Какое из данных чисел принадлежит промежутку
Алгебра в ОГЭ
Какое из данных чисел принадлежит промежутку N – это задание из ОГЭ под номером 7. Давайте разберемся, как решать такие задачи и решим некоторые из них. В этих задачах вам нужно уметь представлять числовую ось и расположение чисел на ней. А также знать операции и функции, которые при вычислении могут дать искомое число.
Задание 1
Какое из данных чисел принадлежит промежутку [5; 6] ?
Варианты ответов:
Решение: Итак нам даны квадратные корни, которые при извлечении должны нам дать число из указанного промежутка. Каким же должно быть число под корнем? Чтобы ответить на этот вопрос возведем в квадрат границы промежутка:
То есть, искомое число лежит между 25-ю и 36-ю под корнем. Из представленных вариантов ответов нам подходит только число . Это число под номером 4. Поэтому в ответ мы запишем 4.
Задание 2
Какое из данных чисел принадлежит промежутку [6; 7] ?
Варианты ответов:
Нам снова даны не уже готовые числа, а функции от числа, при выполнении которых получаются какие то числа, одно из них должно попасть в промежуток [6; 7]. Сделаем обратную операцию – возведем в квадрат числа – границы промежутка – и определим в каким пределах находится число под корнем в списке вариантов ответов.
Нам подходит число . В перечне ответов оно под номером 3.
Задание 3
Какое из данных чисел принадлежит отрезку [7;8]?
Решение: В вариантах ответов даны дроби. Значит частное должно быть числом, в промежутке от 7 до 8. Все дроби в знаменателе имеют 11. Давайте определим числитель, исходя из определения промежутка, в котором он может находиться. То есть умножим числа – границы указанного промежутка – на 11:
Таким образом, числитель дроби должен быть в промежутке от 77 до 88. Это число 80 и, соответственно, искомое число . Оно стоит под номером 2.
Задание 4
Какое из данных ниже чисел принадлежит отрезку [-6; -5]?
Решение: По аналогии с предыдущим заданием, мы должны определить числитель, умножим границы отрезка на 7.
Как понять к какому промежутку принадлежит число
и 
.
То есть, искомое число лежит между 25-ю и 36-ю под корнем. Из представленных вариантов ответов нам подходит только число
и 
Нам подходит число
и 
.Таким образом, числитель дроби должен быть в промежутке от 77 до 88. Это число 80 и, соответственно, искомое число
и 
Нам подходит дробь
![-\frac<40><7>» width=»31″ height=»23″ />. Она под номером 3. Значит, в ответ мы запишем 3.</p>
<h2>Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения</h2>
<p>Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.</p>
<p>Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.</p>
<h3>Виды числовых промежутков</h3>
<p>Каждый числовой промежуток характеризуется:</p>
<ul>
<li>названием;</li>
<li>наличием обычного или двойного неравенства;</li>
<li>обозначением;</li>
<li>геометрическим изображением на координатой прямой.</li>
</ul>
<p>Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.</p>
<p>Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:</p>
<ul>
<li><b>Открытый числовой луч.</b> Название связано с тем, что его опускают, оставляя открытым.</li>
</ul>
<p>Этот промежуток имеет соответствующие неравенства x < a или x > a , где a является некоторым действительным числом. То есть на такое луче имеются все действительные числа, которые меньше a — ( x < a ) или больше a — ( x > a ) .</p>
<p>Множество чисел, которые будут удовлетворять неравенству вида x < a обозначается виде промежутка ( − ∞ , a ) , а для x > a , как ( a , + ∞ ) .</p>
<p>Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида x < a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x > a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.</p>
<p>Из вышеприведенного рисунка видно, что числовые промежутки соответствуют части прямой, то есть лучам с началом в a . Иначе говоря, называется лучами без начала. Поэтому он и получил название открытый числовой луч.</p>
<p>Рассмотрим несколько примеров.</p>
<p>При заданном строгом неравенстве x > − 3 задается открытый луч. Эту запись можно представить в виде координат ( − 3 , ∞ ) . То есть это все точки, лежащие правее, чем — 3 .</p>
<p>Если имеем неравенство вида x < 2 , 3 , то запись ( − ∞ , 2 , 3 ) является аналогичной при задании открытого числового луча.</p>
<ul>
<li><b>Числовой луч.</b> Геометрический смысл в том, что начало не отбрасывается, иначе говоря, луч оставляет за собой свою полноценность.</li>
</ul>
<p>Его задание идет с помощью нестрогих неравенств вида x ≤ a или x ≥ a . Для такого вида приняты специальные обозначения вида ( − ∞ , a ] и [ a , + ∞ ) , причем наличие квадратной скобки имеет значение того, что точка включена в решение или в множество. Рассмотрим рисунок, приведеный ниже.</p>
<p>Для наглядного примера зададим числовой луч.</p>
<p>Неравенство вида x ≥ 5 соответствует записи [ 5 , + ∞ ) , тогда получаем луч такого вида:</p>
<ul>
<li><b>Интервал.</b> Задавание при помощи интервалов записывается при помощи двойных неравенств a < x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде ( a , b ) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.</li>
</ul>
<p>Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.</p>
<p>Пример интервала − 1 < x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала ( − 1 , 3 , 5 ) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.</p>
<ul>
<li><b>Числовой отрезок.</b> Данный промежуток отличается тем, что он включает в себя граничные точки, тогда имеет запись вида a ≤ x ≤ b . Такое нестрогое неравенство говорит о том, что при записи в виде числового отрезка применяют квадратные скобки [ a , b ] , значит, что точки включаются во множество и изображаются закрашенными.</li>
</ul>
<p>Рассмотрев отрезок, получим , что его задание возможно при помощи двойного неравенства 2 ≤ x ≤ 3 , которое изображаем в виде 2 , 3 . На координатной прямой данный точки будут включены в решение и закрашены.</p>
<ul>
<li><b>Полуинтервалы.</b> Это промежуточные интервалы с включением приграничных точек. Они записываются при помощи двойных неравенств вида a < x ≤ b или a ≤ b < c , где ( a , b ] и [ a , b ) . Изобразим на координатной прямой.</li>
</ul>
<p>Если имеется полуинтервал ( 1 , 3 ] , тогда его обозначение можно в виде двойного неравенства 1 < x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.</p>
<h3>Таблица числовых промежутков</h3>
<p>Промежутки могут быть изображены в виде:</p>
<ul>
<li>открытого числового луча;</li>
<li>числового луча;</li>
<li>интервала;</li>
<li>числового отрезка;</li>
<li>полуинтервала.</li>
</ul>
<p>Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.</p>
<h2>Числовые промежутки</h2>
<p><strong>Числовые промежутки</strong> или просто <strong>промежутки</strong> — это числовые множества, которые можно изобразить на координатной прямой. К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.</p>
<h3>Виды числовых промежутков</h3>
<div class=](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6fab81d82332b2dde073933905a59d3a_l3.png)
Название Изображение Неравенство Обозначение Открытый луч 
x > a (a; +∞) 
x < a (-∞; a) Замкнутый луч 
x ⩾ a [a; +∞) 
x ⩽ a (-∞; a] Отрезок 
a ⩽ x ⩽ b [a; b] Интервал 
a < x < b (a; b) Полуинтервал 
a < x ⩽ b (a; b] 
a ⩽ x < b [a; b)
В таблице a и b — это граничные точки, а x — переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.
Граничная точка — это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие — закрашенным кругом.
Открытый и замкнутый луч
Открытый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.
Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а, значит, расположенных правее точки 2:
Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок — (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности .
Множество, которому соответствует неравенство x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Замкнутый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.
Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства x ⩾ 2 и x ⩽ 2 можно изобразить так:
Обозначаются данные замкнутые лучи так: [2; +∞) и (-∞; 2], читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух . Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.
Отрезок
Отрезок — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.
Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:
Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством -2 ⩽ x ⩽ 3 или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх .
Интервал и полуинтервал
Интервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.
Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:
Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством -2 < x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх .
Полуинтервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:
Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3). Читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3 , и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два .