Решение уравнения по e в степени
Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
.
Также число e можно представить в виде ряда:
.
График экспоненты
На графике представлена экспонента, е в степени х.
y ( x ) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Формулы
Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .
Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.
Частные значения
Пусть y ( x ) = e x . Тогда
.
Свойства экспоненты
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .
Область определения, множество значений
Экспонента y ( x ) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
– ∞ .
Ее множество значений:
0 .
Экстремумы, возрастание, убывание
Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
| y = е х | |
| Область определения | – ∞ |
| Область значений | 0 |
| Монотонность | монотонно возрастает |
| Нули, y = 0 | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 |
| + ∞ | |
| 0 |
Обратная функция
Производная экспоненты
Производная е в степени х равна е в степени х:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Комплексные числа
Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
Выражения через тригонометрические функции
Разложение в степенной ряд
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-02-2014 Изменено: 09-06-2018
Как решать
показательные уравнения?
Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.
Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:
Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:
Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.
И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:
И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.
Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.
Простейшие показательные уравнения
Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:
Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:
Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.
Решим что-нибудь посложнее.
Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:
Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:
Теперь наше уравнение будет выглядеть так:
Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:
Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.
Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.
Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:
Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^ \):
И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:
И еще один пример:
Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.
Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.
Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.
Общий метод решения показательных уравнений
Пусть у нас есть вот такой пример:
Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).
Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.
Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:
Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:
Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:
Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:
Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:
$$x=4.$$
Пример 6 $$5^ =125 \Rightarrow 5^ =5*5*5 \Rightarrow 5^ =5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^ =81 \Rightarrow (3*3)^ =3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^ =3^4 \Rightarrow 3^ =3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac .$$
Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).
Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:
\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):
Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):
Подставим данное преобразование в наш пример:
Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.
Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.
Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.
Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:
Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.
И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).
Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:
Решение показательных уравнений при помощи замены
Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.
Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^ =(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^ \). Подставим:
Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.
Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:
И второй корень:
И еще один пример на замену:
Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):
Подставим в исходное уравнение:
Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:
Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:
И второе значение \(t\):
Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):
Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:
Разберем каждое слагаемое:
Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:
Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac )^x\):
Сделаем обратную замену:
И последний пример на замену:
Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:
Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:
Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!
И последнее слагаемое со степенью:
Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:
Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):
Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.
И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут
Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:
Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):
И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:
Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^ \) и \(\frac=a^ \):
Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.
Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!
Уравнения экспоненты по математике
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Экспонента представляет собой показательную функцию \[y(x) =e^x,\] производная которой равна самой функции. Экспоненту обозначают: \[e^x, exp(x), Exp(x) \]
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1. Основанием степени экспоненты является число «е». Это иррациональное число. Оно примерно равно:
Выражение числа «е» через предел последовательности. Число «е» можно выразить через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
Выражение числа е в виде ряда
\[e = 2+1/2!+1/3!+1/3!+ \cdots +1/n!+ \cdots \]
На графике представлена экспонента, \[e\] в степени \[x:\]
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Что касается основных формул, то они такие же, как и для показательной функции с основанием степени \[е.\]
Выражение показательной функции через экспоненту:
Где можно решить уравнение с экспонентой онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!
Возведение экспоненты в степень
Число е является важной математической константой, которая является основой натурального логарифма. Число е примерно равно 2.71828 с пределом (1 + 1/n) n при n, стремящемся к бесконечности. Иногда число е называют числом Эйлера или числом Непера.
Возведение числа е в степень означает возведение в степень числа Эйлера е x = exp (x)
Число е в 1-й степени, как и любое число в этой степени, будет равно самому себе, т.е. 2.71828182845905. При возведении числа Эйлера (е) в нулевую степень ответ будет равняться 1. При возведении в степень, которая будет больше единицы, ответ будет больше первоначального. Если степень будет больше нуля, но меньше 1 (например, 0,5), то ответ будет больше 1, но меньше первоначального (числа е). При возведении экспоненты в отрицательную степень нужно 1 делить на число е в заданной степени, но со знаком плюс.
Онлайн калькулятор возведения экспоненты в степень поможет найти значение экспоненциальной функции e x , а также проверить на правильность самостоятельное решение.
Онлайн калькуляторы
Calculatorium.ru — это бесплатные онлайн калькуляторы для самых разнообразных целей: математические калькуляторы, калькуляторы даты и времени, здоровья, финансов. Инструменты для работы с текстом. Конвертеры. Удобное решение различных задач — в учебе, работе, быту.
Актуальная информация
Помимо онлайн калькуляторов, сайт также предоставляет актуальную информацию по курсам валют и криптовалют, заторах на дорогах, праздниках и значимых событиях, случившихся в этот день. Информация из официальных источников, постоянное обновление.
Как выразить число из степени экспоненты
(PHP 4, PHP 5, PHP 7, PHP 8)
Description
Возвращает num в степени exponent .
Note:
Вместо этого можно использовать оператор ** .
Parameters
Основа для использования
Return Values
num в степени exponent . Если оба аргумента являются неотрицательными целыми числами и результат может быть представлен как целое число, результат будет возвращен с типом int, в противном случае он будет возвращен как число с плавающей запятой.
Examples
Пример # 1 Некоторые примеры pow ()
Notes
Note:
Эта функция преобразует весь ввод в числа, даже нескалярные значения, что может привести к weird результатам.
Формула Эйлера и приближенные методы
Илья Бирман в заметке о числах π и e написал об их связи со мнимой единицей:
Числа π и e входят в мою любимую формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:
e iπ + 1 = 0
Почему число 2,7182818284590 в комплексной степени 3,1415926535i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.
Замечание о небольшой книге верно. Но я собираюсь в одной заметке рассказать, почему , без привлечения пределов и рядов. Сначала я остановлюсь на приближенном выражении для экспоненты, а также напомню, как обращаться с комплексными числами.
Экспоненциальная функция
$$\begin
Экспоненциальная функция среди степенных функций с другими основаниями примечательна тем, что касательная к ее графику в точке идет под углом в 45 градусов. Как видно из рисунка, вблизи точки касания кривую можно заменить самой касательной . Поэтому для очень малых значений x экспоненту легко вычислить по приближенной формуле
Что делать, если показатель экспоненты не является малым числом? Попробуем извлечь корень из e x и сразу же возвести в квадрат: . Показатель экспоненты уменьшился в два раза. Ясно, что если экспоненту разбить на большее количество множителей, показатель уменьшится еще сильнее: e x = (e x/n ) n . Выбираем n очень большим и используем приближение для e x/n :
Чем больше n, тем меньше аргумент экспоненты x/n и тем точнее работает эта формула.
Комплексные числа
Комплексное число — это сумма обычного действительного числа a и мнимого числа bi, где мнимая единица i есть решение уравнения . Правила действий над комплексными числами легко получить, если потребовать, чтобы основные формулы арифметики действительных чисел, такие как возведение в степень и раскрытие скобок, были верны и для комплексных чисел. То есть комплексные числа можно складывать и умножать как обычно, нужно только помнить, что . Например,
У комплексных чисел a + bi есть наглядное графическое представление. Будем считать, что это число задает точку с координатами . Или, что то же самое, вектор, проведенный из начала координат в эту точку. Проекции вектора на оси координат есть a и b. Ясно, что каждому вектору можно сопоставить свою пару чисел , то есть свое комплексное число .
$$\begin
Представление в виде вектора удобно, когда речь идет о сумме комплексных чисел. Тогда вектор, соответствующий сумме комплексных чисел, равен сумме векторов, соответствующих каждому слагаемому. К сожалению, у произведения комплексных чисел нет такой наглядной картины. Тем не менее, чтобы сформулировать относительно простое правило для представления произведения в виде вектора, перейдем от декартовых координат к полярным координатам r и α. Первое число задает длину вектора и называется модулем комплексного числа, а второе есть угол между вектором и осью абсцисс и называется аргументом. Ясно, что каждая пара этих чисел, r и α, тоже однозначно задает свой вектор и свое комплексное число.
Теперь можно сформулировать правило умножения в терминах длины вектора и его направления (оно выведено в дополнении к заметке). Длина вектора произведения равна произведению длин векторов сомножителей, а аргумент (угол между вектором и осью абсцисс) равен сумме аргументов. Я изобразил это правило на рисунке. Здесь синий вектор равен произведению зеленого и красного.
$$\begin
Возведение в комплексную степень
В отличие от сложения и умножения, правило возведения в комплексную степень , или хотя бы во мнимую степень x bi , нельзя получить, обобщив обычное правило возведения в действительную степень. Например, 2 i — это результат умножения числа 2 самого на себя «i раз». Непонятно, правда?
Чтобы всё же определить возведение в комплексную степень, нужно привлечь дополнительные принципы или соображения по отношению к правилам арифметики. В качестве такого принципа я предлагаю считать разложение e x ≈ 1 + x около нуля справедливым не только для действительных x, но и для комплексных.
Если это разложение верно, то тогда приближенная формула e x ≈ (1 + x/n) n должна работать и для комплексных чисел. В ее показателе уже нет мнимой единицы, поэтому расчеты можно проводить с помощью выписанных выше правил. Это ровно то, что нам нужно для вычисления e iπ .
Возьмем для примера n = 10 и будем умножать число 1 + iπ/10 само на себя, чтобы получить . К счастью, компьютер большую часть работы делает за нас:
Вот эти числа на рисунке:
В соответствии с правилом умножения, аргумент растет как арифметическая прогрессия, а модуль — как геометрическая. К сожалению, из-за небольшого n наша формула слишком неточная, и мы пришли к числу вместо ожидаемого −1. Но зато мы понимаем процедуру, которая при неограниченном росте n даст нужное значение.
Действительно, чем меньше число iπ/n, тем с большей точностью отрезок касательной iπ/n приближает дугу окружности, тем ближе к π/n угол между соседними векторами и тем меньше отклонение длины векторов от 1. В пределе мы получим точки окружности единичного радиуса, а само число попадет в −1. Прямые вычисления это подтверждают:
Дополнение 1. Привлечение математической строгости
Я на простых примерах рассказал о том, как ведут себя числа и функции. Математики обычно не используют изложенный выше способ рассуждений, хотя его можно сделать вполне строгим с помощью понятий предела и «о малого».
Но даже если следовать абсолютно строгому математическому пути построения теории, нельзя просто так ввести правило возведения в комплексную степень, без дополнительных определений и аксиом. Разложение e x ≈ 1 + x представляет собой два первых слагаемых в ряде Тейлора (остальными слагаемыми мы пренебрегли, потому что они дадут поправку порядка x 2 , которая несущественна при малых x). В простейшем случае комплексная экспонента определяется как сумма всех слагаемых ряда Тейлора. С использованием такого определения вывод формулы , и ее частного случая, формулы Эйлера, является легким упражнением для изучающих математический анализ.
В более продвинутом курсе теории функций комплексной переменной вводится понятие аналитической функции. Это такая функция f, которая раскладывается в ряд Тейлора, который сходится к самой функции f. (Для того чтобы комплексная функция была аналитической в какой-то области, достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой области. Требование дифференцируемости в комплексном случае гораздо сильнее, чем в действительном. Комплексная дифференцируемая функция в области бесконечно дифференцируема и аналитична на ней.) Оказывается, что аналитическую функцию, определенную для действительных чисел, можно единственным образом продолжить в область комплексных чисел, чтобы функция осталась аналитической. В этом и состоит обоснование выбора определения комплексной экспоненты через ряды: мы специально выбираем экспоненту в виде ряда, чтобы получилась аналитическая функция.
Дополнение 2. Тригонометрическая форма и умножение комплексных чисел
$$\begin
После перехода от декартовых координат к полярным через последние можно выразить действительную и мнимую часть комплексного числа , которые являются катетами в треугольнике с гипотенузой r и углом α:
Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме:
Вспоминая тригонометрические формулы, видим, что в круглых скобках получились выражения для косинуса и синуса суммы углов. Окончательный ответ имеет вид
Таким образом, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения есть сумма произведений сомножителей.
Дополнение 3. О приближенных методах вычислений
В физике постоянно используются приближенные методы, особенно разложение в ряд Тейлора до первого (изредка до второго) слагаемого. Дело в том, что аналитическое решение в виде формулы можно получить разве что в простейших задачах. Численно, на компьютере, тоже не всякая задача решается. Поэтому часто в ходе преобразований приходится что-нибудь раскладывать и чем-нибудь пренебрегать.
Иногда приближенные методы удается использовать и в арифметических задачах. Прекрасный пример встречается в книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман»:
Тут в ресторан вошел японец. Я уже раньше видел его: он бродил по городу, пытаясь продать счеты. Он начал разговаривать с официантами и бросил им вызов, заявив, что может складывать числа быстрее, чем любой из них.
Официанты не хотели потерять лицо, поэтому сказали: «Да, да, конечно. А почему бы Вам не пойти к тому посетителю и не устроить соревнование с ним?»
Этот человек подошел ко мне. Я попытался сопротивляться: «Я плохо говорю на португальском!»
Официанты засмеялись. «С числами это не имеет значения», — сказали они.
Они принесли мне карандаш и бумагу.
Человек попросил официанта назвать несколько чисел, которые нужно сложить. Он разбил меня наголову, потому что пока я писал числа, он уже складывал их.
Тогда я предложил, чтобы официант написал два одинаковых списка чисел и отдал их нам одновременно. Разница оказалась небольшой. Он опять выиграл у меня приличное время.
Однако японец вошел в раж: он хотел показать, какой он умный. «Multiplicao!» — сказал он.
Кто-то написал задачу. Он снова выиграл у меня, хотя и не так много, потому что я довольно прилично умею умножать.
А потом этот человек сделал ошибку: он предложил деление. Он не понимал одного: чем сложнее задача, тем у меня больше шансов победить.
Нам дали длинную задачу на деление. Ничья.
Это весьма обеспокоило японца, потому что он явно прекрасно умел выполнять арифметические операции с помощью счет, а тут его почти победил какой-то посетитель ресторана.
«Raios cubicos!» — мстительно говорит он. Кубические корни! Он хочет брать кубические корни с помощью арифметики! Трудно найти более сложную фундаментальную задачу в арифметике. Должно быть, это был его конек в упражнениях со счетами.
Он пишет на бумаге число — любое большое число — я до сих пор его помню: 1729,03. Он начинает работать с этим числом и при этом что-то бормочет и ворчит: «Бу-бу-бу-хм-гм-бу-бу», — он трудится как демон! Он просто погружается в этот кубический корень!
Я же тем временем просто сижу на своем месте.
Один из официантов говорит: «Что Вы делаете?»
Я указываю на голову. «Думаю!» — говорю я. Затем пишу на бумаге 12. Еще через какое-то время — 12,002.
Человек со счетами вытирает со лба пот и говорит: «Двенадцать!»
«О, нет! — возражаю я. — Больше цифр! Больше цифр!» Я знаю, что, когда с помощью арифметики берешь кубический корень, то каждая последующая цифра требует большего труда, чем предыдущая. Это работа не из легких.
Он опять уходит в работу и при этом бормочет: «Уф-фыр-хм-уф-хм-гм. ». Я же добавляю еще две цифры. Наконец, он поднимает голову и говорит: «12,0!»
Официанты просто светятся от счастья. Они говорят японцу: «Смотрите! Он делает это в уме, а Вам нужны счеты! И цифр у него больше!»
Он был абсолютно измотан и ушел, побежденный и униженный. Официанты поздравили друг друга.
Каким же образом посетитель выиграл у счетов? Число было 1729,03. Я случайно знал, что в кубическом футе 1728 кубических дюймов, так что было ясно, что ответ немногим больше 12. Излишек же, равный 1,03, — это всего лишь одна часть из почти 2000, а во время курса исчисления я запомнил, что для маленьких дробей излишек кубического корня равен одной трети излишка числа. Так что мне пришлось лишь найти дробь 1/1728, затем умножить полученный результат на 4 (разделить на 3 и умножить на 12). Вот так мне удалось получить целую кучу цифр.
Несколько недель спустя этот человек вошел в бар того отеля, в котором я остановился. Он узнал меня и подошел. «Скажите мне, — спросил он, — как Вам удалось так быстро решить задачу с кубическим корнем?»
Я начал объяснять, что использовал приближенный метод, и мне достаточно было определить процент ошибки. «Допустим, Вы дали мне число 28. Кубический корень из 27 равен 3. »
Он берет счеты: жжжжжжжжжжжжжжжж — «Да», — соглашается он.
И тут до меня доходит: он не знает чисел. Когда у тебя есть счеты, не нужно запоминать множество арифметических комбинаций; нужно просто научится щелкать костяшками вверх-вниз. Нет необходимости запоминать, что 9 + 7 = 16; ты просто знаешь, что когда прибавляешь 9, то нужно передвинуть десятичную костяшку вверх, а единичную — вниз. Поэтому основные арифметические действия мы выполняем медленнее, зато мы знаем числа.
Более того, сама идея о приближенном методе вычисления была за пределами его понимания, несмотря на то, что зачастую невозможно найти метод точного вычисления кубического корня. Поэтому мне так и не удалось научить его брать кубический корень или объяснить, как мне повезло, что он выбрал число 1729,03.
Фейнман использовал ряд Тейлора для степенной функции, который для кубического корня выглядит как $$\sqrt[3]<1+x>=1+x/3+\ldots$$ Вот вся последовательность вычислений:
В этом приближенном ответе благодаря малости числа 1,03/1728 по сравнению с единицей все цифры точные, расхождение с правильным ответом начинается в шестом знаке после запятой. Самая сложная операция в приведенной цепочке — вычисление дроби 1,03/432.