Доказать что треугольник это треугольник

Треугольник: определение и виды.

Треугольник − простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны.

Виды: прямоугольный (один из углов = 90°), тупоугольный (один из углов больше 90°), остроугольный (без прямых и тупых углов (?)); равносторонний (все стороны равны), равнобедренный (2 стороны равны), разносторонний (?).

Равные треугольники (определение). Признаки равенства треугольников.

Два треугольника равны, если элементы (т.е. стороны и углы) одного Δ соответственно равны элементам другого Δ.

Обратная: если два треугольника равны, то элементы одного Δ соответственно равны элементам другого Δ.

Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного Δ соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого Δ, то такие треугольники равны. (стр. 30)

Доказательство на стр. 30 в учебнике.

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного Δ соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого Δ, то такие треугольники равны.(стр. 38)

Доказательство на стр. 38 в учебнике.

Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного Δ соответственно равны трём сторонам другого Δ, то такие треугольники равны.

Доказательство на стр. 39 в учебнике.

Внешний угол треугольника: определение и свойства. (стр. 70)

В нешний угол Δ – угол, смежный с углом Δ при данной вершине.

Он равен сумме двух углов Δ, не смежных с ним.

Доказательство: на рисунке ∠4 – внешний угол, смежный с ∠3 данного треугольника. Т.к. ∠4+∠3=180°, а по теореме о сумме углов треугольника (∠1+∠2)+ ∠3=180°, то ∠4=∠1+∠2, что и требовалось доказать.

Медиана, биссектриса и высота треугольника: определение и свойства. (стр. 33)

Биссектриса – отрезок, делящий угол Δ на две равные части и соединяющий вершину Δ с точкой противоположной стороны.

Медиана – отрезок, соединяющий вершину Δ с серединой противоположной стороны.

Высота – перпендикуляр, проведённый из вершины Δ к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника (доказательство).(стр. 35)

Равнобедренный Δ – это Δ, в котором две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, третья сторона – основание.

В равнобедренном Δ углы при основании равны.

Доказательство: рассмотрим равнобедренный ΔАВС с основанием ВС и докажем, что ∠В=∠С. Пусть АD – биссектриса Δ АВС. ΔАВС и ΔАСD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС по условию, АD – общая сторона, ∠1=∠2 так как АD – биссектриса).В равных треугольников против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠В=∠С. Теорема доказана.

Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию (доказательство). (стр. 35)

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство: ΔАВС – равнобедренный. ВС – основание, АD – медиана. ΔСАD и ΔСВD равны по второму признаку (АС=ВС по условию, ∠САD=∠СВD, АD=ВD т.е. D – середина отрезка АВ). Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов: ∠ACD=∠BCD и ∠ADC=∠BDC. Т.к. углы ACD и BCD равны, то СD – биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла B− b, сторона напротив угла C− c. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁ обозначается так:

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁ (Рис.3). Пусть AB=A₁B₁, AС=A₁С₁ и ∠A=∠A₁. Докажем, что .

Так как ∠A=∠A₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершины A и A₁ совпадали, а стороны AB и AС наложились на лучи A₁B₁ и A₁C₁, соответственно.

Так как по условию теоремы AB=A₁B₁, AС=A₁С₁, то сторона AB совместится со стороной A₁B₁, а сторона AС − со стороной A₁С₁.Тогда совместятся B и B₁, C и С₁. Следовательно сторона BC совместится со стороной B₁C₁. То есть треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁ (Рис.4). Пусть AB=A₁B₁, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁. Докажем, что .

Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁С₁ так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A₁, сторона AB − со стороной A₁B₁ (по условию теоремы AB=A₁B₁), а вершины C и С₁ оказались по одну сторону от прямой A₁B₁.

Так как ∠A=∠A₁ и ∠B=∠B₁, то сторона AС наложится на луч A₁C₁ а сторона BС − на луч B₁С₁. Тогда вершина C окажется на луче A₁C₁ и на луче B₁C₁. Т.е. она окажется на пересечении этих лучей и, следовательно, вершина C совместится с общей точкой лучей A₁C₁ и B₁C₁, т.е. с вершиной C₁. Таким образом совместятся стороны AC и A₁C₁, BC и B₁C₁. То есть треугольники ABC и A₁B₁С₁ полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁. Пусть AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁С₁ так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A₁, вершина B совмещалась с вершиной B₁, а вершины С и С₁ находились по разные стороны от прямой A₁B₁.

Возможны три варианта: луч CC₁ проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC₁ совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC₁ проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Вариант 1 (Рис.6). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольники AСС₁ и BСС₁ равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и ∠3=∠4 и, следовательно:

.

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ ∠ACB=∠A₁C₁B₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольник BСС₁ равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольники AСС₁ и BСС₁ равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:

.

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .

Виды треугольников

Треугольник — геометрическая фигура, образующаяся в случае соединения трех отрезков с тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Вершинами треугольника называют три точки, которые соединяются отрезками, а отрезки называют сторонами.

На рисунке видно, что угол A является углом, образованным двумя сторонами (AB+AC), он лежит напротив стороны BC. Угол B — угол, который образован сторонами BA+BC, лежит напротив стороны AC. Угол C является углом, который образован сторонами CB+CA, противолежит стороне AB.

Внутренний угол (угол треугольника) — угол, вершина которого соответствует вершине треугольника, его стороны проходят через стороны треугольника. Например, угол ABC — внутренний, как и углы CAB и ACB.

Буква в середине обозначения угла (например B в угле ABC) — вершина.

Углы и стороны треугольника являются элементами треугольника.

Рассмотрим основные определения для темы «треугольник».

Периметр — сумма всех длин сторон треугольника. Обычно обозначается буквой «P».

Периметр вычисляется по следующей формуле:

Периметр равнобедренного треугольника:

Периметр равностороннего треугольника:

Попробуем вычислить периметр треугольников:

Треугольная форма часто встречается в быту. Например, часто ее используют в процессе строительства различных зданий, мостов и тд. В процессе строительства крыш используются стропила треугольной формы.

Как и у всех геометрических фигур, у треугольника есть понятие равенства.

Два треугольника могут быть названы равными, если возможно их скомбинировать в результате наложения друг на друга, то есть скомбинировать их стороны, вершины, углы.

Возьмем бумажный лист прямоугольной формы, разрежем на две части. У нас получаются прототипы равных треугольников. Можно наложить один на другого и убедиться, что они наложатся друг на друга идеально.

У равных треугольников FAC и F1A1C1 будут скомбинированы стороны, вершины и углы.

Важно запомнить, что в равных треугольниках:

1. Напротив равных сторон соответственно противолежат равные углы.
2. Напротив равных углов соответственно противолежат равные стороны.

То есть, в треугольниках FAC и F1A1C1 напротив сторон AC и A1C1 будут лежать абсолютно равные углы F и F1. Напротив углов C и C1 будут лежать стороны FA и F1A1.

Основные свойства

Основные свойства треугольника:

1. Больший угол всегда лежит напротив большей стороны.
2. Равные углы всегда лежат напротив равных сторон.
3. Совокупность углов в данной фигуре всегда будет равна 180 градусам.
4. В случае, если продлить сторону треугольника (например, сторону AC) и отметить на продленной стороне точку F, то будет образован внешний угол BCF к углу ACB.
5. Внешний угол будет равен совокупности двух внутренних углов, которые не являются смежными ему. То есть, угол BCD = 180 градусов отнять угол ACB; угол BCD = угол A + угол B.
6. Любая сторона фигуры будет меньше совокупности двух других сторон, а также больше разности этих сторон. Пример: AB + BC > AC.

Виды треугольников

По свойствам углов выделяют три вида треугольников:

1. Остроугольный. Все его углы являются острыми.
2. Прямоугольный. Только один угол является прямым (то есть, он равен 90 градусам).
3. Тупоугольный. Один угол является тупым.

Рассмотрим внешний вид данных треугольников:

По свойствам сторон выделяют:

1. Равнобедренный.
2. Равносторонний.
3. Прямоугольный.

Равнобедренный треугольник — такая фигура, две стороны которой равны. Равные части такой фигуры будут называться боковыми сторонами, а третья сторона будет носить название основания.

И остроугольный, и тупоугольный, и прямоугольный треугольники могут быть равнобедренными.

Посмотрите на рисунки равнобедренных треугольников:

Рассмотрим свойства равнобедренных треугольников:

1. Углы при основании будут всегда равны.
2. Высота, медиана, биссектриса, которые проводятся в равнобедренном треугольнике к основанию, будут совпадать.

Равносторонний треугольник — фигура, стороны и углы которой являются равными.

Как найти площадь данной фигуры?

Как найти высоту данной фигуры?

Прямоугольный треугольник — фигура, угол которой равен 90 градусам.

Рассмотрим свойства данной фигуры:

1. Совокупность двух острых углов будет равна 90 градусам.
2. Катет, который лежит напротив угла в 30 градусов, будет равен половине гипотенузы.
3. Соответственно, если катет = половина гипотенузы, то этот катет лежит напротив угла в 30 градусов.
4. Медиана, которая проведена из вершины угла прямого, будет равна половине гипотенузы.

Все основные формулы треугольника

Рассмотрим формулы, по которым можно вычислить площадь треугольника:

Формула площади по высоте и стороне.

Вместо стороны A могут быть и показатели других сторон.

S = p ( p — a ) ( p — b ) ( p — c )

В данной формуле полупериметр вычисляется: p = a + b + c 2

По двум сторонам, а также углу между этими сторонами — половина произведения двух сторон, умноженная на синус угла между этими сторонами.

S = 1 2 a × b × sin γ

По трем сторонам, а также радиусу описанной окружности:

По трем сторонам, а также радиусу вписанной окружности. Площадь = произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

Рассмотрим также подобия треугольников.

Подобные треугольники — такие фигуры, в которых соответствующие углы являются равными, а стороны сходственные являются пропорциональными.

Таким образом, треугольник ABC будет подобен MNK. Так угол альфа будет равен углу альфа1, угол бета будет равен углу бета1, угол гамма будет равен углу гамма1. Иначе ABMN будет равно BCNK будет равно ACMK будет равно k.

Коэффициент k = коэффициент подобия.

Рассмотрим признаки подобия треугольников:

1. Первый признак подобия треугольника. В случае, если два угла треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники называются подобными.
2. Второй признак подобия фигур. В случае, если три стороны данной фигуры пропорциональны трем сторонам другой фигуры (треугольника), то такие треугольники называют подобными.
3. Третий признак подобия треугольника. В случае, если две стороны треугольника будут пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, которые расположены между этими сторонами, являются равными, то такими треугольники называются подобными.

Вписанная окружность — такая окружность, которая касается треугольник со всех трех сторон.

Геометрия. Урок 3. Треугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение треугольника

• Виды треугольников

• Отрезки в треугольнике

• Площадь треугольника

• Равнобедренный треугольник

• Равносторонний треугольник

• Прямоугольный треугольник

• Примеры решений заданий из ОГЭ

Определение треугольника

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .

Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .

Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .

Виды треугольников

Треугольник остроугольный , если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный , если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .

Треугольник тупоугольный , если у него один из углов тупой.

Основные свойства треугольника:

• Против большей стороны лежит больший угол.
• Против равных сторон лежат равные углы.
• Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
• Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

• Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Свойства равноберенного треугольника:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .

Свойства прямоугольного треугольника:

• Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
• Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле: