теория-групп — Элемент с максимальным порядком в кольце
Дано кольцо $%Z_<546>$%. Необходимо найти максимальный порядок элемента по умножению. На данный момент результат следующий: $$ Z_ <546>\cong Z_ <2>\times Z_ <3>\times Z_ <7>\times Z_<13>$$ То есть, исходное кольцо изоморфно прямому произведению соответствующих групп. Также получена оценка сверху максимального порядка изоморфной группы: $$ НОК(\varphi(2), \varphi(3), \varphi(7), \varphi(13)) = 12 $$ После исследования каждого кольца по отдельности, я сделал следующий вывод: в $% Z_<2>, Z_ <3>$% максимальный порядок 2 (элементы 1 и 2 соответственно), в $% Z_ <7>$% — это 6 (элемент 3), в $% Z_ <13>$% — это 12 (элемент 2). делаем вывод, что элемент $% (1, 2, 3, 2) $% является максимальным по умножению, но я не понимаю, как найти соответствующий элемент в $% Z_ <546>$%? Буду рад, если укажете на неправильные рассуждения, скорее всего, они присутствуют.
задан 25 Фев ’19 1:35
1 ответ
У Вас с содержательной точки зрения почти всё уже сделано, но есть ряд терминологических неточностей. Понятие порядка элемента даётся не для колец, а для групп. С кольцом связана аддитивная группа, о которой здесь речь не идёт, и мультипликативная группа, которая и имеется в виду, так как сказано про умножение. Но не уточнено, из каких элементов она состоит. Если $%R$% — кольцо с единицей, то все его обратимые элементы образуют группу относительно умножения, обозначаемую $%R^<\ast>$%, и называемую группой обратимых элементов кольца, или его мультипликативной группой.
Для колец вычетов $%\mathbb Z_n$% группа $%\mathbb Z_n^<\ast>$% состоит из $%\varphi(n)$% элементов — тех остатков, которые взаимно просты с $%n$%.
Кольцо $%\mathbb Z_<546>$% в самом деле изоморфно прямому произведению, но не групп, а колец вычетов. В то же время, его мультипликативная группа изоморфна прямому произведению мультипликативных групп сомножителей, то есть $$Z_<546>^<\ast>\cong Z_2^<\ast>\times Z_3^<\ast>\times Z_7^<\ast>\times Z_<13>^<\ast>.$$ Известно, что для простого $%p$% группа $%\mathbb Z_p^<\ast>$% является циклической, то есть обладает элементом порядка $%\varphi(p)=p-1$%. Такие элементы для каждой из компонент Вы указали верно.
Для нахождения элемента порядка 12 в группе $%\mathbb Z_<456>^<\ast>$% можно поступить чуть проще (правда, его не следует называть «максимальным по умножению» — максимален ведь не сам элемент, а его порядок в группе). Берём сначала элемент 2: он имеет требуемый порядок по модулю 13, но его брать нельзя, так как он не взаимно прост с 546. Однако, прибавляя к нему несколько раз 13, мы получаем элемент с тем же свойством. Он имеет порядок 12 по модулю 13, а потому и по «старшему» модулю 546 он не уменьшится. Увеличиться он также не может, так как значение 12 максимально. Итого имеем 2, 15, 28, 41, и на последнем элементе можно остановиться, так как он не делится ни на одно из чисел 2, 3, 7, 13.
Тем не менее, если продолжать Ваше рассуждение, то надо решить систему линейных сравнений $%x\equiv1\pmod2$%; $%x\equiv2\pmod3$%; $%x\equiv3\pmod7$%; $%x\equiv2\pmod<13>$%.
Способы решения таких систем описаны в учебниках по теории чисел. См., например у Бухштаба. Здесь можно сразу заменить второе и последнее сравнение на условие $%x\equiv2\pmod<39>$%, записать решение в виде $%x=39y+2$%, и подставить в третье сравнение. Также надо будет учесть нечётность. В итоге должно получиться значение $%x=353$%. Такой остаток существует и единственен по известной теореме (китайская теорема об остатках).
отвечен 25 Фев ’19 3:12
@falcao, подскажите пожалуйста, а как поступать в такой ситуации(звездочки чего-то не показываются, имеются в виду только обратимые элементы):
С первыми двумя множителями прямого произведения все ясно, но вот с третьим как «руками» подобрать элемент порядка $%\varphi(7^2)=42$% не очень понятно.
@Квантиль: для построения элемента порядка 42 достаточно построить элементы взаимно простых порядков 2, 3, 7 и перемножить. Для начала берём первообразный корень по модулю 7 — число a=3. Его порядок по модулю 7 равен 6. По модулю 49 порядок делится на 6. Прямая проверка показывает, что здесь он равен 42, то есть нам случайно повезло, и это уже ответ. В общем случае, если вышло 6k, то берём a^k, и это элемент порядка 6. Примером элемента порядка p=7 по модулю p^2 будет 1+p, что проверяется через биномиальную формулу. В конце берём a^k(1+p) mod p^2.
@falcao, добрый вечер. Подскажите, пожалуйста, в примере от Квантиль каким образом поступать далее? Получается, наибольший порядок элемента = 42. Для первой группы из суммы образующий элемент g = 1 (mod 2), для второй – g = 2 (mod 3) , для третьей – g = 3 (mod 49). Итого получаем систему из трёх линейных сравнений. Решением является число x = 101 (mod 294). Но при проверке и возведении икса в степень 42 по модулю 294 не получается единицы… не понимаю, где допускаю ошибку в рассуждениях.
@Kai: ответ 101 правильный. Я только что это проверил. Думаю, Вы просто ошиблись при возведении в степень.
@falcao, благодарю! Если рассматривать вопрос о перечислении всех элементов степени 42, нужно поступить следующим образом: взять 3, имеющую степень 42 по модулю 49, и прибавлять к ней 49. Получается ряд: 52, 101, 150, 199, 248. Из этих чисел только два (101, 199) являются искомыми, так как взаимно просты с модулем. Поправьте, пожалуйста, если допустила ошибку.
@Kai: задача нахождения всех элементов кольца, порядок которых в мультипликативной группе равен 42, достаточно сложна. Таких элементов много (по-моему, штук 36), и их не так просто выписать. И сам метод надо обосновывать — почему выписаны будут все такие элементы? Оба числа 101 и 199 годятся, но это явно не весь «улов».
@falcao, можете рассказать, как Вы получили 36? ��
Проверил на компьютере. Наверное, можно к этому числу прийти и как-то вручную при помощи стандартной техники. Но выписывать все эти значения — задача явно громоздкая.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Максимальный порядок элемента группы подстановок
Задача следующая:
Доказать, что порядок любого элемента группы не превосходит 
разлагается в произведение независимых циклов длин 
, то 
— это функция Эйлера 
и она вычисляется так: 
; Если мы перемножим наибольшую возможную длину цикла 
число раз (возведем в степень ), то мы получим наибольший возможный порядок подстановки 
.
Вот тут я застрял — судя по условию задачи, наибольшая возможная длина цикла равна 
(а такого не может быть), не могу дотумкать, что здесь не так?
Заранее благодарен за любые идеи!
Возьмём, например, 
. Имеем 
, 
и 
на взаимно-простые слагаемые, а во втором — нет.
Возьмём, например, . Имеем , и на взаимно-простые слагаемые, а во втором — нет.
Вы правы и это еще один гвоздь в крышку гроба моей попытки решения Я все пытаюсь сообразить в чем состоит суть подсказки ИСН : ясно что нужно искать максимальное НОК разбиения множества n, но в голову приходит только самая грубая оценка 
; как получить 
, приравниваете производную к нулю, находите максимум.
Будьте добры, вот этот момент поясните пожалуйста: 
, приравниваете производную к нулю, находите максимум.
Не получается: ![$\left[\left(\frac<n><x>\right)^x\right]'=-\frac<n><x^2>\left(\frac<n><x>\right)^x ln \frac<n><x>$» /><br />Приравниваем к нулю и потенциируем: <img decoding=](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/d/c0dd9c997e3ef8f8391d47c69fdc11de82.png)
, 
и 
.
Как найти максимальный порядок элемента в группе
Задача следующая:
Доказать, что порядок любого элемента группы 
не превосходит , то и она вычисляется так: число раз (возведем в степень ), то мы получим наибольший возможный порядок подстановки .
Вот тут я застрял — судя по условию задачи, наибольшая возможная длина цикла равна (а такого не может быть), не могу дотумкать, что здесь не так?
Заранее благодарен за любые идеи!
Возьмём, например, . Имеем , . Имеем , ; как получить
Будьте добры, вот этот момент поясните пожалуйста: и .
Порядок элемента
Аддитивная группа кольца вычетов по модулю m — циклическая,
в ней есть элементы порядка m, но могут быть и элементы
меньшего порядка, их порядки должны быть делителями числа m.
Но только если модуль составной, то это всё-таки не группа.
(Но можно рассмотреть группу обратимых элементов.)
Игорь? А можно ли задать Вам вопрос?
Почему Вы не можете сразу написать всю задачу целиком?
Вы уже написали три поста, а что дано, что требуется, до сих пор не ясно.
Есть методы "умно-переборные", основанные на теор. Лагранжа: порядок элемента делит порядок группы. Если известно разложение порядка группы на множители — перебор можно существенно сократить.
Универсального непереборного метода нет. Наверное, его и вообще быть не может.
Задайте свой вопрос по математике
профессионалам
Другие вопросы на эту тему:
Порядок элемента группы
Линейная алгебра
Теория групп — не могу решить задачу
Помогите, плз, с задачей.
Доказать, что конечное множество перестановок А является группой относительно операции умножения перестановок, если произведение любой пары элементов из А принадлежит А.
С ассоцитивностью понятно все. Она наследуется из группы перестановок.
Не понимаю, как просто из того, что А замкнуто относительно операции умножения, взять нейтральный и обратный элементы.