Сколько трехзначных чисел, которые делятся на 11?
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Определяющие черты новгородской архитектуры:
Укажите правильный вариант ответа:
Простота и скромность
Монументальность и многообразие декоративных элементов
Широкое использование западноевропейских форм и традиций
Торжественность и пышность
4. Put the words in the correct order to make sentences. 1. always/ shopping/ we/on /Tuesdays/go __________________________________________________ 2. usually/to/goes/the/in/park/evening/the/she _____________________________________________________ 3. never / Mark/paints/the/morning/in/ _____________________________________________________ 4. usually/I/breakfast/have/half/six/past/at _____________________________________________________ 5. we/visit/often/our/on /Sundays/granny ___________________________________________________
Помогите . Найдите все трехзначные числа, делящиеся на 11, у которых сумма цифр делится на 11.
Признак деления на 11 — число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на чётных местах равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах.
Пусть сумма цифр числа равна 11, тогда средняя его цифра равна 0, а две крайние дают в сумме 11. Все такие числа — 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902 (8 чисел).
Пусть сумма цифр числа равна 22, тогда оно не делится на 11. Сумма цифр на нечётных местах меньше 22, а сумма цифр на чётных местах меньше 11, значит, ни 22, ни 0 разность цифр на чётных и нечётных местах равна быть не могла, значит, она равна 11. Пусть сумма крайних цифр — a, а средняя цифра — b, тогда (a — b = 11) и (a + b = 22), но b — целое число, значит, сумма цифр числа не может равняться 22.
Так же сумма цифр трёхзначного числа не может равняться 0 и быть больше 33.
Признаки делимости на 11
Всего существует три важных признака делимости на 11.
Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.
Этот признак является наиболее простым и удобным. К тому же его проще всего запомнить.
Решение: а) 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите — возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся на 11. Ответ: делится.
б) 10101. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3. Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не делится.
Для формулировки оставшихся двух признаков делимости на 11 введём такое определение:
Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Решение: а) применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа 1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001 делится на 11.
б) применим 3-й признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани: 1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11. Поэтому 1002001 делится на 11.
Доказательство этих признаков строится на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство приведено в этой статье.
Признак делимости на 11
Существует и другие признаки делимости кроме перечисленных, но они на порядок сложнее. Для тех, кому интересно, приводим пример признака делимости на 11 .
Признак делимости на 11
Запомните! 
Число делится на 11 , если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11 .
В самом деле признак делимости на 11 очень интересен, попробуем разобраться на примере:
- Проверим, делится ли 671 на 11 .
Итак, цифры которые стоят на нечетных местах — это 6 (стоит на первом месте) и 1 (стоит на третьем месте). Цифра, которая стоит на четном месте, это 7 (стоит на втором месте). 6 + 1 = 7 . Сумма цифр стоящих на нечетном месте равна сумме цифр на четном месте, значит 671 делится на 11 .
- Проверим делится ли 3905 на 11 .
Цифры которые стоят на нечетных местах — это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьем месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте).
Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, не равна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на 11 , т.к. 14 − 3 = 11 . Значит 3905 делится на 11 .
Уточнение для признака делимости на 11
На самом деле, правило, описанное выше — это упрощенная версия полного признака делимости на 11 . В большинстве случаев при решении задач школьного курса математики его достаточно.
Но если быть точным, признак делимости звучит следующим образом.
Запомните!
Число делится на 11 , если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11 .