Как найти ортогональный базис линейной оболочки

1

§ 3.5 Линейная оболочка

Определение 1. Линейной оболочкой заданной конечной совокупности элементов векторного пространства n над полем К называется множество всех линейных комбинаций этих элементов с коэффициентами из поля К. При этом сама совокупность называется порождающей системой данной линейной оболочки, а сама линейная оболочка обозначается символом .

Линейные оболочки обладают следующими свойствами:

. Линейная оболочка элементов векторного пространства n является подпространством М векторного пространства n .

Данный результат следует из определения линейной оболочки: сумма двух векторов из линейной оболочки будет принадлежать линейной оболочки (одна из линейных комбинаций), произведение вектора из линейной оболочки также будет принадлежать линейной оболочки.

. Линейная оболочка может совпадать со всем пространством R n (если образующая система является базисом в пространстве R n )

. Линейная оболочка является наименьшим подпространством, содержащим элементы . Все остальные подпространства могут только содержать вектора порождающей системы или их возможные комбинации.

. Если какой-нибудь элемент из порождающей системы элементов есть линейная комбинация остальных элементов этой системы, то его можно удалить из порождающей системы, не изменив при этом линейной оболочки.

. Если координатная матрица системы образующих имеет ранг р, где , то любая линейно независимая система , является базисом линейной оболочки , а сама линейная оболочка будет подпространством размерности р, .

Если a, b, с – геометрические векторы, лежащие на одной прямой. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a).Здесь линейная оболочка является одномерным пространством, которое состоит из всех вектор, лежащих на прямой, причем вектор а –является базисом.

Пусть a, b, с – геометрические векторы, причем a, b не коллинеарны, с = а + b. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a,b).Здесь линейная оболочка является двумерным пространством, состоящем из всех векторов, компланарных с векторами a и b. Вектора а,b составляют базис в L(a,b). Любой вектор из L представляется в виде линейной комбинации векторов а и b.

Вообще, в конечномерном пространстве R всякое подпространство L

является линейной оболочкой некоторой системы векторов.

Рассмотри следующую задачу. В евклидовом пространстве E n задана линейная оболочка , где k  n. Требуется:

1)Найти размерность и базис линейной оболочки ; 2)Выделить в линейной оболочке ортогональный базис и

достроить его до ортонормированного базиса евклидова

пространства E n .

Если схема решения первой задачи нам знакома, то решение второй задачи строится на следующем теоретическом результате.

Теорема (Грама – Шмидта)

Пусть — система линейно независимых векторов в евклидовом пространстве, где k  n, являющихся образующей системой линейной оболочки . Система векторов , описываемая формулами

, , , . . .

где коэффициенты , ,

образует ортогональный базис линейной оболочки .

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно доказать следующее утверждение: вектор ортогонален вектору .

Действительно, умножая скалярно вектор на вектор , получим

==0

Следствие. Результат теоремы дает алгоритм последовательной ортогонализации системы линейно независимых элементов ( так называемый метод Грама — Шмидта).

В евклидовом пространстве E 4 линейная оболочка задана образующей системой векторов с координатами

.

а) найти размерность и базис линейной оболочки

б) указать в линейной оболочке ортонормированный базис

и достроить его до ортонормированного базиса евклидова

пространства E 4 .

Решение. Рассмотрим координатную матрицу . Так как

,

то , элементы линейно независимы в E 4 и образуют базис данной линейной оболочки, являющейся подпространством в E 4 .

Для построения ортонормированного базиса в E 4 применим метод ортогонализации Грама-Шмидта. Получим

, , .

Записывая векторы столбцами их координат, последовательно найдем

.

Легко проверить, что полученные элементы попарно ортогональны. Найдем ортогональный им вектор .

Пусть , то неизвестные координаты вектора Y₄ найдутся из условий

,,.

Так как , в последней системе неизвестные можно взять в качестве базисных неизвестных.

Если для свободной (небазисной) неизвестной , то .

Нормировав найденные векторы , построим ортонормированный базис в E 4 :

.

Задача решена.

В завершении параграфа введем важное определение.

Пусть — — базис в E n и векторы представлены в этом базисе своими разложениями

.

Тогда скалярное произведение этих векторов имеет вид или в матричной форме , где — столбцы координат векторов в базисе а симметричная матрица составлена из скалярных произведений базисных векторов:

.

В общем случае в качестве элементов матрицы А рассматривают скалярные произведения произвольной системы векторов а₁, а₂,…, а_n

Определение 3. Определитель матрицы А скалярных произведений заданной системы векторов называют определителем Грама.

Теорема Произвольная система векторов, заданных в ортонормированном базисе, будет линейно независимой, если ее определитель Грама отличен от нуля.

линейная-алгебра — Найти ортогональный базис

Используйте процесс Грама ― Шмидта, чтобы найти ортогональный базис в линейной оболочке следующей системы векторов: $%e_1=\pmatrix<1\\1\\2\\1\\>$%, $%e_2=\pmatrix<-2\\1\\-1\\-2\\>$%, $%e_3=\pmatrix<-4\\1\\-1\\-3\\>$%.

задан 27 Окт ’14 16:00

1 ответ

Будем строить ортогональный базис $%f_1$%, $%f_2$%, $%f_3$%.

Полагаем $%f_1=e_1$%. Следующий вектор ищем в виде $%f_2=e_2+\alpha f_1$%. Векторы должны быть ортогональны, откуда $%0=(f_1,f_2)=(e_1,e_2)+\alpha(e_1,e_1)$%. Находим скалярные произведения: $%(e_1,e_1)=7$%; $%(e_1,e_2)=-5$%. Отсюда $%\alpha=5/7$%. Чтобы избежать дробей, производим умножение на $%7$%, то есть полагаем $%f_2=7e_2+5f_1=(-9;12;3;-9)$%, и теперь можно сократить на $%3$%, окончательно имея $%f_2=(-3;4;1;-3)$% (в виде столбца).

Теперь ищем третий базисный вектор в виде $%f_3=e_3+\beta f_1+\gamma f_2$%, исходя из условий ортогональности $%0=(f_3,f_1)=(e_3,f_1)+\beta(f_1,f_1)$% и $%0=(f_3,f_2)=(e_3,f_2)+\gamma(f_2,f_2)$%. Скалярные произведения таковы: $%(f_1,f_1)=7$%; $%(f_2,f_2)=35$%; $%(e_3;f_1)=-8$%; $%(e_3;f_2)=24$%. Отсюда $%\beta=8/7$% и $%\gamma=-24/35$%. Производим домножение на 35, полагая $%f_3=35e_3+40f_1-24f_2=(-28;-21;21;7)$%, после чего сокращаем на 7, имея столбец $%f_3=(-4;-3;3;1)$%.

Искомый базис имеет вид $%f_1=(1;1;2;1)$%; $%f_2=(-3;4;1;-3)$%; $%f_3=(-4;-3;3;1)$%. Можно на всякий случай сделать проверку, убедившись в ортогональности построенной системы.

Как найти ортогональный базис линейной оболочки

Сообщение 0201400 » 25 фев 2014, 20:20

Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки

• Жалоба
• Цитата

Сообщение Алексей » 25 фев 2014, 23:00

Re: Найти ортогональный базис линейной оболочки

• Жалоба
• Цитата

Сообщение Алексей » 26 фев 2014, 19:39

Итак, поднял свои старые конспекты, — действительно, для ответа на вопрос первого пункта нужно использовать процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Нам заданы два вектора трёхмерного пространства \(R^3\) , причём, насколько я понимаю, скалярное произведение считается по стандартной формуле (т.к. в условии не оговорено обратное). Так как параметр \(i\) в условии не пояснён, то будем считать его просто некоей константой.

Для начала отметим, что векторы линейно независимы. Показать это в нашем случае довольно просто. Обычно исследуют ранг матрицы, столбцы которой образуют заданные векторы. Но для двух векторов трёхмерного пространства можно использовать следующее утверждение: два вектора \(a_1\) и \(a_2\) будут линейно зависимыми, если существует константа \(c \neq 0\) такая, что выполнено равенство \(a_1=c\cdot a_2\) . Если такой константы не существует, то векторы \(a_1\) , \(a_2\) — линейно независимы. Допустим, такая константа есть в нашем случае, т.е. существует такое число \(c \neq 0\) , для которого выполнено равенство:

Векторы будут равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие координаты. Для равенства \((1;i;1)= (0;c i;0)\) это означает следующее: \(\left\ < \begin&1=0; \\ & i=c i; \\ & 1=0. \end \right.\) . Первое и третье уравнения этой системы дают явное противоречие Поэтому нет такой константы, для которой равенство \(a_1=c\cdot a_2\) выполнено. Вывод: векторы \(a_1\) , \(a_2\) — линейно независимы.

Теперь перейдём к процессу ортогонализации. Нам нужно составить систему из двух векторов: \(b_1\) , \(b_2\) . Согласно процессу Грама-Шмидта, мы принимаем \(b_1=a_1\) . Далее, \(b_2=a_2-\frac\cdot b_1\) . Имеем:
\(a_2\cdot b_1=a_2 \cdot a_1=(0;i;0)\cdot (1;i;1)=0+i^2+0=i^2;\)
\(b_1\cdot b_1=a_1 \cdot a_1=|a_<1>|^<2>=1^2+i^2+1^2=i^2+2.\)

Найти ортогональный базис линейной оболочки векторов

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

Базис [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,\ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] , a [math]G(\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] .

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(\mathbf _1, \mathbf _2,\ldots,\mathbf _n)[/math] ортонормированной системы [math]\mathbf _1, \mathbf _2,\ldots, \mathbf _n[/math] равна единичной матрице: [math]G(\mathbf _1, \mathbf _2,\ldots,\mathbf _n)=E[/math] .

1. В ортонормированном базисе [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _n[/math] скалярное произведение векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] находится по формуле: [math]\langle \mathbf ,\mathbf \rangle= x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n[/math] , где [math]x_1,\ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf [/math] , а [math]y_1,\ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf [/math] .

2. В ортонормированном базисе [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _n[/math] длина вектора [math]\mathbf [/math] вычисляется по формуле [math]|\mathbf |= \sqrt [/math] , где [math]x_1,\ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf [/math] .

3. Координаты [math]x_1,\ldots,x_n[/math] вектора [math]\mathbf [/math] относительно ортонормированного базиса [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=\langle \mathbf ,\mathbf _1\rangle,\ldots, x_n=\langle \mathbf ,\mathbf _n\rangle[/math] .

В самом деле, умножая обе части равенства [math]\mathbf = x_1 \mathbf _1+\ldots+x_n \mathbf _n[/math] на [math]\mathbf _1[/math] , получаем

Аналогично доказываются остальные формулы.

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](\mathbf )=(\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)[/math] и [math](\mathbf )= (\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]\mathbb [/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](\mathbf )[/math] к базису [math](\mathbf )\colon\, (\mathbf )=(\mathbf )S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](\mathbf )[/math] и [math](\mathbf )[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] в разных базисах:

где [math]\mathop \limits_ )>,\, \mathop \limits_ )>[/math] и [math]\mathop \limits_ )>,\, \mathop \limits_ )>[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]\mathop \limits_ )>= S \mathop \limits_ )>,[/math] [math]\mathop \limits_ )>= S \mathop \limits_ )>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](\mathbf )[/math] и [math](\mathbf )[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)= G(\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^ =S^T[/math] .

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots, \mathbf _k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]\mathbf _1, \mathbf _2, \ldots,\mathbf _k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,\ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]\mathbf _1[/math] , затем на [math]\mathbf _2[/math] и т.д. на [math]\mathbf _k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=\begin

^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]\mathbf _1, \mathbf _2,\ldots,\mathbf _k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]\det _1,\mathbf _2, \ldots, \mathbf _k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _k[/math] получены векторы [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots,\mathbf _k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]\det G(\mathbf _1, \mathbf _2, \ldots,\mathbf _k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-\alpha_ )[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-\alpha_ )[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _k)[/math] Грама ортогональной системы [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots,\mathbf _k[/math] векторов является диагональной, так как [math]\langle \mathbf _i,\mathbf _j\rangle=0[/math] при [math]i\ne j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots, \mathbf _k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots, \mathbf _k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]\langle \mathbf _j,\mathbf _j\rangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]\mathbf _j= \mathbf _j+ \alpha_ \mathbf _1+ \ldots+ \alpha_ \mathbf _ [/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара :

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math] , элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]\langle a_i,a_j\rangle= (a_i)^Ta_j[/math] . Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]\mathbb ^n[/math] . По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,\ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,\ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства [math]\mathbb [/math] и [math]\mathbb ‘[/math] называются изоморфными [math](\mathbb \leftrightarrow \mathbb ‘)[/math] , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

где [math](\cdot,\cdot)[/math] и [math](\cdot,\cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]\mathbb [/math] и [math]\mathbb ‘[/math] соответственно.

Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb [/math] с вещественным арифметическим пространством [math]\mathbb ^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]\mathbb [/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](\mathbf )=(\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)[/math] , поставим в соответствие каждому вектору [math]\mathbf \in \mathbb [/math] его координатный столбец [math]x\in \mathbb ^n

(\mathbf \leftrightarrow x)[/math] . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]\mathbb \leftrightarrow \mathbb ^n[/math] . В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] пространства [math]\mathbb [/math] находится по формуле

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math] , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

Следовательно, евклидовы пространства [math]\mathbb [/math] и [math]\mathbb ^n[/math] изоморфны.

Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]\mathbb ^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).

Учебное пособие: Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008

Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова

Институт математики, экономики и механики

( решение типовых задач)

Методические указания для студентов 1 курса

Составители: д-р ф-м н., проф. Варбанец П.Д.,

к-т ф-м н., доц. Савастру О.В.

Рецензенты: д-р ф-м н., проф. Евтухов В.М.,

к-т ф-м н., доц. Белозеров Г.С.

Рекомендовано к печати

Ученым советом ИМЭМ Одесского национального университета им. И. И. Мечникова

протокол № 1 от 5 февраля 2008 г.

1. Линейные пространства …………………………………. 5

1.1. Линейные пространства и подпространства………….5

1.2. Базис пространства, его размерность…………………6

1.3. Координаты вектора в данном базисе…………….…11

1.4. Сумма и пересечение подпространств………………12

2. Евклидовы и унитарные пространства ………….…. 17

2.1. Процесс ортогонализации Шмидта………………….17

2.3. Ортогональная проекция и перпендикуляр на подпространство……………………………………………………..20

3. Операторы в линейных пространствах……………. 23

3.1. Образ, ядро линейного оператора……………………28

3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах…..29

3.3. Собственные векторы и собственные значения..…. 31

3.4. Канонический корневой базис и жорданова нормальная форма…………………………………………………….34

4. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах..40

5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду…………………………………………………………. 45

Линейные пространства и линейные операторы представляют собой начало абстрактной части математики, с которой студенту в дальнейшем неоднократно придется иметь дело.

Эти методические указания по самостоятельной работе студентов предполагают использование следующего задачника:

И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.

В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений (если в тексте нет специальной оговорки):

¾ — произвольные пространства над некоторым полем ;

¾ — пространство — мерных строк (столбцов) с элементами из поля над полем (арифметическое пространство).

¾ — действительное — мерное арифметическое пространство;

¾ — комплексное — мерное арифметическое пространство;

¾ — пространства геометрических векторов (прямой, плоскости, пространства);

¾ — евклидовы пространства (с указанием размерности или без него);

¾ — подпространства данного пространства (— индекс, не связанный с размерностью);

¾ векторы рассматриваемого пространства; — нулевой вектор;

¾ скаляры из данного поля, — нуль этого поля;

¾ линейные операторы, в отдельных случаях – матрицы;

¾ матрицы линейных операторов в базисах соответственно ;

¾ размерности пространств ;

¾ ранги операторов (матриц) ;

¾ скалярное произведение в данном пространстве;

¾ векторное произведение в данном пространстве .

Основными типами задач этого параграфа являются следующие:

А) выяснение вопроса, будет ли данное множество с указанными операциями линейным пространством, подпространством;

В) выделение базиса пространства, определение его размерности;

С) вычисление координат вектора в данном базисе;

D) нахождение суммы, пересечения подпространств, их размерностей и базисов.

1.1. Линейные пространства и подпространства.

Для решения задач первой группы необходимо знание аксиом линейного пространства (вообще, не следует приниматься за решение задач любого раздела, не ознакомившись предварительно с основными понятиями и теоремами данного раздела). Заметим, что в группе аксиом линейного пространства содержатся требования неограниченной применимости, однозначности и замкнутости линейных операций, которые не выделены под отдельными номерами. Распространенная ошибка: забывают проверить выполнение этих условий.

В тех условиях, когда данное множество состоит из векторов некоторого известного пространства, полезной является следующая теорема (критерий подпространства):

Теорема. Подмножество векторов пространства над полем является подпространством тогда и только тогда, когда

1. замкнуто относительно сложения, т.е. ,

2. замкнуто относительно умножения векторов на любые скаляры из основного поля : .

Некоторые из задач требуют хорошего знания других разделов курса (элементарной теории матриц, квадратичных форм, систем линейных уравнений). Ниже мы подробнее остановимся на одной из этих задач.

1.2. Базис пространства, его размерность.

Построение базиса пространства, подпространства несколько упрощается, если мы располагаем некоторыми представлениями о размерности пространства, подпространства. Одним из наводящих соображений здесь может быть следующее. Подмножество векторов пространства выделяется из с помощью дополнительных условий, накладываемых на векторы. При этом, чем больше таких условий, тем меньшей, вообще говоря, будет размерность подпространства . Если , а выделено с помощью условий специального вида, то есть основания ожидать, что .

Задача 1.1. (№1297[4]) Доказать, что множество п -мерных векторов, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образует линейное подпространство пространства .

Решение. Множество образует линейное подпространство пространства , так как удовлетворяет критерию подпространства. Действительно, выделяется из с помощью одного условия , поэтому

1.

,

2.

.

Кроме того, нетрудно показать, что . Для этого рассмотрим векторы стандартного базиса . Векторы не принадлежат . Но построение базиса подпространства в ряде случаев удобно выполнить, исходя из стандартного базиса самого пространства, изменяя его векторы так, чтобы они «попали» в подпространство. Поэтому преобразуем векторы так, чтобы у них первая и последняя координаты были равны. Например, пусть . Рассмотрим систему векторов . Она образует базис , так как нетрудно проверить, что она является линейно независимой и каждый вектор из подпространства линейно выражается через вектора этой системы. А так как количество векторов системы равно , то и . Итак, наше предположение оказалось верным.

Линейные подпространства, размерности которых на 1 меньше размерности самого пространства называются гиперплоскостями .

В следующей задаче условий больше.

Задача 1.2. (№1298[4]) Доказать, что множество п -мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны нулю, образует линейное подпространство пространства .

Решение. Для доказательства того, что является подпространством, нужно также воспользоваться критерием подпространства. Так как поэтому следует ожидать, что , где — наибольшее четное число, не превышающее (, если — четное, и , если — нечетное). Базисом является подсистема стандартного базиса пространства , содержащая векторы только с нечетными номерами.

Задача 1.3. Проверить, является ли множество многочленов степени 3 с вещественными коэффициентами подпространством пространства многочленов степени ().

Решение. Воспользуемся критерием подпространства. Проверим условие .

Пусть , тогда

,

так как степень суммы этих двух многочленов равна двум. Итак, множество не является подпространством.

Задача 1.4. (№№1291, 1308[4]) Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства пространства , если составляют все векторы из , у которых сумма координат .

Решение. Очевидно векторы стандартного базиса

(1 на — ой позиции ) множеству не принадлежат ни при каком . Однако, замена на векторах последнего нуля числом (-1) дает нам векторы из . Таким образом мы получаем систему векторов

из , которая линейно независима (почему?) и обязана быть базисом , ибо из условия задачи явно следует, что из и, следовательно, .

Попутно решен вопрос (и подтвердилась гипотеза) о размерности ( выделено из одним условием).

Задача 1.4. (№1306[4]) Пусть — неотрицательная квадратичная форма от неизвестных ранга . Доказать, что все решения уравнения =0 образуют мерное линейное подпространство пространства .

Поиск решения. Вспоминаем основные понятия теории квадратичных форм (матрица формы, ранг формы, определение формы). Очевидно, что более подробные записи данного уравнения в виде

, никак не указывают на способ решения задачи.

В процессе дальнейших размышлений начинаем понимать, что мы должны исходить из неотрицательной определенности формы . Нормальный вид такой формы

(1)

а множество решений уравнения =0 в этом случае состоит из векторов вида

, (2)

Где — произвольные числа из . Имеющийся опыт (задача 1.2) подсказывает, что множество векторов такого вида есть ()-мерное подпространство пространства . Но данная нам форма не обязательно нормальная. И здесь мы вспоминаем, что каждая неотрицательно определенная форма ранга невырожденным линейным преобразованием приводится к виду (1). Создается план решения: преобразовать форму к виду (1) , найти решения (2) уравнения =0 для преобразованной формы, а затем с помощью обратного преобразования построить решения уравнения =0 для данной формы .

Решение. По теореме о приведении квадратичной формы к нормальному виду существует невырожденное линейное преобразование

, приводящее форму к виду

Множество решений уравнения состоит из векторов где , то есть из векторов

.

Обозначим (1 на — ой позиции) и докажем, что множество решений уравнения =0 есть линейная оболочка системы векторов

.

Пусть . Тогда

Очевидно и другое:

Кроме того, система линейно независима (проверяется непосредственно). Составляем линейную комбинацию . Получаем . Мы пришли к матричному уравнению, которое имеет единственное решение, так как матрица является невырожденной.

.

Отсюда . Тем самым мы показали, что система является линейно независимой. Следовательно, — линейное пространство (по построению) и его размерность

1.3. Координаты вектора в данном базисе.

Решение вопроса о ранге системы векторов, заданных координатами в некотором базисе, выделение из системы ее максимальной линейно независимой подсистемы, выражение остальных векторов в виде линейных комбинаций векторов этой подсистемы сводится к решению этих же задач для системы строк (столбцов) координатной матрицы, которые подробно обсуждались в соответствующем параграфе первой части.

1.4.Сумма и пересечение подпространств.

Пусть — данные подпространства пространства. Обычно их задают в виде линейных оболочек систем векторов или как множества решений некоторых однородных систем линейных уравнений, а сами векторы- координатными строками в некотором базисе. Вычисление не составляет особого труда: это ранг объединения базисов или порождающих систем подпространств и . находится по формуле

. (3)

Несколько сложнее обстоит дело с поиском базиса пересечения . В общем виде этот вопрос рассматривается в задаче №1319 [4]. Здесь же мы укажем, как найти решения конкретных задач (№№ 1320-1322 [4]). Задачу 1.6 мы решим двумя способами, второй — с помощью схемы Штифеля (предполагаем, что №1319 вы уже разобрали).

Задача 1.6. Найти базис суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов

и

Решение. Обозначим , . Будем считать, что координаты векторов заданы в единичном базисе .

1 способ. Как известно, базисом суммы служит любая база системы векторов , . Его построение сводится к вычислению ранга матрицы, строками которой являются координаты векторов последней системы. Кроме того, базис суммы можно получить, добавляя к базису первого подпространства некоторые из векторов базиса второго подпространства.

Итак, . Базис составляют .

. Базис составляют .

.

Базис составляют . По формуле (3) получаем . Базис пересечения будем искать из условия . Значит, представим в виде и . Приравниваем правые части . Это равенство эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Нужно решить эту систему и построить ФСР. Тогда будет образовывать базис пересечения.

Решив систему, строим ФСР.

Вектор образует базис .

2 способ. 1) Составим таблицу Штифеля для объединенной системы векторов , и перебрасываем наверх сначала векторы , пока это возможно (квадратиками выделены разрешающие элементы). Векторы , переходящие налево, не пишем и их координаты не вычисляем.

Примеры решений. Линейные пространства

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач о линейных пространствах по темам: проверка линейности подпространства, базис пространства и подпространства, ортогональное подпространство, размерность.

Решения задач: линейные пространства

Задача 1. Образует ли линейное подпространство пространства $R^4$ множество $V$, заданное по правилу:

Задача 2. Даны векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ и $a$ в стандартном базисе пространства $R^4$.
Требуется:
а) убедиться, что векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ образуют базис пространства $R^4$;
б) найти разложение вектора $a$ по этому базису;
в) найти угол между векторами $e_1$ и $e_2$.

Задача 3.Найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L^ $

Задача 4. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства $V_3$ :
1) радиус-векторы точек данной плоскости;
2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором $\overline$ угол $\alpha$;
3) множество векторов, удовлетворяющих условию $|\overline |=1$ .

Задача 5. Пусть $L$ — множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию $p(1)+p'(1)+p»(1)=0$. Доказать, что $L$ — линейное подпространство в пространстве $P_2$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Задача 6. Образуют ли многочлены $p_1(x)=x^3+x^2-1$, $p_2(x)=x^2-2x$, $p_3(x)=x^3+x$, $p_4(x)=x^2-3$ базис в пространстве $P_3$?

Задача 7. Доказать, что матрицы вида $$ \begin

$$ образуют линейное подпространство в пространстве матриц $M_ $. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.