Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы
Используя этот онлайн калькулятор для вычисления определителя (детерминанта) матриц, вы сможете очень просто и быстро найти определитель (детерминант) матрицы.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления определителя (детерминанта) матриц, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на транспонирование матриц, а также закрепить пройденный материал.
Найти определитель (детерминант) матрицы
| Очистить | Размер: × |
| Транспонировать | Умножить на |
| Найти определитель | Возвести в степень |
| Найти ранг | Обратная матрица: A -1 |
Ввод данных в калькулятор для вычисления определителя (детерминанта) матриц
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
Перед тем как находить и считать определитель, дадим определение определителю матрицы.
Что такое определитель матрицы или детерминант матрицы? Определитель матрицы — это некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .
|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.
Как найти определитель матрицы? Вычислить определитель или найти определитель можно с помощью разных способов (в том числе онлайн и при помощи калькулятора). Конкретный способ поиска и того, как решать, выбирают в зависимости от порядка матрицы.
Определитель матрицы второго порядка можно вычислять по формуле:
d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7
Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
Нахождение определителя матрицы 3-го порядка осуществляется по одному из правил:
- он может считаться по правилу треугольника;
- расчет также проводится по правилу Саррюса.
Как найти определитель матрицы третьего порядка по методу треугольника (определитель матрицы 3×3)?
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1
d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12
Правило Саррюса
Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:
- дописать слева от определителя два первых столбца;
- перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
- перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3
Методы разложения по элементам строки и столбца
Чтобы вычислить определитель матрицы четвертого порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:
- разложением по элементам строки;
- разложением по элементам столбца.
Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение матрицы по элементам строки:
d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n
Разложение матрицы по элементам столбца:
d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i
Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0
- раскладываем по 2-ой строке:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0
- раскладываем по 4-му столбцу:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1
Свойства определителя
- если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
- если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
- определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
В рамках темы советуем обратиться к модулю определителя.
А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5
d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10
Матричныый определитель, который содержит нулевой столбец, равный нулю (представляет собой минор).
Как найти модуль матрицы
d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7
- правило треугольника;
- правило Саррюса.
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1
d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12
- дописать слева от определителя два первых столбца;
- перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
- перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
- разложением по элементам строки;
- разложением по элементам столбца.
d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n
d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0
- раскладываем по 2-ой строке:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0
- раскладываем по 4-му столбцу:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1
\[A=\left[ m\times n \right]\]
Введение системы координат на плоскости
Наложение системы координат на матрицу
Определение индексов в матрице
Задача. Найдите определители матриц:
\[\left| \begin 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end \right|\quad \left| \begin 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end \right|\quad \left| \begin 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end \right|\]
Решение. Первые два определителя имеют размер 2×2. Значит, это просто площади параллелограммов. Начертим их и посчитаем площадь.
Первый параллелограмм построен на векторах $_>=\left( 1;0 \right)$ и $_>=\left( 0;3 \right)$:
Определитель 2×2 — это площадь параллелограмма
Очевидно, это не просто параллелограмм, а вполне себе прямоугольник. Его площадь равна
\[S=1\cdot 3=3\]
Второй параллелограмм построен на векторах $_>=\left( 1;-1 \right)$ и $_>=\left( 2;2 \right)$. Ну и что с того? Это тоже прямоугольник:
Ещё один определитель 2×2
Стороны этого прямоугольника (по сути — длины векторов) легко считаются по теореме Пифагора:
\[\begin & \left| _> \right|=\sqrt^>+^>>=\sqrt; \\ & \left| _> \right|=\sqrt^>+^>>=\sqrt=2\sqrt; \\ & S=\left| _> \right|\cdot \left| _> \right|=\sqrt\cdot 2\sqrt=4. \\\end\]
Осталось разобраться с последним определителем — там уже матрица 3×3. Придётся вспоминать стереометрию:
Определитель 3×3 — это объём параллелепипеда
Выглядит мозговыносяще, но по факту достаточно вспомнить формулу объёма параллелепипеда:
\[V=S\cdot h\]
где $S$ — площадь основания (в нашем случае это площадь параллелограмма на плоскости $OXY$), $h$ — высота, проведённая к этому основанию (по сути, $z$-координата вектора $_>$).
Площадь параллелограмма (мы начертили его отдельно) тоже считается легко:
\[\begin & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end\]
Вот и всё! Записываем ответы.
Ответ: 3; 4; 24.
Матрицы и определители
X=A^<-1>*B» />
2) 
. Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.
Умножим уравнение на A -1 справа: 
. Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.
Умножим уравнение на A -1 слева: 