Возрастание и убывание функции
В начале прочитаем определение возрастания функции.
Запомните! 
Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых « x1 » и « x2 » принадлежащих данному промежутку, таких, что « x2 > x1 » выполняется неравенство
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Определение сложно понять без наглядного примера. Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.
По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x » соответствует бóльшее значение « y », значит, функция « y(x) » возрастает.
Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.
Разбор примера
Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?
Построим график функции
« y = 9x − 4 ». Так как функция
« y = 9x − 4 » линейная, ее график — прямая.
Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.
Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа, поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».
Для второй точки возьмем « x = 1 ».
Отметим две полученные
точки « (0; −4) » и « (1; 5) » на координатной плоскости и проведем через них прямую.
Докажем, что функция « y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и аналитически (по ее формуле).
Как определить по графику, что функция возрастает
По определению возрастания функции мы знаем, что если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.
На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 » «идет в гору». Другими словами, при увеличении « x » ↑ растет значение « y » ↑ .
В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».
У второй точки « (·)B » координаты:
x2 = 1 ; y2 = 5
На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что при увеличении
« x ↑ ( x2 > x1 ) » растет
« y ↑ ( y2 > y1 ) ». Поэтому график зрительно «идет в гору».
Как по формуле доказать, что функция возрастает
Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».
По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает, так как ее график «идет в гору». Но как доказать по формуле, что функция возрастает на всей своей области определения?
Запомните!
Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x2 > x1 »
выполняется условие
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.
По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при « x2 > x1 » увеличивается значение функции
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Но как нам найти значения функции
« y( x1 ) » и « y( x2 ) »?
Для нахождения « y( x1 ) » и « y( x2 ) » достаточно подставить « x1 » и « x2 » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».
Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.
Подставим в неравенство
« y( x2 ) > y( x1 ) » полученные формулы
« y( x1 ) = 9x1 − 4 » и
« y( x2 ) = 9x2 − 4 » .
Разделим левую и правую часть на « 9 ».
9(x2 − x1) > 0 | : 9
| 9 (x2 − x1) |
| 9 |
>
| 0 |
| 9 |
При делении нуля на любое число получается ноль.
Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции « x2 > x1 ». Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.
В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».
Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.
Разбор примера
Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1
По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.
Вместо « y( x1 ) » и « y( x2 ) » запишем формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.
13x2 − 1 > 13x1 − 1
13x2 − 13x1 > 1 − 1
13(x2 − x1) > 0 |: 13
| 13 (x2 − x1) |
| 13 |
>
| 0 |
| 13 |
x2 − x1 > 0
x2 > x1
Что и требовалось доказать.
Что такое убывание функции
Запомните!
Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x1 » и « x2 » принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x2 > x1 » выполняется неравенство « y( x2 ) ».
Как по графику понять, что функция убывает
Разбор примера
Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x
По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x » ↑ растет, то « y » ↓ должен уменьшаться.
Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.
Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа, поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 » и « x = 1 ».
Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».
На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении « x » ↑ уменьшается
значение « y » ↓ .
Как по формуле доказать, что функция убывает
Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».
По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле, что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?
Запомните!
Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых « x2 > x1 » выполняется
« y( x2 ) y( x1 ) ».
Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает на всей своей области определения.
Что и требовалось доказать.
Как по графику функции определить
возрастание и убывание
Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.
Разбор примера
На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает («спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).
Запишем через знаки неравенств, какие значения принимает « x » на полученных промежутках. Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.
Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.
- функция убывает при
x ≤ −2; 0 ≤ x ≤ 3,5 - функция возрастает при
−2 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 3,5
Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных математических символов.
- функция убывает на промежутках x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
- функция возрастает на промежутках x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]
При каких значениях
« m » функция является убывающей или возрастающей
Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких « m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.
Разбор примера
При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?
Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.
Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в задаче. Вместо « x » подставим « x1 » и « x2 ».
Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.
Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.
Преобразуем исходное условие убывания функции « x2 > x1 ». Перенесем все в левую часть.
По условию убывания функции
« x2 − x1 > 0 », значит, чтобы
произведение « ( x2 − x1) (m + 2) » было меньше нуля, требуется, чтобы множитель « (m + 2) » был меньше нуля. Так как по правилу знаков: плюс на минус даёт минус.
Функция более высокого порядка роста
Таким образом, линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифм с основанием бОльшим единицы (и т.д.).
Проверяю это утверждение графически (с помощью сервиса http://www.yotx.ru):
График 1
Всё верно. Этот график иллюстрирует приведенное ранее у автора решение следующего предела (формула построена с помощью сервиса https://www.hostmath.com):
Линейная функция (обозначена на графике 1 синим цветом) улетает вверх (в сторону положительной бесконечности по оси Y) быстрее трех указанных логарифмических функций. Из-за этого знаменатель в указанном пределе растет быстрее числителя, в результате чего дробь под знаком предела стремится к нулю.
Показательная функция, с основанием, бОльшим единицы (и т.д.) более высокого порядка роста, чем степенная функция с положительной степенью.
Проверяю это утверждение графически (с помощью сервиса http://www.yotx.ru):
График 2
И тут всё верно. График 2 иллюстрирует приведенное ранее у автора решение следующего предела (формула построена с помощью сервиса https://www.hostmath.com):
Показательные функции (обозначены на графике 2 зеленым, черным и синим цветами) улетают вверх (в сторону положительной бесконечности по оси Y) быстрее степенной функции (обозначена на графике 2 красным цветом). Из-за этого знаменатель в указанном пределе растет медленнее числителя, в результате чего дробь под знаком предела стремится к положительной бесконечности.
Сравнение функций по скорости роста
следовательно, функция y = x k , k > 0, растет быстрее при x → +∞ , чем y = log a x, a > 1.
Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 7
Для любого k > 1, в том ч исле и сколь угодно большого, справедливо неравенство n — 1 < k ≤ n , где n – натуральное число. Применив правило Лопиталя n раз, получим
k ( k − 1). ( k − n + 1)
a x ln n a x n − k
где величина n − k > 0 . Числитель дроби – постоянное число, знаменатель неограниченно возрастает, предел этой дроби равен нулю. Итак, функция
растет быстрее при x → +∞ , чем y = x k ,
неравенство n < a ≤ n + 1. Запишем дробь следующим образом
где произведение последних
дробей заменено на
наибольшую из них в степени x − n .
С другой стороны, отношение a x не может быть отрицательным. Итак, предел x !
рассматриваемого отношения функций ограничен сверху нулем и не может
быть меньше нуля. Поэтому lim
= 0 . Величина всех остальных пределов
заключена между нулем и единицей. Следовательно, произведение этих
пределов есть нуль. Итак, x lim →+∞ x x x ! = 0 . Функция y = x x самая быстрорастущая из перечисленных функций при x → +∞ .
Формулы Маклорена и Тейлора
Эти формулы являются одними из основных формул математического анализа и имеют многочисленные приложения.
Рассмотрим многочлен n -й степени
P ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . + a n x n .
Лекция №1 Основные теоремы дифференциального исчисления проф. Дымков М.П. 8
Его можно представить в виде суммы степеней переменной х, взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его n раз по х, найдем значения многочлена и его производных в точке x = 0, выразим из каждого полученного выражения коэффициенты a 0 , a 1 . a n , разместив результаты в трех
Какая функция возрастает быстрее
Подводя итоги, при анализе алгоритмов нас будет интересовать скорее класс скорости роста, к которому относится алгоритм, нежели точное количество выполняемых им операций каждого типа. Относительный «размер» функции будет интересовать нас лишь при больших значениях переменной х.
Некоторые часто встречающиеся классы функций приведены в нижеследующей таблице. В этой таблице собраны значения функций из данного класса на широком диапазоне значений аргумента.
 |
| Классы роста функций |
 |
| Графики функций: log2n , n , nlog2n , n 2 , n 3 , и 2 n |
Видно, что при небольших размерах входных данных значения функций отличаются незначительно, однако при росте этих размеров разница существенно возрастает. Поэтому мы и будем изучать, что происходит при больших объемах входных данных, поскольку на малых объемах принципиальная разница оказывается скрытой.
Быстрорастущие функции доминируют над функциями с более медленным ростом. Поэтому если мы обнаружим, что сложность алгоритма представляет собой сумму двух или нескольких таких функций, то будем часто отбрасывать все функции кроме тех, которые растут быстрее всего.
Если, например, мы установим при анализе алгоритма, что он делает x 3 — 30x сравнений, то мы будем говорить, что сложность алгоритма растет как x 3 . Причина этого в том, что уже при x = 100 входных данных разница между x 3 и x 3 — 30x составляет лишь 0,3%.