Правильная шестиугольная пирамида
Правильная шестиугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник.
Обозначения
- $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида
- $O$ — центр основания пирамиды
- $a$ — длина стороны основания пирамиды
- $h$ — длина бокового ребра пирамиды
- $S_<\text<осн.>>$ — площадь основания пирамиды
- $V_<\text<пирамиды>>$ — объем пирамиды
Площадь основания пирамиды
Правильный шестиугольник в основании пирамиды
По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что $$ AO=OD=EO=OB=CO=OF=a $$ Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём $AO=OE=a,\ \angle EOA=120^<\circ>$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ AE=a\cdot\sqrt<2(1-\cos EOA)>=\sqrt<3>\cdot a $$ Аналогичным образом приходим к заключению, что $ AC=CE=\sqrt<3>\cdot a $, $FM=MO=\frac<1><2>\cdot a$.
Находим $SO$
Объем пирамиды
Находим $ST$ и $TO$
Пусть точка $T$ является серединой ребра $AF$. Треугольник $AOF$ правильный, поэтому, по свойствам правильного треугольника $$ TO=\frac<\sqrt<3>><2>\cdot a $$ Треугольник $STO$ прямоугольный, высота $SO$ равна $\sqrt
Решение №3037 В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5 …
В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды.
Источники: fipi, os.fipi.
Решение:
У правильной шестиугольной пирамиды в основании лежит равносторонний шестиугольник.
Если вокруг шестиугольника описать окружность и из её центра провести радиусы к вершинам шестиугольника, получим равносторонние треугольники со сторонами 2,5 и углами равными 60º.
В прямоугольном треугольнике, по теореме Пифагора, найдём высоту пирамиды:
6,5 2 = h 2 + 2,5 2
42,25 = h 2 + 6,25
h 2 = 42,25 – 6,25
h 2 = 36
h = √36 = 6
Ответ: 6.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.3 / 5. Количество оценок: 6
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com ��
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
Определение гексагональной пирамиды, характеристики и примеры расчета
шестиугольная пирамида многогранник, образованный шестиугольником, который является основанием, и шестью треугольниками, которые начинаются от вершин шестиугольника и совпадают в точке вне плоскости, содержащей основание. В этот момент совпадения он известен как вершина или вершина пирамиды..
Многогранник — это замкнутое трехмерное геометрическое тело, грани которого представляют собой плоские фигуры. Шестиугольник — это замкнутая плоская фигура (многоугольник), образованная шестью сторонами. Если шесть сторон имеют одинаковую длину и образуют одинаковые углы, говорят, что они правильные; в противном случае это нерегулярно.
- 1 Определение
- 2 Характеристики
- 2.1 Вогнутый или выпуклый
- 2.2 края
- 2.3 Апотема
- 2.4 Обозначения
- 3.1 Расчет в неправильных гексагональных пирамидах
- 4.1 Расчет в неправильных гексагональных пирамидах
- 5.1 Решение
определение
Шестиугольная пирамида содержит семь граней, основание и шесть боковых треугольников, из которых основание является единственным, которое не касается вершины.
Говорят, что пирамида прямая, если все боковые треугольники равнобедренные. В этом случае высота пирамиды — это отрезок, который идет от вершины к центру шестиугольника..
В общем, высота пирамиды — это расстояние между вершиной и плоскостью основания. Говорят, что пирамида наклонная, если не все боковые треугольники равнобедренные..
Если шестиугольник правильный, а пирамида тоже прямая, говорят, что это правильная шестиугольная пирамида. Точно так же, если шестиугольник неправильный или пирамида наклонная, говорят, что это неправильная шестиугольная пирамида..
черты
Вогнутый или выпуклый
Полигон выпуклый, если мера всех внутренних углов меньше 180 градусов. Геометрически это равносильно тому, что, учитывая пару точек внутри многоугольника, соединяющий их отрезок прямой содержится в многоугольнике. В противном случае говорят, что многоугольник вогнутый.
Если шестиугольник является выпуклым, говорят, что пирамида является шестиугольной выпуклой пирамидой. В противном случае будет сказано, что это вогнутая шестиугольная пирамида..
ость
Края пирамиды — это стороны шести треугольников, из которых она состоит.
апофема
Апофеем пирамиды является расстояние между вершиной и сторонами основания пирамиды. Это определение имеет смысл только тогда, когда пирамида правильная, потому что, если она нерегулярна, это расстояние меняется в зависимости от рассматриваемого треугольника..
Напротив, в правильных пирамидах апотема соответствует высоте каждого треугольника (так как каждый равнобедренный) и будет одинаковой во всех треугольниках..
Апофеем основания является расстояние между одной из сторон основания и его центром. Между прочим, апофем основания имеет смысл только в правильных пирамидах..
денотатами
Высота гексагональной пирамиды будет обозначаться как час, апофема базы (в обычном случае) APB и апофема пирамиды (также в обычном случае) AP.
Характерной особенностью правильных гексагональных пирамид является то, что час, APB и AP образуют правильный треугольник гипотенузы AP и ноги час и APB. По теореме Пифагора вы должны AP = √ (ч^ 2 + APb ^ 2).
Предыдущее изображение представляет правильную пирамиду.
Как рассчитать площадь? формулы
Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду. Быть приспособленным к каждой стороне шестиугольника. Тогда A соответствует мере основания каждого треугольника пирамиды и, следовательно, краям основания.
Площадь многоугольника представляет собой произведение периметра (суммы сторон) на апофему основания, разделенную на два. В случае шестиугольника это будет 3 * A * APb.
Можно заметить, что площадь правильной гексагональной пирамиды в шесть раз превышает площадь каждого треугольника пирамиды плюс площадь основания. Как упоминалось ранее, высота каждого треугольника соответствует апофеме пирамиды, AP.
Следовательно, площадь каждого треугольника пирамиды определяется как A * AP / 2. Таким образом, площадь правильной гексагональной пирамиды равна 3 * A * (APb + AP), где A — край основания, APb — апофем основания, а AP — апофем пирамиды..
Расчет в неправильных гексагональных пирамидах
В случае неправильной гексагональной пирамиды не существует прямой формулы для расчета площади, как в предыдущем случае. Это потому, что каждый треугольник пирамиды будет иметь различную площадь.
В этом случае площадь каждого треугольника должна рассчитываться отдельно и площадь основания. Тогда площадь пирамиды будет суммой всех площадей, рассчитанных ранее.
Как рассчитать объем? формулы
Объем пирамиды правильной гексагональной формы представляет собой произведение высоты пирамиды на площадь основания между тремя. Таким образом, объем правильной гексагональной пирамиды определяется как A * APb * h, где A — ребро основания, APb — апофем основания, а h — высота пирамиды..
Расчет в неправильных гексагональных пирамидах
Аналогично площади, в случае неправильной гексагональной пирамиды не существует прямой формулы для расчета объема, так как края основания не имеют одинаковую меру, потому что это неправильный многоугольник.
В этом случае площадь основания должна быть рассчитана отдельно, а объем будет (ч * Базовая площадь) / 3.
пример
Рассчитайте площадь и объем правильной шестиугольной пирамиды высотой 3 см, основание которой представляет собой правильный шестиугольник по 2 см с каждой стороны, а апофема основания составляет 4 см..
решение
Сначала мы должны вычислить апофему пирамиды (AP), которая является единственными недостающими данными. Глядя на изображение выше, вы можете видеть, что высота пирамиды (3 см) и апофема основания (4 см) образуют прямоугольный треугольник; поэтому для расчета апофемы пирамиды мы используем теорему Пифагора:
AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.
Таким образом, из приведенной выше формулы следует, что площадь равна 3 * 2 * (4 + 5) = 54 см ^ 2..
С другой стороны, используя формулу объема, получаем, что объем данной пирамиды равен 2 * 4 * 3 = 24 см ^ 3..
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если её основание — правильный n-угольник, а все боковые рёбра равны.
О высоте правильной пирамиды
В правильной пирамиде отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром её основания, является высотой пирамиды.
Для определённости проведём доказательство для правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF:
Пусть точка O — центр шестиугольника ABCDEF. Докажем, что отрезок SO есть высота пирамиды. Рассмотрим какие-нибудь два диагональных сечения, проходящие через отрезок SO, например треугольники ASD и CSF. Указанные теругольники являются равнобедренными (все боковые ребра правильной пирамиды равны), следовательно, в каждом из них медиана SO является высотой, т.е. SO ⊥ FC, SO ⊥ AD
Таким образом, прямая SO перпендикулярна двум пересекающимся прямым FC и AD плоскости основания, а значит она перпендикулярная этой плоскости. Таким образом отрезок SO перпендикулярен плоскости основания, т.е. является высотой пирамиды.
В случае правильной пирамиды, основанием которой служит n-угольник с чётным числом вершин, доказательство аналогично. В случае, когда основанием пирамиды служит многоугольник с нечётным числом вершин, для доказательства можно воспользоваться тем, что основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около его основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
Доказательство проведём для правильной шестиугольной пирамиды TABCDEF:
В случае правильной n-угольной пирамиды доказательство аналогично Пусть периметр основания пирамиды Pосн, апофему обозначим буквой ℓ. Боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, основания которых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме ℓ.
Площадь боковой поверхности равна сумме указанных равнобедренных треугольников, т.е.: