От чего зависит ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения — движение объекта, который получает ускорение из-за действующей на него силы тяжести; обозначается буквой g и измеряется в м/с². На поверхности Земли ускорение свободного падения примерно равно 9,81 м/с².

На полюсах (Южном и Северном) ускорение свободного падения будет больше, а на экваторе — меньше. Это происходит из-за двух фактов:

• Земля — не идеальный круг, а приплюснутый шар и её радиус на полюсах меньше, чем на экваторе (ускорение зависит от радиуса),
• центробежные силы (при вращении Земли) минимально компенсируют гравитацию больше на экваторе, чем на полюсах.

В вакууме тела падают с одинаковой скоростью потому, что ускорение свободного падения не зависит от массы.

Таблица ускорения свободного падения небесных тел

От чего зависит ускорение свободного падения?

Ускорение свободного падения зависит от массы планеты и радиуса планеты — чем она тяжелее, тем сильнее притягивает тела (т.е. масса тела не влияет на ускорение).

Возможно для будущих вычислений нужны будут эти данные:

1. Масса Земли = 5,98 × (10^24) кг (или 5,972E24 кг)
2. Радиус Земли = 6 371 км = 6,37×(10^6) м.

Как найти ускорение свободного падения?

Формула ускорения свободного падения

Где:
g — ускорение свободного падения
G — гравитационная постоянная
M — масса планеты
R — радиус планеты

Гравитационная постоянная («G», не путайте с «g») — это фундаментальная физическая константа, которая примерно равна

и связывает силы гравитационного притяжения между двумя телами (G) с их массами (m1 и m2) и расстоянием между ними (R) в формуле:

Пример расчёта ускорения свободного падения (для Земли):

g — ускорение свободного падения
G — гравитационная постоянная
M — масса планеты
R — радиус планеты

Ускорение свободного падения

Выберем тело, например, камень. Расположим его не некотором расстоянии от поверхности земли. Расстояние от центра Земли до камня равно \( R = \left( r + h \right) \), как представлено на рисунке 1.

Пусть на камень действует только сила, с которой Земля притягивает его, а других сил нет (нет, например, силы сопротивления воздуха).

Свободное падение – это движение тела под действием только одной силы — силы притяжения.

Из законов Ньютона известно: если на тело действует сила, то тело получает ускорение.

Ускорение свободного падения – это ускорение, с которым движется тело, когда на него действует только сила тяжести.

Формула для расчета ускорения свободного падения

Ускорение свободного падения можно посчитать по формуле:

\( g \left( \frac<\text<м>>> \right) \) (метры, деленные на секунду в квадрате) – ускорение свободного падения

\( M \left( \text <кг>\right) \) (килограммы) — масса планеты, которая притягивает

\( r \left( \text <м>\right) \) (метры) – радиус планеты

\( h \left( \text <м>\right) \) (метры) — расстояние от поверхности планеты до тела

\(G \ = 6<,>67 \cdot 10^ <-11>\left( \text <Н>\cdot \frac<\text<м>^2><\text<кг>^2> \right)\) — гравитационная постоянная

Интересные факты

У разных планет ускорение свободного падения различается.

• чем больше масса планеты (или звезды), тем больше будет ускорение свободного падения рядом с такой планетой (или звездой);
• чем дальше от планеты, тем меньше ускорение свободного падения;
• на полюсах ускорение свободного падения больше, чем на экваторе планеты;

Все тела под действием силы тяжести падают с одинаковым ускорением! Это ускорение не зависит от массы тела.

Из житейского опыта мы знаем: чем больше площадь тела, тем больше времени ему нужно, чтобы упасть с какой-либо высоты. При своем падении тело опирается на воздух, поэтому, к примеру, лист бумаги будет падать дольше, чем шарик из пластилина, или гирька.

В безвоздушном пространстве опираться не на что. Поэтому гирька, лист бумаги, птичье перо и пластилиновый шарик, стартовав с одной и той же высоты одновременно, упадут на поверхность планеты тоже одновременно.

Ускорение свободного падения у поверхности некоторых небесных тел

• у поверхности Земли \( g = 9<,>8 \left( \frac<\text<м>>> \right) \)
• у поверхности Луны \( g = 1<,>68 \left( \frac<\text<м>>> \right) \)
• у поверхности Марса \( g = 3<,>86 \left( \frac<\text<м>>> \right) \)
• у поверхности Солнца \( g = 273<,>1 \left( \frac<\text<м>>> \right) \)
• у поверхности Юпитера \( g = 23<,>95 \left( \frac<\text<м>>> \right) \)

Как вывести формулу ускорения свободного падения

Рассмотрим камень, находящийся на некотором расстоянии от Земли.

Земля и камень притягиваются, запишем закон притяжения между планетой и камнем

С другой стороны, у камня есть вес, так как на него действует сила тяжести.

Мы можем записать эти уравнения в виде системы.

\[ \begin \displaystyle F = G \cdot \frac<( r + h)^<2>> \\ \displaystyle F_<\text<тяж>> = m \cdot g \end \]

Земля и камень притягиваются, благодаря этому на камень действует сила тяжести. На языке математики это запишется так:

А если равны левые части уравнений, то будут равны и правые:

Масса \( m \) камня встречается в обеих частях уравнения. Поделим обе части уравнения на массу камня.

2. Свободное падение, ускорение свободного падения.

Из повседневной жизни нам известно, что земное притяжение заставляет тела, освобождённые от связей, падать на поверхность Земли. Например, груз, подвешенный на нити, висит неподвижно, а стоит только перерезать нить, как он начинает падать вертикально вниз, постепенно увеличивая свою скорость. Мяч, брошенный, вертикально вверх, под влиянием притяжения Земли сначала уменьшает свою скорость, на мгновенье останавливается и начинает падать вниз, постепенно увеличивая свою скорость. Камень, брошенный вертикально вниз, под влиянием земного притяжения также постепенно увеличивает свою скорость. Тело можно также бросить под углом к горизонту или горизонтально…

Обычно тела падают в воздухе, поэтому на них, кроме притяжения Земли, влияет ещё и сопротивление воздуха. А оно может быть существенным. Возьмём, например, два одинаковых листа бумаги и, скомкав один из них, уроним оба листка одновременно с одинаковой высоты. Хотя земное притяжение одинаково для обоих листков, мы увидим, что скомканный листок быстрее достигает земли. Так происходит потому, что сопротивление воздуха для него меньше, чем для несмятого листка. Сопротивление воздуха искажает законы падения тел, поэтому для изучения этих законов нужно сначала изучить падение тел в отсутствии сопротивления воздуха. Это возможно, если падение тел происходит в безвоздушном пространстве.

Чтобы убедиться в том, что в отсутствии воздуха и легкие и тяжелые тела падают одинаково, можно воспользоваться трубкой Ньютона. Это толстостенная трубка длиной около метра, один конец которой запаян, а другой снабжён краном. В трубке находятся три тела: дробинка, кусочек поролоновой губки и легкое перышко. Если трубку быстро перевернуть, то быстрее всех будет падать дробинка, затем губка, а последней достигнет дна трубки перышко. Так падают тела, когда в трубке есть воздух. Теперь откачаем насосом воздух из трубки и, закрыв кран после откачки, снова перевернем трубку, мы увидим, что все тела падают с одинаковой мгновенной скоростью и достигают дна трубки практически одновременно.

Падение тел в безвоздушном пространстве под действием одной только силы тяжести называют свободным падением.

Если сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала по сравнению с силой тяжести, то движение тела очень близко к свободному (например, при падении маленького тяжелого гладкого шарика).

Поскольку сила тяжести, действующая на каждое тело вблизи поверхности Земли, постоянна, то свободно падающее тело должно двигаться с постоянным ускорением, т. е. равноускоренно (это вытекает из второго закона Ньютона). Это ускорение называется ускорением свободного падения и обозначается буквой . Оно направлено вертикально вниз, к центру Земли. Значение ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли можно вычислить по формуле(формула получается из закона всемирного тяготения),g=9,81 м/с 2 .

Ускорение свободного падения, как и сила тяжести, зависит от высоты над поверхностью Земли (), от формы Земли (Земля сплюснута с полюсов, поэтому полярный радиус меньше экваториального, а ускорение свободного падения на полюсе больше, чем на экваторе:g_п=9,832 м/с 2 , g_э=9,780 м/с 2 ) и от залежей плотных земных пород. В местах залежей, например, железной руды плотность земной коры больше и ускорение свободного падения тоже больше. А там, где имеются залежи нефти, g меньше. Этим пользуются геологи при поиске полезных ископаемых.

Таблица 1. Ускорение свободного падения на различной высоте над Землей.

Свободное падение тел

Что такое свободное падение? Это падение тел на Землю при отсутствии сопротивления воздуха. Иначе говоря — падение в пустоте. Конечно, отсутствие сопротивления воздуха — это вакуум, который нельзя встретить на Земле в нормальных условиях. Поэтому мы не будем брать силу сопротивления воздуха во внимание, считая ее настолько малой, что ей можно пренебречь.

Ускорение свободного падения

Проводя свои знаменитые опыты на Пизанской башне Галилео Галилей выяснил, что все тела, независимо от их массы, падают на Землю одинаково. То есть, для всех тел ускорение свободного падения одинаково. По легенде, ученый тогда сбрасывал с башни шары разной массы.

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения — ускорение, с которым все тела падают на Землю.

Ускорение свободного падения приблизительно равно 9 , 81 м с 2 и обозначается буквой g . Иногда, когда точность принципиально не важна, ускорение свободного падения округляют до 10 м с 2 .

Земля — не идеальный шар, и в различных точках земной поверхности, в зависимости от координат и высоты над уровнем моря, значение g варьируется. Так, самое большое ускорение свободного падения — на полюсах ( ≈ 9 , 83 м с 2 ) , а самое малое — на экваторе ( ≈ 9 , 78 м с 2 ) .

Свободное падение тела

Рассмотрим простой пример свободного падения. Пусть некоторое тело падает с высоты h с нулевой начальной скоростью. Допустим мы подняли рояль на высоту h и спокойно отпустили его.

Свободное падение — прямолинейное движение с постоянным ускорением. Направим ось координат от точки начального положения тела к Земле. Применяя формулы кинематики для прямолинейного равноускоренного движения, можно записать.

h = v 0 + g t 2 2 .

Так как начальна скорость равна нулю, перепишем:

Отсюда находится выражение для времени падения тела с высоты h :

Принимая во внимание, что v = g t , найдем скорость тела в момент падения, то есть максимальную скорость:

v = 2 h g · g = 2 h g .

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Аналогично можно рассмотреть движение тела, брошенного вертикально вверх с определенной начальной скоростью. Например, мы бросаем вверх мячик.

Пусть ось координат направлена вертикально вверх из точки бросания тела. На сей раз тело движется равнозамедленно, теряя скорость. В наивысшей точки скорость тела равна нулю. Применяя формулы кинематики, можно записать:

Подставив v = 0 , найдем время подъема тела на максимальную высоту:

Время падения совпадает со временем подъема, и тело вернется на Землю через t = 2 v 0 g .

Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально:

Взглянем на рисунок ниже. На нем приведены графики скоростей тел для трех случаев движения с ускорением a = — g . Рассмотрим каждый из них, предварительно уточнив, что в данном примере все числа округлены, а ускорение свободного падения принято равным 10 м с 2 .

Первый график — это падение тела с некоторой высоты без начальной скорости. Время падения t п = 1 с . Из формул и из графика легко получить, что высота, с которой падало тело, равна h = 5 м .

Второй график — движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 10 м с . Максимальная высота подъема h = 5 м . Время подъема и время падения t п = 1 с .

Третий график является продолжением первого. Падающее тело отскакивает от поверхности и его скорость резко меняет знак на противоположный. Дальнейшее движение тела можно рассматривать по второму графику.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

С задачей о свободном падении тела тесно связана задача о движении тела, брошенного под определенным углом к горизонту. Так, движение по параболической траектории можно представить как сумму двух независимых движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

Вдоль оси O Y тело движется равноускоренно с ускорением g , начальная скорость этого движения — v 0 y . Движение вдоль оси O X — равномерное и прямолинейное, с начальной скоростью v 0 x .

Условия для движения вдоль оси О Х :

x 0 = 0 ; v 0 x = v 0 cos α ; a x = 0 .

Условия для движения вдоль оси O Y :

y 0 = 0 ; v 0 y = v 0 sin α ; a y = — g .

Приведем формулы для движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Время полета тела:

t = 2 v 0 sin α g .

Дальность полета тела:

L = v 0 2 sin 2 α g .

Максимальная дальность полета достигается при угле α = 45 ° .

L m a x = v 0 2 g .

Максимальная высота подъема:

h = v 0 2 sin 2 α 2 g .

Отметим, что в реальных условиях движение тела, брошенного под углом к горизонту, может проходить по траектории, отличной от параболической вследствие сопротивления воздуха и ветра. Изучением движения тел, брошенных в пространстве, занимается специальная наука — баллистика.