Какое максимальное число прямоугольников

Какое максимальное число прямоугольников

Тип 0 № 314

На какое максимальное число различных прямоугольников можно разрезать шахматную доску 8 на 8 клеток? Все разрезы должны проходить только по линиям сетки. Прямоугольники различны, если они не равны как геометрические фигуры.

Выпишем возможные размеры возможных различных целочисленных прямоугольников минимальных площадей, помещающихся по линиям сетки на доску 8 на 8 в порядке возрастания этих площадей: 1 на 1, 1 на 2, 1 на 3, 1 на 4, 2 на 2, 1 на 5, 1 на 6, 2 на 3, 1 на 7, 1 на 8, 2 на 4, 3 на 3, 2 на 5. Прямоугольников уже 13, и сумма их площадей равна 73, что больше площади доски. Значит, больше, чем на 12 прямоугольников, разрезать доску требуемым в задаче образом нельзя.

С другой стороны, сумма площадей их всех, кроме 3 на 3, равна ровно 64 и можно указать пример такого разбиения на все эти 12 прямоугольников, кроме 3 на 3: первые четыре вертикали доски разрежем на полоски ширины 1 и длин 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5, и 8 соответственно. Оставшиеся 4 вертикали разобьём на два вертикальных прямоугольника 2 на 7, составленных из прямоугольников 2 на 5 и 2 на 2, и 2 на 4 и 2 на 3. Сверху к ним добавим горизонтальную полоску 1 на 4. Возможны и другие примеры такого разбиения.

Какое наибольшее количество прямоугольников с целыми длинами сторон и периметром 10 можно вырезать из листа бумаги шириной 24 и длиной 60?

Если прямоугольник имеет периметр #10# тогда сумма его длины и ширины #5# , давая два варианта с целыми сторонами:

• # 2xx3 # прямоугольник области #6#
• # 1xx4 # прямоугольник области #4#

Кусок бумаги имеет площадь # 24xx60 = 1440 #

Это можно разделить на # 12xx20 = 240 # прямоугольники с боков # 2xx3 # .

Это можно разделить на # 24xx15 = 360 # прямоугольники с боков # 1xx4 #

Таким образом, наибольшее количество прямоугольников #360# .

Ответ:

Объяснение:

призвание #S = 60 хх 24 = 2 ^ 5 хх 3 ^ 2 хх 5 хх 1 # проблема может быть сформулирована как

давая возможные пары

#<1,4>,<2,3># и желаемый результат

Чтобы сделать поздравительную открытку, Брайс использовал лист 1/8 красной бумаги, 3/8 листа зеленой бумаги и 7/8 листа белой бумаги. Сколько листов бумаги использовал Брайс?

Три листа Несмотря на то, что он использовал менее одного листа каждого цвета, он все равно использовал три листа бумаги для изготовления карты.

У мистера Эдвардса есть 45 листов зеленой бумаги и 60 листов оранжевой бумаги. Он делит всю бумагу на стопки. В каждой стопке одинаковое количество зеленой и оранжевой бумаги. Какое наибольшее количество стопок бумаги может сделать Эдвардс?

Максимальное количество стопок бумаги — 15. Коэффициенты 45 — 45, 15, 9, 5, 3, 1) Факторы 60 — 60, 30, 20, 15, 12, 10, 5, 3, 1, 1). Таким образом, HCF из 45 и 60 — 15. Каждая пачка содержит 3 листа зеленой бумаги и 4 листа оранжевой бумаги. Максимальное количество стопок бумаги составляет 15 [Ответ]

Вы хотите вырезать закладки длиной 6 дюймов и шириной 2 3/8 дюйма из листа 8 декоративной бумаги длиной 13 дюймов и шириной 6 дюймов. Какое максимальное количество закладок вы можете вырезать из бумаги?

Сравните две длины с бумагой. Максимально возможное — пять (5) на листе. Отрезание коротких концов от коротких концов позволяет только 4 полных закладки: 6 / (19/8) = 2,53 и 13/6 = 2,2 Возможны целые закладки = 2xx2 = 4 Отрезание коротких концов от длинного края также удобно делает длинную закладку край ровной длины бумаги. 13 / (19/8) = 5,47; 6/6 = 1 Возможны целые закладки = 5xx1 = 5

Какое максимальное число прямоугольников

Да они могут пересекаться.
К примеру если поле 1×2, получим такое:

Соответственно, если поле 2×2, то мы сможем построить уже 7 прямоугольников.
П.С. Не забывайте, что любая клетка — тоже прямоугольник.

Максимальное количество прямоугольников, помещающихся в другом прямоугольнике

Дана фигура (A) размером M на N. Дана вторая фигура (B), поменьше, размером K на L.

Нужно определить, сколько максимально фигур B поместятся в фигуре A. Они должны располагаться одна рядом с другой, часть фигур может располагаться вертикально, другая часть горизонтально, что бы занять максимальное возможное пространство в основной фигуре.

Кто то может подсказать что то по этому вопросу?

На данный момент у меня мысли только если:

считать количество прямоугольников, расположенных горизонтально, которые поместятся горизонтально в фигуре, то есть ставим прямоугольник, рядом второй, заполняем линию, дальше снизу ставим еще одну линию, и так до самого низа.

Далее справа, возможно, останется пространство. Проверяем, помещается ли туда прямоугольник вертикально, если да, то заполняем стобец вертикальными прямоугольниками.

В итоге получаем число — сколько поместилось прямоугольников.

Далее повторяем тоже самое, только располагаем изначально прямоугольники вертикально, и если снизу остается пространство, проверяем, помещаются ли туда прямоугольники горизонтально, если да, то заполняем линию. И опять считаем сколько поместилось.

Из двух подсчетом выбираем тот, который дал наибольшый результат.

Вот пример подсчета, который я описал, реализованный на на JavaScript:

Существуют очевидные оценки для количества R прямоугольников KxL (K>=L), которое можно разместить внутри прямоугольника MxN (сторона M — снизу).

1. Если K=L, то F=(M mod K) * (N mod K).
2. Если K>L, то F >= max(F1,F2), где
   F1 = (M mod K) * (N mod L) + ((M%K) mod L) * (N mod K),
   F2 = (N mod K) * (M mod L) + ((N%K) mod L) * (M mod K).

Оценка F1 соответствует варианту, при котором левая часть большого прямоугольника по максимуму закладывается длинной стороной K вдоль стороны M, а оставшаяся правая часть — с разворотом.
Оценка F2 получается, если стороны M и N поменять ролями.

При этом максимальная оценка F определяется площадями прямоугольников, т.е.
F <= MN mod KL.

P.S. В рамках указанных оценок можно применить комбинаторный перебор.
Например, в случае (5×5,3×2) 3 <= F <= 4, и можно поискать наилучшую укладку по следующему алгоритму:
1) вычислить количество свободных клеток при F=4 (одна клетка);
2) задать цикл по всем вариантам размещения свободных клеток (без учёта симметрии — 25 вариантов);
3) перебрать все способы размещения фигур (сверху вниз, слева направо, без разворота и с разворотом), не оставляющие дополнительных свободных клеток (2 способа в варианте со свободной центральной клеткой).

Если актуально то в данном случае подойдет алгоритм:

Считаем площадь основной фигуры (A) — S = M * N

Считаем площадь вкладываемой фигуры (B) — s = K * L

В итоге деления площадей фигуры (A) на (B) и отброса остатка, получаем количество вложенных прямоугольников

если нужно могу реализовать на python’e функцию

Нужно найти лучший вариант или идеальный? С идеальным — проблема. Например, берем квадрат 5*5 и фигуры 2*3. Мы можем разместить 4 фигуры на 24 клетки. Это идеальное решение. А можно ли его получить автоматическим методом — я не знаю. Теперь про определение лучшего результата. Я предлагаю такой алгоритм:

Берем большую фигуру. Делим вертикальной линией так, чтобы в левую часть укладывались маленькие фигуры горизонтально, а в правую часть — вертикально. Вариантов проведения таких линий будет несколько, так что надо будет просчитать каждый вариант.

То есть для фигуры 23*17 и мелкой 4*3 получаем получаем варианты 4+19 8+15 12+11 16+7 20+3

Берем вариант (8 + 15) клеток у нас получается 2 фигуры 8*17 и 15*17 Далее разворачиваем каждый из прямоугольников и вызываем саму функцию рекурсивно для каждого из прямоугольников, то есть 8*17 и 15*17. Наша функция должна вернуть количество прямоугольников в фигуре. В общем, типа перебираем несколько вариантов.

Для оптимизации можно для прямоугольника, описываемой парой чисел, запоминать максимальное количество, которое у нас получилось, чтобы по несколько раз не вычислять сколько фигур влезает в такой прямоугольник.