Как доказать что точки лежат на одной окружности

Как доказать что точка лежит на окружности по уравнению

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Если точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, и точки B и C видны из отрезка AD под одним углом (то есть ∠ABD=∠ACD), то точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Дано: точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,

Доказать: точки A, B, C, D лежат на одной окружности

Обозначим ∠ABD=∠ACD=α.

Опишем около треугольника ABD окружность.

Отметим на этой окружности произвольную точку F, лежащую относительно прямой AD в другой полуплоскости, чем точки B и C.

Четырёхугольник ABDF — вписанный в окружность. Следовательно, сумма его противолежащих углов равна 180°:

Рассмотрим четырехугольник ACDF.

Отсюда следует, что четырёхугольник ABDF — вписанный.

Поскольку около треугольника ABD можно описать только одну окружность, то точка C лежит на той же окружности, что и точки A, B и D.

Определение принадлежности точки кругу с центром в начале координат

Вводятся координаты (x;y) точки и радиус круга ( r ). Определить принадлежит ли данная точка кругу, если его центр находится в начале координат.

Будем считать, что точка принадлежит кругу, если находится внутри его или на его окружности.

Из любой точки координатной плоскости можно провести отрезок к началу координат. Если длина этого отрезка больше радиуса круга, то точка лежит за пределами круга и, следовательно, не принадлежит ему. Если же отрезок, соединяющий точку и начало координат, меньше радиуса круга с центром в начале координат или равен ему, то точка будет принадлежать кругу.

Отрезок между любой точкой и нулевой точкой (началом координат) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны значениям x и y координаты данной точки.

Таким образом задача сводится по-сути к двум действия:

1. Нахождение длины отрезка между точкой и началом координат по теореме Пифагора (квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов).
2. Сравнению полученного значения с радиусом круга.

Pascal

Определение принадлежности точки кругу с центром в начале координат паскаль

Язык Си

Для gcc компилировать с ключом -lm.

Python

Определение принадлежности точки кругу с центром в начале координат Python

—> Сайт Манаенко Татьяны Викторовны —>

ЕГЭ [4]

ГИА [0]

Полезная информация [3]

Это интересно! [2]

Классное руководство в 6Б классе [2]

Каталог статей

Признаки принадлежности точек окружности

Признак 1. Если в четырехугольнике ÐABC+ÐADC=180°, то около четырехугольника можно описать окружность.

Признак 2. Если ÐDAC=ÐDBC, то A, B, C, D лежат на одной окружности.

Признак 4. Если A, B, C, D – образы точек, лежащих на окружности, при движении, гомотетии или подобии.

Движение – преобразование плоскости, сохраняющее расстояние (перемещение).

Признак 5. Если A, B, C, D – образы точек, лежащих на прямой, при инверсии, причем эта прямая не проходит через центр инверсии.

Инверсия относительно окружности (O, r) или просто инверсия — преобразование множества всех точек плоскости без одной точки O, где O – центр окружности радиуса r. Каждой точке этого множества поставим в соответствие точку M’ так, чтобы она лежала на луче OM и OM·OM’=r 2 .

Окружность (O, r) называется окружностью инверсии, точка O — центром инверсии, r 2 – степенью инверсии

Теорема. Прямая, проходящая через центр O инверсии (без точки O), переходит в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Признак 6. Теорема, обратная теореме Птолемея. Если сумма произведений длин противоположных сторон четырехугольника равна произведению длин его диагоналей, то четырехугольник можно вписать в окружность.

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Условимся обозначать символом положительно ориентирован­ный угол, на который надо повернуть вектор, чтобы он стал сонаправлен

с вектором. Если и, то точкамР и Q соответст­вуют комплексные числа b—а и d—c (рис.7) и

(24)

Эта формула в применении к положительно ориентированному треуголь­нику АВС дает:

(25)

Если z=r( ,то Отсюда

(26)

Тогда так как

(27)

. (28)

Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС:

(29)

что можно записать в виде определителя третьего порядка:

(30)

Если треугольник АВС вписан в окружность , то формула (29) преобразуется к виду

. (31)

Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем:

(32)

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz==l, то (32) при­нимает вид:

(33)

Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окруж­ности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.

Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой.

Возьмем четыре произвольные точки A, В, С, D соответственно с комплексными координатами а, b,c,d. Комплексное число

(34)

называется двойным отношением точек A, В, С, D и обозначается (AB, CD). Порядок точек существен.

Теорема. Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.

Доказательство. Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отно­шения и действительные числа (см. условие (10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение (34). Если точки А, В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два воз­можных случая:

точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ;

точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ.

В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае ВСА+АDВ= ±, т. е.ВСА-ВСА= ±. В обоих случаях разность равна нулю или ±. Но поскольку согласно(24) эта разность равна

то — действительное число.

Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если действительное число, то и действительное число. Поэтому точкиА, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число комплексное, то и число также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношение вещественно, то

Следовательно, либо BCA=BDA, либо ВСА—ВDА=±, т.е. ВСА+ADB=±. В первом случае отрезок АВ из точек С и D виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна ±, и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.

Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды Доказать, что для произвольной точкиМ окружности прямые образуют равные углы соответственно с прямымиВС, СА, АВ.

Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A₁, B₁, C₁ комплексные числа Тогда по условию (9) параллельности хорд имеем Следует доказать, что(рис.8).

Первое равенство эквивалентно такому:

т. е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число

равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.

Задача 2. На плоскости даны четыре окружности так, что окружностиипересекаются в точкахи ; окружности ипе­ресекаются в точкахи, окружностии — в точках ии ок­ружности и — в точках и. Доказать, что если точкилежат на одной окружности или прямой, то и точкитакже лежат на одной

окружности или прямой (рис.9).

Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения:

Поэтому будет действительным и число

Следовательно, из вещественности двойного отношения вы­текает вещественность и двойного отношения.

Как доказать что точки лежат на одной окружности

Основание каждой высоты треугольника проектируется на боковые стороны треугольника. Докажите, что шесть полученных точек лежат на одной окружности.

Подсказка

Докажите сначала, что четыре из указанных проекций, лежащие на двух сторонах треугольника, образуют вписанный четырёхугольник, а затем — что каждая из двух оставшихся проекций лежит на описанной окружности этого четырёхугольника.

Решение

Рассмотрим случай остроугольного треугольника. Пусть B 2 и C 2 — проекции основания A 1 высоты AA 1 на стороны AC и AB треугольника ABC . Аналогично определяются проекции C 3 , A 2 и B 3 , A 3 оснований B 1 и C 1 высот BB 1 и CC 1 (см. рис.).

Докажем сначала, что точки B 2 , B 3 , C 2 и C 3 лежат на одной окружности. Обозначим ACB = . Точки B 1 и C 1 лежат на окружности с диаметром BC . Поэтому

Точки B 3 и C 3 лежат на окружности с диаметром B 1 C 1 . Поэтому

Точки A , C 2 , A 1 и B 2 лежат на одной окружности. Поэтому

Значит, четырёхугольник B 2 B 3 C 3 C 2 — вписанный.

Из аналогичных рассуждений следует, что CA 2 B 2 = CBA . Поэтому прямая A 2 B 2 || BA . Значит,

Следовательно, точка A 2 лежит на описанной окружности четырёхугольника B 2 B 3 C 3 C 2 . Аналогично для точки C 3 .

геометрия — Доказать, что точки лежат на одной окружности

Дан правильный треугольник $%ABC$% с центром $%O$%. Прямая, проходящая через вершину $%C$%, пересекает описанную окружность треугольника $%AOB$% в точках $%D$% и $%E$%. Докажите что точки $%A$% и $%E$% и середины отрезков $%BD$%, $%BE$% лежат на одной окружности.

задан 18 Май ’14 19:29

1 ответ

Здесь что-то не так с условием. В сформулированном виде это утверждение неверно. Во-первых, не сказано, в каком порядке идут точки $%D$% и $%E$%. Если порядок поменять, то середины отрезков $%BD$%, $%BE$% останутся на месте. И тогда, если считать, что в обоих случаях утверждение верно, то на одной окружности оказывается сразу пять точек, включая $%A$%, $%D$% и $%E$%, что явно не так.

Даже если наложить ограничения, то всё равно можно построить контрпример. Выберем точку $%D$% как диаметрально противоположную $%B$%. Точка $%E$% этим однозначно определяется. Середины отрезков $%BD$% и $%BE$% обозначим через $%D_1$% и $%B_1$%. Рассмотрим четырёхугольник $%AEE_1D_1$%. Заметим, что $%D_1$% — середина диаметра, то есть это центр окружности. Угол $%D_1E_1E$%, очевидно, прямой. В то же время, противоположный ему угол $%D_1AE$% меньше 90 градусов, так как прямым будет угол $%D_1AC$% (радиус и касательная). Свойство вписанного четырёхугольника, тем самым, не выполнено.

Если порядок точек поменять, то есть считать $%BE$% диаметром, то утверждение останется неверным. Каждый из углов того же четырёхугольника при вершинах $%A$% и $%E_1$% больше 90 градусов.