₁ и R ₂ расположены так, что расстояние между ними во много раз больше радиуса большего шара. На шар радиуса R ₁ помещен заряд q. Каковы будут заряды на шарах после соединения их проводником, если второй шар не был заряжен? Емкостью проводника, соединяющего шары, пренебречь.

Решение:

19 Два проводящих шара с радиусами R ₁ = 8см и R ₂ = 20 см, находящихся на большом расстоянии друг от друга, имели электрические заряды q ₁ =40 нКл и q ₂ =— 20 нКл. Как перераспределятся заряды, если шары соединить проводником? Емкостью проводника, соединяющего шары, пренебречь.

Решение:
Соединение шаров проводником эквивалентно параллельному соединению конденсаторов. После соединения

20 Два проводящих шара с радиусами R ₁ = 10см и R ₂ = 5см, заряженных до потенциалов φ₁ =20B и φ₂ =10В, соединяются проводником. Найти поверхностные плотности зарядов на шарах σ₁ и σ₂ после их соединения. Расстояние между шарами велико по сравнению с их радиусами. Емкостью проводника, соединяющего шары, пренебречь.

Решение:
Заряды на шарах до и после соединения Общий потенциал шаров после соединения определим из условия сохранения заряда
Заряды на первом и втором шарах после соединения

Поверхностные плотности зарядов на шарах

21 Плоский воздушный конденсатор, заряженный до разности потенциалов V ₀ = 800 В, соединили параллельно с таким же по размерам незаряженным конденсатором, заполненным диэлектриком. Какова диэлектрическая проницаемость e диэлектрика, если после соединения разность потенциалов между пластинами конденсаторов оказалась равной V =100В?

Решение:

22 Найти емкость С трех плоских воздушных конденсаторов, соединенных параллельно. Размеры конденсаторов одинаковы: площадь пластины S =314 см 2 , расстояние между пластинами d= 1 мм. Как изменится емкость трех конденсаторов, если пространство между пластинами одного конденсатора заполнить слюдой (диэлектрическая проницаемость ε₁ = 7), а другого — парафином (диэлектрическая проницаемость ε₂ = 2)?

Решение:
Емкость трех конденсаторов без диэлектрика При заполнении двух конденсаторов диэлектриками емкость трех конденсаторов

23 В заряженном плоском конденсаторе, отсоединенном от источника тока, напряженность электрического поля равна Е ₀ . Половину пространства между пластинами конденсатора заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε (толщина диэлектрика равна расстоянию между пластинами). Найти напряженность электрического поля Е в пространстве между пластинами, свободном от диэлектрика.

Решение:
Если d-расстояние между пластинами и С ₀ — емкость конденсатора без диэлектрика, то разность потенциалов между пластинами конденсатора (без диэлектрика) и заряд на пластинах Конденсатор, половина которого заполнена диэлектриком, можно рассматривать как два соединенных параллельно конденсатора (рис. 341), причем один не содержит диэлектрика и имеет емкость а в другом все пространство между пластинами заполнено диэлектриком, и поэтому его емкость Полная емкость конденсатора, половина которого заполнена диэлектриком, При отключенном источнике тока заряд на пластинах сохраняется, поэтому разность потенциалов между пластинами V=q/C, и напряженность электрического поля в пространстве между пластинами, свободном от диэлектрика,

24 Два последовательно соединенных конденсатора с емкостями C ₁ = 1 мкФ и С ₂ = 3 мкФ подключены к источнику тока с напряжением V =220 В. Найти напряжение на каждом конденсаторе.

Решение:
Если V ₁ и V ₂ — напряжения на первом и втором конденсаторах, то V= V ₁ + V ₂ , а заряды на них одинаковы и равны
q=C ₁ V ₁ =C ₂ V ₂ ; отсюда

При последовательном соединении конденсаторов на конденсаторе меньшей емкости напряжение больше, чем на конденсаторе большей емкости.

25 Два последовательно соединенных конденсатора с емкостями C ₁ = 1 мкФ и С ₂ = 2 мкФ подключены к источнику тока с напряжением V =900 В. Возможна ли работа такой схемы, если напряжение пробоя конденсаторов V _пр = 500 В?

Решение:
Напряжения на первом и втором конденсаторах (см. задачу 24). Работать при указанном в условии задачи напряжении пробоя конденсаторов нельзя, ибо произойдет пробой первого, а затем и второго конденсаторов.

26 Два последовательно соединенных конденсатора подключены к источнику тока с напряжением V= 200 В (рис. 79). Один конденсатор имеет постоянную емкость C ₁ = 0,5 мкФ, а другой — переменную емкость С ₂ (от Cmin = 0,05 мкФ до С m ах = 0,5 мкФ). В каких пределах изменяется напряжение на переменном конденсаторе при изменении его емкости от минимальной до максимальной?

Решение:
При изменении емкости переменного конденсатора С ₂ от Cmin до С max , напряжение на нем V изменяется в пределах (см. задачу 24)

27 При последовательном соединении трех различных конденсаторов емкость цепи С ₀ = 1 мкФ, а при параллельном соединении емкость цепи С=11мкФ. Найти емкости конденсаторов С ₂ и С ₃ , если емкость конденсатора С ₁ = 2 мкФ.

Решение:

28 При последовательном соединении трех различных конденсаторов емкость цепи С ₀ = 0,75 мкФ, а при параллельном соединении емкость цепи С = 7 мкФ. Найти емкости конденсаторов С ₂ и С ₃ и напряжения на них V ₂ и V ₃ (при последовательном соединении), если емкость конденсатора C ₁ = 3 мкФ, а напряжение на нем V ₁ = 20B.

Решение:
При последовательном соединении конденсаторов имеем

при параллельном

Из этих уравнений находим

Согласно теореме Виета С2 и С3 должны быть корнями квадратного уравнения

Решая его, найдем

Заряды на всех конденсаторах при последовательном соединении равны между собой:

29 Три последовательно соединенных конденсатора с емкостями С ₁ = 100пФ, С ₂ = 200 пФ, С ₃ = 500 пФ подключены к источнику тока, который сообщил им заряд q =10нКл. Найти напряжения на конденсаторах V ₁ , V ₂ и V ₃ , напряжение источника тока V и емкость всех конденсаторов С ₀ .

Решение:
При последовательном соединении конденсаторов заряд каждого конденсатора равен q, поэтому

Напряжение источника тока равно полному напряжению на всех конденсаторах:

Так как при последовательном соединении
то

30 Три последовательно соединенных конденсатора с емкостями С ₁ =0,1мкФ, С ₂ = 0,25 мкФ и С ₃ = 0,5 мкФ подключены к источнику тока с напряжением V =32 В. Найти напряжения V ₁ , V ₂ и V ₃ на конденсаторах.

Решение:

31 Два одинаковых воздушных конденсатора емкости С=100пФ соединены последовательно и подключены к источнику тока с напряжением V = 10 В. Как изменится заряд на конденсаторах, если один из них погрузить в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε = 2?

Решение:
При последовательном соединении конденсаторов заряды на конденсаторах равны. До погружения одного из них в диэлектрик заряд на каждом конденсаторе

после погружения одного из них в диэлектрик заряды конденсаторов будут

Учитывая, что

Изменение заряда на конденсаторах

32 Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми емкостями соединены последовательно и подключены к источнику тока. Пространство между пластинами одного из конденсаторов заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 9. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля Е в этом конденсаторе?

Решение:
Первоначальная напряженность электрического поля в каждом конденсаторе

где d-расстояние между пластинами конденсатора. После заполнения одного конденсатора диэлектриком напряженность электрического поля в нем

Отношение напряженностей

33 Решить предыдущую задачу для случая, когда конденсаторы после зарядки отключаются от источника тока.

Решение:
После отключения конденсатора от источника тока и заполнения его диэлектриком заряд на нем не изменяется:

Напряженность электрического поля в конденсаторе, заполненном диэлектриком,

Отношение напряженностей

34 Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми емкостями С=10пФ соединены последовательно. Насколько изменится емкость конденсаторов, если пространство между пластинами одного из них заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 2?

Решение:
Изменение емкости соединенных конденсаторов

35 В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием между ними d введена параллельно обкладкам проводящая пластинка, размеры которой равны размерам обкладок, а ее толщина намного меньше d. Найти емкость конденсатора с проводящей пластинкой, если пластинка расположена на расстоянии l от одной из обкладок конденсатора.

Решение:
После введения пластинки образовалось два последовательно включенных конденсатора с емкостями

(рис. 342). Их общую емкость определим из соотношения

где С-первоначальная емкость конденсатора. Таким образом, после введения пластинки при любом ее положении С ₀ = С.

36 В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием между ними d введена параллельно обкладкам проводящая пластинка, размеры которой равны размерам обкладок, а толщина d _п = d/3

Решение:
Введение проводящей пластинки между обкладками конденсатора приводит к образованию двух последовательно включенных конденсаторов с расстояниями между обкладками d ₁ и d ₂ и емкостями

(рис.343). Их общую емкость находим из соотношения

При -первоначальная емкость конденсатора.

37 Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциалов V ₀ = 50 В и отключен от источника тока. После этого в конденсатор параллельно обкладкам вносится проводящая пластинка толщины d _п = 1 мм. Расстояние между обкладками d=5 мм, площади обкладок и пластинки одинаковы. Найти разность потенциалов V между обкладками конденсатора с проводящей пластинкой.

Решение:
Емкости конденсатора до и после внесения проводящей пластинки толщины d _п (см. задачу 36)
Заряд конденсатора, отключенного от источника тока, не изменяется:

отсюда разность потенциалов между обкладками конденсатора после внесения проводящей пластинки

38 В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием между ними d вводится параллельно обкладкам диэлектрическая пластинка толщины d ₁ <d/ Диэлектрическая проницаемость пластинки равна ε , площади обкладок и пластинки одинаковы и равны S. Найти емкость конденсатора с диэлектрической пластинкой.

Решение:

Если в конденсатор ввести тонкую проводящую пластинку, параллельную его обкладкам, то на ее поверхности появятся равные заряды противоположного знака. При этом электрическое поле в конденсаторе не изменится и емкость конденсатора останется прежней (ср. с задачей 35). Емкость конденсатора с диэлектрической пластинкой можно найти, предположив, что на поверхностях этой пластинки нанесены тонкие проводящие слои. В этом случае образуются три последовательно соединенных конденсатора с емкостями

где d ₂ и d ₃ — расстояния между поверхностями диэлектрической пластинки и обкладками, причем d ₂ + d ₃ = d — d ₁ (рис. 344). Общая емкость конденсатора С определяется из формулы

отсюда

39 Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено тремя диэлектрическими пластинками равной толщины d=2 мм из стекла ( ε₁ =7), слюды ( ε₂ = 6) и парафина ( ε₃ = 2). Площади обкладок и пластинок одинаковы и равны S =200 см 2 . Найти емкость С такого конденсатора.

Решение:

40 В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием между ними d внесена параллельно обкладкам диэлектрическая пластинка с диэлектрической проницаемостью ε = 2, которая расположена так, как показано на рис. 80. Во сколько раз изменится емкость конденсатора при внесении в него пластинки?

Решение:
Представим конденсатор с диэлектрической пластинкой в виде двух параллельно включенных конденсаторов, первый из которых не содержит диэлектрика и имеет емкость

— первоначальная емкость конденсатора, а во втором площадь обкладки равна площади диэлектрической пластинки S/2 (рис. 345, а). Затем второй конденсатор представим в виде двух последовательно соединенных конденсаторов, один из которых не содержит диэлектрика и имеет емкость С₂ = С₀, а другой полностью заполнен диэлектриком и имеет емкость (рис. 345, б). Емкость этих двух конденсаторов

Емкость всех трех конденсаторов

Отношение емкостей

Здесь мы считаем, что размеры обкладок намного больше расстояния между ними, и поэтому пренебрегаем краевыми эффектами, т. е. отличием электрического поля на краях обкладок и диэлектрической пластинки от однородного. В противном случае емкость первоначального конденсатора не равна емкости трех конденсаторов, изображенных на рис. 345, б.

41 Найти общую емкость конденсаторов, включенных по схеме, изображенной на рис. 81. Емкости конденсаторов С₁ = 3 мкФ, С₂ = 5 мкФ, С₃ = 6 мкФ и С₄ = 5 мкФ.

Решение:

42 Найти общую емкость конденсаторов, включенных по схеме, изображенной на рис. 82. Емкость каждого конденсатора равна С₀.

Решение:
Схема включения, представленная на рис. 82, эквивалентна схеме, изображенной на рис. 346, а. Ввиду равенства емкостей всех конденсаторов разность потенциалов между точками а и b равна нулю, конденсатор С4 всегда не заряжен, и схема упрощается (рис. 346, б). Общая емкость конденсаторов

43 Найти разность потенциалов между точками а и b в схеме, изображенной на рис. 83. Емкости конденсаторов С ₁ =0,5мкФ и С₂=1мкФ, напряжения источников тока V₁ =2 В и V₂ = 3 В.

Решение:

44 Бумажный конденсатор емкости C₁ = 5 мкФ и воздушный конденсатор емкости С₂ = 30 пФ соединены последовательно и подключены к источнику тока с напряжением V =200 В. Затем воздушный конденсатор заливается керосином (диэлектрическая проницаемость ε = 2). Какой заряд q протечет при этом по цепи?

Решение:

45 Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику тока. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в одном из них, если другой заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 4?

Решение:
Вначале разность потенциалов между обкладками каждого конденсатора была V ₁ = V /2, где V-напряжение источника тока. После заполнения одного из них диэлектриком

где q-заряд на каждой обкладке, a
-разности потенциалов между обкладками до и после заполнения конденсатора диэлектриком. Так как напряженность электрического поля в конденсаторе пропорциональна разности потенциалов между его обкладками, то отношение напряженностей до и после заполнения

46 На точечный заряд, находящийся внутри плоского конденсатора, имеющего заряд q, действует сила F. На какую величину Δ F изменится эта сила, если конденсатор в течение времени t заряжать током I ?

Решение:

47 Конденсаторы, соединенные по схеме, изображенной на рис. 84, подключают в точках а и b к источнику тока с напряжением V =80 В, а затем отключают от него. Найти заряд, который протечет через точку а, если замкнуть ключ К. Емкости конденсаторов С₁ = С₂ = С₃ = С₀ и С₄ = 3С₀, где С₀=100мкФ.

Решение:
После подключения к источнику тока заряд каждого конденсатора в последовательной цепи amb равен q’ = С ‘ V, где С ‘ = С ₁ С ₃ /(С ₁ +С ₃ )-емкость цепи amb, а заряд каждого конденсатора в. последовательной цепи anb равен q» = C»V, где С» = С ₂ С ₄ /(С ₂ +С ₄ )-емкость цепи anb. Разность потенциалов между точками а и т равна V ‘ = q’/C ₁ = C₃ V/(C ₁ +C ₃ ); разность потенциалов между точками а я n равна V»=q»/C ₂ =C ₄ V/(C ₂ +C ₄ ). После отключения от источника тока схему можно рассматривать как две параллельные цепи из последовательно включенных конденсаторов (man из C ₁ и С₂ и mbn из С₃ и С₄), заряженных до разности потенциалов

При замыкании ключа К разность потенциалов между точками m и n становится равной нулю. Цепь man разряжается, и через точку а протекает заряд q = CV, где C=C ₁ C ₂ /(C ₁ +C ₂ )-емкость этой цепи. Таким образом,

48 Четыре конденсатора соединены по схеме, изображенной на рис. 85. Полюсы источника тока можно присоединить либо к точкам а и b , либо к точкам m и n . Емкости конденсаторов С₁ = 2 мкФ и С₂ = 5 мкФ. Найти емкости конденсаторов С_х и С_у, при которых заряды на обкладках всех конденсаторов по модулю будут равны между собой независимо от того, каким способом будет присоединен источник тока.

Решение:

49 Два одинаковых плоских воздушных конденсатора вставлены друг в друга так, что расстояние между любыми двумя соседними пластинами d=5 мм. Каждый конденсатор соединен с источником тока, напряжение которого V =100В, одна из пластин каждого конденсатора заземлена (рис. 86). Какова напряженность электрического поля Е между пластинами а и b?

Решение:
Относительно земли пластина а имеет потенциал а пластина b-потенциал Разность потенциалов между ними и напряженность электрического поля

50 Найти поверхностную плотность заряда на пластинах плоского конденсатора, если электрон, не имевший начальной скорости, пройдя путь от одной пластины к другой, приобретает скорость м/с. Расстояние между пластинами d=3 см.

Решение:

51 Конденсатору емкости С = 2 мкФ сообщен заряд q=1 мКл. Обкладки конденсатора соединили проводником. Найти количество теплоты Q, выделившееся в проводнике при разрядке конденсатора, и разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки.

Решение:
По закону сохранения энергии количество теплоты, выделившееся при разрядке конденсатора, равно электрической энергии.
запасенной в конденсаторе:

Разность потенциалов между обкладками конденсатора до разрядки V=q/C=500 В.

52 При разрядке батареи, состоящей из n = 20 параллельно включенных конденсаторов с одинаковыми емкостями С = 4 мкФ, выделилось количество теплоты Q=10 Дж. До какой разности потенциалов были заряжены конденсаторы?

Решение:
Энергия, запасенная в n конденсаторах,

отсюда разность потенциалов

53 Какое количество теплоты Q выделится при заземлении заряженного до потенциала φ = 3000 В шара радиуса R = 5 см?

Решение:
Емкость шара

Вся электрическая энергия заряженного шара перейдет в теплоту:

54 Какой заряд q сообщен шару, если он заряжен до потенциала φ =100 В, а запасенная им электрическая энергия W = 2,02 Дж?

Решение:
Электрическая энергия, запасенная шаром,

55 Найти количество теплоты Q, выделившееся при соединении верхних незаземленных обкладок конденсаторов с емкостями С₁ = 2 мкФ и С₂ = 0,5 мкФ (рис. 87). Разности потенциалов между верхними обкладками конденсаторов и землей V₁ =100 В и V₂ =-50В.

Решение:
До соединения конденсаторов их заряды

а их общая энергия

После соединения конденсаторов их полный заряд

где V-разность потенциалов между верхними обкладками и землей; отсюда

После соединения верхних обкладок конденсаторов их общая энергия

Выделившееся количество теплоты равно разности начальной и конечной энергий конденсаторов:

При V₁ = V₂ нет перехода зарядов, поэтому теплота не выделяется. Если потенциалы V₁ и V₂ имеют одинаковые знаки, то теплоты выделяется меньше, чем в случае разных знаков потенциалов.
56 Найти количество теплоты Q, выделившееся при соединении одноименно заряженных обкладок конденсаторов с емкостями С₁ = 2мкФ и С₂ = 0,5 мкФ. Разности потенциалов между обкладками конденсаторов V₁ = 100 В и V₂ = 50 В.

Решение:
Выделившееся количество теплоты равно разности энергий конденсаторов до и после соединения (см. задачу 55):