Доказать что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства

8

3.2. Ядро и образ линейного преобразования

Следствие. Множество является подпространством.

Так как множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством, то из теоремы 3.5 следует, что множество является подпространством.

Пример

Найти ядро линейного преобразования , где

Решение. Так как ядро совпадает с множеством решений системы уравнений , то базисом подпространства является фундаментальный набор решений этой системы уравнений. Найдем этот базис

_.

Векторы образуют базис системы векторов . Вектор разлагается по векторам : . Отсюда следует, что фундаментальный набор решений системы линейных уравнений состоит из одного вектора , который является базисом . Итак, ядро

Так как является подпространством пространства , то вектор принадлежит . Линейное преобразование называется невырожденным, если содержит только нулевой вектор, т. е. .

□ Теорема 3.6. Дано линейное преобразование . Тогда равносильны следующие утверждения:

1. Линейное преобразование является невырожденным.

2. Линейное преобразование f переводит базис пространства в базис этого пространства, т.е. если базис , то и базис пространства .

3. Линейное преобразование обратимо.

Доказательство

1) 2). Дано, что ядро . Докажем, что если базис , то также базис пространства . Сначала докажем линейную независимость системы векторов . Для этого рассмотрим произвольное разложение вектора по этой системе векторов

Равенство (1) перепишем в виде

Теперь из равенства (2) вытекает, что вектор . Отсюда, в виду вытекает

= . (3) Так как линейно независимая система векторов, то из соотношения (3) следуют равенства . Этим доказана линейная независимость системы векторов . Она содержит n векторов и, значит, является базисом пространства

2) 3). Диагональная система является базисом пространства Из условия 2) теоремы получаем, что базис пространства . Так как матрица линейного преобразования то . Следовательно, − линейно независимая система векторов и, значит, матрица обратима, т. е. − обратимое преобразование.

3) 1). Дано, что линейное преобразование обратимо. Докажем, что ядро . Пусть вектор , т. е. Отсюда . Следовательно, . ■

Множество всех векторов , , называется образом линейного преобразования и обозначается символом . Итак,

Теперь докажем следующую теорему.

□ Теорема 3.7. Множество является подпространством пространства .

Доказательство. Пусть , − произвольные векторы подпрост-ранства . Тогда найдутся такие векторы , в пространстве что . Теперь имеем

Из этих равенств вытекает, что векторы + и принадлежат множеству . Следовательно, является подпространством. ■

В следующей теореме содержится задание подпространства в виде линейной оболочки.

□ Теорема 3.8. Если система векторов , ,…, базис пространства то = .

Доказательство теоремы вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

Пример

Найти образ линейного преобразования

Решение. Диагональная система , , является базисом пространства . Так как

то из теоремы 3.8 следует, что

1. Доказать, что существует единственное линейное преобразование пространства , переводящее его базис соответственно в векторы . Найти матрицу этого линейного преобразования.

2. Найти ядро линейного преобразования, которое переводит базис пространства соответственно в векторы

3. Доказать, что линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда из неравенства следует, что

4. Доказать равносильность следующих утверждений:

5. Доказать, что для каждого линейного преобразования справедливо равенство

6. Доказать, что для каждого линейного преобразования пространства сумма размерностей ядра и образа равна n, т. е. .

линейная-алгебра — Доказательство от противного

Докажите, что существует единственное линейное отображение А: R^5 -> R^3, переводящее векторы: a1=(2,2,-2,-1,1); a2=(-2,3,-1,2,0); a3=(-2,-1,3,0,2); a4=(-4,2,0,1,2); a5=(-1,2,-2,0,1); соответственно в векторы:b1=(6,12,-6); b2=(-12,14,-7); b3=(-12,-2,1); b4=(-21,20,-10); b5=(-6,18,-9)

задан 6 Мар ’16 10:53

Идея у меня такая: доказывать от противного, но где использовать координаты векторов в своем доказательстве я не понимаю.

@Den: нужно проверить, что система a1. a5 линейно независима. Это можно сделать при помощи определителей, или гауссовых преобразований. Из этого всё сразу следует: как существование, так и единственность. Векторы образуют базис в R^5, а на базисных векторах линейное отображение можно задать как угодно.

@falcao а как в этом примере найти базис ядра и базис образа этого линейного отображения?

Доказать что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства

Пример 1–1442: Пусть задан вектор=(x₁,x₂,x₃) линейного пространства. Записано преобразование пространства:=(x₁, x₂+1, x₃+2). Выяснить, является ли оно линейным. Если преобразование линейное, найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторыи.

1). Запишем базис пространства: />=(1,0,0), =(0,1,0),=(0,0,1). Это значит, что произвольный вектор линейного пространства может быть записан в виде:=x₁+x₂+x₃.

2). Пусть заданы два произвольных вектора и , принадлежащие . В соответствии с определением операций суммы векторов:=+=(x₁+y₁,x₂+y₂,x₃+y₃) и=(x₁,x₂,x₃).

3). Запишем векторы-образы для векторов, участвующих в доказательстве линейности :

= (y₁, y₂+1, y₃+2) и =(x₁,x₂+1, x₃+2);

== (+,+ y₂+1, x₃+y₃+2).

4). Из представленных записей следует: требование +— выполняется, требование— выполняется → преобразование — не является линейным.

Ответ: не является линейным преобразованием.

Пример 2–1445: Пусть имеем совокупность векторов :=(2,3,5),=(0,1,2),=(1,0,0), и совокупность векторов:=(1,1,1),=(1,1,-1),=(2,1,2). Доказать, что существует единственное линейное преобразование, переводящее совокупность векторовв совокупность. Найти матрицу этого преобразования в той же базе, в которой заданы все векторы.

Замечание: обозначим базу, в которой записаны все векторы, и в которой должно определиться искомое линейное преобразование, как совокупность векторов: i=(, , ).

R 1 – имеем выражения:=·,=·;,,— матрицы-столбцы.

R 2 –ищем матрицу перехода от совокупности векторов к совокупности векторов, определяемую выражением:=·; это выражение по форме соответствует определению линейного преобразования, задаваемого матрицейв базе.

R 3 – в задании указано, что матрица преобразования, должна быть определена в базе; это значит, что нужно матрицуподвергнуть трансформированию матрицейперехода от базык базе, то есть:=·.

R 4 –определяем алгоритм расчётов:=·→=, где:=и=.

1). Из координат векторов составим матрицы: =и=. Определители матриц: ||≠0 и||≠0 → матрицыи невырожденные → матрица не вырожденной, являясь произведением невырожденных матриц.

2). Так как совокупности векторов имогут использоваться в качестве баз рассматриваемого векторного пространства, то матрица перехода от базы к базе — невырожденная. Это обеспечивает единственность представления матрицы линейного преобразования.

3). В главе 9 показано, что матрицу перехода от базы к базедля варианта-1, необходимо вычислять, применяя выражение:=·.

4). Используем выражение =. Так как в нашем случае d = 1, то =.

5) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

Линейные преобразования. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Линейные преобразования (линейные операторы). Матрица линейного преобразования

Пусть задано -мерный пространство . Если каждому вектору поставлено в соответствие единственный вектор

этого же пространства, говорится, что в векторном пространстве задано преобразование , или оператор .

Вектор — результат линейного преобразования — называют образом вектора , а выходной вектор — прообразом вектора .

Преобразование называется линейным преобразованием, или линейным оператором, если для произвольных векторов и произвольного действительного скаляра выполняются условия:

То есть линейный оператор преобразует пространство в то самое пространство. Это записывается следующим образом:

Примерами простейших линейных преобразований являются:
тождественное преобразование: , когда каждый -мерный вектор пространства превращается в самого себя, то есть остается без изменения;

нулевой оператор , когда каждый -мерный вектор пространства превращается в ноль-вектор этого же пространства, то есть

Линейное преобразование , с помощью которого осуществляется восстановление вектора по его образу , называется обратным к линейным преобразованием. В отличие от матрицы оператор записывают каллиграфическим шрифтом.

Рассмотрим задачу об отыскании координат образа вектора .

Пусть в пространстве выбрано базис (не обязательно ортонормированный) и есть координатами вектора в этом базисе. Обозначим через координаты вектора в выбранном базисе. по условию , тогда согласно линейностью оператора получим :

Но образы тоже являются векторами с , поэтому иx можно разложить по тому же базисом. Пусть

где коэффициенты разложения вектора по базису

С другой стороны, если являются координатами вектора в базисе то его можно представить следующим образом:

Сопоставляем (5.8) из (5.7) и получаем координаты вектора :

координаты образа вектора являются линейными комбинациями координат прообраза, коэффициенты при которых составляют матрицу -го порядка (обозначим ее через ):

Матрица , которая в произведении (слева) с вектором с определяет координаты его образа при линейном преобразовании , Называется матрицей линейного преобразования в базисе и пишут:

Каждый — -й — столбец матрицы составляют коэффициенты разложения вектора по базису каждая — -я — строка определяет коэффициенты разложения координат вектора по координатам вектора .

Обратите внимание, что — нераздельный символ (обозначение вектораобраза), а — произведение матрицы с вектором (прообразом).

Каждому линейном оператору -мерного пространства отвечает матрица -го порядка в данном базисе. И наоборот, каждой матрицы -го порядка отвечает линейный оператор -мерного пространства с определенным базисом.

Например, с помощью оператора линейных преобразований можно описать поворот произвольного вектора с пространства вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Формулы поворота осей координат (формулы перехода от исходных координат и к новым и , и наоборот ) определяют алгебраическую форму изображения линейного оператора поворота осей:

где оператор перехода от исходных (новых) координат к новым (исходных);

векторы, началом которых является точка , а концами —
точки и , соответственно.

По соотношению (5.12) матрица линейного преобразования> , Описывающий поворот произвольного вектора из пространства вокруг начала координат на угол против часовой стрелки, имеет вид:

а матрица обратного линейного преобразования , то есть такого, что описывает поворот произвольного вектора из пространства вокруг начала координат на угол по часовой стрелке, имеет вид:

Матрицы и линейного оператора в разных базисах и связаны между собой соотношением:

где матрица перехода от исходного к новому базису.

Доказательство. Пусть линейный оператор превращает вектор пространства в вектор того самого пространства. Тогда в матричной форме связь между вектором и его образом в исходном базисе можно записать как , а в новом — как . Поскольку является матрицей перехода от исходного базиса к новому, то в соответствии с (4.18) имеем:

Умножим равенство (5.14) слева на матрицу и получим . Отсюда по определению линейного оператора имеем: . С учетом (5.15):

Сравнив соотношение и , получаем

Две квадратные матрицы и называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , матрицы и связанные соотношениями:

Подобные матрицы описывают то же линейное преобразование, но в разных базисах, а матрица является матрицей перехода от одного базиса к другому.

В базисе и задана матрица линейного оператора :

Определим матрицу , которая отвечает том же оператору в базисе векторов и есть матрица подобна матрице .

Предоставим расписание векторов нового базиса по векторам исходного базиса: . Соответственно, матрица перехода от исходного к новому базису имеет вид:

Ее определитель , то есть матрица невырожденная и имеет обратную:

По теореме 5.1 определяем матрицу оператора в новом базисе:

Обратите внимание, что в новом базисе матрица оператора оказалась диагональной.

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора: определение, свойства

Рассмотрим -мерных линейный пространство с определенным базисом и матрицу , некоторого линейного оператора пространства.

Ненулевой вектор называют собственным, или характеристическим вектором линейного оператора (или матрицы ), если существует такое действительное число , имеет место равенство:

Скаляр называется собственным, или характеристическим, числом матрицы , или ее собственным значением, соответствует собственному вектору :

1) Если , то каждый ненулевой вектор из является собственным вектором матрицы , при этом , ведь по свойству единичной матрицы имеем ;
2) любой ненулевой -мерный вектор является собственным вектором нулевой матрицы , при этом , так как .

Поставим задачу нахождения собственных чисел и собственных векторов заданной матрицы

Запишем матричное уравнение (5.17) в развернутом виде:

Таким образом, задача сводится к решению однородной системы линейных уравнений с неизвестными. Нас интересуют (по определению собственного вектора) только ненулевые векторы, то есть нетривиальные решения системы, поэтому определитель системы (5.18) должен быть равен нулю:

Раскрытие определителя в соотношении (5.19) дает многочлен степени относительно , который называется характеристическим многочленом матрицы , а соотношение (5.19), которое можно представить в виде , определяет уравнение для нахождения собственных чисел, которое называют характеристическим уравнением матрицы .

По основной теореме алгебры уравнения любой матрицы имеет корней, если каждый из них считать столько раз, какова его кратность. Характеристическое уравнение матрицы может иметь только действительные, но и комплексные корни, то есть числа вида где действительные числа, мнимая единица.

Множество всех собственных чисел матрицы называют спектром матрицы. Если в спектре матрицы то же собственное число повторяется раз, то говорят, что кратность этого собственного числа равна .

Теорема 5.2 (о единственности собственного чucлa, что соответствует собственному вектору). Если — собственный вектор матрицы , то существует единственный скаляр , который удовлетворяет условие .

Доказательство. Предположим, что кроме собственного числа существует еще один
скаляр , такой, что . Тогда должно выполняться равенство . Поскольку по определению собственный вектор является ненулевым, то есть , получим .

Согласно теореме 5.2 говорят, что собственный вектор из матрицы принадлежит собственному числу .

Теорема 5.3 (о множестве собственных векторов, принадлежащих собственному числу). Если матрица имеет собственный вектор, принадлежащий собственному числу , то таких векторов бесконечно много.

Действительно, пусть собственный вектор матрицы , тогда . Привлечем к рассмотрению вектор , коллинеарный вектору , то есть , где , и покажем, что в также является собственным вектором матрицы :

Поскольку равенство (5.19) выполняется для произвольного , то существует множество собственных векторов, принадлежащих данному собственному числу.

Теорема 5.4 (критерий существования собственного вектора , соответствующего собственному числу ). Вектор тогда и только тогда является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу , когда его координаты образуют ненулевое решение однородной квадратной системы линейных алгебраических уравнений

или

Необходимость уже доказано переходом от соотношения , к однородной системе линейных уравнений , представленной в развернутом виде (5 18).

Достаточность. На основании свойств действий над матрицами с учетом условия , осуществит переход от однородной системы уравнений в матричной форме с соотношением :

Доказательство проведем методом от противного. Пусть два произвольные собственные векторы, принадлежащие соответственно собственным числам и . Необходимо показать, что линейная комбинация этих собственных векторов ноль-вектор только тогда, когда , то есть

Предположим обратное. Пусть (5.23) выполняется при условии, что одно из чисел не является нулем, например,

Умножим левую и правую части (5.23) на собственное число . Тогда

Левую и правую части равенства (5.23) умножим на матрицу слева, и, учитывая свойства операций над матрицами, получим:

По условию теоремы . По определению вектор является ненулевым, поэтому равенство (5.26) возможно только при , то есть предположение о линейной зависимости векторов и ошибочно.

Заметим, что собственные векторы, принадлежащих различным собственным числам, можно использовать как базисные векторы пространства .

Теорема 5.6 (пpo сумму и произведение собственных чисел). Если собственные числа матрицы , то:
1) сумма собственных чисел равна сумме элементов главной диагонали матрицы :

2) произведение собственных чисел равна определителю матрицы :

Доказательство основывается на формулах Виета, которые описывают соотношение между корнями и коэффициентами многочлена -гo степени в случае, когда его старший коэффициент равен единице.

Рассмотрим простейший случай . Запишем характеристическое уравнение в развернутом виде:

Сумму всех диагональных элементов матрицы называют следом (от нем. spur — след) этой матрицы и обозначают .

Для квадратной матрицы произвольного порядка теорему 5.6 в символьном виде можно записать так:

при этом собственное число берем столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения (5.29).

Нахождение собственных чисел и собственных векторов

Рассмотрим алгоритм нахождения собственных чисел матрицы и собственных векторов, которые им принадлежат.
Согласно соотношениями (5.18) и (5.19) имеем такой порядок отыскания собственных чисел и собственных векторов матрицы.
1. Составляем по исходной матрицей характеристическое уравнение (5.18) и решаем его, то есть находим спектр собственных чисел.
2. Подставляем поочередно каждое собственное число в систему (5.18) и находим все ее нетривиальные решения, что и дает множество собственных векторов, принадлежащих соответствующему собственному числу.

Решив его, получим собственные числа и

Теперь описываем множества и всех собственных векторов, принадлежащих найденным собственным числам.

Для этого в матрицу вместо подставим поочередно значения собственных чисел, запишем соответствующую систему однородных линейных уравнений (5.18) и решим ее:

Предоставляя параметру произвольных значений, для данного собственного числа получим совокупность коллинеарных между собой собственных векторов.

Симметричная матрица имеет только действительные собственные числа. Собственные векторы, принадлежащие разным собственным числам, ортогональны и линейно независимы.

Пусть имеем симметричную матрицу

2. Найдем корни полученного кубического уравнения относительно . С элементарной алгебры известно, если многочлен со старшим коэффициентом, равным единице, имеет целые корни, то их следует искать среди делителей свободного члена. Перебирая делители числа 36, убеждаемся, что является корнем уравнения (5.30).

3. Опишем множества и собственных векторов, принадлежащих найденным собственным числам.

Для этого в матрицу вместо подставляем поочередно значения собственных чисел, записываем соответствующую систему однородных линейных уравнений (5.17) и решаем ее методом Жордана-Гаусса:

Аналогично находим собственные векторы и

Система векторов и является линейно независимой, поскольку

Убеждаемся, что векторы и — попарно ортогональны.
Для этого определим их скалярные произведения:

Поскольку скалярные произведения векторов равны нулю, то векторы попарно ортогональны.
Если в выражениях (5.31-5.33) положить , то получим систему векторов:

которая использовалась как базис пространства в примере после теоремы и . В таком базисе, то есть базисе из собственных векторов, матрица оператора оказалась диагональной, ее ненулевыми элементами являются собственные числа матрицы .

Теорема 5.8 (о преобразовании матрицы к диагональному виду). Матрица линейного оператора в базисе имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами матрицы .
Теорему наводим без доказательств

Заметим, что при нахождении собственных чисел для заданной матрицы самой задачей является решение алгебраического уравнения -й степени, что во многих случаях сделать невозможно без использования приближенных методов. Изучение приближенных методов выходит за пределы программы. Поэтому предлагаем воспользоваться известными программами MatLab, MathCad, Maple и др.

корнями которого будут числа а соответствующие им собственные векторы имеют вид:

Базис пространства из собственных векторов линейного оператора

По теореме 5.5 собственные векторы, принадлежащие разным собственным числам, являются линейно независимыми. Возникает вопрос, при каких условиях существует базис линейного пространства , построенный из собственных векторов матрицы.
Лема. Если является собственным числом матрицы , то множество собственных векторов матрицы содержит линейно независимых векторов, где — ранг матрицы .

где — собственный вектор матрицы , что соответствует собственному числу . По теореме 4.4 такая система имеет фундаментальную систему решений, количество векторов которой равна , то есть содержит — линейно независимых векторов.

Теорема 5.9 (о существовании базиса из собственных векторов матрицы). Пусть числа образуют множество всех различных собственных чисел матрицы . Если сумма рангов матриц равна , то в пространстве существует базис из собственных векторов матрицы .

Доказательство. Согласно лемме каждое множество собственных векторов, соответствующих уравнению , содержит независимые векторы в количестве . По теореме 5.5 собственные векторы, принадлежащие разным собственным числам, являются линейно независимыми. Тогда для матрицы общее количество линейно независимых собственных векторов составляет:

Поскольку собственные векторы матрицы в совокупности составляют систему линейно независимых векторов, то они образуют базис пространства .

Теорема 5.10 (о существовании базиса из собственных векторов симметричной матрицы). Если матрица линейного оператора симметрична, то в пространстве существует базис, образованный из собственных векторов матрицы .

Теорему принимаем без доказательств.
Построим ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы

линейного преобразования , и найдем матрицу заданного преобразования в этом базисе.

Согласно теореме 5.9 такой базис существует, поскольку матрица является симметричной матрицей. Составим характеристическое уравнение матрицы :

и решим его: (собственное значение кратности ) и

Для каждого из двух различных собственных чисел матрицы определим фундаментальную систему решений однородной системы уравнений: . При в результате элементарных преобразований основной матрицы системы получаем:

Определяем фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

Собственные векторы и являются ортогональными, поскольку их скалярное произведение равно нулю:

При в результате элементарных преобразований основной матрицы системы получаем:

Возлагаем и получаем фундаментальный решение однородной системы уравнений

Поскольку и , то все три вектора попарно ортогональны. Объединив полученные фундаментальные системы решений, иметь систему собственных векторов матрицы . Они образуют ортогональный базис пространства . После нормирования векторы приобретают вид:

Это и есть ортогональный базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы .

По соотношению (5.13) определим матрицу , что соответствует оператору в базисе из собственных векторов. Согласно теореме 5.8 эта матрица будет иметь диагональный вид, а элементами ее главной диагонали будут собственные числа этой матрицы. Заключим с собственными векторами , и матрицу перехода к новому базису и найдем обратную к ней матрицу :

По матричным уравнением (5.13) находим матрицу , что соответствует оператору в базисе из собственных векторов:

Следовательно, мы получили диагональную матрицу третьего порядка, элементами главной диагонали которой есть собственные числа матрицы .

Линейная модель обмена (модель международной торговли)

Построение математической модели. Введем обозначения количественных характеристик, описывающих торговлю между странами, и определим связь между этими характеристиками. Пусть — страны, участвующие в международной торговле. Доли средств, которые тратит страна на закупку товаров в стране , учитывая и внутренний товарооборот , обозначим через . Понятно, что

Матрицу , элементами которой являются числа , называют структурной матрицей торговли:

Эта матрица описывает взаимодействие стран в процессе международной торговли. Соотношение (5.34) означает, что сумма элементов каждого столбца матрицы равна
1. Если объем средств, которые тратит каждая страна на торговлю, обозначить через , соответственно, то прибыль страны от внутренней и внешней торговли составит

Чтобы торговля каждой страны была сбалансированной, по определению должно выполняться условие , и , то есть прибыль от торговли не должна быть меньше расходов. Однако соблюдение этого требования в виде неравенства невозможно для всех стран в совокупности. Действительно, добавим левые и правые части указанных неровностей, изменяя от единицы до :

Группируя в левой части слагаемые, содержащие каждое из , получим:

Отсюда следует, что сбалансированная торговля возможна только в случае знака равенства. Это, полагаем, понятно не только на основании аналитических выкладок, но и с экономической точки зрения (и даже просто с точки зрения здравого смысла): все страны в совокупности не могут получить прибыль. Более того, для одной из стран не может выполняться знак строгого неравенства .

Итак, условием сбалансированной торговли является равенства , и , из которых получим:

Введем в рассмотрение вектор (бюджетных) средств и подадим систему (5.39) в матричной форме:

С (5.40) следует, что при условии сбалансированности торговли между странами вектор средств должен быть собственным вектором структурной матрицы торговли , который принадлежит собственному числу . Таким образом, решение задачи сводится к нахождению этого собственного вектора , компоненты которого устанавливают соотношение между бюджетами стран, участвующих в товарообмене.

Рассмотрим товарообмен между тремя странами. Пусть структурная матрица торговли стран , имеет вид:

Искомый вектор средств является собственным вектором структурной матрицы, принадлежащий собственному значению . Его компоненты образуют ненулевое решение однородной СЛАУ:

Находим общее решение системы, в котором — базисные переменные, — свободная переменная:

Отсюда следует, что для сбалансированности торговли необходимо, чтобы средства, которые вкладывает в внешний товарооборот каждая страна, соотносились как

Линейные преобразования для «чайников»

На двух ближайших уроках я вкратце расскажу вам ещё об одном разделе высшей алгебры, который касается линейных преобразований… и тут сразу, заметьте, напрашивается добавить «преобразований чего-то». Тема обширная, тема интересная, и моя скромная задача состоит в том, чтобы в доступной форме донести до читателя её основы. В этой связи статья будет посвящена не только абстрактным алгебраическим вопросам, но и наполнена богатым геометрическим содержанием. Кроме того, сегодня мы обобщим такое важное понятие как вектор, имеющий к сему содержанию лишь частное отношение.

Есть ли среди вас начинающие изучать высшую математику? …хотя, чего тут спрашивать, конечно же, есть… – не смогли ведь пройти мимо заголовка! …Ну вот вы мне и попались, голубчики =) Для эффективного изучения материала нужно знать основы алгебры, аналитической геометрии, а также уметь выполнять действия с матрицами. На самом деле всё довольно просто, но если у вас возникнут вопросы (или уже встретился какой-то непонятный термин), то, пожалуйста, воспользуйтесь ссылками.

Обобщение понятия вектора. Векторное пространство

Ожидание казни хуже самой казни и поэтому лучше сразу почувствовать леденящий холодок настоящей алгебры =) Начнём с обещанного разбора полётов, а именно с понятия вектора. Давайте вспомним, что мы о нём знаем. Палочка со стрелочкой, знакомая ещё из школы. В высшей математике эта палочка «поднялась» до свободного вектора плоскости и пространства. Хорошо…. Далее слово «вектор» встретилось нам в ходе изучения матриц. Так, например, матрицу «один на два» мы называем вектором-строкой, а матрицу «три на один» – вектором-столбцом. Это векторы? Да, это векторы! Причём эти векторы сами по себе не имеют никакого отношения к геометрии. В своих статьях по алгебре я неоднократно оговаривался, что «данный вектор нужно понимать в алгебраическом смысле» и на уроке о ранге матрицы привёл краткую теоретическую справку по этому поводу: вектор – это упорядоченный набор чисел (обычно действительных)… и далее по тексту. А вот это уже более близко к истине: здесь, скажем, двумерный вектор понимается именно как упорядоченная пара чисел, которую, в частности можно интерпретировать, как координаты геометрического вектора. Или как решение системы линейных уравнений (см., например, статью об однородных системах). Или ещё как-нибудь.

Но и это частность! На самом деле в определённом контексте векторами являются матрицы, многочлены, функции и т.д. …и даже наши «обычные» действительные числа! А почему нет? Пожалуйста: множество векторов (никаких геометрических ассоциаций!), имеющих в наборе одно действительное число .

Так что же такое вектор? Что объединяет все эти случаи?

Предположим, что для всех элементов некоторого множества определены операции их сложения и умножения на скаляр , причём результаты этих операций (полученные элементы) тоже принадлежат данному множеству. Если при этом выполнены следующие восемь аксиом (см. по ссылке), то рассматриваемые элементы называются векторами (никаких ассоциаций!!), а всё их множество – векторным или линейным пространством

Обратите внимание на обозначения: абстрактный вектор чаще всего записывают жирной буквой – чтобы не возникало путаницы с различными «конкретными» векторами. Для векторного пространства стандартно используется буква .

Итак, какие бы «частные семейства» векторов мы ни взяли (геометрические, матричные, строковые и т.д.) – для каждой из этих алгебраических структур справедливо следующее:

– все элементы рассматриваемого множества можно складывать и умножать на скаляр (далее работаем с действительными числами), причём результаты этих операций тоже принадлежат данному множеству.

– для операций сложения и умножения выполнены аксиомы векторного пространства.

И здесь следует отметить, что термины «сложение» и «умножение» тоже носят общий символический смысл – в зависимости от природы того или иного векторного пространства эти операции определяются по-разному.

В курсе линейной алгебры проводится скрупулезная проверка различных множеств на предмет того, образуют ли они линейное пространство. И если удастся определить сложение и умножение на скаляр медведей на велосипеде и доказать для данных операций выполнение указанных 8 аксиом, то векторами будут и эти объекты =)

А теперь к основной теме урока:

Что такое линейное преобразование?

Если в линейном пространстве каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор этого же пространства, то говорят, что в данном пространстве задана векторная функция векторного аргумента: (во избежание разночтений с другими математическими записями скобки нередко опускают: ).

Данная функция называется линейным преобразованием, если для неё выполнены пресловутые свойства линейности, с которыми вы ещё не раз столкнётесь в ходе изучения высшей математики:

,
, где – произвольные векторы данного пространства, а – действительное число.

Линейное преобразование также называют линейным оператором.

Следующий пример оброс не только бородой, но и волосами на спине: рассмотрим линейное пространство векторов-строк вида , в котором определены операция сложения и умножения вектора на число .

Никакой геометрии. – то, что я сформулировал в статье о ранге матрицы, называется
-мерным арифметическим векторным пространством, и сейчас мы имеем дело с частным арифметическим пространством размерности 2.

Докажем, что функция векторного аргумента является линейным преобразованием. Доказательство состоит в проверке свойств линейности:

Здесь мы воспользовались дистрибутивностью умножения на скаляр относительно сложения векторов (одна из аксиом векторного пространства)

А здесь – аксиомой ассоциативности умножения на скаляр, коммутативностью (перестановочностью) самих действительных чисел (аксиома поля) и снова той же аксиомой ассоциативности.

Читателям, которым предстоит изучать теорию высшей алгебры, следует привыкнуть к таким доказательствам. Беспощадно формально, но, как сказали бы древние римляне, Dura algebra sed algebra =)

Таким образом, – это линейное преобразование.

Разумеется, далеко не всякий оператор является линейным, и в других источниках информации можно найти массу примеров, как на удачную, так и неудачную проверку различных преобразований на линейность. И со строгостью доказательств на практике обычно всё попроще, …хотя, тут от преподавателя зависит – и по-хорошему, в математике ещё нужно обосновать, почему «ноль не равен единице».

Ну а сейчас мы спускаемся на землю грешную и переходим к геометрическому смыслу линейных преобразований. Пусть – это множество геометрических векторов плоскости. Для простоты рассмотрим привычный ортонормированный базис и прямоугольную систему координат .

Если задан какой-либо базис, то линейное преобразование удобнее представить в матричном виде. Как записать оператор в виде матрицы? На этот счёт существует общее правило: чтобы записать матрицу линейного преобразования в -мерном базисе нужно последовательно и строго по порядку применять данный оператор к базисным векторам, а результаты заносить в столбцы матрицы (слева направо).

Наш случай элементарен: сначала применим линейное преобразование к первому базисному вектору: и запишем результат в 1-й столбец: . Затем «обрабатываем» 2-й орт: и заносим полученные координаты во 2-й столбец:

– матрица линейного преобразования в базисе .

Протестируем построенную матрицу с помощью вектора . Для этого «уложим» его координаты в вектор-столбец и выполним следующее матричное умножение:
– в результате «на выходе» получены координаты вектора , что и требовалось проверить.

Поскольку любая точка плоскости однозначно определяется её радиус-вектором ( – начало координат), то матрица преобразования, по существу, применима и к координатам точек. И далее для простоты я буду говорить, что, например, точка :
– перешла в точку .

Наверное, все уже поняли, что делает этот оператор. Мысленно представьте произвольный треугольник на плоскости. После применения рассматриваемого линейного преобразования данный треугольник увеличится в два раза. Такие треугольники (имеющие равные соответствующие углы), как многие помнят из школы, называются подобными. Да и сам оператор носит такое же название:

Линейное преобразование называется преобразованием подобия или гомотетией, причём:

– если , то речь идёт об однородном растяжении (увеличении) объектов плоскости в раз;
– если – то о сжатии (уменьшении) в раз;
– если , то преобразование тождественно (ничего не меняет).
И если меньше нуля, то дополнительно к растяжению/сжатию/неизменности векторы меняют направление, а точки отображаются симметрично относительно начала координат.

При имеет место так называемое нулевое преобразование.

Следует отметить, что на прикладном и «любительском» уровне линейные преобразования чаще всего как раз и ассоциируются именно с геометрическими преобразованиями. Рассмотрим ещё несколько популярных примеров по теме, и, чтобы разнообразить серые геометрические будни, мысленно нарисуем на координатной плоскости кошачью морду. Можно и не мысленно =)

…Представили? Нарисовали? Отлично!

Преобразование растягивает объекты плоскости по направлению вектора (горизонтали) в 2 раза, после чего кот Леопольд радует нас своей широкой-широкой улыбкой!

…хотя у многих, наверное, не кот… да и не факт, что с улыбкой… – как говорится, у каждого в голове своя морда =)

И в самом деле, преобразуем точку :
– «иксовая» координата увеличилась в 2 раза, а «игрековая» – не изменилась.

Преобразование сожмёт кота по горизонтали в 3 раза. Желающие могут по ходу объяснений приготовить мясорубку тестировать для рассматриваемых матриц различные векторы и точки. Читателям с маломальскими навыками матричного умножения не составит особого труда делать это устно.

Преобразование вытянет все ненулевые объекты плоскости по направлению вектора (по вертикали) в полтора раза. Это будет очень удивлённый кот.

Дополнительные знаки «минус» приведут к зеркальному отображению объектов (относительно оси ординат либо начала координат).

– образно говоря, «челюсть налево, лоб направо». Это преобразование называется перекосом или сдвигом плоскости в направлении вектора (в данном случае).

– данное преобразование поворачивает векторы системы против часовой стрелки на угол .

И, наконец, венчает все эти метаморфозы ещё один лохматый пример:
преобразование переводит единичный квадрат с вершинами в параллелограмм с вершинами .

А тут уж дело случая – может получиться, как комната смеха, так и комната страха – зависит от того или иного преобразования.

Из вышесказанного нетрудно понять, что в базисе любой квадратной матрице «два на два» соответствует некоторое линейное преобразование, и наоборот любому линейному преобразованию соответствует своя матрица «два на два». И данный факт справедлив вообще для любого аффинного базиса , причём одно и то же линейное преобразование в разных базисах будет иметь в общем случае разные матрицы (что следует из самого принципа формирования этих матриц).

По аналогичной схеме можно рассмотреть векторы нашего трёхмерного пространства, с тем отличием, что преобразований будет больше, преобразования будут веселее. И, разумеется, линейные преобразования «работают» в векторных пространствах бОльшей размерности, однако там они уже далеки от геометрии.

В некотором аффинном базисе задано линейное преобразование . Найти образ точки . Используя обратное преобразование, выполнить проверку.

Решение: потихоньку нагружаю вас терминологией: образ – это то, что должно получиться в результате преобразования. В данном случае, очевидно, должна получиться некоторая точка . Исходная точка , соответственно, является прообразом.

! Надеюсь, все понимают, что штрихи в данном контексте не имеют никакого отношения к производным.

Образы векторов и точек мы уже неоднократно находили выше:

Таким образом, линейное преобразование перевело точку в точку .

Теперь найдём матрицу обратного преобразования, которое превращает образы векторов и точек обратно в их прообразы. Для этого запишем простейшее матричное уравнение (где – координатный столбец прообразов, а – образов) и для его разрешения относительно умножим обе части на обратную матрицу слева:

«Развернём» уравнение в привычном порядке:

Обратную матрицу можно найти через алгебраические дополнения либо методом Гаусса-Жордана, но здесь я рекомендую первый способ, поскольку он позволит быстро выяснить, а существует ли матрица вообще.

Заряжаем стандартный алгоритм. Сначала вычислим определитель:
, значит, матрица линейного преобразования обратима. С содержательной точки зрения это означает, что обратное линейное преобразование существует и задаётся оно в точности матрицей .

Здесь и далее я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы. Итак, в результате стандартных действий находим и выясняем, во что превратится найденная точка :

– получены координаты исходной точки , что и требовалось проверить.

Ответ:

Следует отметить, что обратное преобразование осуществимо далеко не всегда. Так бывает, например, при проектировании векторов на координатные оси или при тривиальном нулевом преобразовании. В таких случаях определитель матрицы прямого оператора равен нулю и обратной матрицы не существует.

Творческая задача для самостоятельного решения:

В результате применения оператора в некотором базисе получены образы . Найти прообразы данных векторов.

Краткое решение и ответ в конце урока. Обратите внимание, что формулировка данной задачи вовсе не утверждает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Как оно, собственно, и бывает в большинстве типовых заданий, которые для полного комфорта оформляются малопонятной клинописью:

Даны два линейных преобразования:

Спокойно, спокойно, сейчас во всём разберёмся…

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

Решение: и как раз первое, что здесь можно сказать – это отсутствие информации о характере векторов . Известно только, что они заданы в некотором базисе, ибо матрица линейного преобразования НЕ МОЖЕТ существовать без базиса (т.к. она порождается базисными векторами). Сам базис нам тоже не известен, но для решения задачи информация о нём и не нужна.

Тем не менее, для пущего понимания предположим, что все дела происходят в обычной декартовой системе координат . И, чтобы не прослыть живодёром, я рассмотрю 3D-модель кота Леопольда =)

Запишем матрицу левого преобразования: . Данное преобразование переводит векторы в образы . Систему, кстати, удобнее переписать в виде уже знакомого матричного уравнения:
или, если короче: .

Данный оператор определённым образом преобразует все векторы (а значит и точки) пространства. Геометрически это означает, что кот Леопольд, оказывается, например, сплющенным (не знаю, не проверял).

Теперь ВНИМАТЕЛЬНО записываем матрицу второго преобразования: (здесь существует немалый риск поставить ноль не там где нужно). Данное преобразование переводит векторы в образы , в результате чего «сплющенный кот», скажем, растягивается вдоль какой-нибудь плоскости.

Аналогично – запишем преобразование в матричном виде:
или:

По условию, нужно найти результирующее (композиционное) преобразование, которое нам сразу даст «сплющенного и растянутого Леопольда». Подставим в уравнение :

Всё оказалось до безобразия просто – главное, матрицы перемножить в правильном порядке. Вычислим матрицу композиционного преобразования:

Если вы позабыли само матричное умножение, обратитесь к статье Свойства матричных операций, где я подробнейшим образом разобрал этот случай.

Осуществим матричное умножение в правой части:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, итоговое преобразование, выражающее координаты векторов-образов через координаты векторов-прообразов, запишется в виде следующей системы:

Выполним проверку. Для этого подставим уравнения , левой системы (см. условие) в правую часть каждого уравнения 2-й системы:

Что и требовалось проверить.

Этот способ, кстати, можно было бы рискнуть взять и за основой, если бы итоговое преобразование не требовалось найти средствами матричного исчисления

Ответ:

Как пользоваться этой системой? Очень просто – берём например, вектор и тупо подставляем его координаты:
– таким образом, он превратился в вектор .

Более академичный способ – использование матричного уравнения .

Энтузиасты могут смоделировать деформацию кота Леопольда с помощью специализированного программного обеспечения и отправить мне картинку, которую я обязательно опубликую. Мне и самому интересно, что же там с ним на самом деле произошло =)

В том случае, если нужно «вернуть кота к первоначальному виду», следует найти обратную матрицу результирующего преобразования и воспользоваться уравнением .

«Плоский» случай для самостоятельного решения:

Даны два линейных преобразования в некотором базисе:

Найти образ вектора двумя способами:

1) путём последовательного применения преобразований и ;
2) с помощью композиционного оператора, выражающего координаты через .

Был велик соблазн вас запутать, но всё же я воздержался. Однако на практике нужно иметь в виду следующее:

– системы запросто могут быть переставлены местами;

– условие задачи может требовать выразить через и тогда потребуется дополнительно находить обратную матрицу результирующего преобразования;

В этой связи очень важно РАЗОБРАТЬСЯ в сути задания, и если что-то осталось недопонятым, обязательно перечитайте объяснения ещё раз – не лишним будет даже порисовать.

А сейчас переходим к вопросу, который назревал в течение всего урока:

Матрица линейного преобразования в различных базисах

В начале статьи мы выяснили происхождение матрицы линейного преобразования на примере оператора и ортонормированного базиса . Напоминаю: для того, чтобы записать матрицу линейного оператора в каком-либо базисе, нужно строго по порядку подействовать этим оператором на базисные векторы и полученные координаты занести в столбцы матрицы (слева направо). В результате «обработки» векторов нами была составлена матрица данного линейного преобразования в данном базисе.

Но ведь на «школьном» базисе свет клином не сошёлся! Ничто нам не мешает перейти к произвольному базису , где это же линейное преобразование, очевидно, выразится другой матрицей. Но сам-то оператор не изменится – он будет по-прежнему увеличивать векторы плоскости в 2 раза. Таким образом, справедливо следующее утверждение, которое по существу уже было озвучено ранее:

Одно и то же линейное преобразование в разных базисах в общем случае имеет РАЗНЫЕ матрицы.

И следующие две задачи как раз посвящены этому вопросу:

В базисе задано линейное преобразование . Найти матрицу данного преобразования в базисе , если

Решение: в условии задачи опять ничего не сказано о характере векторов, но для наглядности предположим, что данные базисы являются аффинным базисами плоскости. Как заметили внимательные читатели, предложенное линейное преобразование вытягивает все ненулевые объекты плоскости в направлении координатного вектора в 2 раза, и наша задача состоит в том, чтобы записать матрицу этого же преобразования в новом базисе . Для решения этого вопроса существует специальная формула:

, где – матрица перехода от базиса к базису .

Составляется она просто: берём вектор и «укладываем» коэффициенты его разложения (внимание!) в 1-й столбец матрицы: . Затем рассматриваем вектор и заносим коэффициенты его разложения во 2-й столбец:

Внимание! Базисные векторы, в данном случае векторы , следует «перебирать» строго по порядку!

Остальное дело техники. Находим обратную матрицу:

И, наконец, матрицу рассматриваемого линейного преобразования в новом базисе:

Пользуясь ассоциативностью матричного умножения, можно было сначала найти , а затем , но, в общем-то, это уже несущественные детали.

Ответ:

Ещё раз повторим смысл задания: само линейное преобразование не поменялось – оно по-прежнему растягивает ненулевые объекты плоскости вдоль «старого» вектора в 2 раза и не деформирует их в направлении вектора , но в новом базисе матрица данного преобразования уже другая. И вы видите её в ответе.

Очевидно, что найденная матрица задаёт обратное преобразование, т.е. выражает старые базисные векторы через новые. Аккуратно «транспонируем» столбцы матрицы в коэффициенты соответствующей системы: . Таким образом, при желании всегда можно вернуться к старому базису: . Обратная формула следует из простых логических соображений, но её можно вывести и формально – разрешив матричное уравнение относительно .

Иногда матрицы и называют подобными.

Какой базис удобнее? Конечно же, исходный, который задаётся матрицей – он сразу позволяет выяснить характер линейного преобразования. И что это за такой интересный базис, и как получить эту матрицу другим способом, вы узнаете на уроке о собственных векторах.

Трехмерный случай для самостоятельного решения:

Найти матрицу линейного преобразования в базисе , где , , , если она задана в базисе .

Пожалуйста, не путайте это задание с Примером № 3 – по первой оглядке здесь тоже какие-то похожие равенства, тоже штрихи, но смысл совершено другой. Если там шла речь о двух линейных преобразованиях и взаимосвязи координат векторов, то здесь – об одном и том же преобразовании и взаимосвязи векторов двух базисов.

Краткое решение и ответ совсем рядом.

И в завершении урока вернёмся к двумерному случаю и матрицам «два на два». Казалось бы, с геометрической точки зрения эти матрицы задают линейные преобразования плоскости и разговор закончен. Но на самом деле это не так – у матриц есть и другой геометрический смысл, с которым можно ознакомиться на уроке Переход к новому базису. Сначала я хотел включить пару соответствующих примеров в эту статью, но чуть позже решил, что материал будет уместнее опубликовать в разделе аналитической геометрии.

Ну и конечно, не забываем, что рассматриваемый материал касается не только геометрических векторов плоскости и пространства, но и вообще любых векторов.

Спасибо за внимание, жду вас на следующем, не менее увлекательном уроке о собственных числах и собственных векторах линейного преобразования.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём матрицу обратного преобразования:
(см. урок. Как найти обратную матрицу)
Найдём прообразы:

Ответ:

Пример 4: Решение: запишем матрицы преобразований:

1) Последовательно применим к вектору преобразования и :

2) Найдём результирующее преобразование:

Таким образом:

Ответ: (нулевой вектор)

Пример 6: Решение: Решение: Используем формулу . Запишем матрицу перехода к новому базису:

Найдём матрицу обратного перехода:

Вычислим:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!