Как найти предел арктангенса

5

Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций

Определение непрерывности функции в точке и передела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции способствует непосредственному вычислению пределов.

Значение предела в точке непрерывности определено значением функции в этой точке.

При опоре на свойства основные элементарные функции имеют предел в любой точке из области определения, вычисляется как значение соответствующей функции в этих точках.

Произвести вычисление предела функции lim x → 5 a r c t g 3 5 · x

Функция арктангенса отличается непрерывностью на всей своей области определения. Отсюда получим, что в точке x 0 = 5 функция является непрерывной. Из определения имеем, что для нахождения предела является значением этой же функции. Тогда необходимо произвести подстановку. Получим, что

lim x → 5 a r c t g 3 5 · x = a r c t g 3 5 · 5 = a r c t g 3 = π 3

Для вычисления односторонних пределов необходимо использовать значения точек границ предела. У акрксинуса и акрккосинуса имеются такие значения x 0 = — 1 или x 0 = 1 .

При x → + ∞ или x → — ∞ вычисляются пределы функции, заданные на бесконечностях.

Для упрощения выражений применяют свойства пределов:

1. lim x → x 0 ( k · f ( x ) ) = k · lim x → x 0 f ( x ) , k является коэффициентом.
2. lim x → x 0 ( f ( x ) · g ( x ) ) = lim x → x 0 f ( x ) · lim x → x 0 g ( x ) , применяемое при получении неопределенности предела.
3. lim x → x 0 ( f ( g ( x ) ) ) = f lim x → x 0 g x ,используемое для непрерывных функций, где знак функции и предельного перехода можно менять местами.

Для того, чтобы научиться вычислять переделы, необходимо знать и разбираться в основных элементарных функциях. Ниже приведена таблица, в которой имеются переделы этих функций с приведенными разъяснениями и подробным решением. Для вычисления необходимо основываться на определении предела функции в точке и на бесконечности.

Таблица пределов функции

Для упрощения и решения пределов используется данная таблица основных пределов.

Функция корень n-ой степени

y = x n , где n = 2 , 4 , 6 . . .

lim x → ∞ x n = + ∞ n = + ∞

Для любых x 0 из опрелеления

lim x → x 0 x n = x 0 n

Функция корень n-ой степени

y = x n , где n = 3 , 5 , 7 . . .

lim x → ∞ x n = + ∞ n = + ∞ lim x → ∞ x n = — ∞ n = — ∞

lim x → x 0 x n = x 0 n

Степенная функция y = x a , a > 0

1. Для любого положительного числа a
   lim x → ∞ x a = + ∞ a = + ∞
2. Если a = 2 , 4 , 6 . . . , то
   lim x → ∞ x a = — ∞ a = + ∞
3. Если a = 1 , 3 , 5 , . . . , то
   lim x → ∞ x a = — ∞ a = — ∞
4. Для любых x 0 , из области определния
   lim x → x 0 x a = ( x 0 ) a

Степенная функция y = x a , a < 0

1. Для любого отрицательного числа a
   lim x → ∞ x a = ( + ∞ ) a = + 0 lim x → 0 + 0 = ( 0 + 0 ) a = + ∞
2. Если a = — 2 , — 4 , — 4 , . . . , то
   lim x → ∞ x a = — ∞ a = + 0 lim x → 0 — 0 x a = ( 0 — 0 ) a = + ∞
3. Если a = — 1 , — 3 , — 5 , . . . , то
   lim x → ∞ x a = — ∞ a = — 0 lim x → 0 — 0 x a = ( 0 — 0 ) a = — ∞
4. Для любых x 0 из области определения
   lim x → x 0 x a = ( x 0 ) a

Показательная функия

y = a x , 0 < a < 1

lim x → ∞ a x = a — ∞ = + ∞ lim x → ∞ a x = a + ∞ = + 0

Для любых x 0 из области опреления lim x → x 0 a x = a x 0

Показательная функия

y = a x , a > 1 lim x → ∞ a x = a — ∞ = + 0 lim x → x 0 a x = a + ∞ = + ∞

Для любых знвчений x 0 из област опредения lim x → x 0 a x = a x 0

Логарифмическая функция

y = log a ( x ) , 0 < a < 1

lim x → 0 + 0 log a x = log a ( 0 + 0 ) = + ∞ lim x → ∞ log a x = log a ( + ∞ ) = — ∞

Для любых x 0 из области опрелеления lim x → x 0 log a x = log a x 0

Логарифмическая функция

y = log a ( x ) , a > 1

lim x → 0 + 0 log a x = log a ( 0 + 0 ) = — ∞ lim x → ∞ log a x = log a ( + ∞ ) = + ∞

Для любых x 0 из области опрелеления

lim x → x 0 log a x = log a x 0

Тригонометрические функции

• Синус
  lim x → ∞ sin x не существует
  Для любых x 0 из области опрелеления
  lim x → x 0 sin x = sin x 0
• Тангненс lim x → π 2 — 0 + π · k t g x = t g π 2 — 0 + π · k = + ∞ lim x → π 2 + 0 + π · k t g x = t g π 2 + 0 + π · k = — ∞

lim x → ∞ t g x не существует

Для любых x 0 из области опрелеления

lim x → x 0 t g x = t g x 0

Тригонометрические функции

• Косинус
  lim x → ∞ cos x не существует
  Для любых x 0 из области опрелеления
  lim x → x 0 cos x = cos x 0
• Котангенс lim x → — 0 + π · k c t g x = c t g ( — 0 + π · k ) = — ∞ lim x → + 0 + π · k ctg x = ctg ( + 0 + π · k ) = + ∞

lim x → ∞ c t g x не существует

Для любых x 0 из области опрелеления
lim x → x 0 с t g x = с t g x 0

Обратные тригонометрические функции

• Арксинус
  lim x → — 1 + 0 a r c sin x = — π 2 lim x → 1 — 0 a r c sin x = π 2

Для любых x 0 из области опрелеления

lim x → x 0 a r c sin x = a r c sin x 0

• Арккосинус
  lim x → — 1 + 0 a r c cos ( x ) = π lim x → 1 — 0 arccos ( x ) = 0

Для любых x 0 из области опрелеления

lim x → x 0 a r c c i s x = a r c cos x 0

Обратные тригонометрические функции

• Арктангес
  lim x → — ∞ a r c t g ( x ) = — π 2 lim x → + ∞ a r c t g ( x ) = π 2

Для любых x 0 из области опрелеления

lim x → x 0 a r c t g x = a r c t g x 0

• Арккотангенс
  lim x → — ∞ a r c c t g ( x ) = π lim x → + ∞ a r c c t g ( x ) = 0

Для любых x 0 из области опрелеления

lim x → x 0 a r c c t g x = a r c c t g x 0

Произвести вычисление предела lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 .

Для решения необходимо подставить значение х = 1 . Получаем, что

lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 · 1 — 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

Ответ: lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 = 3 2

Произвести вычисление предела функции lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2

Для того, чтобы раскрыть предел, необходимо подставить значение х, к которому стремится предел функции. В данном случае нужно произвести подстановку х = 0 . Подставляем числовое значение и получаем:

x 2 + 2 . 5 x = 0 = 0 2 + 2 . 5 = 2 . 5

Предел записывается в виде lim x → 0 ( x 2 + 2 . 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 . 5 1 x 2 . Далее необходимо заняться значением показателя. Он является степенной функцией 1 x 2 = x — 2 . В таблице пределов, предоставленной выше, имеем, что lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞ , значит, имеем право записать как lim x → 0 1 x 2 = lim x → 0 x — 2 = + ∞

Теперь вычислим предел. Получит вид lim x → 0 ( x 2 + 2 . 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 . 5 1 x 2 = 2 . 5 + ∞

По таблице пределов с показательными функциями, имеющими основание больше 1 получаем, что

lim x → 0 ( x 2 + 2 . 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 . 5 1 x 2 2 . 5 + ∞ = + ∞

Ответ: lim x → 0 ( x 2 + 2 . 5 ) 1 x 2 = + ∞

Когда задан более сложный предел, то при помощи таблицы не всегда получится получать целое или конкретное значение. Чаще получаются разные виды неопределенностей, для разрешения которых необходимо применять правила.

Рассмотрим графическое разъяснение приведенной выше таблицы пределов основных элементарных функций.

Предел константы

Из рисунка видно, что функция у = С имеет предел на бесконечности. Такой же предел при аргументе, который стремится к х 0 . Он равняется числу C .

Предел функции корень n-ой степени

Четные показатели корня применимы для lim x → + ∞ x n = + ∞ n = + ∞ , а нечетные, равные больше, чем значение 1 , – для lim x → + ∞ x n = + ∞ n = + ∞ , lim x → — ∞ x n = — ∞ n = — ∞ . Область определения может принимать абсолютно любое значение х предела заданной функции корня n -ой степени, равного значению функции в заданной точке.

Предел степенной функции

Необходимо разделить все степенные функции по группам, где имеются одинаковые значения пределов, исходя из показателя степени.

1. Когда a является положительным числом, тогда lim x → + ∞ x a = + ∞ a = + ∞ и lim x → — ∞ x a = — ∞ a = — ∞ . Когда x принимает любое значение, тогда предел степенной функции равняется значению функции в точке. Иначе это записывается как lim x → ∞ x a = ( ∞ ) a = ∞ .

1. Когда a является положительным четным числом, тогда получаем lim x → + ∞ x a = ( + ∞ ) a = + ∞ и lim x → — ∞ x a = ( — ∞ ) a = + ∞ , причем x из данной области определения является пределом степенной функции и равняется значением функции в этой точке. Предел имеет вид lim x → ∞ x a = ∞ a = + ∞ .

1. Когда a имеет другие значения, тогда lim x → + ∞ x a = ( + ∞ ) a = + ∞ , а область определения x способствует определению предела функции в заданной точке.

1. Когда a имеет значение отрицательных чисел, тогда получаем lim x → + ∞ x a = + ∞ a = + 0 , lim x → — ∞ x a = ( — ∞ ) a = — 0 , lim x → 0 — 0 x a = ( 0 — 0 ) a = — ∞ , lim x → 0 + 0 x a = 0 + 0 a = + ∞ , а значения x может быть любым из заданной области определения и равняется функции в заданной точке. Получаем, что lim x → ∞ x a = ∞ a = 0 и lim x → 0 x a = 0 a = ∞ .

1. Когда a является отрицательным четным числом, тогда получаем lim x → + ∞ x a = ( + ∞ ) a = + 0 , lim x → — ∞ x a = — ∞ a = + 0 , lim x → 0 — 0 ( 0 — 0 ) a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = ( 0 + 0 ) a = + ∞ , а любое значение x на области определения дает результат предела степенной функции равным значению функции в точке. Запишем как lim x → ∞ x a = ( ∞ ) a = + 0 и lim x → 0 x a = ( 0 ) a = + ∞ .

1. Когда значение a имеет другие действительные отрицательные числа, тогда получим lim x → + ∞ x a = + ∞ a = + 0 и lim x → 0 + 0 x a = 0 + 0 a = + ∞ , когда x принимает любое значение из своей области определения, тогда предел степенной функции равняется значению функции в этой точке.

Предел показательной функции

Когда 0 < a < 1 , имеем, что lim x → — ∞ a x = a — ∞ = + ∞ , lim x → + ∞ a x = ( a ) + ∞ = + ∞ , любое значение x из области определения дает пределу показательной функции значению функции в точке.

Когда a > 1 , тогда lim x → — ∞ a x = ( a ) — ∞ = + 0 , lim x → + ∞ a x = ( a ) + ∞ = + ∞ , а любое значение x из области определения дает предел функции равный значению этой функции в точке.

Предел логарифмической функции

Когда имеем 0 < a < 1 , тогда lim x → 0 + 0 log a x = log a ( 0 + 0 ) = + ∞ , lim x → + ∞ log a x = log a ( + ∞ ) = — ∞ , для всех остальных значений x из заданной области определения предел показательной функции равняется значению заданной функции в точках.

Когда a > 1 , получаем lim x → 0 + 0 log a x = log a ( 0 + 0 ) = — ∞ , lim x → + ∞ log a x = log a ( + ∞ ) = + ∞ ,остальные значения x в заданной области определения дают решение предела показательной функции равному ее значению в точках.

Предел тригонометрических функций

Предел бесконечности не существует для таких функций как y = sin x , y = cos x . Любое значение x , входящее в область определения, равняется значению функции в точке.

Функция тангенса имеет предел вида lim x → π 2 — 0 + π · k t g ( x ) = + ∞ , lim x → π 2 + π · k t g ( x ) = ∞ или lim x → π 2 + π · k t g ( x ) = ∞ , тогда остальные значения x , принадлежащие области определения тангенса, равняется значению функции в этих точках.

Для функции y = c t g x получаем lim x → — 0 + π · k c t g ( x ) = — ∞ , lim x → + 0 + π · k c t g ( x ) = + ∞ или lim x → π · k c t g ( x ) = ∞ , тогда остальные значения x , принадлежащие области определения, дают предел котангенса, равный значению функции в этих точках.

Предел обратных тригонометрических функций

Функция арксинус имеет предел вида lim x → — 1 + 0 a r c sin ( x ) = — π 2 и lim x → 1 — 0 a r c sin ( x ) = π 2 , остальные значения x из области определения равняются значению функции в заданной точке.

Функция арккосинус имеет предел вида lim x → — 1 + 0 a r c cos ( x ) = π и lim x → 1 — 0 a r c cos ( x ) = 0 , когда остальные значения x , принадлежащие области определения, имеют предел арккосинуса, равного значению функции в этой точке.

Функция арктангенс имеет предел вида lim x → — ∞ a r c t g ( x ) = — π 2 и lim x → + ∞ a r c t g ( x ) = π 2 , причем другие значения x , входящие в область определения, равняется значению функции в имеющихся точках.

Функция котангенса имеет предел вида lim x → — ∞ a r c c t g ( x ) = π и lim x → + ∞ a r c t g ( x ) = 0 , где x принимает любое значение из своей заданной области определения, где получаем предел арккотангенса, равного значению функции в имеющихся точках.

Все имеющееся значения пределов применяются в решении для нахождения предела любой из элементарных функций.

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел часто применяется для вычисления пределов содержащих синус, арксинус, тангенс, арктангенс и получающихся при них неопределенностей ноль делить на ноль.

Формула

Формула первого замечательного предела имеет вид: $$ \lim_ <\alpha\to 0>\frac<\sin\alpha> <\alpha>= 1 $$

Замечаем, что при $ \alpha\to 0 $ получается $ \sin\alpha \to 0 $, тем самым в числетеле и в знаменателе имеем нули. Таким образом формула первого замечательного предела нужна для раскрытия неопределенностей $ \frac<0> <0>$.

Для применения формулы необходимо, чтобы были соблюдены два условия:

1. Выражения, содержащиеся в синусе и знаменателе дроби совпадают
2. Выражения, стоящие в синусе и знаменателе дроби стремятся к нулю

Внимание! $ \lim_ \frac<\sin(2x^2+1)> <2x^2+1>\neq 1 $ Хотя выражения под синусом и в знаменателе одинаковые, однако $ 2x^2+1 = 1 $, при $ x\to 0 $. Не выполнено второе условие, поэтому применять формулу НЕЛЬЗЯ!

Следствия

Достаточно редко в задания можно увидеть чистый первый замечательный предел, в котором можно сразу было бы записать ответ. На практике всё немного сложнее выглядит, но для таких случаев будет полезно знать следствия первого замечательного предела. Благодаря им можно быстро вычислить нужные пределы.

Примеры решений

Рассмотрим первый замечательный предел, примеры решения которого на вычисление пределов содержащих тригонометрические функции и неопределенность $ \bigg[\frac<0><0>\bigg] $

Рассмотрим предел и заметим, что в нём присутствует синус. Далее подставим $ x = 0 $ в числитель и знаменатель и получим неопределенность нуль делить на нуль: $$ \lim_ \frac<\sin2x> <4x>= \frac<0> <0>$$ Уже два признака того, что нужно применять замечательный предел, но есть небольшой нюанс: сразу применить формулу мы не сможем, так как выражение под знаком синуса отличается от выражения стоящего в знаменателе. А нам нужно, чтобы они были равны. Поэтому с помощью элементарных преобразований числителя мы превратим его в $ 2x $. Для этого мы вынесем двойку из знаменателя дроби отдельным множителем. Выглядит это так: $$ \lim_ \frac<\sin2x> <4x>= \lim_ \frac<\sin2x> <2\cdot 2x>= $$ $$ = \frac<1> <2>\lim_ \frac<\sin2x> <2x>= \frac<1><2>\cdot 1 = \frac<1> <2>$$ Обратите внимание, что в конце $ \lim_ \frac<\sin2x> <2x>= 1 $ получилось по формуле.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Как всегда сначала нужно узнать тип неопределенности. Если она нуль делить на нуль, то обращаем внимание на наличие синуса: $$ \lim_ \frac<\sin(x^3+2x)> <2x-x^4>= \frac<0> <0>= $$ Данная неопределенность позволяет воспользоваться формулой первого замечательного предела, но выражение из знаменателя не равно аргументу синуса? Поэтом «в лоб» применить формулу нельзя. Необходимо умножить и разделить дробь на аргумент синуса: $$ = \lim_ \frac<(x^3+2x)\sin(x^3+2x)> <(2x-x^4)(x^3+2x)>= $$ Теперь по свойствам пределов расписываем: $$ = \lim_ \frac<(x^3+2x)><2x-x^4>\cdot \lim_ \frac<\sin(x^3+2x)> <(x^3+2x)>= $$ Второй предел как раз подходит под формулу и равен единице: $$ = \lim_ \frac<2x-x^4>\cdot 1 = \lim_ \frac <2x-x^4>= $$ Снова подставляем $ x = 0 $ в дробь и получаем неопределенность $ \frac<0> <0>$. Для её устранения достоточно вынести за скобки $ x $ и сократить на него: $$ = \lim_ \frac = \lim_ \frac <2-x^3>= $$ $$ = \frac<0^2 + 2> <2 - 0^3>= \frac<2> <2>= 1 $$

Подставляя $ x = 3 $ в аргумент синуса обращаем внимание на то, что сам аргумент стремится к нулю, как и синус: $$ \bigg(\frac\bigg) \to 0, \text < при >x\to 3 $$

Выполняем решение, используя первый замечательный предел: $$ \lim_ \frac<\frac<\sin(x^2-9)>><\frac> = 1$$

Вычисление начнём с подстановки $ x=0 $. В результате получаем неопределенность $ \frac<0> <0>$. Предел содержит синус и тангенс, что намекает на возможное развитие ситуации с использованием формулы первого замечательного предела. Преобразуем числитель и знаменатель дроби под формулу и следствие:

Теперь видим в числителе и знаменателе появились выражения подходящие под формулу и следствия. Аргумент синуса и аргумент тангенса совпадают для соответствующих знаменателей

В статье: «Первый замечательный предел, примеры решения» было рассказано о случаях, в которых целесообразно использовать данную формулу и её следствия.

Примеры решения пределов тригонометрических функций с ответами

Простое объяснение принципов решения пределов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения пределов тригонометрических функций

Для тригонометрических функций существует много разных пределов, но как правило, все они вычисляются, опираясь на первый замечательный предел и его следствия.

Первый замечательный предел выглядит следующим образом:

Главным следствием первого замечательного предела считают:

Также следствиями являются:

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Примеры решения пределов тригонометрических функций

Задание

Найти предел функции:

Решение

Заменим значение х на число, к которому стремится функция:

Так как мы пришли на неопределённость вида 0/0, преобразуем синус так, чтобы он стал вида первого замечательного предела:

Мы знаем, что первый замечательный предел равен единице, следовательно

Таким образом найдём предел функции:

Задание

Найти предел функции:

Решение

При замене х на число, к которому он стремится, снова получаем неопределённость

Данную задачу можно решить, применив правило Лопиталя.

Найдём производные числителя и знаменателя функции и решим задачу:

Задание

Найти предел функции:

Решение

При подстановке нуля получим неопределённость типа 0/0:

Преобразуем функцию и упростим её:

Вынесем константу ½ за лимит и, пользуюсь свойством первого замечательного предела, найдём передел данной функции:

Задание

Найти предел функции:

Решение

Если заменить x на число, придём к неопределённости 0/0:

Для решения данного примера применим правило Лопиталя и заменим х на число в производных:

Задание

Вычислить предел функции:

Решение

Для решения данного примера воспользуемся свойством разности косинусов:

Вынесем минус за лимит, дабы не потерять и продолжим решение. Для решения задачи приведём функцию к виду первого замечательного предела. Для этого нужно разделить дробь на множители и добавить в знаменатель коэффициент, равный коэффициенту в числителе. А потом упростим выражение:

Снова вынесем константы за лимит и получим вид первого замечательного предела, с помощью которого приходим к искомому решению:

Задание

Вычислить предел функции:

Решение

При подстановке х снова получаем неопределённость

Значит будем искать передел путём приведения к виду первого замечательного предела.

Представим тангенс в виде частного синуса х и косинуса х

Приведём к общему знаменателю и разделим выражение на множители следующим образом:

Мы видим первый замечательный предел, а значит, можем упростить до:

Далее снова приведём числитель к общему знаменателю:

Вновь разделим на множители и подставим значение х во второй косинус:

Таким образом нам остаётся разобраться с первым числителем. Поменяем местами 1 и косинус и вынесем минус за лимит.

Далее воспользуемся формулой понижения степени и найдём решение:

Задание

Вычислить предел функции:

Решение

При простом вычислении получаем неопределённость

Следовательно, будем вычислять предел, опираясь на правило первого замечательного предела. Приведём тангенс к виду частного синуса и косинуса:

Разделим пример на множители.

Приведём синусы к виду первого замечательного предела и получим ответ:

Задание

Найти предел функции:

Решение

При подставлении числа на место х приходим к неопределённости типа 0/0:

Преобразуем tg, приведем выражение к общему знаменателю cos x, вынесем общий множитель – sin x за скобку:

Используя следствие из первого замечательного предела, преобразим выражение и избавимся от тангенса.

Затем вновь приведем функцию к следствию первого замечательного предела и найдем ответ:

Задание

Найти предел функции:

Решение

При подстановке числа видим неопределённость.

Следовательно, искать предел будем, опираясь на правило первого замечательного предела. Для этого заменим переменную, которая будет стремиться к нулю:

Подставим в функцию:

Опираясь на свойства тригонометрии, заменим тангенс.

Зная, что предел косинуса нуля = 1, преобразуем пример и приведём к виду первого замечательного предела.

Видеоурок по алгебре "Вычисление пределов функций". Занятие 7.

Понятие пределов введено французским математиком Огюстеном Луи Коши в XIX веке.

Огюстен Луи Коши — французский математик XIX века, который вошел в историю благодаря открытиям в области дифференциальных уравнений,алгебры, геометрии и математического анализа. Многие открытия ученого названы в его честь и применяются поныне.

Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!

Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала.

© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены