Как расписать синус в квадрате

Синус в квадрате

Синус (sin) — это тригонометрическая функция, геометрически представляющая отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

sin 2 (x)=sin(x)*sin(x)

Значение синуса находится в диапазоне от -1 до +1.

Смотрите также калькулятор вычисления синуса угла.

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления квадрата синуса (синуса в квадрате). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить квадрат синуса любого угла.

Синус в квадрате окружность

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Гипотенуза — сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс — «x», что не меняет сути).

Синус угла альфа (sin ∠α) — это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус угла альфа (cos ∠α) — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC

И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза — это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin 2 α = 1 — cos 2 α

или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos 2 α = 1 — sin 2 α

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

user->isGuest) »]) . ‘ или ‘ . Html::a(‘зарегистрируйтесь’, [‘/user/registration/register’], [‘class’ => »]) . ‘ , чтобы получать деньги $$$ за каждый набранный балл!’); > else user->identity->profile->first_name) || !empty(\Yii::$app->user->identity->profile->surname)) user->identity->profile->first_name . ‘ ‘ . \Yii::$app->user->identity->profile->surname; > else echo ‘Получайте деньги за каждый набранный балл!’; > ?>—>

При правильном ответе Вы получите 8 баллов

Упростить выражение с квадратом косинуса:

Выберите всего один правильный ответ.

Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

Lorem iorLorem ipsum dolor sit amet, sed do eiusmod tempbore et dolore maLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborgna aliquoLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempbore et dLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborlore m mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetu sed do eiusmod qui officia deserunt mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван ИвановичОтветить -2

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing sed do eiusmod tempboLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod temLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborpborrum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Чему равен синус 45? …

— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071

Тригонометрические формулы

Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.

1. Основное тригонометрическое тождество: $$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$
2. Определение тангенса и котангенса через синус и косинус: $$tg(\alpha)=\frac<\sin(\alpha)><\cos(\alpha)>;$$ $$ctg(\alpha)=\frac<\cos(\alpha)><\sin(\alpha)>;$$
3. Cвязь тангенса и котангенса: $$tg(\alpha)=\frac<1>;$$ $$tg(\alpha)*ctg(\alpha)=1;$$
4. Тангенс через косинус. Котангенс через синус: $$tg(\alpha)^2+1=\frac<1><\cos(\alpha)^2>;$$ $$ctg(\alpha)^2+1=\frac<1><\sin(\alpha)^2>;$$
5. Синус суммы и разности: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$
6. Косинус суммы и разности: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$
7. Тангенс суммы и разности: $$tg(\alpha+\beta)=\frac<1-tg(\alpha)*tg(\beta)>;$$ $$tg(\alpha-\beta)=\frac<1+tg(\alpha)*tg(\beta)>;$$
8. Котангенс суммы и разности: $$сtg(\alpha+\beta)=\frac<-1+сtg(\alpha)*ctg(\beta)>;$$ $$сtg(\alpha-\beta)=\frac<-1-сtg(\alpha)*ctg(\beta)>;$$
9. Двойной угол: $$\cos(2*\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=1-2*\sin(\alpha)^2=2*\cos(\alpha)^2-1;$$ $$\sin(2*\alpha)=2*\sin(\alpha)*\cos(\alpha);$$ $$tg(2*\alpha)=\frac<2*tg(\alpha)><1-tg(\alpha)^2>;$$ $$ctg(2*\alpha)=\frac<2*ctg(\alpha)>;$$
10. Тройной угол: $$\cos(3*\alpha)=\cos(\alpha)^3-3*\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=-3*\cos(\alpha)+4*\cos(\alpha)^3;$$ $$\sin(3*\alpha)=3*\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=3*\sin(\alpha)-4*\sin(\alpha)^3;$$ $$tg(3*\alpha)=\frac<3*tg(\alpha)-tg(\alpha)^3><1-3*tg(\alpha)^2>;$$ $$ctg(3*\alpha)=\frac<3*ctg(\alpha)^2-1>;$$
11. Формулы половинного угла: $$\sin(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1-\cos(\alpha)><2>;$$ $$\cos(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1+\cos(\alpha)><2>;$$ $$tg(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1-\cos(\alpha)><1+\cos(\alpha)>;$$ $$ctg(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1+\cos(\alpha)><1-\cos(\alpha)>;$$
12. Понижение степени: $$\sin(\alpha)^2=\frac<1-\cos(2*\alpha)><2>;$$ $$\cos(\alpha)^2=\frac<1+\cos(2*\alpha)><2>;$$ $$\sin(\alpha)^3=\frac<3*\sin(\alpha)-\sin(3*\alpha)><4>;$$ $$\cos(\alpha)^3=\frac<3*\cos(\alpha)+\cos(3*\alpha)><4>;$$ $$\sin(\alpha)^4=\frac<3-4*\cos(2*\alpha)+\cos(4*\alpha)><8>;$$ $$\cos(\alpha)^4=\frac<3+4*\cos(2*\alpha)+\cos(4*\alpha)><8>;$$
13. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций: $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right);$$ $$\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2*\cos\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\sin\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\cos(\alpha)-\cos(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\sin\left(\frac<\beta-\alpha><2>\right);$$ $$tg(\alpha)+tg(\beta)=\frac<\sin(\alpha+\beta)><\cos(\alpha)*\cos(\beta)>;$$ $$tg(\alpha)-tg(\beta)=\frac<\sin(\alpha-\beta)><\cos(\alpha)*\cos(\beta)>;$$ $$ctg(\alpha)+ctg(\beta)=\frac<\sin(\alpha+\beta)><\sin(\alpha)*\sin(\beta)>;$$ $$ctg(\alpha)-ctg(\beta)=\frac<\sin(\beta-\alpha)><\sin(\alpha)*\sin(\beta)>;$$
14. Преобразование произведения тригонометрических функций: $$\sin(\alpha)*\sin(\beta)=\frac<1><2>*\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right);$$ $$\cos(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*\left(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right);$$ $$\sin(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*\left(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\right);$$
15. Формулы подстановки тангенса: $$\sin(\alpha)=\frac<2*tg(\frac<\alpha><2>)><1+tg(\frac<\alpha><2>)^2>;$$ $$\cos(\alpha)=\frac<1-tg(\frac<\alpha><2>)^2><1+tg(\frac<\alpha><2>)^2>;$$ $$tg(\alpha)=\frac<2*tg(\frac<\alpha><2>)><1-tg(\frac<\alpha><2>)^2>;$$ $$ctg(\alpha)=\frac<1-tg(\frac<\alpha><2>)^2><2*tg(\frac<\alpha><2>)>;$$
16. Формулы приведения можно найти в отдельной статье

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.

Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.

Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.

Основное тригонометрическое тождество

Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

Пример 1 Найдите \(3\sqrt<2>*\sin(\alpha)=?\), если \(\cos(\alpha)=\frac<1><3>\) и \(\alpha\in(0;\frac<\pi><2>)\). (ЕГЭ)

Чтобы найти значение выражения \(3\sqrt<2>*\sin(\alpha)\) необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество: $$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$ Просто подставим в нее известное значение косинуса $$\sin(\alpha)^2+\left(\frac<1><3>\right)^2=1;$$ $$\sin(\alpha)^2+\frac<1><9>=1;$$ $$\sin(\alpha)^2=1-\frac<1><9>;$$ $$\sin(\alpha)^2=\frac<8><9>;$$ $$\sin(\alpha)=\pm\sqrt<\frac<8><9>>=\pm\frac<2\sqrt<2>><3>;$$ Обратите внимание на знак \(\pm\), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие на \(\alpha\in(0;\frac<\pi><2>)\), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз \(\alpha\) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса: $$\sin(\alpha)=\frac<2\sqrt<2>><3>;$$ И подставим найденное значение в искомое выражение: $$3\sqrt<2>*\sin(\alpha)=3\sqrt<2>*\frac<2\sqrt<2>><3>=4.$$

Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Основные связи тригонометрических функций

А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус: $$\mathbf<\cos(\alpha)>;>$$ $$\mathbf<\sin(\alpha)>;>$$ Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.

Пример 2 Найдите \(tg(\alpha)\) и \(ctg(\alpha)\), если \(\cos(\alpha)=\frac<\sqrt<10>><10>\) и \(\alpha \in (\frac<3\pi><2>;2\pi)\).

Сначала находим значение синуса: $$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$ $$\sin(\alpha)^2+\left(\frac<\sqrt<10>><10>\right)^2=1;$$ $$\sin(\alpha)^2+\frac<1><10>=1;$$ $$\sin(\alpha)^2=1-\frac<1><10>;$$ $$\sin(\alpha)^2=\frac<9><10>;$$ $$\sin(\alpha)=\pm\sqrt<\frac<9><10>>=\pm\frac<3><\sqrt<10>>;$$ Так как по условию задачи \(\alpha \in (\frac<3\pi><2>;2\pi)\), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то \(\sin(\alpha) Упростить выражение \(sin(\frac<\pi><2>+\alpha)\).

Воспользуемся формулой синуса суммы: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\frac<\pi><2>+\alpha)=\sin(\frac<\pi><2>)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\frac<\pi><2>)=$$ $$=1*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*0=\cos(\alpha);$$

Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

Пример 4 Найдите значение \(\sin(15^o)=?\)

\(15^o\) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим \(15^o\) в виде разности стандартных углов \(15^o=45^o-30^o\). И воспользуемся формулой синуса разности: $$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(15^o)=\sin(45^o-30^o)=\sin(45^o)*\cos(30^o)-\sin(30^o)*\cos(45^o)=$$ $$=\frac<\sqrt<2>><2>*\frac<\sqrt<3>><2>-\frac<1><2>*\frac<\sqrt<2>><2>=$$ $$=\frac<\sqrt<6>><4>-\frac<\sqrt<2>><4>=\frac<\sqrt<6>-\sqrt<2>><4>;$$ Вот мы наши синус \(15^o\). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

Пример 5 Найдите значение \(\cos(75^o)=?\)

\(75^o\) можно представить в виде суммы стандартных углов \(75^o=30^o+45^o\). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(30^o)*\cos(45^o)-\sin(30^0)*\sin(45^0)=$$ $$=\frac<\sqrt<3>><2>*\frac<\sqrt<2>><2>-\frac<1><2>*\frac<\sqrt<2>><2>=$$ $$=\frac<\sqrt<6>><4>-\frac<\sqrt<2>><4>=\frac<\sqrt<6>-\sqrt<2>><4>;$$ У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что \(\cos(75^o)=\sin(15^o)\). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол \(2\alpha\) через \(\alpha\). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) : $$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha+\alpha)=\cos(\alpha)*\cos(\alpha)-\sin(\alpha)*\sin(\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2;$$ Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу: $$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=1-\sin(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=1-2\sin(\alpha)^2;$$ $$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=\cos(\alpha)^2-(1-\cos(\alpha)^2)=2\cos(\alpha)^2-1;$$ Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы: $$\sin(2\alpha)=\sin(\alpha)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha);$$

В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:

Пример 6 Найти значение \(24\cos(2\alpha)=?\), если \(\sin(\alpha)=-0,2.\)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $$\cos(2\alpha)=1-2\sin(\alpha)^2;$$ $$24\cos(2\alpha)=24(1-2\sin(\alpha)^2)=24-48\sin(\alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся. $$\cos(3*\alpha)=\cos(\alpha)^3-3*\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=-3*\cos(\alpha)+4*\cos(\alpha)^3;$$ $$\sin(3*\alpha)=3*\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=3*\sin(\alpha)-4*\sin(\alpha)^3;$$ $$tg(3*\alpha)=\frac<3*tg(\alpha)-tg(\alpha)^3><1-3*tg(\alpha)^2>;$$ $$ctg(3*\alpha)=\frac<3*ctg(\alpha)^2-1>;$$

Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла: $$\cos(3*\alpha)=\cos(2\alpha+\alpha)=\cos(2\alpha)*\cos(\alpha)-\sin(2\alpha)*\sin(\alpha)=$$ $$=(\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2)*\cos(\alpha)-2\sin(\alpha)*\cos(\alpha)*\sin(\alpha)=$$ $$=\cos(\alpha)^3-\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)-2\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=$$ $$=\cos(\alpha)^3-3\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha);$$

Если расписать \(sin(\alpha)^2=1-\cos(\alpha)^2\), то получим еще один вариант формулы тройного угла: $$\cos(3*\alpha)=cos(\alpha)^3-3\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=cos(\alpha)^3-3(1-\cos(\alpha)^2)*\cos(\alpha)=$$ $$=4\cos(\alpha)^3-3\cos(\alpha);$$

Аналогично выводится формула синуса тройного угла: $$\sin(3\alpha)=\sin(2\alpha+\alpha)=\sin(2\alpha)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(2\alpha)=$$ $$=2\sin(\alpha)*\cos(\alpha)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*(\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2)=$$ $$=2\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2+\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=3\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3;$$ Распишем по основному тригонометрическому тождеству \(\cos(\alpha)^2=1-\sin(\alpha)^2\) и подставим: $$\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=$$ $$=3\sin(\alpha)*(1-\sin(\alpha)^2)-\sin(\alpha)^3=3\sin(\alpha)-4\sin(\alpha)^3;$$

Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.

Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.

Формулы половинного угла (двойного аргумента)

Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол \(\alpha\) всегда можно представить в виде удвоенного угла \(\frac<\alpha><2>\): $$\alpha=2*\frac<\alpha><2>;$$ Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла: $$\cos(\alpha)=1-2*\sin(\frac<\alpha><2>)^2;$$ Выразим отсюда \(\sin(\frac<\alpha><2>)\): $$\sin(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1-\cos(\alpha)><2>;$$ Иногда эту формулу записывают без квадрата: $$\sin(\frac<\alpha><2>)=\pm\sqrt<\frac<1-\cos(\alpha)><2>>;$$ Плюс минус возникает при избавлении от квадрата. Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла: $$\cos(\alpha)=2*\cos(\frac<\alpha><2>)^2-1;$$ $$\cos(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<\cos(\alpha)+1><2>;$$ $$\cos(\frac<\alpha><2>)=\pm\sqrt<\frac<\cos(\alpha)+1><2>>;$$

Пример 9 При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать \(\cos(15^o)\):

$$\cos(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1+\cos(\alpha)><2>;$$ $$\cos(15^o)^2=\frac<1+\cos(30^o)><2>=\frac<1+\frac<\sqrt<3>><2>><2>=\frac<2+\sqrt<3>><4>;$$ $$\cos(15^o)=\sqrt<\frac<2+\sqrt<3>><4>>.$$ Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы \(\alpha\), а левой \(\frac<\alpha><2>\). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза: $$\sin(5\alpha)=\pm\sqrt<\frac<1-\cos(10\alpha)><2>>;$$

Формулы понижения степени

Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.

Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:

Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.

Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.

Обратите внимание, что любой угол \(\alpha\) можно представить в таком странном виде: $$\alpha=\frac<\alpha><2>+\frac<\alpha><2>+\frac<\beta><2>-\frac<\beta><2>=\frac<\alpha+\beta><2>+\frac<\alpha-\beta><2>;$$ Аналогично угол \(\beta\): $$\beta=\frac<\alpha+\beta><2>-\frac<\alpha-\beta><2>;$$ Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание. А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла \(\alpha\) и \(\beta\) по формулам выше: $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=\sin(\frac<\alpha+\beta><2>+\frac<\alpha-\beta><2>)+\sin(\frac<\alpha+\beta><2>-\frac<\alpha-\beta><2>); \qquad (*)$$ Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности: $$\sin(\gamma+\sigma)=\sin(\gamma)*\cos(\sigma)+\sin(\sigma)*\cos(\gamma);$$ $$\sin(\gamma-\sigma)=\sin(\gamma)*\cos(\sigma)-\sin(\sigma)*\cos(\gamma);$$ Только у нас под синусами будут стоять не \(\gamma\) и \(\sigma\), а целые выражения. Пусть: $$\gamma=\frac<\alpha+\beta><2>;$$ $$\sigma=\frac<\alpha-\beta><2>;$$ Применим формулы синуса суммы и разности в (*): $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=\sin(\frac<\alpha+\beta><2>+\frac<\alpha-\beta><2>)+\sin(\frac<\alpha+\beta><2>-\frac<\alpha-\beta><2>)=$$ $$=\left(\sin(\frac<\alpha+\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha-\beta><2>)+\sin(\frac<\alpha-\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha+\beta><2>)\right)+$$ $$+\left(\sin(\frac<\alpha+\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha-\beta><2>)-\sin(\frac<\alpha-\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha+\beta><2>)\right)=$$ $$=2*\sin(\frac<\alpha+\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha-\beta><2>); $$ В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.

Аналогично выводятся все остальные формулы.

Пример 10 Вычислить \(\sin(165)+\sin(75)=?\)

\(165^o\) и \(75^o\) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов: $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\sin(165^o)+\sin(75^o)=2*\sin\left(\frac<165^o+75^o><2>\right)*\cos\left(\frac<165^o-75^o><2>\right)=$$ $$=2*\sin(120^o)*\cos(45^o)=2*\frac<\sqrt<3>><2>*\frac<\sqrt<2>><2>=\frac<\sqrt<6>><2>.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций

В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.

Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$

Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей: $$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha)+\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ Приводим подобные слагаемые: $$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2*\cos(\alpha)*\cos(\beta);$$ Отсюда получаем: $$\cos(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta));$$ Формула произведения косинусов доказана.

Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на \((-1)\): $$-\cos(\alpha+\beta)=-\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ Косинус разности оставим без изменений: $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ Сложим опять эти две формулы: $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha)-\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2*\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\sin(\beta)*\sin(\alpha)=\frac<1><2>*(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta));$$ Произведение синусов тоже доказано.

Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ Сложим их: $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2*\sin(\alpha)*\cos(\beta);$$ $$\sin(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta));$$

Пример 11 Вычислить \(\sin(75^o)*\cos(15^o)=?\)

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: $$\sin(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta));$$ $$\sin(75^o)*\cos(15^o)=\frac<1><2>*(\sin(75^o+15^o)+\sin(75^o-15^o))=$$ $$=\frac<1><2>*(\sin(90^o)+\sin(60^o))=\frac<1><2>*(1+\frac<\sqrt<3>><2>)=\frac<2+\sqrt<3>><4>.$$

Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Основные формулы тригонометрии — это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных тригонометрических формул можно находить и решать практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь все тригонометрические формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую (посредством преобразования).

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg) и их свойств.

Основные формулы приведения в тригонометрии

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов, то есть, преобразовывать их.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Все формулы сложения в тригонометрии

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β — sin α · sin β cos α — β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = — 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α — 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α — sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α — 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α — 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = — 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α — t g 3 α 1 — 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α — 3 c t g α 3 c t g 2 α — 1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 — cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 — cos α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α — sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 — 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздкими степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

для четных n решение

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 ( — 1 ) n 2 — k · C k n · cos ( ( n — 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 C k n · cos ( ( n — 2 k ) α )

sin n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 ( — 1 ) n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 C k n · cos ( ( n — 2 k ) α )

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно для применения при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 · sin α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · sin β — α 2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению или умножению, то формулы произведения (здесь нужно умножать) тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α — β ) — cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α — β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α — β ) + sin ( α + β ) )

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции — тангенс, котангенс, синус, косинус — могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 — t g 2 α 2 c t g α = 1 — t g 2 α 2 2 t g α 2