6. Движение тела, брошенного вертикально
Свободно падающее тело может двигаться прямолинейно или по криволинейной траектории. Это зависит от начальных условий. Рассмотрим это подробнее.
Свободное падение без начальной скорости ( =0)(рис. 6.1).
Рисунок 6.1. Свободное падение без начальной скорости.
При выбранной системе координат движение тела описывается уравнениями:
Из последней формулы можно найти время падения тела с высоты h:
Подставляя найденное время в формулу для скорости, получим модуль скорости тела в момент падения:
Движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью (рис. 6.2)
Рисунок 6.2. Движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью
Движение тела описывается уравнениями:
Из уравнения скорости видно, что тело движется равнозамедленно вверх, достигает максимальной высоты, а затем движется равноускоренно вниз. Учитывая, что при y=hmax скорость и в момент достижениятелом первоначального положения у=0, можно найти:
— время подъема тела на максимальную высоту;
— максимальная высота подъема тела;
— время полета тела;
— проекция скорости в момент достижения телом первоначального положения.
7. Движение тела, брошенного горизонтально
Если скорость направлена не вертикально, то движение тела будет криволинейным.
Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с высоты h со скоростью (рис. 7.1).
Рисунок 7.1. Движение тела, брошенного горизонтально.
Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат — Ох и Оу. Начало отсчета координат совместим с начальным положением тела. Из рисунка 7.1 видно, что
, , , .
Тогда движение тела опишется уравнениями:
Анализ этих формул показывает, что в горизонтальном направлении скорость тела остается неизменной, т. е. тело движется равномерно. В вертикальном направлении тело движется равноускоренно с ускорением g, т. е. так же, как тело, свободно падающее без начальной скорости. Найдем уравнение траектории. Для этого из уравнения (7.1) найдем время
и, подставив его значение в формулу (7.2), получим:
Это уравнение параболы. Следовательно, тело, брошенное горизонтально, движется по параболе. Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к параболе (см. рис. 7.1). Модуль скорости можно рассчитать по теореме Пифагора:
Зная высоту h, с которой брошено тело, можно найти времяt1, через которое тело упадет на землю. В этот момент координата у равна высотеу1=h. Из уравнения (7.3) находим:
Формула (7.4) определяет время полета тела. За это время тело пройдет в горизонтальном направлении расстояние l, которое называют дальностью полета и которое можно найти на основании формулы (7.1), учитывая, чтоl=x1. Следовательно,
Падение тел
Свободное падение представляет собой частный случай равномерно ускоренного движения без начальной скорости. Ускорение этого движения равно ускорению свободного падения, называемого также ускорением силы тяжести. Для этого движения справедливы формулы:
u — скорость падения тела спустя время t
g — ускорение свободного падения, 9.81 (м/с?)
h — высота с которой падает тело
t — время, в течение которого продолжалось падение
- Сопротивление воздуха в данных формулах не учитывается.
- Ускорение свободного падения имеет приведенное значение (9.81 (м/с?)) вблизи земной поверхности. Значение g на других расстояниях от поверхности Земли изменяется!
Движение тела, брошенного вертикально вверх
Тело, брошенное вертикально вверх, движется равномерно замедленно с начальной скоростью u0 и ускорением a = -g. Перемещение тела за время t представляет собой высоту подъема h.Для этого движения справедливы формулы:
U0 — начальная скорость движения тела
U — скорость падения тела спустя время t
g — ускорение свободного падения, 9.81 (м/с?)
h — высота на которую поднимется тело за время t
t — время
Скорость тела на некоторой высоте:
Максимальная высота подъёма тела:
Время подъёма на максимальную высоту:
Сложение движений, направленных под углом друг к другу.
Тело может одновременно участвовать в нескольких поступательных движениях. Поскольку ускорение, скорость и перемещение являются векторными величинами, их можно складывать по законам векторного (геометрического) сложения. Т.е. по правилу параллелограмма.
Величину результирующей любой характеристики движения можно вычислить.
Если:
Up — результирующая мгновенная скорость,
U1 — мгновенная скорость первого движения,
U2 — мгновенная скорость второго движения,
? — угол, образуемый векторами скоростей u1 и u2,
То по теореме косинусов получим:
Если движения 1 и 2 происходят под прямым углом друг к другу, то формула упрощается поскольку
Движение тела, брошенного горизонтально.
Движение тела, брошенного горизонтально, представляет собой комбинацию двух движений, взаимно перпендикулярных друг другу:
— горизонтального (равномерного) движения,
— вертикального (свободного падения)
Уравнение траектории тела, брошенного горизонтальн
Если построить траекторию движения тела, брошенного горизонтально, в системе координат xy, приняв за начало отсчета координат точку бросания, а направление оси ординат совпадающим с направлением вектора ускорения свободного падения, то координаты каждой точки траектории представляют собой перемещение тела в горизонтальном направлении (движение с постоянной скоростью U0) и в вертикальном направлении (равномерно ускоренное движение с ускорением g)
x, y — координаты тела,
u0 — начальная скорость тела (м/с),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
t — время движения (c)
Уравнение траектории тела, брошенного горизонтальновыглядит следующим образом:
Так как ускорение свободного падения g и начальная скорость тела u0 — постоянные величины, то координата yпропорциональна квадрату x, т.е. траектория движения представляет собой параболу, вершина которой находится в начальной точке движения.
Вектор положения тела брошенного горизонтально, формула
Положение каждой точки траектории тела брошенного горизонтально можно задать вектором положения r, который представляет собой результирующее перемещение:
или Вектор положения:
Координата по оси x:
Координата по оси y:
Примечание: Сопротивление воздуха в формулах не учитывается.
Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту.
Координаты точки траектории описываются уравнениями:
x, y — координаты тела
U0 — начальная скорость тела (м/с)
? — угол, под которым брошено тело к горизонту (°)
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2)
t — время движения (c)
Из формул через параметр t выводится общее уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту
Так как ускорение свободного падения g, ? — угол, под которым брошено тело к горизонту и начальная скорость тела u0 —постоянные величины, то координата y пропорциональна квадрату x, т.е. траектория движения представляет собой параболу, начальная точка находится на одной из ее ветвей, а вершина параболы, есть точка максимального подъема тела.
Время подъема на максимальную высоту, тела, брошенного под углом к горизонту.
Время подъема на максимальную высоту определяется из условия, что вертикальная составляющая мгновенной скорости равна нулю
из этого уравнения получаем:
U0 — начальная скорость тела (м/с),
? — угол, под которым брошено тело к горизонту (°),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
thmax — время подъема на максимальную высоту (c)
Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту.
Дальность броска или радиус поражения определяется по формулам общего времени движения и формулы координат тела
подставив tsmax в выражение и упростив получим:
U0 — начальная скорость тела (м/с),
? — угол, под которым брошено тело к горизонту (°),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
tsmax — общее время движения(c)
Тело бросили вертикально вниз с начальной скоростью 10 м / с с высоты 100 м. На какой высоте кинетическая энергия тела
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
ОБОСОБЛЕННЫЕ ЧЛЕНЫ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Запишите предложения, выделяя обособленные члены предложения (в скобках укажите – что обособленно: приложение, обстоятельство, согласованное или несогласованное определение):
1. Охотника лес кормил «звериным промыслом», земледельца – лесными угодьями и бортничеством (старейшая форма пчеловодства, при которой пчёлы живут в дуплах деревьев), ремесленника – различными ремёслами, связанными с использованием дерева.
2. Приглядевшись внимательнее, Костя увидел бюст Льва Толстого.
3. Они сидели близко, совсем рядом, и Володя не видел, куда смотрит отец, но чувствовал его серьёзный, строгий и спокойный взгляд.
4. Над крышей гордо возносился конёк – стилизованная голова лошади.
5. Отличить полезный, «настоящий» труд от мартышкиного просто: ощущаешь себя молодцом, завершив работу, или понимаешь, что занялся не своим делом.
6. Делая усилия, мы становимся частью этого пространства.
7. Впереди были горы, высокие, неприступные.
8. Я должна быть примером для младшего братишки, с детства он должен видеть, что взрослые неустанно работают, и я, старшая сестра, тружусь так же.
9. А он, сообразительный малыш, уже знает, что делать: жуёт конфету, берёт мою скрипку и начинает играть мой урок.
10. Заворожённый этим зрелищем и заколдованный своим малодушием, я замер.
11. А вечером, на закате, уставшие и притихшие, мы сидели на берегу и ждали, когда появится трамвайчик, который должен был везти нас из студёного оврага к лагерю.
12. Толик стал заядлым автомобилистом: та самая «Волга», что стояла у них в гараже, эта небесная египетская корова, определила его судьбу.
Свободное падение тел
Что такое свободное падение? Это падение тел на Землю при отсутствии сопротивления воздуха. Иначе говоря — падение в пустоте. Конечно, отсутствие сопротивления воздуха — это вакуум, который нельзя встретить на Земле в нормальных условиях. Поэтому мы не будем брать силу сопротивления воздуха во внимание, считая ее настолько малой, что ей можно пренебречь.
Ускорение свободного падения
Проводя свои знаменитые опыты на Пизанской башне Галилео Галилей выяснил, что все тела, независимо от их массы, падают на Землю одинаково. То есть, для всех тел ускорение свободного падения одинаково. По легенде, ученый тогда сбрасывал с башни шары разной массы.
Ускорение свободного падения
Ускорение свободного падения — ускорение, с которым все тела падают на Землю.
Ускорение свободного падения приблизительно равно 9 , 81 м с 2 и обозначается буквой g . Иногда, когда точность принципиально не важна, ускорение свободного падения округляют до 10 м с 2 .
Земля — не идеальный шар, и в различных точках земной поверхности, в зависимости от координат и высоты над уровнем моря, значение g варьируется. Так, самое большое ускорение свободного падения — на полюсах ( ≈ 9 , 83 м с 2 ) , а самое малое — на экваторе ( ≈ 9 , 78 м с 2 ) .
Свободное падение тела
Рассмотрим простой пример свободного падения. Пусть некоторое тело падает с высоты h с нулевой начальной скоростью. Допустим мы подняли рояль на высоту h и спокойно отпустили его.
Свободное падение — прямолинейное движение с постоянным ускорением. Направим ось координат от точки начального положения тела к Земле. Применяя формулы кинематики для прямолинейного равноускоренного движения, можно записать.
h = v 0 + g t 2 2 .
Так как начальна скорость равна нулю, перепишем:
Отсюда находится выражение для времени падения тела с высоты h :
Принимая во внимание, что v = g t , найдем скорость тела в момент падения, то есть максимальную скорость:
v = 2 h g · g = 2 h g .
Движение тела, брошенного вертикально вверх
Аналогично можно рассмотреть движение тела, брошенного вертикально вверх с определенной начальной скоростью. Например, мы бросаем вверх мячик.
Пусть ось координат направлена вертикально вверх из точки бросания тела. На сей раз тело движется равнозамедленно, теряя скорость. В наивысшей точки скорость тела равна нулю. Применяя формулы кинематики, можно записать:
Подставив v = 0 , найдем время подъема тела на максимальную высоту:
Время падения совпадает со временем подъема, и тело вернется на Землю через t = 2 v 0 g .
Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально:
Взглянем на рисунок ниже. На нем приведены графики скоростей тел для трех случаев движения с ускорением a = — g . Рассмотрим каждый из них, предварительно уточнив, что в данном примере все числа округлены, а ускорение свободного падения принято равным 10 м с 2 .
Первый график — это падение тела с некоторой высоты без начальной скорости. Время падения t п = 1 с . Из формул и из графика легко получить, что высота, с которой падало тело, равна h = 5 м .
Второй график — движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 10 м с . Максимальная высота подъема h = 5 м . Время подъема и время падения t п = 1 с .
Третий график является продолжением первого. Падающее тело отскакивает от поверхности и его скорость резко меняет знак на противоположный. Дальнейшее движение тела можно рассматривать по второму графику.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
С задачей о свободном падении тела тесно связана задача о движении тела, брошенного под определенным углом к горизонту. Так, движение по параболической траектории можно представить как сумму двух независимых движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.
Вдоль оси O Y тело движется равноускоренно с ускорением g , начальная скорость этого движения — v 0 y . Движение вдоль оси O X — равномерное и прямолинейное, с начальной скоростью v 0 x .
Условия для движения вдоль оси О Х :
x 0 = 0 ; v 0 x = v 0 cos α ; a x = 0 .
Условия для движения вдоль оси O Y :
y 0 = 0 ; v 0 y = v 0 sin α ; a y = — g .
Приведем формулы для движения тела, брошенного под углом к горизонту.
Время полета тела:
t = 2 v 0 sin α g .
Дальность полета тела:
L = v 0 2 sin 2 α g .
Максимальная дальность полета достигается при угле α = 45 ° .
L m a x = v 0 2 g .
Максимальная высота подъема:
h = v 0 2 sin 2 α 2 g .
Отметим, что в реальных условиях движение тела, брошенного под углом к горизонту, может проходить по траектории, отличной от параболической вследствие сопротивления воздуха и ветра. Изучением движения тел, брошенных в пространстве, занимается специальная наука — баллистика.