Как выразить степень из формулы

4

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , ( 2 + 1 ) 5 , ( − 0 , 1 ) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , ( a 2 ) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , ( a + 1 ) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: ( 0 , 5 ) 2 + ( 0 , 5 ) — 2 2 .

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 — 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 — 2 2 — 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 — 2 · a — 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 — π , 2 3 3 + 5 .

В качестве показателя может выступать переменная 3 x — 54 — 7 · 3 x — 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 2 3 · ( 4 2 − 12 ) .

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · ( 4 2 − 12 ) = 2 3 · ( 16 − 12 ) = 2 3 · 4 .

Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.

Ответ: 2 3 · ( 4 2 − 12 ) = 32 .

Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Представьте выражение со степенями 9 — b 3 · π — 1 2 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:

9 — b 3 · π — 1 2 = 3 2 — b 3 · π — 1 2 = = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1

Ответ: 9 — b 3 · π — 1 2 = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1 .

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, ( 2 + 0 , 3 · 7 ) 5 − 3 , 7 и ( a · ( a + 1 ) − a 2 ) 2 · ( x + 1 ) . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, ( 2 + 0 , 3 · 7 ) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени ( a · ( a + 1 ) − a 2 ) 2 · ( x + 1 ) и получить степенное выражение более простого вида a 2 · ( x + 1 ) .

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

• a r · a s = a r + s ;
• a r : a s = a r − s ;
• ( a · b ) r = a r · b r ;
• ( a : b ) r = a r : b r ;
• ( a r ) s = a r · s .

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Представьте выражение a 2 , 5 · ( a 2 ) − 3 : a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель ( a 2 ) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a 2 , 5 · a − 6 : a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 : a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − ( − 5 , 5 ) = a 2 .

Ответ: a 2 , 5 · ( a 2 ) − 3 : a − 5 , 5 = a 2 .

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Если мы применим равенство ( a · b ) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Есть еще один способ провести преобразования:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · ( 3 · 7 ) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .

Решение

Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени ( a r ) s = a r · s справа налево и получим ( a 0 , 5 ) 3 : a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = ( a 0 , 5 ) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .

Ответ: t 3 − t − 6 .

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 .

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 3 · 5 2 3 · 5 — 2 3 — 2 — x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 — 3 · 5 2 3 + — 2 3 — 2 — x 2 = 3 · 5 1 — 3 · 5 0 — 2 — x 2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 — 2 — x 2 = — 12 2 + x 2

Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = — 12 2 + x 2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :

a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 — x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x и y выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Сократите дробь: а) 30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 .

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 .

30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · ( x 0 , 5 + 1 )

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 2 — b 1 2 2 = = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 — b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Ответ: а) 30 · x 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · ( x 0 , 5 + 1 ) , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1

x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 — x 1 2 — 1 · x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 — 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 — x 1 2 — 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 — x 1 2 2 — 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

Теперь умножаем дроби:

4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 .

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 — 1 2 = 4 x — 1 .

Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x — 1

Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на ( x 2 , 7 + 1 ) 2 . Получаем дробь x 3 4 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 — — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение ( x + 1 ) — 0 , 2 3 · x — 1 можно заменить на x 3 · ( x + 1 ) 0 , 2 .

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞ ) .

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5 · 5 — 3 · 5 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x 7 x — 2 = 0 .

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x — 3 · 5 7 x — 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 — 3 · 5 7 x — 2 = 0 .

Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 — 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 ( 1 — log 3 5 ) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

Возведение степени в степень – правила и примеры

АЛГЕБРА

Степень степени – это возведение в степень числа или переменной, находящейся в степени. Например, или , или так . Чтобы возвести в степень степень надо знать правило: при возведении степени в степень надо показатели перемножить.

Правила возведения степени в степень

Решение: При возведении в степень степени показатели степеней нужно перемножить. Получим: .

Теперь приведем степени к одинаковому основанию:

В физике величинами являются количественные характеристики предметов и показатели взаимодействий тел между собой и окружающей средой, например длина, масса, скорость, время, углы и проч. Эти параметры могут быть зависимыми или независимыми один от другого. Отношения многих связанных величин представлены в известных формулах, из которых всегда можно выразить любую переменную.

Выражение величины из производится с помощью математических операций – переноса членов, деления на одно число обе части записи и др. То есть, следует упрощать и работать с формулой, как с алгебраическим уравнением. Выполняя данные действия, нужно также учитывать смену знака, правила вывода величины из под корня, возведения в степень.

В наиболее простом случае при наличии выражения вида v = 2*g + 11 для поиска величины g выполните следующие действия. Перенесите все члены, не содержащие переменную g в одну (лучше левую) часть данного уравнения, не забывая поменять их знак при переносе на противоположный: -2*g = 11 — v. Остальные величины и константы перенесите за знак равенства. Если при искомой величине стоит коэффициент, как в данном случае (-2), разделите на эту константу обе части уравнения: g = -(11 – v)/2.

При выражении из формулы величины, возведенной в степень, как, например, в следующем варианте: S = a*t²/4, выполните сначала выше описанные действия. Поставьте переменную в степени по левую сторону уравнения, причем для вывода константы из знаменателя дроби умножьте на это число обе части формулы: a*t² = 4*S. Поделите уравнение на переменную а и получится: t² = 4*S/а. Чтобы убрать степень искомой переменной, возьмите корень этой же степени (здесь квадратный) как с левой, так и с правой части выражения: t = √4*S/а. Встречается и обратная ситуация, когда искомая величина стоит под знаком корня, в этом случае требуется выполнить возведение всего уравнения в степень, указанную при корне. Так, выражение ³√S = v + g преобразуется в вид S = (v + g)³.

При наличии сложных выражений, полученных в результате многократных подстановок различных формул, часто возникают затруднения в выражении неизвестной величины. Например, в конструкции вида S = (√t²*k/(1+g))*f – 15 при поиске величины k желательно провести предварительное упрощение уравнения с помощью введения подстановочной переменной. Примите за х выражение в больших скобках: х = (√t²*k/(1+g)), тогда изначальное уравнение будет выглядеть так: S = х*f – 15. Отсюда легко находится х = (S + 15)/f. Далее верните вместо х скобочное выражение (√t²*k/(1+g)) = (S + 15)/f . После чего можно продолжать упрощения с помощью аналогичных подстановок или сразу выразить искомую величину: k = ((1+g)*(S + 15)/f )2/t².

Как выразить степень экспоненты

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

На графике представлена экспонента, е в степени х.
y ( x ) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y ( x ) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y ( x ) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
– ∞ .
Ее множество значений:
0 .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

Выражения через тригонометрические функции

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-02-2014 Изменено: 09-06-2018

Число е является важной математической константой, которая является основой натурального логарифма. Число е примерно равно 2,71828 с пределом (1 + 1/n) n при n , стремящемся к бесконечности.

Также данное число называют как число Эйлера или число Непера.

Экспонента — показательная функция f(x) = exp (x) = e x , где е — число Эйлера.

Введите значение х, чтобы найти значение экспоненциальной функции e x

Расчет значения экспоненциальной функции онлайн.

При возведении числа Эйлера (е) в нулевую степень ответ будет равняться 1. При возведении в степень, которая будет больше единицы, ответ будет больше первоначального. Если степень будет больше нуля, но меньше 1 (например, 0,5), то ответ будет больше 1, но меньше первоначального (числа е). При возведении экспоненты в отрицательную степень нужно 1 делить на число е в заданной степени, но со знаком плюс.

Теорию функций e z , sin z, cos z комплексного аргумента построил Л.Эйлер и систематически изложил ее в своем классическом труде «Введение в анализ бесконечно малых» в 1748 г. В следующем году он опубликовал теорию логарифма комплексного аргумента.

1. Начнем с показательной функции, которую Эйлер определил как сумму степенного ряда

Ряд сходится, причем абсолютно, при любом zeC. Действительно, составьте ряд из модулей членов ряда (6.1) и примените к нему признак Далам- бера. Такое определение показательной функции комплексного переменного положило начало анализа в комплексной области — ТФКП.

В литературе можно найти определение функции (6.1) тем же предельным соотношением, что и в действительном анализе:

но здесь исключительно используется представление (6.1). Важно, что для комплексных значений аргумента остается верной теорема сложения:

Проверим это свойство. Имеем

Раскроем скобки и будем располагать слагаемые по группам, в которых сумма показателей степеней при а и b одна и та же. Получим

При чисто мнимом z — yi согласно (6.1) имеем Или, отделяя вещественную часть от мнимой,

Суммы рядов в скобках равны соответственно cos^,sin>>, и мы приходим к замечательной формуле Эйлера

Заметим, что этой формулой, в которой левая часть называлась символом Эйлера, мы неоднократно пользовались с целью компактификации вычислений с комплексными числами. До сих пор символ е ул употреблялся для сокращенного обозначения правой части формулы, а теперь можем его понимать как мнимую степень числа е. Например, равенство е я = -1 всегда вызывало восторг у математиков — ведь вроде бы несложной зависимостью оно увязывает между собой две знаменитые константы.

Из теоремы сложения при z = х + yi получим е : = е х • е у> , или

Заметим, что в учебной литературе это равенство часто берется за определение показательной функции комплексного переменного. Оно очень удобное, с его помощью можно, например, доказать голоморфность экспоненты во всей комплексной плоскости. В самом деле, полагая е г = t/ + /v, из (6.2) находим, что и = е х cosy,v = е х sin у. Эти функции везде дифференцируемы в смысле действительного анализа и для них выполняются условия Коши-Римана:

Сохраняется формула дифференцирования, знакомая из действительного анализа. Воспользуемся одной из записей комплексной производной:

При действительных значениях аргумента показательная функция положительная и, следовательно, в ноль не обращается. Из (6.2) заключаем, что е : ф 0 Vz е С (ведь не могут косинус и синус одновременно обратиться в ноль).

Из теоремы сложения и формулы Эйлера вытекает периодичность экспоненты с мнимым основным периодом 2 я7. Действительно,

е г * 2я> =е : ? е 2т =е : 1 = е ; , т.е. число 2я7 является периодом. Проверим, что он основной: ему кратен любой другой период Т. Пусть е г+ =е : . Умножая обе части на е

: , получим е г =. Полагая T = T_y+iT₂, получим е 7| (cosТ₂ +/sin Т₂) = 1. Отсюда е 7 ‘ cosТ₂ = 1, sin Т₂= 0 согласно равенству двух комплексных чисел. Из полученных соотношений следует

2. Тригонометрические функции комплексного переменного. Следуя Эйлеру, положим

Нетрудно проверить, что эти ряды сходятся во всей комплексной плоскости.

Запишем равенство (6.1), заменяя в нем z на iz. Под ним выпишем (6.1) с заменой z на -iz. Складывая и вычитая полученные равенства, придем к соотношениям е ,: +е

а = 2cos z, е а -е

Эти формулы целиком сводят изучение тригонометрического синуса и косинуса к изучению показательной функции. Например, дифференцируя почленно вторую из них, придем к известному из анализа правилу дифференцирования (sin z)’ = cosz.

Основное тригонометрическое тождество оказывается справедливым. Возведите в квадраты обе части в (6.4) и затем сложите их; увидите единицу.

В комплексной области сохраняются теоремы сложения, знакомые еще со школы. Например, sin(a + 6) = sintf-cos6 + cosa*sin&. Для доказательства достаточно проверить, что

Выполнив операции, указанные в правой части, придем к рассматриваемой теореме сложения.

Обратим внимание на то, что синус и косинус в комплексной плоскости не являются ограниченными функциями. Например, положим z = it (/ > 0), тогда

что вовсе не согласуется с ограниченностью.

Как известно, в действительной области нули синуса исчерпываются числами, кратными /г, а нули косинуса содержатся в формуле

г = — + кл (к gZ). Возникает вопрос: нс появятся ли у этих функций, кроме

указанных, еще другие, комплексные нули при выходе на комплексную плоскость? Ниже мы увидим, других нулей нет.

Подводя итоги, мы видим, что рассмотренные выше функции можно определить и для комплексного аргумента и что известные из школьного курса формулы остаются справедливыми. Но обнаружился новый факт: показательная функция периодическая, хотя период мнимый. Такая периодичность в школьном курсе и нс могла быть обнаружена, так как в нем изучались только функции действительного аргумента.

3. Гиперболические функции комплексного переменного. В духе равенств (6.3) положим

Это — соответственно косинус гиперболический и синус гиперболический комплексного числа z. Ряды (6.5) сходятся, как и выше, при любых значениях Z.

Заменим в (6.1) z на —z и к исходному равенству прибавим полученное. По аналогии с (6.4) получим следующие выражения рассматриваемых функций через экспоненту:

При действительных z- х эти равенства чаще всего и берутся в качестве определений. Соответствующие графики представлены на рис. 12.

Из равенств (6.6) и устанавливаются основные свойства гиперболических функций. Исторически они были известны и до Эйлера. Возникая из ряда задач математической физики, обыкновенных дифференциальных уравнений, они широко использовались в приложениях, например, в электротехни- В литературе встречаются обозначения этих функций, когда аргумент заключается в скобки.

ке, сопротивлении материалов и т.д. Важную роль эти функции играют в геометрии Лобачевского.

Формулы (6.4) и (6.6) позволяют установить связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

При мер. Вычислить приближенно с 4D sin(l -2/).

Решение. Искомое выражение равно sin 1 cos2/-cosl sin2/. Или, в свете предыдущих равенств, получим sin 1 c/?2-/cosl shl. Ответ: 3.1659-1.9595/.

Пример. Доказать, что нули функции sinz исчерпываются формулой z — 7Гк (k^Z).

Решение. Пусть sin z = sin(.v + yi) = 0 sin * • cosyi + cos*• sinyi = 0. Ho здесь cosyi=chy_y sin yi = ishy, поэтому sin x • chy+/cos* • shy = 0. Отсюда заключаем, что sin*c/?y = 0, cos*-shy = 0. Так как гиперболический косинус при действительном значении аргумента в нуль не обращается (рис. 12), то sin* = 0=>* = як <к eZ).Тогда из второго уравнения

cosxk s/jy = 0 =>shy = 0 у = 0. Итак, все корни уравнения sinz = 0 заключаются в формуле z = x + iy = 7rk. К такому же результату привела бы вторая формула в (6.4). Советуем читателю проделать более краткие выкладки.

4. Логарифмы и общая степенная функция.

В области действительных чисел ноль и отрицательные числа логарифмов не имеют. Выясним, как обстоит дело при переходе в область комплексных чисел. Определим понятие натурального логарифма комплексного числа так же, как в действительном анализе.

Число w называется натуральным логарифмом данного комплексного числа z, если е" = z.

Исторически первая удовлетворительная теория логарифма была дана Л.Эйлером в 1749 г., который исходил из следующего определения:

Поскольку показательная функция нс принимает нулевого значения, то ноль не имеет логарифмов в комплексной области. В силу периодичности экспоненты у числа z логарифм не единственный. Например, для z = l в качестве логарифмов можно взять числа -w—2nki (keZ). Множество всех натуральных логарифмов данного числа z^O обозначается символом Lnz.

В равенстве e w = z положим w=u + iv. Обозначим через г модуль данного комплексного числа z^O, через (р — его главное значение аргумента. Получим

Так как модули левой и правой частей одинаковы, то отсюда е и =/* и = In г. Здесь под правой частью последнего равенства следует понимать обычный натуральный логарифм положительного числа г. Далее из равенства (*) заключаем, что аргументы чисел справа и слева могут отличаться друг от друга только на кратное 2л: v = (р + 2кл (к eZ). Поэтому множество всех логарифмов описывается формулой

Значение логарифма, равное In | z|+/argz, называют главным значением логарифма и обозначают символом In z. Поэтому вес значения Lnz получаются из главного добавлением кратных 2лi.

Пример, а). Найти Lnz при r = l + i. б). Чему равен Ln(-1) ?

Решение, а). Имеем: | z I = Jl, argz = —. Ответ: In л/2 н—/’ + +2&я/.

Для чисел w,zeC <0>по правилам «в действительной области логарифм произведения равен сумме логарифмов», «в комплексном анализе аргумент произведения равен сумме аргументов» запишем следующие равенства:

Получается, что первое правило распространяется и на комплексную область: Ln(wz) = Lnw+ Lnz. Это равенство надо понимать в следующем смысле: множество, составленное из всевозможных сумм двух слагаемых, одно из которых принадлежит Lnw, а другое Lnz, совпадает с множеством значений Ln(wz).

Итак, мы видим, что логарифмы можно находить не только положительных чисел, как это делается в школе, но и для комплексных чисел. Обнаруживается, что логарифмическая функция (6.7) не однозначная, как это имеет место в действительном анализе, а многозначная: каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет бесконечное множество логарифмов. В частности, имеют логарифмы и отрицательные числа, но при этом все они комплексные. Положительные же числа, кроме действительного значения логарифма, рассматриваемого в школьном курсе, имеет еще счетное множество комплексных логарифмов.

Обратимся к дифференцированию комплексного логарифма. Ясно, что достаточно уметь находить производную главного значения (ибо производные от констант — нули). Дифференцируя (по z ) равенство е и = z, получим

е* -м/ = 1 => w = —. Пришли к знакомой формуле из действительного анализа

Заметим, что эта формула верна всюду, где главное значение логарифма непрерывно. Разрывы происходят лишь в точках отрицательной действительной полуоси, ибо в них, как мы видели ранее, разрывно главное значение аргумента вследствие определения его на оговоренном промежутке (-тг,тг].

В действительном анализе имеет место равенство а ь =е Ша . В комплексном анализе пользуются аналогичной формулой, но она выполняет уже роль определения а ь . А именно, полагают

I

Так, при ненулевых а,Ь определена степень с произвольным показателем. Так как логарифм имеет бесконечное множество значений, то и выражение а ь в общем случае — также, но в частных случаях они могут все совпадать (если b — целое число) или среди них может быть только конечное число различных значений (если степень b является рациональным числом).

Рассмотрим, например, V. Согласно (6.8) получим е =е 2 , где п

— целое число. Неискушенному этот пример покажется очень удивительным: мнимое число возводится в мнимую степень и получается бесконечно много значений, да еще все они — действительные числа!

Другой пример: найти согласно (6.8) величину / 3 . Ответ

согласуется с перемножением мнимой единицы самой на себя три раза.

Вычислим w=8 3 . Имеем: w = e 3 =е 3 •е 3 . Здесь первый

множитель равен 2, а второй принимает лишь три различные значения (например, при к = 0,1,2. Далее начнется повтор).

5. Аркфункции и ареафункции комплексного аргумента.

Аркфункцня (от лат. arcus — дуга) — то же, что обратная тригонометрическая функция, т.е. одна из функций: арксинус, арккосинус, арктангенс, . ; соответствующие обозначения Arc sin z, Arccosz, Arctgz, .

Ареафункция (от лат. area — площадь) — то же, что обратная гиперболическая функция, т.е. одна из функций: ареасинус гиперболический (Arshz)_y ареакосинус гиперболический (Arch-), аретангенс гиперболический (Arthz) и т.д.

Эти обозначения, как и предыдущие, не являются общепринятыми, возможны и другие написания рассматриваемых функций. Они, будучи обратными к многолистным функциям (синус, косинус, . ), являются многозначными и выражаются через корни и логарифмы. Найдем такое выражение, например, для арккосинуса — решим при заданном z уравнение cosw=z.

Или, что то же, уравнение — (е ,и +е — ‘") = z как квадратное относительно e ,w .

(мы нс пишем здесь перед корнем обычный знак ± _f ибо в комплексном анализе квадратный корень и так имеет два значения). Из последнего равенства получим

Подобным же способом получаются выражения для ареафункций:

Укажем еще группу формул, выражающих ареафункции через арк- функции:

В заключение рассмотрим следующий пример.

При мер. Решить уравнение sinw=2.

Решение. Согласно (6.9) имеем w= Arcsin2 = -iLn <2i + у1 1 -2 2 ). Здесь радикал принимает два значения ± л/З /. Находим логарифм. Так как числа 2 ± -Уз оба положительные, то он равен

Следовательно, w = — + 2лк + i 1п(2 + v’3 , так как (2 ± л/З) ‘=2 + л/3. Читателю рекомендуем сделать проверку. Использовать теорему сложения в виде

и равенство cos iz = chz.

Задачи к главе 6

6.1. Доказать, что число п является основным периодом функции sinz