Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Сегмент круга
Данный калькулятор считает параметры сегмента круга, а именно:
- длину дуги (L),
- длину хорды (C),
- площадь (S),
- высоту (h),
Перед вами 2 калькулятора, чтобы рассчитать параметры сегмента:
1) сегмент круга решается с помощью радиуса (R) и угла (A).
2) сегмент круга находим с помощью высоты и длины хорды.
Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике hourто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:
Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
Далее зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
Остальные параметры сегмента, вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.
Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:
Расчет параметров сегмента круга
С егмент круга — это область, ограниченная дугой и хордой этого круга. Когда что-то делится на части, каждая часть называется сегментом. Точно так же сегмент является частью окружности. Но сегмент — это не какая-то случайная часть окружности, это определенная часть окружности, которая разрезана ее хордой.
С уществует два типа сегментов: один — второстепенный сегмент, а другой — основной сегмент. Второстепенный сегмент образован малой дугой, а основной сегмент образован большой дугой окружности.
Д алее представлены свойства сегмента круга:
⇒ Э то область, которая окружена хордой и дугой.
⇒ У гол, уменьшенный на отрезок в центре окружности, совпадает с углом, уменьшенным на соответствующую дугу. Этот угол обычно известен как центральный угол.
⇒ М еньший сегмент получается путем удаления соответствующего большого сегмента из общей площади круга.
⇒ Б ольшой сегмент получается путем удаления соответствующего меньшего сегмента из общей площади окружности.
⇒ П олукруг — это самый большой сегмент в любом круге, образованном диаметром и соответствующей дугой.
Геометрия круга
Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии.
Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.
- Окружность — линия, ограничивающая круг.
- Дуга — часть окружности.
- Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
- Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
- Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.
Интересующие нас величины и их обозначения:
- R — радиус круга (здесь «радиус» — это уже не отрезок, а его длина);
- D — диаметр круга — двойной радиус;
- C — длина окружности;
- L — длина дуги;
- X — длина хорды;
- H — высота сегмента;
- φ — центральный угол — угол между двумя радиусами;
— площадь круга;
— площадь сектора;
— площадь сегмента.
Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.
- Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
- Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
- Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.
Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.
Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).
И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.
И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.
1. Даны диаметр D и длина дуги L
В статье много ошибок, посмотрел с самого начала — длина дуги и хорды — формулы не верны, а в программе считает верно.
«Много ошибок» — замечательное обвинение! Укажите хотя бы одну.
Между прочим, программа считает именно по этим формулам, что доказывает их верность.
Внимательнее читайте обозначения!
Извинения приветствуются.
Вот что мне еще пришло в голову. Возможно, вы случайно длиной окружности назвали длину дуги, которая у вас как раз и должна быть 3,14.
А если из формул этого не получается, то ошибка наиболее вероятна в том, что арктангенс надо брать не в градусах, а в радианах.
Если вы из какой-то таблицы находите арктангенс в градусах, то умножьте его на пи и разделите на 180.
Возмутительно! Вот правильная формула ХОРДА=Д*sin(A/2)
Сдается мне, что Вы погорячились с возмущением. Если под А Вы подразумеваете центральный угол, то в моих формулах альфа обозначает как раз половину центрального угла.
Будучи измеренной в радианах, самостоятельного смысла она не несет, а служит некоторой универсальной величиной для вычисления всех остальных параметров (в последнем абзаце перед рассмотрением вариантов об этом как раз говорится).
Для ортодоксальных математиков нужно где-то добавить формулу фи = два альфа)))
Спасибо за замечание, но это не совсем так. Фи — это два альфа, умноженное на 180 и деленное на пи (фи измеряется в градусах для удобства его практического применения, в отличие от альфа, который измеряется в радианах и служит просто промежуточной величиной в вычислениях). А эта формула (или обратная ей) присутствует в каждом из вариантов.
задачи 5 и 7:
Добавим P. P — это гипотенуза треугольника с катетами H и X/2. длину P можно найти по теореме Пифагора, зная H и X. Так вот: треугольник со сторонами P, H и X/2 подобен треугольнику со сторонами P, D, Pk, где D — это диаметр, который тут будет гипотенузой, а Pk есть катет проведённый из P до конца D. Вот и получается, что D относится к P, как P относится к Н, значит D=P^2/H. Теперь тот случай, когда Н не дано. 2*P=Х+0.75(L-X). Гипотенуза теперь есть -> Н ищем по теореме Пифагора, а можно по формуле: корень(3)/8 * (корень((L-X)(3L+5X))
Спасибо, Владимир, за Ваше решение. Но, честно говоря, я его так и не смог понять. Формулы, в которых у Вас завязаны величины L и X, для меня представляются загадочными. Возможно, это какие-то приближенные формулы, требующие некоторых допущений? Ведь посудите сами: L — это длина кривой (а не отрезка прямой), как же она может участвовать в вычислениях, построенных на подобии треугольников и теореме Пифагора? Или я не прав?
Владимир, добрый день, для начала разделите сегмент на две части, получится почти «треугольник», у него вместо гипотенузы выступает полдуги (кривая). Величина же прямой гипотенузы (p) будет равна 0,75L+0,25а (где а — это половина хорды). На эту формулу очень давно первым вышел Гюйгенс. По ней зависимость дуги, хорды и высоты следующая: 64H^2=9L^2+6LX-15X^2. Зная две, всегда можно найти третью, а D=p^2/H. Получится приближенно, но это будет в среднем 0,25% для углов меньше 2радиан, а от 2рад до ПИрад примерно 1,5%, в предельном значении 3%, но это уже при полном развороте, но там не надо уже :).
Я так и думал: это из приближенной формулы Гюйгенса для длины дуги. Вы назвали фамилию, и я вспомнил, что когда-то даже пользовался ею. Но потом из соображений лени написал программу на все случаи жизни в сегменте, чтобы больше никогда не мучить себя и калькулятор. Она вычисляет эти два варианта с большой точностью, используя итерационный алгоритм.
Еще раз спасибо за предложенное решение.
Мутновато с подобием. Каким образом второй треугольник P:D:Pk оказался прямоугольным? Разве угол между Р и Рк прямой? Подобны треугольники P:H:X/2 и Pk:(D-H):X/2.
Поскольку Владимир, автор предложенного решения, вряд ли Вам ответит, то отвечу я.
С подобием там все в порядке: оно следует из того факта, что вписанный в окружность угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Как это доказывается, уже не помню, но из этого как раз следует, что угол, опирающийся на концы диаметра, — всегда прямой.
Как найти центральный угол или его половину по известной площади сегмента и радиусу окружности
Площадь сегмента через радиус окружности и половину центрального угла:
S = R^2 * (A — sin A * cos A)
При помощи формул найти отсюда А не получится, поэтому надо либо написать программку для решения этого уравнения, либо искать какие-то приближенные формулы для площади сегмента.
как найти высоту сегмента зная только радиус и площадь сегмента?
Вы, случаем, не из одного учебного заведения с автором предыдущего комментария? Уж очень похожие у вас задачи.
1. Высота сегмента через радиус окружности и половину центрального угла:
H = R * (1 — cos A)
2. A находится из уравнения, приведенного мною в ответе на предыдущий комментарий.
3. Аналитически это уравнение не решается, и надо воспользоваться каким-то математическим методом программирования.
4. За скромную сумму размером, скажем, в мою месячную пенсию я готов для Вас такую программу написать.
Точность решения для меня не важна, поэтому задачу я решил в автокаде подгонкой под ответ -)).
А задача на производстве ставится следующая.
Есть ленточный конвейер. Лента сворачивается в U-образный лоток (на загрузке), потом вообще сворачивается в трубу ф120 мм. На разгрузке соответственно лента разворачивается.
Принимаем условно, что лента в свернутом в трубу состоянии заполнена в сечении на 70% от общего. Необходимо найти расстоянии от горизонтальной оси до верхней точки перемещаемого сыпучего материала. В автокаде подгонкой площади я получил приблизительно 19 мм.
Рад, что Вы справились со своей задачей. Программные методы решения — это по сути тоже подгонка (последовательные приближения), только более быстрая и точная.
Надеюсь, что Вы не в обиде на меня за иронию (пункт 4).
Удачи!
Ни в коем случае не в обиде.
А по поводу програмки…щас под рукой нет компилятора Бэйсика. В юности увлекался программированием. Наверное, немного помучившись смог бы сейчас написать простенькую программку по подбору Альфа из предложенной вами формулы. В общем сделал пока что это вручную. В любом случае спасибо за указанное направление в решении задачи.
Вот здесь можно скачать бесплатный продукт Microsoft под названием Visual Basic 2010 Express. Если есть опыт программирования, то за несколько дней разберетесь. Там хорошая справочная система, плюс много информации на разных программистских форумах.
Есть такая программа AutoCad.
С помощью нее эта задача решается очень быстро. Создается изменяемый усеченный круг, а рядом поле с числовым значением площади. Тяну мышкой вниз хорду и значение площади в числовом поле динамически изменяется.
Можете скинуть файл, посмотреть? Сам работаю в автокаде и его возможности в этом плане кажутся неудовлетворительными. Например нельзя задать постоянную длину дуги в параметризации, а эта программа всё это высчитывает.
Дмитрий, простите, что вмешиваюсь, но Михаил вряд ли сможет Вам ответить, он просто не получит Вашего вопроса. Уведомления о новых комментариях к статье получаю только я. (А здесь размещаются именно комментарии к статье, но не форум.)
Так что можно подогнать под любые процентные соотношения в течении минуты.
Здравствуйте, у меня такой вопрос как мне определить высоту сегмента (хорды) имея только радиус и длину хорды? никаких углов не известно и длину дуги не знаю((
прошу прощение это формула №2 не заметил ее!))
Благодарю за программу. Выручает.
Пожалуйста, я очень рад.
Хочу вычислить высоту сегмента в произвольном месие. Т.е. длину перпендикуляра от хорды до дуги. Не подскажете, какие изменения внести в формулу вычисления высоты сегмента?
Боюсь, что никакие изменения в формуле здесь не помогут.
Я бы искал решение так: взял бы формулу окружности с центром в начале координат, нашел бы из нее функцию Y от X и отнял бы от нее константу, равную координате хорды по оси Y. В результате получил бы расстояние от хорды до дуги по оси Y в произвольной точке X.
Подскажите пожалуйста, как мне вычеслить радиус если из данных только длинна хорды (4130 мм) и высота сегмента (1200 мм) . Спасибо
Это пункт 9 данной статьи.
А если не хотите считать по формулам, скачайте программу Segment.
Не поможете с такой задачкой: на чертовом колесе расстояние между кабинками 3 пи. Сколько кабинок?
Спасибо
Подсказка: полный круг — это 2 пи.
В примере 6 содержится ошибка. Длина хорды вычисляется по формуле X = D*COS(α)!
Скорее всего, под «альфа» Вы подразумеваете что-то другое. В моих формулах альфа — это половина центрального угла. Так что ошибки нет. Надо просто внимательнее читать.
Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, вычисление радиуса окружности при известных длине хорды и площади сегмента возможна по формулам? Графическое построение по известным вроде единственно возможное.
К огромному сожалению Ваша замечательная программа не предоставляет такой возможности.
А зачем? Сами подумайте, откуда простому человеку (ювелиру) может быть известна изначально площадь сегмента? Это слишком умозрительная задача, чтобы для ее решения создавать специальный инструмент.
Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста. Для точного расчета параметров окружности, зная хорду и длину дуги, Вы применяете какой-то алгоритм для программы или формулы? Просто стоит задача интеграции этого алгоритма в свою программу. Уже весь интернет перерыл, только формула Гюйгенса, но необходимо большая точность. Спасибо.
Здравствуйте. Формул (точных) для этого случая не существует. Я использую численный метод. Если хотите, могу прислать исходник этой процедуры на Бэйсике.