Как построить прямую, параллельную данной?
Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .
Решение: Обозначим неизвестную прямую буквой .
Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой c подойдёт и для построения прямой d.
Направляющий вектор берем из уравнения :
Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :
Иллюстрация примера: 
Как найти точку пересечения двух прямых?
Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением СЛАУ:
Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.
Геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.
Найти точку пересечения прямых
Решение: Существуют два способа решения – графический и аналитический.
Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа: 
Получилась точка . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы .
Точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:
Как построить прямую, перпендикулярную данной?
Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .
Решение: По условию известно, что . Надо найти направляющий вектор прямой
Из уравнения находим вектор нормали: , который будет направляющим вектором прямой .
Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.
Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».
Расстояние от точки до прямой выражается формулой
Найти расстояние от точки до прямой
Как найти угол между двумя прямыми?
Существуют две формулы.
Первый способ.
Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:
Если прямые не перпендикулярны, то угол между ними можно вычислить с помощью формулы:
Рассмотрим знаменатель – это скалярное произведение направляющих векторов прямых:
Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.
Второй способ.
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом и не перпендикулярны, то угол между ними можно найти с помощью формулы:
Условие перпендикулярности прямых выражается равенством , откуда следует полезная взаимосвязь угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: , которая используется в некоторых задачах.
Найти угол между прямыми
Решение первым способом
Решение удобно оформить в два этапа:
1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых: , значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём по формуле:
С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса:
Решение вторым способом
Алгоритм решения похож на предыдущий пункт. Но сначала перепишем прямые в нужном виде:
Таким образом, угловые коэффициенты:
1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны: , значит, прямые не перпендикулярны.
Как построить параллельные прямые через точку с помощью циркуля и линейки
Провести линию, проходящую через определенную точку и параллельную данной, можно легко с помощью циркуля. Приступим.
Сначала проводим первую прямую, ставим точку А.
Берем циркуль и ставим острием в любое место на линии. Отмеряем расстояние до точки А.
Проводим окружность так, чтобы она пересекла прямую в двух местах.
Если линия не дотягивает, тогда продлеваем ее.
Ставим циркуль в первое пересечение и отмеряем расстояние между ним и точкой А.
После ставим во втором месте пересечения и проводим окружность так, чтобы она пересекла прежнюю.
Берем линейку и через получившееся место пересечения и точку А проводим линию. Если все сделали аккуратно, прямая будет идеально параллельно первой.
Построение параллельных прямых
В основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов лежат признаки параллельности прямых.
Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки
Рассмотрим принцип построения параллельной прямой, проходящей через заданную точку, с помощью циркуля и линейки.
Пусть дана прямая и некоторая точка А, которая не принадлежит данной прямой.
Необходимо построить прямую, проходящую через заданную точку $А$ параллельно данной прямой.
На практике зачастую требуется построить две или более параллельных прямых без данной прямой и точки. В таком случае необходимо начертить прямую произвольно и отметить любую точку, которая не будет лежать на данной прямой.
Рассмотрим этапы построения параллельной прямой:
- Выберем произвольную точку на данной прямой и назовем ее $В$. обратим внимание, что выбор точки абсолютно произвольный, т.к. не влияет на результат построения.
- С помощью циркуля и начертим окружность радиуса $АВ$ с центром в точке $В$.
На пересечении окружности и прямой отметим точку и назовем ее $С$.
С тем же радиусом $АВ$ построим окружность с центром в точке $С$. Обратим внимание, что вторая построенная окружность обязательно должна пройти через точку В при правильном выполнении построения.
С прежним радиусом $АВ$ построим третью окружность с центром в точке $А$.
Отметим точку пересечения второй и третьей построенных окружностей и назовем ее $D$. Отметим, что третья окружность при правильном построении также должна пройти через точку $В$.
Через точки $А$ и $D$ проведем прямую, которая будет параллельной заданной.
Таким образом, получили параллельные прямые $ВС$ и $АD$:
$BC \parallel AD$, т. $A \in AD$.
На практике также применяют метод построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.
Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки
Для построения прямой, которая будет проходить через точку М параллельно данной прямой а, необходимо:
- Угольник приложить к прямой $а$ диагональю (смотрите рисунок), а к его большему катету приложить линейку.
- Передвинуть угольник по линейке до тех пор, пока данная точка $М$ не окажется на диагонали угольника.
- Провести через точку $М$ искомую прямую $b$.
Мы получили прямую, проходящую через заданную точку $М$, параллельную данной прямой $а$:
$a \parallel b$, т. $M \in b$.
Параллельность прямых $а$ и $b$ видна из равности соответственных углов, которые отмечены на рисунке буквами $\alpha$ и $\beta$.
Построение параллельной прямой, отстоящей на заданное расстояние от данной прямой
В случае необходимости построения прямой, параллельной заданной прямой и отстоящей от нее на заданном расстоянии можно воспользоваться линейкой и угольником.
Пусть дана прямая $MN$ и расстояние $а$.
- Отметим на заданной прямой $MN$ произвольную точку и назовем ее $В$.
- Через точку $В$ проведем прямую, перпендикулярную к прямой $MN$, и назовем ее $АВ$.
- На прямой $АВ$ от точки $В$ отложим отрезок $ВС=а$.
- С помощью угольника и линейки проведем прямую $CD$ через точку $С$, которая и будет параллельной заданной прямой $АВ$.
Если отложить на прямой $АВ$ от точки $В$ отрезок $ВС=а$ в другую сторону, то получим еще одну параллельную прямую к заданной, отстоящую от нее на заданное расстояние $а$.
Другие способы построения параллельных прямых
Еще одним способом построения параллельных прямых является построение с помощью рейсшины. Чаще всего данный способ используют в чертежной практике.
При выполнении столярных работ для разметки и построения параллельных прямых, используется специальный чертежный инструмент – малка – две деревянные планки, которые скрепляются шарниром.
Как провести прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.
Количество просмотров этой статьи: 81 528.
Параллельные прямые – это прямые, расстояние между которыми не меняется и которые никогда не пересекаются. [1] X Источник информации В некоторых задачах дается прямая и точка, через которую нужно провести прямую, параллельную данной. Конечно, можно взять линейку и на глаз провести прямую, параллельную данной, но нет гарантий, что построенная прямая будет параллельна данной. При помощи геометрических законов и циркуля можно нанести дополнительные точки, через которые пройдет настоящая параллельная прямая.
