Как найти время работы

5

Физика (7 класс)/Работа и мощность. Энергия

В обыденной жизни под понятием «работа» мы понимаем всё.

В физике понятие работа несколько иное. Это определенная физическая величина, а значит, ее можно измерить. В физике изучается прежде всего механическая работа.

Рассмотрим примеры механической работы.

Поезд движется под действием силы тяги электровоза, при этом совершается механическая работа. При выстреле из ружья сила давления пороховых газов совершает работу — перемещает пулю вдоль ствола, скорость пули при этом увеличивается.

Из этих примеров видно, что механическая работа совершается, когда тело движется под действием силы. Механическая работа совершается и в том случае, когда сила, действуя на тело (например, сила трения), уменьшает скорость его движения.

Желая передвинуть шкаф, мы с силой на него надавливаем, но если он при этом в движение не приходит, то механической работы мы не совершаем. Можно представить себе случай, когда тело движется без участия сил (по инерции), в этом случае механическая работа также не совершается.

Итак, механическая работа совершается, только когда на тело действует сила, и оно движется.

Нетрудно понять, что чем большая сила действует на тело и чем длиннее путь, который проходит тело под действием этой силы, тем большая совершается работа.

Механическая работа прямо пропорциональна приложенной силе и прямо пропорциональна пройденному пути.

Поэтому, условились измерять механическую работу произведением силы на путь, пройденный по этому направлению этой силы:

работа = сила × путь

где А — работа, F — сила и s — пройденный путь.

За единицу работы принимается работа, совершаемая силой в 1Н, на пути, равном 1 м.

Единица работы — джоуль (Дж) названа в честь английского ученого Джоуля. Таким образом,

1 Дж = 1Н · м.

Используется также килоджоули (кДж) .

Формула А = Fs применима в том случае, когда сила F постоянна и совпадает с направлением движения тела.

Если направление силы совпадает с направлением движения тела, то данная сила совершает положительную работу.

Если же движение тела происходит в направлении, противоположном направлению приложенной силы, например, силы трения скольжения, то данная сила совершает отрицательную работу.

Если направление силы, действующей на тело, перпендикулярно направлению движения, то эта сила работы не совершает, работа равна нулю:

В дальнейшем, говоря о механической работе, мы будем кратко называть ее одним словом — работа.

Пример. Вычислите работу, совершаемую при подъеме гранитной плиты объемом 0,5 м3 на высоту 20 м. Плотность гранита 2500 кг/м 3 .

Запишем условие задачи, и решим ее.

где F -сила, которую нужно приложить, чтобы равномерно поднимать плиту вверх. Эта сила по модулю равна силе тяж Fтяж, действующей на плиту, т. е. F = Fтяж. А силу тяжести можно определить по массе плиты: Fтяж = gm. Массу плиты вычислим, зная ее объем и плотность гранита: m = ρV; s = h, т. е. путь равен высоте подъема.

Итак, m = 2500 кг/м3 · 0,5 м3 = 1250 кг.

F = 9,8 Н/кг · 1250 кг ≈ 12 250 Н.

A = 12 250 Н · 20 м = 245 000 Дж = 245 кДж.

Ответ: А =245 кДж.

Рычаги.Мощность.Энергия

На совершение одной и той же работы различным двигателям требуется разное время. Например, подъемный кран на стройке за несколько минут поднимает на верхний этаж здания сотни кирпичей. Если бы эти кирпичи перетаскивал рабочий, то ему для этого потребовалось бы несколько часов. Другой пример. Гектар земли лошадь может вспахать за 10-12 ч, трактор же с многолемешным плугом (лемех — часть плуга, подрезающая пласт земли снизу и передающая его на отвал; многолемешный — много лемехов), эту работу выполнит на 40-50 мин.

Ясно, что подъемный кран ту же работу совершает быстрее, чем рабочий, а трактор — быстрее чем лошадь. Быстроту выполнения работы характеризуют особой величиной, называемой мощностью.

Мощность равна отношению работы ко времени, за которое она была совершена.

Чтобы вычислить мощность, надо работу разделить на время, в течение которого совершена эта работа. мощность = работа/время.

где N — мощность, A — работа, t — время выполненной работы.

Мощность — величина постоянная, когда за каждую секунду совершается одинаковая работа, в других случаях отношение A/t определяет среднюю мощность:

Nср = A/t . За единицу мощности приняли такую мощность, при которой в 1 с совершается работа в Дж.

Эта единица называется ваттом (Вт) в честь еще одного английского ученого Уатта.

1 ватт = 1 джоуль/ 1 секунда, или 1 Вт = 1 Дж/с .

Ватт (джоуль в секунду) — Вт ( 1 Дж/с).

В технике широко используется более крупные единицы мощности — киловатт (кВт), мегаватт (МВт) .

1 МВт = 1 000 000 Вт

1 кВт = 1000 Вт

1 мВт = 0,001 Вт

1 Вт = 0,000001 МВт

1 Вт = 0,001 кВт

1 Вт = 1000 мВт

Пример. Найти мощность потока воды, протекающей через плотину, если высота падения воды 25 м, а расход ее — 120 м3 в минуту.

Запишем условие задачи и решим ее.

Масса падающей воды: m = ρV,

m = 1000 кг/м3 · 120 м3 = 120 000 кг (12 · 104 кг).

Сила тяжести, действующая на воду:

F = 9.8 м/с2 · 120 000 кг ≈ 1 200 000 Н (12 · 105 Н)

Работа, совершаемая потоком в минуту:

А — 1 200 000 Н · 25 м = 30 000 000 Дж (3 · 107 Дж).

Мощность потока: N = A/t,

N = 30 000 000 Дж / 60 с = 500 000 Вт = 0,5 МВт.

Ответ: N = 0.5 МВт.

Различные двигатели имеют мощности от сотых и десятых долей киловатта (двигатель электрической бритвы, швейной машины) до сотен тысяч киловатт (водяные и паровые турбины).

Мощность некоторых двигателей, кВт.

На каждом двигателе имеется табличка (паспорт двигателя), на которой указаны некоторые данные о двигателе, в том числе и его мощность.

Мощность человека при нормальный условиях работы в среднем равна 70-80 Вт. Совершая прыжки, взбегая по лестнице, человек может развивать мощность до 730 Вт, а в отдельных случаях и еще бóльшую.

Зная мощность двигателя, можно рассчитать работу, совершаемую этим двигателем в течение какого-нибудь промежутка времени.

Из формулы N = A/t следует, что

Чтобы вычислить работу, необходимо мощность умножить на время, в течение которого совершалась эта работа.

Пример. Двигатель комнатного вентилятора имеет мощность 35 Вт. Какую работу он совершает за 10 мин?

Запишем условие задачи и решим ее.

A = 35 Вт * 600с = 21 000 Вт* с = 21 000 Дж = 21 кДж.

Ответ A = 21 кДж.

Простые механизмы.

С незапамятных времен человек использует для совершения механической работы различные приспособления.

Каждому известно, что тяжелый предмет (камень, шкаф, станок), который невозможно сдвинуть руками, можно сдвинуть с помощью достаточно длинной палки — рычага.

На данный момент считается, что с помощью рычагов три тысячи лет назад при строительстве пирамид в Древнем Египте передвигали и поднимали на большую высоту тяжелые каменные плиты.

Во многих случаях, вместо того, чтобы поднимать тяжелый груз на некоторую высоту, его можно вкатывать или втаскивать на ту же высоту по наклонной плоскости или поднимать с помощью блоков.

Приспособления, служащие для преобразования силы, называются механизмами.

К простым механизмам относятся: рычаги и его разновидности — блок, ворот; наклонная плоскость и ее разновидности — клин, винт. В большинстве случаев простые механизмы применяют для того, чтобы получить выигрыш в силе, т. е. увеличить силу, действующую на тело, в несколько раз.

Простые механизмы имеются и в бытовых, и во всех сложных заводских и фабричных машинах, которые режут, скручивают и штампуют большие листы стали или вытягивают тончайшие нити, из которых делаются потом ткани. Эти же механизмы можно обнаружить и в современных сложных автоматах, печатных и счетных машинах.

Рычаг. Равновесие сил на рычаге.

Рассмотрим самый простой и распространенный механизм — рычаг.

Рычаг представляет собой твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры.

На рисунках показано, как рабочий для поднятия груза в качестве рычага, использует лом. В первом случае рабочий с силой F нажимает на конец лома B, во втором — приподнимает конец B.

Рабочему нужно преодолеть вес груза P — силу, направленную вертикально вниз. Он поворачивает для этого лом вокруг оси, проходящей через единственную неподвижную точку лома — точку его опоры О. Сила F, с которой рабочий действует на рычаг, меньше силы P, таким образом, рабочий получает выигрыш в силе. При помощи рычага можно поднять такой тяжелый груз, который своими силами поднять нельзя.

На рисунке изображен рычаг, ось вращения которого О (точка опоры) расположена между точками приложения сил А и В. На другом рисунке показана схема этого рычага. Обе силы F1 и F2, действующие на рычаг, направлены в одну сторону.

Кратчайшее расстояние между точкой опоры и прямой, вдоль которой действует на рычаг сила, называется плечом силы.

Чтобы найти плечо силы, надо из точки опоры опустить перпендикуляр на линию действия силы.

Длина этого перпендикуляра и будет плечом данной силы. На рисунке показано, что ОА — плечо силы F1; ОВ — плечо силы F2 . Силы, действующие на рычаг могут повернуть его вокруг оси в двух направлениях: по ходу или против хода часовой стрелки. Так, сила F1 вращает рычаг по ходу часовой стрелки, а сила F2 вращает его против часовой стрелки.

Условие, при котором рычаг находится в равновесии под действием приложенных к нему сил, можно установить на опыте. При этом надо помнить, что результат действия силы, зависит не только от ее числового значения (модуля), но и от того, в какой точке она приложена к телу, или как направлена.

К рычагу (см рис.) по обе стороны от точки опоры подвешиваются различные грузы так, что каждый раз рычаг оставался в равновесии. Действующие на рычаг силы, равны весам этих грузов. Для каждого случая измеряются модули сил и их плечи. Из опыта изображенного на рисунке 154, видно, что сила 2 Н уравновешивает силу 4 Н. При этом, как видно из рисунка, плечо меньшей силы в 2 раза больше плеча большей силой.

На основании таких опытов было установлено условие (правило) равновесия рычага.

Рычаг находится в равновесии тогда, когда силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил.

Это правило можно записать в виде формулы:

F1/F2 = l2/l1,

где F1 и F2— силы, действующие на рычаг, l1 и l2, — плечи этих сил (см. рис.).

Правило равновесия рычага было установлено Архимедом около 287 — 212 гг. до н. э. (но ведь в прошлом параграфе говорилось, что рычаги использовались египтянами? Или тут важную роль играет слово «установлено»?)

Из этого правила следует, что меньшей силой можно уравновесить при помощи рычага бóльшую силу. Пусть одно плечо рычага в 3 раза больше другого (см рис.). Тогда, прикладывая в точке В силу, например, в 400 Н, можно поднять камень весом 1200 Н. Что0бы поднять еще более тяжелый груз, нужно увеличить длину плеча рычага, на которое действует рабочий.

Пример. С помощью рычага рабочий поднимает плиту массой 240 кг (см рис. 149). Какую силу прикладывает он к большему плечу рычага, равному 2,4 м, если меньшее плечо равно 0,6 м?

Запишем условие задачи, и решим ее.

По правилу равновесия рычага F1/F2 = l2/l1, откуда F1 = F2 l2/l1, где F2 = Р — вес камня. Вес камня asd = gm, F = 9,8 Н · 240 кг ≈ 2400 Н

Тогда, F1 = 2400 Н · 0,6/2,4 = 600 Н.

Ответ : F1 = 600 Н.

В нашем примере рабочий преодолевает силу 2400 Н, прикладывая к рычагу силу 600 Н. Но при этом плечо, на которое действует рабочий, в 4 раза длиннее того, на которое действует вес камня (l1 : l2 = 2,4 м : 0,6 м = 4).

Применяя правило рычага, можно меньшей силой уравновесить бóльшую силу. При этом плечо меньшей силы должно быть длиннее плеча большей силы.

Момент силы.

Вам уже известно правило равновесия рычага:

F1 / F2 = l2 / l1,

Пользуясь свойством пропорции (произведение ее крайних членов, равно произведению ее средних членов), запишем его в таком виде:

F1l1 = F2l2 .

В левой части равенства стоит произведение силы F1 на ее плечо l1, а в правой — произведение силы F2 на ее плечо l2 .

Произведение модуля силы, вращающей тело, на ее плечо называется моментом силы; он обозначается буквой М. Значит,

Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающий его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки.

Это правило, называемое правилом моментов, можно записать в виде формулы:

Действительно, в рассмотренном нами опыте, (§ 56) действующие силы были равны 2 Н и 4 Н, их плечи соответственно составляли 4 и 2 давления рычага, т. е. моменты этих сил одинаковы при равновесии рычага.

Момент силы, как и всякая физическая величина, может быть измерена. За единицу момента силы принимается момент силы в 1 Н, плечо которой ровно 1 м.

Эта единица называется ньютон-метр (Н · м).

Момент силы характеризует действие силы, и показывает, что оно зависит одновременно и от модуля силы, и от ее плеча. Действительно, мы уже знаем, например, что действие силы на дверь зависит и от модуля силы, и от того, где приложена сила. Дверь тем легче повернуть, чем дальше от оси вращения приложена действующая на нее сила. Гайку, лучше отвернуть длинным гаечным ключом, чем коротким. Ведро тем легче поднять из колодца, чем длиннее ручка вóрота, и т. д.

Рычаги в технике, быту и природе.

Правило рычага (или правило моментов) лежит в основе действия различного рода инструментов и устройств, применяемых в технике и быту там, где требуется выигрыш в силе или в пути.

Выигрыш в силе мы имеем при работе с ножницами. Ножницы — это рычаг (рис), ось вращения которого, происходит через винт, соединяющий обе половины ножниц. Действующей силой F1 является мускульная сила руки человека, сжимающего ножницы. Противодействующей силой F2 — сила сопротивления такого материала, который режут ножницами. В зависимости от назначения ножниц их устройство бывает различным. Конторские ножницы, предназначенные для резки бумаги, имеют длинные лезвия и почти такой же длины ручки. Для резки бумаги не требуется большой силы, а длинным лезвием удобнее резать по прямой линии. Ножницы для резки листового металла (рис.) имеют ручки гораздо длиннее лезвий, так как сила сопротивления металла велика и для ее уравновешивания плечо действующей силы приходится значительно увеличивать. Еще больше разница между длиной ручек и расстоянии режущей части и оси вращения в кусачках (рис.), предназначенных для перекусывания проволоки.

Рычаги различного вида имеются у многих машин. Ручка швейной машины, педали или ручной тормоз велосипеда, педали автомобиля и трактора, клавиши пианино — все это примеры рычагов, используемых в данных машинах и инструментах.

Примеры применения рычагов — это рукоятки тисков и верстаков, рычаг сверлильного станка и т. д.

На принципе рычага основано действие и рычажных весов (рис.). Учебные весы, изображенные на рисунке 48 (с. 42), действуют как равноплечий рычаг. В десятичных весах плечо, к которому подвешена чашка с гирями, в 10 раз длиннее плеча, несущего груз. Это значительно упрощает взвешивание больших грузов. Взвешивая груз на десятичных весах, следует умножить массу гирь на 10.

Устройство весов для взвешивания грузовых вагонов автомобилей также основано на правиле рычага.

Рычаги встречаются также в разных частях тела животных и человека. Это, например, руки, ноги, челюсти. Много рычагов можно найти в теле насекомых (прочитав книгу про насекомых и строение их тела), птиц, в строении растений.

Применение закона равновесия рычага к блоку.

Блок представляет собой колесо с желобом, укрепленное в обойме. По желобу блока пропускается веревка, трос или цепь.

Неподвижным блоком называется такой блок, ось которого закреплена, и при подъеме грузов не поднимается и не опускается (рис).

Неподвижный блок можно рассматривать как равноплечий рычаг, у которого плечи сил равны радиусу колеса (рис): ОА = ОВ = r. Такой блок не дает выигрыша в силе. (F1 = F2), но позволяет менять направление действие силы. Подвижный блок — это блок. ось которого поднимается и опускается вместе с грузом (рис.). На рисунке показан соответствующий ему рычаг: О — точка опоры рычага, ОА — плечо силы Р и ОВ — плечо силы F. Так как плечо ОВ в 2 раза больше плеча ОА, то сила F в 2 раза меньше силы Р:

Таким образом, подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза.

Это можно доказать и пользуясь понятием момента силы. При равновесии блока моменты сил F и Р равны друг другу. Но плечо силы F в 2 раза больше плеча силы Р, а, значит, сама сила F в 2 раза меньше силы Р.

Обычно на практике применяют комбинацию неподвижного блока с подвижным (рис.). Неподвижный блок применяется только для удобства. Он не дает выигрыша в силе, но изменяет направление действия силы. Например, позволяет поднимать груз, стоя на земле. Это пригождается многим людям или рабочим. Тем не менее, он даёт выигрыш в силе в 2 раза больше обычного!

Равенство работ при использовании простых механизмов. «Золотое правило» механики.

Рассмотренные нами простые механизмы применяются при совершении работы в тех случаях, когда надо действием одной силы уравновесить другую силу.

Естественно, возникает вопрос: давая выигрыш в силе или пути, не дают ли простые механизмы выигрыша в работе? Ответ на поставленный вопрос можно получить из опыта.

Уравновесив на рычаге две какие-нибудь разные по модулю силы F1 и F2 (рис.), приводим рычаг в движение. При этом оказывается, что за одно и то же время точка приложения меньшей силы F2 проходит больший путь s2 , а точка приложения большей силы F1 — меньший путь s1. Измерив эти пути и модули сил, находим, что пути, пройденные точками приложения сил на рычаге, обратно пропорциональны силам:

s1 / s2 = F2 / F1.

Таким образом, действуя на длинное плечо рычага, мы выигрываем в силе, но при этом во столько же раз проигрываем в пути.

Произведение силы F на путь s есть работа. Наши опыты показывают, что работы, совершаемые силами, приложенными к рычагу, равны друг другу:

F1 s1 = F2 s2, т. е. А1 = А2.

Итак, при использовании рычага выигрыша в работе не получится.

Пользуясь рычагом, мы можем выиграть или в силе, или в расстоянии. Действуя же силой на короткое плечо рычага, мы выигрываем в расстоянии, но во столько же раз проигрываем в силе.

Существует легенда, что Архимед, восхищенный открытием правила рычага, воскликнул: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!».

Конечно, Архимед не мог бы справиться с такой задачей, если бы даже ему и дали бы точку опоры (которая должна была бы быть вне Земли) и рычаг нужной длины.

Для подъема земли всего на 1 см длинное плечо рычага должно было бы описать дугу огромной длины. Для перемещения длинного конца рычага по этому пути, например, со скоростью 1 м/с, потребовались бы миллионы лет!

Не дает выигрыша в работе и неподвижный блок, в чем легко убедиться на опыте (см. рис.). Пути, проходимые точками приложения сил F и F, одинаковы, одинаковы и силы, а значит, одинаковы и работы.

Можно измерить и сравнить между собой работы, совершаемые с помощью подвижного блока. Чтобы при помощи подвижного блока поднять груз на высоту h, необходимо конец веревки, к которому прикреплен динамометр, как показывает опыт (рис.), переместить на высоту 2h.

Таким образом, получая выигрыш в силе в 2 раза, проигрывают в 2 раза в пути, следовательно, и подвижный блок, на дает выигрыша в работе.

Многовековая практика показала, что ни один из механизмов не дает выигрыш в работе. Применяют же различные механизмы для того, чтобы в зависимости от условий работы выиграть в силе или в пути.

Уже древним ученым было известно правило, применимое ко всем механизмом: во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии. Это правило назвали «золотым правилом» механики.

Коэффициент полезного действия механизма.

Рассматривая устройство и действие рычага, мы не учитывали трение, а также вес рычага. в этих идеальных условиях работа, совершенная приложенной силой (эту работу мы будем называть полной), равна полезной работе по подъему грузов или преодоления какого — либо сопротивления.

На практике совершенная с помощью механизма полная работа всегда несколько больше полезной работы.

Часть работы совершается против силы трения в механизме и по перемещению его отдельных частей. Так, применяя подвижный блок, приходится дополнительно совершать работу по подъему самого блока, веревки и по определению силы трения в оси блока.

Какой мы механизм мы не взяли, полезная работа, совершенная с его помощью, всегда составляет лишь часть полной работы. Значит, обозначив полезную работу буквой Ап, полную(затраченную) работу буквой Аз, можно записать:

Ап < Аз или Ап / Аз < 1.

Отношение полезной работы к полной работе называется коэффициентом полезного действия механизма.

Сокращенно коэффициент полезного действия обозначается КПД.

КПД обычно выражается в процентах и обозначается греческой буквой η, читается он как «эта»:

Пример: На коротком плече рычага подвешен груз массой 100 кг. Для его подъема к длинному плечу приложена сила 250 Н. Груз подняли на высоту h1 = 0,08 м, при этом точка приложения движущей силы опустилась на высоту h2 = 0,4 м. Найти КПД рычага.

Запишем условие задачи и решим ее.

Решение:

Полная (затраченная) работа Аз = Fh2.

Полезная работа Ап = Рh1

Р = 9,8 · 100 кг ≈ 1000 Н.

Ап = 1000 Н · 0,08 = 80 Дж.

Аз = 250 Н · 0,4 м = 100 Дж.

η = 80 Дж/100 Дж · 100% = 80%.

Ответ : η = 80%.

Но «золотое правило» выполняется и в этом случае. Часть полезной работы — 20% ее-расходуется на преодоление трения в оси рычага и сопротивления воздуха, а также на движение самого рычага.

КПД любого механизма всегда меньше 100%. Конструируя механизмы, люди стремятся увеличить их КПД. Для этого уменьшаются трение в осях механизмов и их вес.

Энергия.

На заводах и фабриках, станки и машины приводятся в движения с помощью электродвигателей, которые расходуют при этом электрическую энергию (отсюда и название).

Автомобили и самолеты тепловозы и теплоходы, работают, расходуя энергию сгорающего топлива, гидротурбины — энергию падающей с высоты воды. Да и сами мы, чтобы жить, учиться и работать, возобновляем свой запас энергии при помощи пищи, которую мы едим.

Слово «энергия» употребляется нередко и в быту. Так, например, людей, которые могут быстро выполнять большую работу, мы называем энергичными, обладающими большой энергией. Что же такое энергия? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим примеры.

Сжатая пружина (рис), распрямляясь, совершить работу, поднять на высоту груз, или заставить двигаться тележку.

Поднятый над землей неподвижный груз не совершает работы, но если этот груз упадет, он может совершить работу (например, может забить в землю сваю).

Способностью совершить работу обладает и всякое движущееся тело. Так, скатившийся с наклонной плоскости стальной шарик А (рис), ударившись о деревянный брусок В, передвигает его на некоторое расстояние. При этом совершается работа.

Если тело или несколько взаимодействующих между собой тел (система тел) могут совершить работу, говорится, что они обладают энергией.

Энергия — физическая величина, показывающая, какую работу может совершить тело (или несколько тел). Энергия выражается в системе СИ в тех же единицах, что и работу, т. е. в джоулях.

Чем большую работу может совершить тело, тем большей энергией оно обладает.

При совершении работы энергия тел изменяется. Совершенная работа равна изменению энергии.

Потенциальная и кинетическая энергия.

Потенциальной (от лат. потенция — возможность) энергией называется энергия, которая определяется взаимным положением взаимодействующих тел и частей одного и того же тела.

Потенциальной энергией, например, обладает тело, поднятое относительно поверхности Земли, потому что энергия зависит от взаимного положения его и Земли. и их взаимного притяжения. Если считать потенциальную энергию тела, лежащего на Земле, равной нулю, то потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, определится работой, которую совершит сила тяжести при падении тела на Землю. Обозначим потенциальную энергию тела Еп, поскольку Е = А , а работа, как мы знаем, равна произведению силы на путь, то

где F — сила тяжести.

Значит, и потенциальная энергия Еп равна:

Е = Fh, или Е = gmh,

где g — ускорение свободного падения, m — масса тела, h — высота, на которую поднято тело.

Огромной потенциальной энергией обладает вода в реках, удерживаемая плотинами. Падая вниз, вода совершает работу, приводя в движение мощные турбины электростанций.

Потенциальную энергию молота копра (рис.) используют в строительстве для совершению работы по забиванию свай.

Открывая дверь с пружиной, совершается работа по растяжению (или сжатию) пружины. За счет приобретенной энергии пружина, сокращаясь (или распрямляясь), совершает работу, закрывая дверь.

Энергию сжатых и раскрученных пружин используют, например, в ручных часах, разнообразных заводных игрушках и пр.

Потенциальной энергией обладает всякое упругое деформированное тело. Потенциальную энергию сжатого газа используют в работе тепловых двигателей, в отбойных молотках, которые широко применяют в горной промышленности, при строительстве дорог, выемке твердого грунта и т. д.

Энергия, которой обладает тело вследствие своего движения, называется кинетической (от греч. кинема — движение) энергией.

Кинетическая энергия тела обозначается буквой Ек .

Движущаяся вода, приводя во вращение турбины гидроэлектростанций, расходует свою кинетическую энергию и совершает работу. Кинетической энергией обладает и движущийся воздух — ветер.

От чего зависит кинетическая энергия? Обратимся к опыту (см. рис.). Если скатывать шарик А с разных высот, то можно заметить, что чем с большей высоты скатывается шарик, тем больше его скорость и тем дальше он продвигает брусок, т. е. совершает большую работу. Значит, кинетическая энергия тела зависит от его скорости.

За счет скорости большой кинетической энергией обладает летящая пуля.

Кинетическая энергия тела зависит и от его массы. Еще раз проделаем наш опыт, но будем скатывать с наклонной плоскости другой шарик — большей массы. Брусок В передвинется дальше, т. е. будет совершена бóльшая работа. Значит, и кинетическая энергия второго шарика, больше, чем первого.

Чем больше масса тела и скорость, с которой он движется, тем больше его кинетическая энергия.

Для того чтобы определить кинетическую энергию тела, применяется формула:

Ек = mv^2 /2,

где m — масса тела, v — скорость движения тела.

Кинетическую энергию тел используют в технике. Удерживаемая плотиной вода обладает, как было уже сказано, большой потенциальной энергией. При падении с плотины вода движется и имеет такую же большую кинетическую энергию. Она приводит в движение турбину, соединенную с генератором электрического тока. За счет кинетической энергии воды вырабатывается электрическая энергия.

Энергия движущейся воды имеет большое значение в народном хозяйстве. Эту энергию используют с помощью мощных гидроэлектростанций.

Энергия падающей воды является экологически чистым источником энергии в отличие от энергии топлива.

Все тела в природе относительно условного нулевого значения обладают либо потенциальной, либо кинетической энергией, а иногда той и другой вместе. Например, летящий самолет обладает относительно Земли и кинетической и потенциальной энергией.

Мы познакомились с двумя видами механической энергии. Иные виды энергии (электрическая, внутренняя и др.) будут рассмотрены в других разделах курса физики.

Превращение одного вида механической энергии в другой.

В природе, технике и быту можно часто наблюдать превращение одного вида механической энергии в другой: потенциальную в кинетическую и кинетическую в потенциальную. Например, при падении воды с плотины ее потенциальная энергия превращается в кинетическую. В качающемся маятнике периодически эти виды энергии переходят друг в друга.

Явление превращения одного вида механической энергии в другой очень удобно наблюдать на приборе, изображенном на рисунке. Накручивая на ось нить, поднимают диск прибора. Диск, поднятый вверх, обладает некоторой потенциальной энергией. Если его отпустить, то он, вращаясь, начнет падать. По мере падения потенциальная энергия диска уменьшается, но вместе с тем возрастает его кинетическая энергия. В конце падения диск обладает таким запасом кинетической энергии, что может опять подняться почти до прежней высоты. (Часть энергии расходуется на работу против силы трения, поэтому диск не достигает первоначальной высоты.) Поднявшись вверх, диск снова падает, а затем снова поднимается. В этом опыте при движении диска вниз его потенциальная энергия превращается в кинетическую, а при движении вверх кинетическая превращается в потенциальную.

Превращение энергии из одного вида в другой происходит также при ударе двух каких-нибудь упругих тел, например резинового мяча о пол или стального шарика о стальную плиту.

Если поднять над стальной плитой стальной шарик (рис) и выпустить его из рук, он будет падать. По мере падения шарика его потенциальная энергия убывает, а кинетическая растет, так как увеличивается скорость движения шарика. При ударе шарика о плиту произойдет сжатие как шарика, так и плиты. Кинетическая энергия, которой шарик обладал, превратится в потенциальную энергию сжатой плиты и сжатого шарика. Затем благодаря действию упругих сил плита и шарик, примут свою первоначальную форму. Шарик отскочит от плиты, а их потенциальная энергия вновь превратится в кинетическую энергию шарика: шарик отскочит вверх со скоростью, почти равной скорости, которой обладал в момент удара о плиту. При подъеме вверх скорость шарика, а значит, и его кинетическая энергия уменьшаются, потенциальная энергия увеличивается. отскочив от плиты, шарик поднимается почти до той же высоты, с которой начал падать. В верхней точке подъема вся его кинетическая энергия вновь превратится в потенциальную.

Явления природы обычно сопровождается превращением одного вида энергии в другой.

Энергия может и передаваться от одного тела к другому. Так, например, при стрельбе из лука потенциальная энергия натянутой тетивы переходит в кинетическую энергию летящей стрелы.

Как найти общее время работы

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

В этом уроке, ты научишься разбираться с любыми задачами на работу.

Рассмотришь разные способы решения задач (что сэкономит время на экзамене!)

Разберешь более 11 примеров (и этого будет достаточно, чтобы решить любую задачу на ЕГЭ)

Let’s do it! (Давай начнем!)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

Основная формула​​​ задач на работу

Задачи на работу – это то же самое.

Основная формула здесь выглядит так:

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). По-другому, скорость выполнения работы. Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью .

Как и в задачах на движение, нам нужно уметь выражать все эти три величины друг через друга:

Заказ на деталей первый рабочий выполняет на часа дольше, чем второй. Сколько Деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый?

Пусть производительность первого равна (ее нам и нужно найти). Тогда второго — . Если первый сделал заказ за время , тогда второй – за время . Работа равна .

I способ. С помощью таблицы.

Для каждой строки можем написать формулу:

Почему я выразил именно время? У нас здесь система уравнений. А что происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую? Мы таким образом можем от нее избавиться! Именно это я и собираюсь сделать: время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет. Поэтому от неизвестного надо избавиться! Для этого теперь достаточно просто приравнять полученные выражения для :

Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный: .

II способ. Без таблицы.

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

Напомню, что первый работал на часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить :

То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давайте проверим, есть ли аналогия?

Во-первых, сравним формулы:

Теперь рассмотрим задачу:

Расстояние км первый велосипедист проезжает на часа дольше, чем второй. Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого , тогда второго . Сколько времени едет первый? . Сколько времени едет второй? . На сколько время первого больше, чем второго? На часа:

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Первая труба заполняет бассейн за часов, а вторая – за . За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Бассейн – это путь. Допустим, из в . Итак, первый автомобиль проезжает путь за часов, второй – за .

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: . А второго? .

С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть, производительности складываются:

То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: .

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа :

При совместной работе производительности складываются.

ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Для начала рекомендуем тебе освоить предыдущий раздел, а так же раздел «Задачи на движение».

Потому что задачи на работу – это почти то же самое!

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:

Или, если записать математическим языком:

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени.

Или скорость выполнения работы. Вася решает задач в час. Это и есть производительность.

Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.

Заказ на деталей первый рабочий выполняет на часа дольше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение. Обычный способ.

1. Нам известно, что всего деталей . Это вся работа ( ). И на эту работу первый рабочий тратит на часа больше времени, чем второй. То есть первый тратит часов, а второй – часов.
2. Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность . И у второго рабочего она больше на детали в час. То есть производительность первого рабочего , а у второго .
3. Поскольку нам известно, что производительность – количество работы выполняемой за определенный промежуток времени , то мы можем совместить пункты 1. и 2. в системы уравнений.
   Производительность первого рабочего — , а второго —
   .
   Мы получили систему уравнений:

Почему мы выражаем ? Потому что нас интересует производительность
, а находить нам не нужно. И теперь, приравняв правые части, мы избавляемся от и получаем уравнение с одной неизвестной! Подробнее о решениях систем уравнений читай в теме «Системы уравнений».

По теореме Виета:

Альтернативный (продвинутый) способ решения.

Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы.

Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть (работа), а нужно найти (производительность).

Так давай сразу выразим время!

Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.

Сколько на нее протратит первый?

Вся работа – это деталей, а делает он деталей в час: .

А за сколько второй сделает эту работу? Учитывая, что , то за часов.

Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на часа больше, чем второй.

Значит, второму придется еще часа подождать, пока закончит первый, то есть ко времени работы второго надо добавить часа, и тогда получится, что они провели на работе одинаковое количество времени:
, или
.

Видишь?! Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий – а значит снизили возможность ошибки!

Первая труба пропускает на литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуты дольше, чем первая?

У нас есть объем работы ( литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.

Время, за которое первая труба заполняет резервуар ( ) на минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба ( ). То есть .

Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за (давай привыкать делать так, как большинство математиков, а не использовать буквы из формулы). Тогда производительность первой трубы – .

За сколько минут первая труба заполнит резервуар? . А вторая?

Выражаем во втором уравнении и приравниваем:

Хоть уравнение и приведенное, но решать его по теореме Виета будет сложно. Поэтому решим с помощью дискриминанта:

Чтобы проще было извлекать корень, разложим на множители:

Очевидно, что производительность не может быть меньше нуля, а значит искомый равен .

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает литров в час, а первая литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает литров в час, а вторая литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом литров, работая вместе?

Чему равна производительность первой трубы? литров в час.

А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что . Ведь за час первая труба нальет литров, и за этот же час вторая нальет литров. Теперь мы можем легко найти искомое время:

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на часов меньше, чем второй?

Примем всю работу за (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за часов.

Производительность первой бригады, таким образом: , а второй — .

То есть их общая производительность была .

По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за часов. То есть:

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти :

По теореме Виета:

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за часов, если работала в одиночку.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за дня делает столько же, сколько второй за дней?

Обозначим за и – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за .

Нам нужно найти .

Тогда по условию задачи:

Кроме того, в условии сказано, что за дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за дней, то есть:

Составим и решим систему:

Подставим из второго уравнения системы в первое и решим его:

Нам нужно найти . Так выразим его!

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

На изготовление деталей первый рабочий тратит на часов меньше, чем второй рабочий на изготовление таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на деталей больше?

1. Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят деталей, то есть: .
2. Значит нужно найти и . Первый рабочий за час делает на деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – .
3. деталей первый рабочий делает за часов, а таких же деталей второй рабочий делает за часов. То есть: .
   Приравняв , получаем уравнение:
   .
   По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант: .
4. Производительность первого рабочего – деталей в час, а второго – деталей в час. Значит их общая производительность деталей в час. И партию на деталей они изготовят за часов.

Тренировка.

А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.

1. Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?
2. Автоматизированная мойка обслуживает машин на часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за час на автомобилей больше, чем ручная?
3. Первая труба пропускает на литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом литров?
4. На изготовление деталей мастер тратит на часов меньше, чем ученик на изготовление таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на деталей в час больше?
5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за дней делает столько же, сколько первый за дня?

ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени:

Задачи на совместную работу

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ ��

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник "YouClever" (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки "100gia".

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

В разделе "тренировка" , посмотрите первую задачу , не корректно соствалена

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

В этом уроке, ты научишься разбираться с любыми задачами на работу.

Рассмотришь разные способы решения задач (что сэкономит время на экзамене!)

Разберешь более 11 примеров (и этого будет достаточно, чтобы решить любую задачу на ЕГЭ)

Let’s do it! (Давай начнем!)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

Основная формула​​​ задач на работу

Задачи на работу – это то же самое.

Основная формула здесь выглядит так:

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). По-другому, скорость выполнения работы. Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью .

Как и в задачах на движение, нам нужно уметь выражать все эти три величины друг через друга:

Заказ на деталей первый рабочий выполняет на часа дольше, чем второй. Сколько Деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый?

Пусть производительность первого равна (ее нам и нужно найти). Тогда второго — . Если первый сделал заказ за время , тогда второй – за время . Работа равна .

I способ. С помощью таблицы.

Для каждой строки можем написать формулу:

Почему я выразил именно время? У нас здесь система уравнений. А что происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую? Мы таким образом можем от нее избавиться! Именно это я и собираюсь сделать: время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет. Поэтому от неизвестного надо избавиться! Для этого теперь достаточно просто приравнять полученные выражения для :

Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный: .

II способ. Без таблицы.

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

Напомню, что первый работал на часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить :

То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давайте проверим, есть ли аналогия?

Во-первых, сравним формулы:

Теперь рассмотрим задачу:

Расстояние км первый велосипедист проезжает на часа дольше, чем второй. Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого , тогда второго . Сколько времени едет первый? . Сколько времени едет второй? . На сколько время первого больше, чем второго? На часа:

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Первая труба заполняет бассейн за часов, а вторая – за . За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Бассейн – это путь. Допустим, из в . Итак, первый автомобиль проезжает путь за часов, второй – за .

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: . А второго? .

С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть, производительности складываются:

То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: .

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа :

При совместной работе производительности складываются.

ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Для начала рекомендуем тебе освоить предыдущий раздел, а так же раздел «Задачи на движение».

Потому что задачи на работу – это почти то же самое!

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:

Или, если записать математическим языком:

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени.

Или скорость выполнения работы. Вася решает задач в час. Это и есть производительность.

Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.

Заказ на деталей первый рабочий выполняет на часа дольше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение. Обычный способ.

1. Нам известно, что всего деталей . Это вся работа ( ). И на эту работу первый рабочий тратит на часа больше времени, чем второй. То есть первый тратит часов, а второй – часов.
2. Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность . И у второго рабочего она больше на детали в час. То есть производительность первого рабочего , а у второго .
3. Поскольку нам известно, что производительность – количество работы выполняемой за определенный промежуток времени , то мы можем совместить пункты 1. и 2. в системы уравнений.
   Производительность первого рабочего — , а второго —
   .
   Мы получили систему уравнений:

Почему мы выражаем ? Потому что нас интересует производительность
, а находить нам не нужно. И теперь, приравняв правые части, мы избавляемся от и получаем уравнение с одной неизвестной! Подробнее о решениях систем уравнений читай в теме «Системы уравнений».

По теореме Виета:

Альтернативный (продвинутый) способ решения.

Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы.

Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть (работа), а нужно найти (производительность).

Так давай сразу выразим время!

Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.

Сколько на нее протратит первый?

Вся работа – это деталей, а делает он деталей в час: .

А за сколько второй сделает эту работу? Учитывая, что , то за часов.

Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на часа больше, чем второй.

Значит, второму придется еще часа подождать, пока закончит первый, то есть ко времени работы второго надо добавить часа, и тогда получится, что они провели на работе одинаковое количество времени:
, или
.

Видишь?! Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий – а значит снизили возможность ошибки!

Первая труба пропускает на литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуты дольше, чем первая?

У нас есть объем работы ( литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.

Время, за которое первая труба заполняет резервуар ( ) на минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба ( ). То есть .

Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за (давай привыкать делать так, как большинство математиков, а не использовать буквы из формулы). Тогда производительность первой трубы – .

За сколько минут первая труба заполнит резервуар? . А вторая?

Выражаем во втором уравнении и приравниваем:

Хоть уравнение и приведенное, но решать его по теореме Виета будет сложно. Поэтому решим с помощью дискриминанта:

Чтобы проще было извлекать корень, разложим на множители:

Очевидно, что производительность не может быть меньше нуля, а значит искомый равен .

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает литров в час, а первая литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает литров в час, а вторая литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом литров, работая вместе?

Чему равна производительность первой трубы? литров в час.

А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что . Ведь за час первая труба нальет литров, и за этот же час вторая нальет литров. Теперь мы можем легко найти искомое время:

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на часов меньше, чем второй?

Примем всю работу за (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за часов.

Производительность первой бригады, таким образом: , а второй — .

То есть их общая производительность была .

По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за часов. То есть:

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти :

По теореме Виета:

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за часов, если работала в одиночку.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за дня делает столько же, сколько второй за дней?

Обозначим за и – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за .

Нам нужно найти .

Тогда по условию задачи:

Кроме того, в условии сказано, что за дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за дней, то есть:

Составим и решим систему:

Подставим из второго уравнения системы в первое и решим его:

Нам нужно найти . Так выразим его!

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

На изготовление деталей первый рабочий тратит на часов меньше, чем второй рабочий на изготовление таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на деталей больше?

1. Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят деталей, то есть: .
2. Значит нужно найти и . Первый рабочий за час делает на деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – .
3. деталей первый рабочий делает за часов, а таких же деталей второй рабочий делает за часов. То есть: .
   Приравняв , получаем уравнение:
   .
   По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант: .
4. Производительность первого рабочего – деталей в час, а второго – деталей в час. Значит их общая производительность деталей в час. И партию на деталей они изготовят за часов.

Тренировка.

А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.

1. Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?
2. Автоматизированная мойка обслуживает машин на часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за час на автомобилей больше, чем ручная?
3. Первая труба пропускает на литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом литров?
4. На изготовление деталей мастер тратит на часов меньше, чем ученик на изготовление таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на деталей в час больше?
5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за дней делает столько же, сколько первый за дня?

ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени:

Задачи на совместную работу

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ ��

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник "YouClever" (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки "100gia".

Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Комментарии

В разделе "тренировка" , посмотрите первую задачу , не корректно соствалена

Типичные задачи на совместную работу в 6 классе

1) Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 6 часов. Один из них, работая самостоятельно, может выполнить эту работу за 15 часов. За сколько часов может выполнить эту работу другой рабочий?

В отличие от всех других типов задач, задачи на совместную работу начинаются с того, что всю работу (все задание, весь бассейн, все поле — то, о чем идет речь в задаче) принимаем за единицу. То есть объем работы в этом случае равен единице. Чтобы найти объем работы, надо производительность труда умножить на время работы. Соответственно, чтобы найти производительность труда (часть работы, выполненную за определенную единицу времени), надо объем работы разделить на время работы: Решение задач на совместную работу упрощается, если условие оформить в виде таблицы.

Перейдем с решению нашей задачи.

Примем всю работу за 1.

Чтобы найти производительность труда второго рабочего, из производительности труда совместной работы вычтем производительность труда первого рабочего:

Такую часть работы в 1 час выполняет второй рабочий.

Зная производительность труда второго рабочего и объем работы, можем найти время, за которое он может выполнить работу самостоятельно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:

Значит, второй рабочий, работая отдельно, может выполнить работу за 10 часов.

Ответ: за 10 часов.

2) Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

Примем весь бассейн за 1.

Сначала найдем производительность труда совместной работы обеих труб за один час. Поскольку одна труба бассейн наполняет, а другая — опустошает, производительность совместной работы равна разности производительности первой и второй труб:

Теперь найдем время, за которое бассейн будет наполнен при открытии обеих труб одновременно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:

Таким образом, за 56 часов совместной работы обеих труб бассейн будет наполнен.

Как найти время работы

Наш бесплатный калькулятор часов точно подскажет, сколько часов и минут вы проработали!

Калькулятор часов

Оглавление

Калькулятор рабочего времени

Рабочие часы

Как работает наш калькулятор времени?

Как считать рабочее время?

Преобразование минут в десятичные часы

Понятие времени

История времени

Определение времени

Время в философии

Калькулятор Часов русский

Калькулятор Часов на других языках

Как добавить Калькулятор Часов на мой сайт?

Вы можете легко добавить Калькулятор Часов на свой веб-сайт с помощью нашего кода. Вставьте код на свой веб-сайт, и калькулятор автоматически появится на этом месте!

Как добавить виджет Калькулятор Часов на сайт WordPress?

Добавить Калькулятор Часов на ваш сайт Wordpres быстро и легко! Найдите страницу, на которую вы хотите добавить калькулятор, перейдите в режим редактирования, нажмите «Текст» и вставьте туда код.

Другие калькуляторы в категории другое

Подсчитайте, сколько денег вы можете заработать на гонорарах за потоковую передачу, с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора.

Сколько денег артисты зарабатывают на Spotify? Этот денежный калькулятор Spotify поможет вам рассчитать приблизительный доход.

Воспользуйтесь этим бесплатным онлайн-повторителем текста, чтобы повторить любой текст. Работает с приложениями: WhatsApp, Telegram Messenger, Facebook и SMS!

Этот бесплатный калькулятор расхода топлива оценивает стоимость топлива для вашей поездки на основе среднего расхода топлива, расстояния поездки и цены на топливо! Используйте этот газовый калькулятор, чтобы мгновенно узнать потребление и цену газа!

Этот инструмент можно использовать для вычисления символов, содержащихся в тексте, и их отображения.

Это онлайн-инструмент, который преобразует любое число в слова.

Счетчик месяцев — это простой инструмент, который можно использовать для определения точного количества месяцев между двумя датами.

Используйте этот калькулятор для преобразования римских цифр в числа и для преобразования чисел в римские цифры!

Для расчета чаевых на человека и общей стоимости на человека Калькулятор чаевых учитывает стоимость услуги, количество людей и выбранный процент чаевых.

Это виртуальный бросок игральных костей, который может имитировать любое количество граней и генерировать случайные числа, имитирующие бросок игральных костей, на основе количества граней и игральных костей.

Рассчитайте, сколько времени потребуется для зарядки электромобиля или гибридного автомобиля с помощью этого калькулятора. Расчетное время для частичной зарядки или полной емкости.

Калькулятор бокового ветра может помочь вам найти компоненты встречного, бокового и попутного ветра для дующих ветров.

Этот калькулятор вычисляет ваш вес на других планетах и покажет вам, сколько бы вы весили, если бы вы приземлились на другой планете в нашей Солнечной системе.

Калькулятор MPG (также известный как расчет миль на галлон) — это удобный инструмент, который может помочь вам рассчитать расход топлива.

Этот калькулятор тестовых оценок является важным инструментом для установки шкалы оценок.

Этот онлайн-сборщик имен позволяет вам выбрать случайное имя из любого списка или выбрать несколько имен случайным образом из списка. Его можно использовать для розыгрышей, выбора команды, случайного распределения призов и многих других целей.

Этот онлайн-генератор букв можно использовать для генерации случайных букв с использованием английского алфавита. Этот онлайн-генератор принимает пользовательский ввод. Вы можете использовать его для создания случайных последовательностей букв из любого алфавита.

Вы можете быстро определить, сколько сейчас времени по военному времени, с помощью нашего конвертера военного времени, также известного как конвертер армейского времени.

Калькулятор определит дату Пасхи для любого конкретного года.

Вы любитель кофе? Если да, то вам понравится наш калькулятор кофе. Это поможет вам определить оптимальное количество кофе, которое нужно пить каждый день, чтобы достичь желаемых результатов.

Этот калькулятор поможет вам рассчитать, сколько воздушных шаров вам нужно надуть, чтобы достичь нужной высоты!

Калькулятор плотности населения — удобный инструмент, позволяющий определить плотность населения в определенной местности.

Как найти время в расписании, чтобы научиться чему-то новому

Время — самый ценный товар, что есть у нас. Одна минута сменяется другой, и мы никогда не сможем повернуть время вспять. Поэтому нам приходится извлекать максимум пользы из того времени, что есть.

Все мы хотим жить лучше. Добиться этого можно разными способами, например расширяя свои горизонты и учась чему-то новому. Что бы это ни было (стремление лучше писать, изучение нового языка, игра на музыкальном инструменте), приобретение новых навыков — доказанный способ продвинуться по карьерной лестнице, развить мозг и свои способности к обучению.

Преимущества освоения новых навыков очевидны, но существует проблема — как найти время в плотном расписании, чтобы научиться чему-то новому? И сейчас мы попытаемся ответить на этот вопрос.

Проверьте своё расписание

Первым делом мы должны чётко понимать, как проводим свой день.

Начните с проверки по календарю всего, что вы делаете на протяжении дня. Проще разбить все дела на две категории (отметим их разными цветами):

1. Рабочее время (синий).
2. Свободное время (зелёный).

Например, по расписанию в Google Calendar сразу становится видно, что у меня есть дополнительное время с 15:30 до 17:30, до завтрака (если встать пораньше), обед и время после 19:00.

Этого уже более чем достаточно, чтобы выделить в день 30–60 минут на изучение чего-то нового вместо зависания в социальных сетях или обеда.

Когда вы полностью проверите расписание своего дня, вы удивитесь, как много свободного времени у вас есть на приобретение нового навыка.

Расставляйте приоритеты

Чтобы расставить приоритеты в расписании, мы воспользуемся методом президента США — матрицей Эйзенхауэра.

Суть этого метода заключается в том, что все задачи можно разделить на четыре категории:

1. Срочно и важно. Сделайте это незамедлительно.
2. Важно, но несрочно. Решите, когда вы будете это делать.
3. Срочно, но неважно. Делегируйте.
4. Несрочно и неважно. Оставьте на потом.

»
Чтобы понять все возможности этого метода, попробуйте просто соотнести каждую свою задачу с одной из предложенных категорий.

Первым делом сосредоточьтесь на том, какие из текущих задач вы можете сейчас делегировать или отложить. Если у вас есть список задач или расписание, спросите себя:

• Какова моя главная цель, которой я пытаюсь достичь? (Выучить испанский, увеличить прибыль и так далее.)
• Какие из этих задач приблизят меня к цели?
• Какие из неэффективных задач я могу передать, от выполнения каких я могу полностью отказаться?

Слишком часто мы занимаемся бесполезными задачами и тратим на них большую часть своего дня, вместо того чтобы просто делегировать их или оставить на потом.

Согласно закону Парето, только 20% наших усилий приносят 80% желаемого результата, поэтому убедитесь, что вы выбрали задачи в секции «сделать» и «решить» матрицы Эйзенхауэра продуманно и стратегически верно.

После того как заполните матрицу Эйзенхауэра, перепроверьте своё расписание ещё раз и уберите все задачи, которые вы отнесли к неважным.

Оптимизируйте

Следующий шаг — оптимизируйте своё расписание.

Вы можете сделать это тремя способами:

1. Сократить время на выполнение рабочих задач. Ведь даже самые талантливые из нас прокрастинируют. Лучше всего это объясняется в известном законе Паркинсона: работа заполняет всё отпущенное на неё время. Это значит, что если вы думаете, что выполнение задачи займёт два часа, поставьте себе дедлайн в один час. И вы будете искать способ, чтобы сделать всё до обозначенного времени.
2. Использовать свободное время, которое вы тратите на неважные дела. Есть ли во время дня периоды, когда вы просто ничего не делаете или выполняете задачи, чтобы убить время? Возможно, вы читаете каждый вечер развлекательные статьи или проверяете почту чаще пяти раз в день. У всех нас бывает такое. Вместо этого используйте один из таких не особо важных отрезков времени для приобретения новых знаний.
3. Собрать все отрезки свободного времени вместе. Это простейший лайфхак, который позволит вам взять всё самое лучшее от обоих способов. Многозадачность не работает во время выполнения важной работы, но это эффективный способ сохранить время, когда вы бездельничаете. Например, вместо того чтобы с головой окунуться в социальные сети или проверку почты, делайте это одновременно. Связав эти задачи вместе, вы, возможно, не сосредоточитесь на все 100%, но сэкономите время. На вашу продуктивность это не повлияет (пока вы используете многозадачность в свободное время, а не в рабочее).

Когда вы воспользуетесь одним или всеми тремя перечисленными способами оптимизации своего расписания, вы найдёте для себя пару часов на то, чтобы освоить новый навык.