Квадратное число
Квадрат или квадратное число — целое число, которое может быть записано в виде квадрата некоторого другого целого числа (иными словами, число, квадратный корень которого целый). Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.
Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3 (может быть представлено в виде квадрата 3 × 3 точки).
Содержание
Примеры
Последовательность квадратов начинается так:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)
| _0 | _1 | _2 | _3 | _4 | _5 | _6 | _7 | _8 | _9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0_ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1_ | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
| 2_ | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
| 3_ | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
| 4_ | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
| 5_ | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
| 6_ | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
| 7_ | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
| 8_ | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
| 9_ | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Свойства
- Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию. [1] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.
- Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов). — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.
- Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.
- Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
- Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нолей.
- Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
- Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:
Геометрическое представление
| 1 | |
|---|---|
| 4 | |
|---|---|
| 9 | |
|---|---|
| 16 | |
|---|---|
|
|
|
| 25 | |
|---|---|
Обобщения
Понятие квадрата обобщается на произвольные мультипликативные группы. В частности, в кольцах вычетов квадратам соответствуют квадратичные вычеты.
См. также
Примечания
- ↑ K. Brown. No Four Squares In Arithmetic Progression (англ.)
Ссылки
- Фигурные числа
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «Квадратное число» в других словарях:
КВАДРАТНОЕ ЧИСЛО — (от лат. quadratum. квадрат). Произведете какого нибудь числа, помноженного само на себя. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КВАДРАТНОЕ ЧИСЛО от лат. quadratum, квадрат. Произведение какого нибудь… … Словарь иностранных слов русского языка
Центрированное квадратное число — – это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на квадратных слоях. Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного… … Википедия
Квадратное пирамидальное число — Геометическое представление квадратного пирамидального числа: 1 + 4 + 9 + 16 = 30. В математике пирамидальное чис … Википедия
Квадратное уравнение — Квадратное уравнение алгебраическое уравнение общего вида где свободная переменная, , , коэффициенты, причём Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень такого ура … Википедия
100 (число) — 100 сто 97 · 98 · 99 · 100 · 101 · 102 · 103 70 · 80 · 90 · 100 · 110 · 120 · 130 200 · 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 Факторизация: 2×2×5×5 … Википедия
200 (число) — 200 двести 197 · 198 · 199 · 200 · 201 · 202 · 203 170 · 180 · 190 · 200 · 210 · 220 · 230 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 · 500 … Википедия
Треугольное число — Треугольное число это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, см. рисунок. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n е треугольное число это сумма n первых натуральных чисел.… … Википедия
30 (число) — 30 тридцать 27 · 28 · 29 · 30 · 31 · 32 · 33 0 · 10 · 20 · 30 · 40 · 50 · 60 Факторизация: 2×3×5 Римская запись: XXX Двоичное: 1 1110 … Википедия
Квадрат (число) — Квадрат или квадратное число целое число, которое может быть записано в виде квадрата некоторого другого целого числа (иными словами, число, квадратный корень которого целый). Геометрически такое число может быть представлено в виде площади … Википедия
10 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 10 (значения). 10 десять 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 20 · 10 · 0 · 10 · 20 · 30 · 40 Факторизация: 2×5 Римская запись: X Двоичное … Википедия
Квадратное число — Square number
В математике, квадратное число или полный квадрат — это целое число, которое представляет собой квадрат целого числа; другими словами, это произведение некоторого целого числа на себя. Например, 9 — это квадратное число, поскольку его можно записать как 3 × 3.
Обычное обозначение квадрата числа n — это не произведение n × n, а эквивалентное возведение в степень. n, обычно произносится как «n в квадрате». Число именного квадрата происходит от имени формы. Единица площади определяется как площадь единичного квадрата (1 × 1). Следовательно, квадрат со стороной n имеет площадь n. Другими словами, если квадратное число представлено n точками, точки могут быть расположены рядами в виде квадрата, каждая сторона которого имеет то же количество точек, что и квадратный корень из n; таким образом, квадратные числа являются типом фигурных чисел (другими примерами являются кубические числа и треугольные числа ).
Квадратные числа являются неотрицательными. Другой способ сказать, что (неотрицательное) целое число является квадратным числом, состоит в том, что его квадратный корень снова является целым числом. Например, √9 = 3, поэтому 9 — квадратное число.
Положительное целое число, которое не имеет совершенных квадратов делителей, кроме 1, называется бесквадратным.
Для неотрицательного целого числа n, n-е квадратное число равно n, с 0 = 0 является нулевым. Понятие квадрата можно распространить на некоторые другие системы счисления. Если включены рациональные числа, то квадрат представляет собой отношение двух квадратных целых чисел, и, наоборот, отношение двух квадратных целых чисел представляет собой квадрат, например, 4 9 = (2 3) 2 <\ displaystyle \ textstyle <\ frac <4><9>> = \ left ( <\ frac <2><3>> \ right) ^ <2>> .
Начиная с 1, есть ⌊√m⌋ квадратные числа до m включительно, где выражение ⌊x⌋ представляет этаж числа x.
Содержание
- 1 Примеры
- 2 Свойства
- 3 Четные и нечетные квадратные числа
- 4 Особые случаи
- 5 См. Также
- 6 Примечания
- 7 Дополнительная литература
Примеры
Квадраты (последовательность A000290 в OEIS ) меньше 60 = 3600:
0 = 0 1 = 1 2 = 4 3 = 9 4 = 16 5 = 25 6 = 36 7 = 49 8 = 64 9 = 81 10 = 100 11 = 121 12 = 144 13 = 169 14 = 196 15 = 225 16 = 256 17 = 289 18 = 324 19 = 361 20 = 400 21 = 441 22 = 484 23 = 529 24 = 576 25 = 625 26 = 676 27 = 729 28 = 784 29 = 841 30 = 900 31 = 961 32 = 1024 33 = 1089 34 = 1156 35 = 1225 36 = 1296 37 = 1369 38 = 1444 39 = 1521 40 = 1600 41 = 1681 42 = 1764 43 = 1849 44 = 1936 45 = 2025 46 = 2116 47 = 2209 48 = 2304 49 = 2401 50 = 2500 51 = 2601 52 = 2704 53 = 2809 54 = 2916 55 = 3025 56 = 3136 57 = 3249 58 = 3364 59 = 3481
Разница между любым полным квадратом и его предшественником дается тождеством n — (n — 1) = 2n — 1. Эквивалентно, можно подсчитать квадратные числа, сложив вместе последний квадрат, корень последнего квадрата и текущий корень., то есть n = (n — 1) + (n — 1) + n.
Свойства
Число m является квадратным числом тогда и только тогда, когда можно расположить m точек в квадрате:
| m = 1 = 1 |  |
| m = 2 = 4 |  |
| m = 3 = 9 |  |
| m = 4 = 16 |  |
| m = 5 = 25 |  |
Выражением для n-го квадратного числа является n. Это также равно сумме первых n нечетных чисел, как можно видеть на приведенных выше рисунках, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного числа точек (показано пурпурным цветом). Формула следующая:
n 2 = ∑ k = 1 n (2 k — 1). <\ displaystyle n ^ <2>= \ sum _
Например, 5 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Сумма первых n нечетных чисел равна n. 1 + 3 + 5 +. + (2n — 1) = n. Анимированная трехмерная визуализация на тетраэдре.
Существует несколько рекурсивных методов вычисления квадратных чисел. Например, n-е квадратное число может быть вычислено из предыдущего квадрата по формуле n = (n — 1) + (n — 1) + n = (n — 1) + (2n — 1). В качестве альтернативы, n-е квадратное число можно вычислить из двух предыдущих, удвоив (n — 1) -й квадрат, вычтя (n — 2) -ое квадратное число и прибавив 2, потому что n = 2 (n — 1) — ( n — 2) + 2. Например,
2 × 5 — 4 + 2 = 2 × 25 — 16 + 2 = 50 — 16 + 2 = 36 = 6.
На одно число меньше квадрата (m — 1) всегда является произведением √m — 1 и √m + 1 (например, 8 × 6 равно 48, а 7 равно 49). Таким образом, 3 — единственное простое число, на единицу меньше квадрата.
Квадратное число также является суммой двух следующих друг за другом треугольных чисел. Сумма двух последовательных квадратных чисел является центрированным квадратным числом. Каждый нечетный квадрат также является восьмиугольным числом с центром.
Другое свойство квадратного числа состоит в том, что (кроме 0) оно имеет нечетное количество положительных делителей, в то время как другие натуральные числа имеют четное число положительных делителей. Целочисленный корень — это единственный делитель, который соединяется сам с собой, чтобы получить квадратное число, в то время как другие делители попадают в пары.
Теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что любое положительное целое число может быть записано как сумма четырех или менее полных квадратов. Для чисел вида 4 (8m + 7) трех квадратов недостаточно. Положительное целое число может быть представлено как сумма двух квадратов, если его разложение на простые множители не содержит нечетных степеней простых чисел вида 4k + 3. Это обобщается с помощью проблемы Варинга.
In основание 10, квадратное число может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9, как показано ниже:
- если последняя цифра числа равна 0, его квадрат заканчивается на 0 ( фактически, последние две цифры должны быть 00);
- , если последняя цифра числа равна 1 или 9, его квадрат заканчивается на 1;
- , если последняя цифра числа равна 2 или 8, его квадрат заканчивается на 4;
- , если последняя цифра числа 3 или 7, его квадрат заканчивается на 9;
- , если последняя цифра числа равна 4 или 6, его квадрат заканчивается на 6; и
- , если последняя цифра числа равна 5, его квадрат заканчивается на 5 (фактически, последние две цифры должны быть 25).
В с основанием 12 квадрат число может заканчиваться только квадратными цифрами (например, в базе 12, простое число может заканчиваться только простыми цифрами или 1), то есть 0, 1, 4 или 9, как показано ниже:
- если число делится как на 2, так и на 3 (т.е. делится на 6), его квадрат заканчивается на 0;
- если число не делится ни на 2, ни на 3, его квадрат заканчивается на 1;
- если число делится на 2, но не на 3, его квадрат заканчивается на 4; и
- , если число делится не на 2, а на 3, его квадрат заканчивается на 9.
Подобные правила могут быть даны для других оснований или для более ранних цифр (десятки вместо цифры единиц, например). Все такие правила можно доказать, проверив фиксированное количество случаев и используя модульную арифметику.
В общем, если простое число p делит квадратное число m, то квадрат p также должен делить m ; если p не может делить m / p, то m определенно не квадрат. Повторяя деления из предыдущего предложения, можно сделать вывод, что каждое простое число должно делить данный идеальный квадрат четное число раз (включая, возможно, 0 раз). Таким образом, число m является квадратным тогда и только тогда, когда в его каноническом представлении все показатели четны.
Тестирование квадратов может использоваться как альтернативный способ факторизации больших чисел. Вместо проверки на делимость, проверьте на квадратность: для данного m и некоторого числа k, если k — m является квадратом целого числа n, тогда k — n делит m. (Это приложение факторизации разности двух квадратов.) Например, 100–9991 — это квадрат 3, следовательно, 100–3 делит 9991. Этот тест детерминирован для нечетных делителей в диапазон от k — n до k + n, где k охватывает некоторый диапазон натуральных чисел k ≥ √m.
Квадратное число не может быть совершенным числом.
Сумма первых n квадратных чисел равна
∑ n = 0 N n 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ⋯ + N 2 знак равно N (N + 1) (2 N + 1) 6. <\ displaystyle \ sum _
Первые значения этих сумм, квадратно-пирамидальные числа, являются: (последовательность A000330 в OEIS )
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201.
Сумма первых нечетных целых чисел, начиная с единицы, представляет собой полный квадрат: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 и т. Д.
Сумма n первых кубиков является квадратом суммы n первых положительные целые числа; это теорема Никомаха.
Все четвертые, шестые, восьмые и т. д. являются точными квадратами.
Нечетные и четные квадратные числа
Квадраты четных чисел четны (и на самом деле делятся на 4), поскольку (2n) = 4n.
Квадраты нечетных чисел нечетные, поскольку (2n + 1) = 4 (n + n) + 1.
Отсюда следует, что квадратные корни из четных квадратных чисел четные, а квадрат r сотни нечетных квадратных чисел нечетны.
Поскольку все четные квадратные числа делятся на 4, четные числа в форме 4n + 2 не являются квадратными числами.
Поскольку все нечетные квадратные числа имеют форму 4n + 1, нечетные числа формы 4n + 3 не являются квадратными числами.
Квадраты нечетных чисел имеют форму 8n + 1, поскольку (2n + 1) = 4n (n + 1) + 1 и n (n + 1) является четным числом.
Каждый нечетный совершенный квадрат — это восьмиугольное число с центром. Разница между любыми двумя нечетными полными квадратами кратна 8. Разница между 1 и любым большим нечетным совершенным квадратом всегда в восемь раз больше треугольного числа, в то время как разница между 9 и любым большим нечетным полным квадратом в восемь раз больше треугольного числа минус 8. Поскольку все треугольные числа имеют нечетный множитель, но никакие два значения 2 не отличаются на величину, содержащую нечетный множитель, единственный полный квадрат формы 2-1 равен 1, а единственный полный квадрат формы 2 + 1 равен 9..
На какие цифры могут оканчиваться квадраты целых чисел
а) Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами, отличными от 0.
б) Какими тремя цифрами может оканчиваться целое число, квадрат которого оканчивается тремя одинаковыми цифрами, отличными от 0?
Решение
Квадрат не может оканчиваться на 2 и 8. Кроме того, квадрат не может оканчиваться на две нечётные цифры (см. задачу 31234). Остаются четвёрки и шестерки.
Число вида . 66 чётно, но не делится на 4, поэтому квадратом быть не может.
а) Пусть n 2 ≡ 4444 (mod 10000). Тогда n чётно. Подставив n = 2m, получим m² ≡ 1111 (mod 2500). Значит, m² ≡ 11 (mod 100), то есть m² оканчивается на две единицы, что невозможно.
Идеальный квадрат: что это такое, как рассчитать, примеры и правила
Полный квадрат или полный квадрат — это натуральное число, которое, если оно корень, дает другое натуральное число.
То есть они являются результатом умножения числа на само себя.
- 1 × 1 = 1
- 2 × 2 = 4
- 3 × 3 = 9
- 4 × 4 = 16
Формула полного квадрата представлена следующим образом: n × n = a или n 2 = a. Таким образом, n — натуральное число, а a — точное квадратное число.
Что такое точные квадратные числа?
Определение полного квадратного числа можно понимать как положительное натуральное целое число, квадратный корень которого также является натуральным положительным целым числом.
Итак, мы имеем: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…
√1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10…
Таблица умножения и вывески полных квадратных чисел до 15
Если мы возьмем за основу геометрию, мы можем думать, что квадрат — это фигура, стороны которой имеют одинаковую меру.
Таким образом, площадь квадрата равна l × l или l 2 .
Любой квадрат, стороны которого являются целыми числами, будет идеальным квадратом.
Примеры квадратов: 1 2 = 1 и 4 2 = 16
Как вычислить, является ли число полным квадратом?
Исходя из факторизации числа, если оно имеет точный квадратный корень и является результатом квадрата других чисел, мы можем сказать, что это полный квадрат.
Пример:
2704 — идеальный квадрат?
Чтобы ответить на вопрос, необходимо разложить 2704 на множитель, то есть вычислить
Следовательно, имеем: 2704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 × 13 = 2 4 × 13 2.
√2704 = √ (2 2 × 2 2 × 13 2) = 2 × 2 × 13 = 52
2704 — идеальное квадратное число 52.
Правила идеального квадрата
- Совершенное квадратное число — это число, имеющее точный корень.
- Нечетное совершенное квадратное число имеет нечетный корень, а четное — четное.
- Полные квадратные числа никогда не заканчиваются числами 2, 3, 7 и 8.
- У чисел, оканчивающихся на 0, есть квадраты, заканчивающиеся на 00.
- У чисел, оканчивающихся на 1 или 9, квадраты заканчиваются на 1.
- У чисел, оканчивающихся на 2 или 8, квадраты заканчиваются на 4.
- У чисел, заканчивающихся на 3 или 7, есть квадраты, заканчивающиеся на 9.
- У чисел, заканчивающихся на 4 или 6, есть квадраты, заканчивающиеся на 6.
- У чисел, заканчивающихся на 5, есть квадраты, заканчивающиеся на 25.
Другие отношения
Квадрат числа равен произведению его соседей плюс один. Например: квадрат семи (7 2 ) равен произведению смежных чисел (6 и 8) плюс один. 7 2 = 6 × 8 + 1 = 48 + 1 = 49. х 2 = (х-1). (х + 1) + 1.
Совершенные квадраты являются результатом математической последовательности между предыдущим точным квадратом и арифметической прогрессией.
