Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.
Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:
где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.
Эллипс, заданный каноническим уравнением
Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.
Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.
Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .
Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.
Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:
Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.
Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:
Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где
называются фокусами.
называется эксцентриситетом эллипса.
Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.
Решение. Делаем несложные умозаключения:
— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,
— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.
Подставляем и вычисляем:
Результат — каноническое уравнение эллипса:
Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:
Составляем каноническое уравнение эллипса:
Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:
Получаем фокусы эллипса:
Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34
2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)
3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).
Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса
где и — расстояния этой точки до директрис и .
Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:
Получаем уравнение директрис эллипса:
Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .
Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:
Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:
Уравнение эллипса готово:
Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.
Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:
Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.
Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:
Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.
так как из исходного уравнения эллипса .
Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.
Каноническое уравнение эллипса расстояние между фокусами которого равно 8 а малая полуось 3
Написать уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами эллипса равно 8, а малая полуось b = 3?
Математика | 10 — 11 классы
Написать уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами эллипса равно 8, а малая полуось b = 3.
Каноническое уравнение эллипса$\frac + \frac =1$
По условию b = 3 и с = 8 / 2 = 4.
B< ; c, то фокусы расположены на оси Ох и a² = b² + c²
Значит, уравнение имеет вид$\frac + \frac =1$.
Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ε = 3 / 5?
Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ε = 3 / 5.
Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы?
Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы.
Где А, В — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (действительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, Е — эксцентриситет, у = + — kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса кривой, 2с — фокусное расстояние.
A) 2a = 22, Е = √57 / 11 ; b) k = 2 / 3 ; 2c = 10 √13 ; c) ось симметрии Ox и А(27 ; 9).
Написать канонические уравнение гиперболы, если известно, что а)расстояние между фокусами равно 10 и эксцентриситет равен 5 / 3?
Написать канонические уравнение гиперболы, если известно, что а)расстояние между фокусами равно 10 и эксцентриситет равен 5 / 3.
Составить кононическое уравнение Эллипса, если фокусное растояние = 10, а малая ось = 6?
Составить кононическое уравнение Эллипса, если фокусное растояние = 10, а малая ось = 6.
Построить эллипс 25x ^ 2 + 16y ^ 2 = 400?
Построить эллипс 25x ^ 2 + 16y ^ 2 = 400.
Найти координаты его фокусов, длину осей и эксцентриситет.
Написать уравнение прямой, проходящей через его правый фокус и точку(1 ; — 3).
Пропустил тему и блин застреваю на каждом шагу(.
Составить уравнение эллипса, фокальное расстояние которого равно 16 и эксцентриситет равен 4 / 5?
Составить уравнение эллипса, фокальное расстояние которого равно 16 и эксцентриситет равен 4 / 5.
Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ox, если его большая ось равна 16, а эксцентритет e = 0, 8?
Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ox, если его большая ось равна 16, а эксцентритет e = 0, 8.
Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса 4x² + 9y² = 16?
Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса 4x² + 9y² = 16.
Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )Составить каноническое уравнениеА) эллипсаБ) гиперболыВ) параболы(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)по?
Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )
Составить каноническое уравнение
(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)
полуось, в — малая (мнимая) полуось, е — экцентриситет, у = — + кх — уравнение асимптот
директриса кривой, 2с — фокусное расстояние).
Найдите большую полуось эллипса 4×2 + y2 — 100 = 0?
Найдите большую полуось эллипса 4×2 + y2 — 100 = 0.
На этой странице находится ответ на вопрос Написать уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами эллипса равно 8, а малая полуось b = 3?, из категории Математика, соответствующий программе для 10 — 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.
3 / Задание № 2 : Сколько всего цифр пришлось бы написать, если выписать друг за другом все числа от 3 до 103 включительно? РЕШЕНИЕ : однозначные — от 3 до 9 — 7 цифр. Двузначные — все от 10 до 99 — 90 чисел — 90 * 2 = 180 цифр трехзначные — от 100..
30 кущiв троянд (Я русский, незнаю чо это).
15 / 3 + 1 = 6роз за час будет сажать, 6 * 5 = 30 кустов посадит за 5 часов.
16 1)В 4 раза 2)295 лет 3) 45 км проехал 4) P = 20 см 5) 106 кг 6) 24 м 7) на 19 м 8) P = 16 дм 9) 6 ящиков 10) 300 яблок 17 1)200 г 2) в 3 раза меньше 3) в 8 часов 4) ширина 3 см, длина 18 см 5) по 300 км 6) 48 км 7) 280 кг 8) 20 мин 9) 9. 6 м 10) ..
546 : 42 = 13 Держи, и скажи спасибо калькулятору .
Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету математика
Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету математика.
Ответы на модуль 1 (ЧИСЛА) по предмету математика.
1) Найдите значение выражения
2) Упростите иррациональное выражение
22
10000
6) Какое из перечисленных чисел является иррациональным?
3,141592…
7) Вычислите 
6*5/21
8) Какая из перечисленных дробей является смешанной периодической дробью?
2,75(12)
9) Вычислите с точностью до десятых 
0,3
10) Найдите значение выражения 
при a= 2
2/3
11) Упростите 
12) Найдите 
-2
13) Какие числа называются целыми?
натуральные числа, числа противоположные натуральным, и число 0
Ответы на модуль 2 (ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА) по предмету математика.
1) Дано: 
Найдите a*b
32
2) Дано: 
Вычислите 
13
3) Найдите l , если 
3 или -3
4) Что называется скалярным произведением двух векторов?
число, определяемое по формуле 
5) Найдите l , если 
2,5 или -2,5
6) Даны векторы 
и 
Найдите — проекцию вектора на ось вектора
7) Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислите проекцию вектора 
на вектор MN
3
8) При каком значении l векторы MP и KD коллинеарны, если M(-3; 2), P(-1; -2), K(2; 1), D(5;l)?
-5
9) Какие векторы называются коллинеарными?
лежащие на одной прямой или параллельных прямых
10) Векторы называются компланарными, если
они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях
11) Какой из перечисленных векторов коллинеарен вектору 
12) Векторы a и b взаимно перпендикулярны (ортогональны), причем |a|=5 и |b|=12 . Определите 
13
13) Векторы AC=a и BD=d служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразите вектор DA через векторы a и b
Ответы на модуль 3 (АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ) по предмету математика.
1) Найдите координаты точки K пересечения прямой 
с плоскостью 2x+ 5y- 3z= 0
2) Найдите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x + 3y — 8 = 0 и x — 4y + 5 = 0 и через точку M1(-2; 3)
5x+ 13y— 29 = 0
3) Укажите канонические уравнения прямой, проходящей через точки M1(3; 2; 5) и M2(-1; 3; -2)
4) Даны прямые 
и 
При каком значении a они перпендикулярны?
a= 2
5) Установите взаимное расположение прямых 
и 
прямые перпендикулярны
6) Укажите канонические уравнения прямой 
7) Найдите острый угол между прямыми 
и 
60°
8) Составьте уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые 
и 
9) Даны вершины треугольника ABC: A(3; -1),B(4; 2) и C(-2; 0). Напишите уравнения его сторон
10) Уравнение 3x— 4y+ 12 = 0 преобразуйте к уравнению в отрезках
11) Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 2 и составляющей с осью Ox угол j= 45°
12) Найдите координаты точки пересечения прямых 2x—y— 3 = 0 и 4x+ 3y— 11 = 0
(2; 1)
13) Найдите уравнение прямой, проходящей через точки M1(3; 2), M2(4;-1)
Ответы на модуль 4 (КРИВАЯ 2-ГО ПОРЯДКА) по предмету математика.
1) Определите эксцентриситет равносторонней гиперболы
2) Укажите уравнение окружности, которая проходит через точки А(3;1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой 3x—y— 2 = 0
(x— 2) 2 + (y— 4) 2 = 10
3) Укажите уравнение окружности радиуса R= 8 с центром в точке C(2;-5)
(x— 2) 2 + (y+ 5) 2 = 8 2
4) Определите полуоси гиперболы 
5) Укажите уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, а прямая 3x— 4y+ 20 = 0 является касательной к окружности
x 2 +y 2 = 16
6) Укажите уравнение окружности, которая проходит через точку А(2;6) и ее центр совпадает с точкой C(-1; 2)
(x+ 1) 2 + (y— 2) 2 = 25
7) Укажите каноническое уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого равно 8, а малая полуось b= 3
8) Напишите уравнение эллипса, если даны его полуоси a= 5 и b= 4
9) Укажите уравнение окружности, проходящей через точку (4; 5) с центром в точке (1; -3)
(x— 1) 2 + (y+ 3) 2 = 73
10) Определите полуоси гиперболы 25x 2 — 16y 2 =1
11) Напишите уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ox, если даны a= 6 и b= 2
12) Укажите уравнение параболы, с вершиной в точке O и фокусом F(4; 0)
13) Укажите уравнение окружности, для которой точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров
(x— 1) 2 + (y— 4) 2 = 8
Ответы на модуль 5 (КРИВАЯ 2-ГО ПОРЯДКА) по предмету математика.
1) Найдите общее решение системы 
2) Вычислите определитель 
-89
3) Найдите ранг и базисные строки матрицы 
2. 1-я строка, 2-я строка
4) Вычислите определитель 
0
5) Найдите А × В, где 
; 
6) Решите систему уравнений методом Крамера 
7) Найдите обратную матрицу для матрицы 
8) Найдите ранг матрицы 
4
9) Определитель системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными равен 5. Это означает, что
система имеет единственное решений
11) Метод Гаусса решения системы линейных уравнений предполагает использование
последовательного исключения неизвестных
12) Система линейных уравнений называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение
13) Решите матричное уравнение AX + AXA = B, где 
; 
Ответы на модуль 6 (МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ) по предмету математика.
1) Найдите предел 
3
2) Найдите предел 
5
3) Найдите предел 
5
4) Найдите предел 
1/e
5) Найдите предел 
0
6) Найдите предел 
0
7) Найдите предел 
8) Найдите предел 
1/2
9) Найдите предел 
e — 5
10) Найдите предел 
1
11) Найдите предел 
0
12) Найдите предел 
5/3
13) Найдите предел 
3/5
Ответы на модуль 7 (ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ) по предмету математика.
1) Вычислите предел по правилу Лопиталя 
0
2) Найдите производную функции f(x)=(1+ cos x)sin x
cos x+ cos 2x
3) Вычислите предел по правилу Лопиталя 
1/18
4) Вычислите предел по правилу Лопиталя 
-4/3
5) Найдите производную функции y= sin(2x 2 + 3)
4xcos(2x 2 + 3)
6) Найдите производную функции y=(3e x +x)× cos x
(3e x + 1) × cos x— (3e x +x) × sin x
7) Для функции 
найдите y(49)
1/14
8) Найдите производную функции 
9) Найдите производную функции y=2 tg x
10) Найдите производную функции 
11) Найдите скорость тела, движущего по закону S=3t-5
3
12) Дана функция 
Решите уравнение 
13) Найдите производную функции y=xe x —e x
xe x
Ответы на модуль 8 (ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ) по предмету математика.
1) Число f(x0) называется наибольшим значением функции на отрезке [a;b], если
для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) 2 — 3x+ 1
убывает при x 3/2
3) Найдите точки максимума (минимума) функции y=- 5x 2 — 2x+ 2
(-0,2;2,2) точка максимума
4) Каково необходимое условие возрастания функции?
если функция y=f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a;b), то f(x)>=0 для всех xиз этого интервала
5) Определите поведение функции y= 2x 2 при x= 1
возрастает
6) В каких точках выпукла или вогнута кривая y=x 2 — 3x+ 6
вогнута во всех точках
7) Найдите промежутки возрастания или убывания функции y=- 2x 2 + 8x— 1
(0; 0)
9) Найдите точки перегиба кривой y=x 4 — 12x 3 + 48x 2 — 50
(2; 62) и (4; 206)
10) Найдите точки максимума (минимума) функции y=x 2 — 2x
(1;-1) точка минимума
11) Вертикальные асимптоты к графику функции 
имеют вид
12) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x 2 на промежутке [-1; 3]
13) В каких точках выпукла или вогнута кривая y= 2 — 3x—x 2
выпукла во всех точках
Ответы на модуль 9 (ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ) по предмету математика.
1) Найдите частные производные функции двух переменных 
2) Найдите частные производные второго порядка функции z=x 3 y 4 +ycos x
3) Найдите предел функции 
при x->0, y->0
0
4) На каком из рисунков изображена область определения функции 
5) Найдите частные производные функции двух переменных z=xe y +ye x
6) Найдите частные производные функции z=x 2 × ln y
7) Найдите полный дифференциал функции z=x 2 y+xy 2
8) Какая поверхность называется графиком функции n переменных?
9) Укажите полное приращение функции f(x;y)
10) Найдите 
4
11) Укажите частное приращение функции f(x;y)по переменной у
12) На каком из рисунков изображена область определения функции 
13) Найдите область определения функции 
xy 2 не =y 2
Ответы на модуль 10 (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) по предмету математика.
1) Найдите 
2) Найдите 
3) Найдите 
4) Найдите 
5) Найдите 
6) Найдите 
7) Найдите 
8) Найдите 
9) Найдите 
10) Найдите 
если при x= 2 первообразная функция равна 9
11) Найдите 
12) Найдите 
если при x=0 первообразная функция равна 0
13) Найдите 
Ответы на модуль 11 (ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ) по предмету математика.
1) Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=9t 2 -2t-8. Вычислите путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения
48 м
2) Вычислите определенный интеграл 
9
3) Сила в 6 кГ растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?
0,24 кГм
4) Вычислите определенный интеграл 
5) Вычислите определенный интеграл 
e p -1
6) Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми y=4x— 5, x=-3, x=-2 и осью Ox
15
7) Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле v= 9,8t м/сек. Какой путь пройдет тело за первые 10 секунд падения?
490 м
8) Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y=5x, x=2 и осью Ox
10
9) Вычислите определенный интеграл 
2
10) Вычислите определенный интеграл 
4*2/3
11) Вычислите определенный интеграл 
2/3
12) Вычислите определенный интеграл 
0,24
13) Вычислите определенный интеграл 
0,25
Ответы на модуль 12 (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) по предмету математика.
1) Как называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных?
частным решением
2) Найдите общее решение уравнения (x+y)dx+xdy=0
3) При решении каких уравнений используют подстановку 
при решении однородных уравнений
4) Найдите общее решение уравнения xy 2 dy=(x 3 +y 3 )dx
5) Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли
6) Найдите общее решение уравнения y — 9y = e 2 x
7) Найдите общее решение уравнения 
8) Найдите частное решение уравнения ds=(4t-3)dt, если при t= 0 s= 0
9) Найдите общее решение уравнения y—y= 0
10) Найдите общее решение уравнения 
11) Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное уравнение
12) Найдите общее решение уравнения y— 4y+ 3y= 0
13) Найдите общее решение уравнения y = cos x
Ответы на модуль 13 (РЯДЫ) по предмету математика.
1) Исследуйте сходимость ряда 
сходится
2) Найдите интервал сходимости ряда x+2x 2 +3x 3 +4x 4 +…+nx n +…, не исследуя концов интервала
(-1; 1)
3) Найдите радиус сходимости ряда 
4) Разложите в степенной ряд f(x)= arctg 3x
5) Исследуйте сходимость ряда 
расходится
6) Исследуйте сходимость ряда 
сходится
7) Найдите интервал сходимости ряда 
8) Исследуйте сходимость ряда 
расходится
9) Исследуйте сходимость ряда />
расходится
10) Исследуйте сходимость ряда 
сходится
11) Разложите в степенной ряд f(x)= sin 2x
12) Исследуйте сходимость ряда 
расходится
13) Исследуйте сходимость ряда 
сходится
Ответы на задачник по предмету математика.
1) Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1, -1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
x — y + 3z — 11 = 0
2) Вычислить определитель D, разложив его по элементам второго столбца.
-20
3) Вычислить J= ∫cos(lnx) dx/x
sin(lnx)+ C
4) Найти lim x—>0 (5 x — cos x)
0
5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 4y = x 2 , y 2 = 4x.
16/3
6) Найти производную функции y =ln sinx
ctg x
7) Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и n — единичные векторы и угол между m и n равен 120 о
120
8) Найти наименьшее значение функции y = x 2 – 6x + 5 на отрезке (1,2).
-3
X1=2, X2=3, X3=-2.
10) При каком положительном значении параметра t прямые, заданные уравнениями
3tx — 8y + 1 = 0 и (1+t)x — 2ty = 0, параллельны?
Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи
Понятие о кривых второго порядка
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.
Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:
где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.
Эллипс, заданный каноническим уравнением
Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.
Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.
Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .
Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.
Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:
Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.
Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:
Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где
называются фокусами.
называется эксцентриситетом эллипса.
Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.
Решение. Делаем несложные умозаключения:
— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,
— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.
Подставляем и вычисляем:
Результат — каноническое уравнение эллипса:
Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:
Составляем каноническое уравнение эллипса:
Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:
Получаем фокусы эллипса:
Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34
2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)
3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).
Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса
где и — расстояния этой точки до директрис и .
Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:
Получаем уравнение директрис эллипса:
Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .
Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:
Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:
Уравнение эллипса готово:
Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.
Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:
Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.
Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:
Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.
так как из исходного уравнения эллипса .
Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.
2.3 Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (больше расстояния между фокусами).
Обозначим фокусы эллипса через F1 и F2 (рисунок 2.1), а расстояние между ними через 2С
F1F2 = 2С.
Примем за ось абсцисс прямую, соединяющую фокусы, выбрав на ней положительное направление от F2 к F1; начало координат возьмем в середине отрезка F1F2 между фокусами. Тогда координаты точек F1 и F2 будут, соответственно, (С, 0) и (–С, 0).
Обозначим сумму расстояний точек эллипса от фокусов через 2А. По определению эллипса имеем
MF1 + MF2 = 2A.
Расписав покоординатно данное равенство, после несложных преобразований получим каноническое уравнение эллипса.
Каноническое уравнение эллипса в выбранной системе координат с данными обозначениями имеет вид
Здесь B2 = А2 – С2 (C < A).
Исследуя уравнение эллипса (2.4), можно сделать следующие заключения относительно формы эллипса.
1. Симметрия эллипса.
Так как уравнение (2.4) содержит только квадраты текущих координат, то если точка (Х, у) находится на эллипсе, то и точки (±X, ±Y) находится на эллипсе при произвольном выборе знаков у координат. Это означает, что оси координат являются осями симметрии эллипса.
Ось симметрии Эллипса, на которой находятся фокусы, называется Фокальной осью. Центр симметрии (точка пересечения осей симметрии) называется Центром Эллипса. Для эллипса, заданного уравнением (2.4), фокальная ось совпадает с осью ОХ, а центр – с началом координат.
Координаты фокусов эллипса, вытянутого вдоль оси X, указаны на рисунке 2.1.
2. Точки пересечения с осями симметрии.
Точки пересечения Эллипса с осями симметрии называются его Вершинами. Вершины А1, А2, В1, В2 эллипса, заданного уравнением (2.4), находятся в точках пересечения эллипса с осями координат. Координаты вершин А1, А2 можно найти, полагая в уравнении (2.4) y = 0:
Откуда X2 = А2 и X = ±A.
Полагая X = 0, найдем ординаты вершин B1 и B2:
, или У2 = B2, откуда У = ±B.
Итак, вершины эллипса имеют следующие координаты:
A1(A, 0), А2(–А, 0), В1(0, B), B2(0, –B) (рисунок 2.2).
Отрезки А1А2 = 2А и В1В2 = 2B, соединяющие противоположные вершины эллипса, называются соответственно Большой и малой осями эллипса. Длины А и B называют, соответственно, Большой и малой полуосями эллипса.
3. Форма эллипса.
Из уравнения (2.4) следует, что , или |X| £ A.
Аналогично |Y| £ B. Следовательно, эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами, равными 2А и 2B, с центром в начале координат (см. рис.2.2).
Замечание 1. Если A = B (C = 0), уравнение (2.4) принимает вид Х2 + У2 = А2 и определяет окружность, а значит, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса с равными полуосями.
Замечание 2. Число называется Эксцентриситетом Эллипса.
Для эллипса 0 £ e £ 1 (для окружности e = 0). Величина эксцентриситета влияет на форму эллипса. Так, при очень малом e полуоси А и B почти равны и эллипс напоминает окружность. Если же величина e близка к единице, то эллипс имеет сильно вытянутую форму.
Замечание 3. Если фокусы эллипса расположены на оси ОY, то Эллипс «вытягивается» вдоль оси ОY, как это показано на рисунке 2.3, тогда Фокусы Имеют следующие Координаты
F1(0, C) и F2 (0, –C); С2 = B2 – A2; .
Как известно, траекторией движения планет и некоторых комет является эллипс, в одном из фокусов которого находится солнце. Оказывается, эксцентриситеты планетных орбит малы, а кометных – велики (близки к 1) – свойство эксцентриситета траекторий планет и комет, где орбиты имеют форму эллипса.
Таким образом, планеты движутся почти по окружностям, а кометы — по вытянутым эллипсам, то приближаясь к солнцу, то удаляясь от него.
Пример 2.2. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось B = 3.
Решение. По условию 2C = 8, т. е. C = 4, B = 3.
Мы знаем, что B2 = А2 – С2, отсюда А2 = B2 + С2, т. е. А2 = 32 + 42 = 25 или A = 5.
Уравнение эллипса имеет вид
Замечание 4. Часто окружность и эллипс задают параметрическими уравнениями.
Параметрическая запись уравнения окружности имеет вид
Для этой окружности центр расположен в точке в точке(0, 0), радиус этой окружности равен R = A.
Параметрическая запись уравнения эллипса имеет вид
Центр эллипса расположен в точке(0, 0), а полуоси равны А и B.
Примеры решения задач
1. Расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось равна 3. Написать уравнение эллипса.
Решение: Так как 2с = 8 и b = 3, то c = 4, a = 
= 5, и уравнение эллипса имеет вид:
.
2. Даны: вещественная полуось a = 2
и эксцентриситет
=
. Написать уравнение гиперболы.
Решение: Так как с = a
, тоb = 
= a 
= 2 и уравнение гиперболы имеет вид 
.
3. Привести уравнение 2x
+ 3y
– 4x + 6y – 7 = 0 к каноническому виду, определить тип кривой.
Решение: Выполним приведение к полным квадратам:
2(x – 1)
+ 3(y + 1)
– 12 = 0.
Приводим уравнение к каноническому виду:
.
Очевидно, это уравнение является уравнением эллипса. Координаты центра кривой (1; –1). Полуоси эллипса 
.
4. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить ее: 
.
Решение: Выделим полные квадраты с переменными х и у:
.
Перепишем это уравнение в каноническом виде:
.
Полученное уравнение является уравнением смещенной гиперболы, центр которой находится в точке с координатами (1, –2). Полуоси гиперболы а = 5 и b = 3. Для построения гиперболы сначала необходимо отметить центр гиперболы, затем начертить прямоугольник со сторонами 10 и 6, центр которого совпадает с центром гиперболы (см. рис. 8.7). Далее надо провести диагонали в полученном прямоугольнике, которые будут являться асимптотами гиперболы, после этого можно построить ветви гиперболы (см. рис. 8.8).
5. Привести уравнение x
+ 6х + y + 10 = 0 к каноническому виду, определить ее тип и построить кривую.
Решение: Выполним приведение к полному квадрату:
(x + 3)
= – (y + 1).
Очевидно, это есть уравнение параболы. Координаты вершины параболы (–3; –1), ветви ее направлены вниз. Фокальный параметр р =
. Парабола построена на рис. 8.9.
6. Привести уравнение x
+ y
= 4x к каноническому виду. Записать для него полярное уравнение.
Решение: Выполним приведение к полному квадрату: (x – 2)
+ y
= 4. Это уравнение окружности с центром в точке (2; 0), радиуса R = 2. Переходя к полярному уравнению, получим:
r
cos
+ r
sin
= 4rcos 
или r = 4cos
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Привести к каноническому виду следующие уравнения и построить соответствующие кривые:
а) 4x
+ 9y
– 16x – 18y – 11 = 0; б) x
+ 2х – y = 0;
в) x
– 9y
+ 6x + 18y – 9 =0; г) 9x
+ y
– 18x + 2y+1 = 0.
2. Построить графики следующих функции в полярной системе координат по точкам. Значение угла менять от 0 с интервалом, указанным в квадратных скобках. Найти уравнения в прямоугольной системе координат.
а) 
, [
]; б) 
, [
];
в) 
, [
]; г) 
, [
].
3. Написать уравнение касательной к окружности (х + 1)
+ (у – 3)
= 25 в точке (3; 6).
4. Привести к каноническому виду следующие уравнения и построить соответствующие кривые:
а) 36x
+ 36y
– 36х – 24y – 23 = 0; б) 
x
– 
y
– х + 
y – 1 = 0;
в) x
+ 4y
– 4x – 8y + 8 = 0; г) x
+ 4y
+ 8y + 5 = 0;
д) x
– 6ху + y
= 8; е) x
+ ху + y
= 1.
5. Известно, что прямая 2х – 5у – 30 = 0 касается эллипса 
. Найти точку их прикосновения.
6. Дана гипербола 
. Написать уравнения асимптот.
7. Дана парабола 
у
= – 8х. Через точку (–1; 1) провести такую хорду, которая в этой точке делилась бы пополам.
8. Построить графики следующих функций в полярной системе координат по точкам. Значение угла менять от 0 с интервалом, указанным в квадратных скобках. Найти уравнения в прямоугольной системе координат.
а) 
, [
]; б) 
, [
];
в) 
, [
]; г) 
, [
].
Ответы:
1) а) Эллипс 
, новое начало в точке (2; 1); б) парабола
, новое начало в точке (–1; –1); в) гипербола
, новое начало в точке (–3; 9); г) эллипс
, новое начало в точке (1; –1);3) 4х + 3у – 30 = 0; 4) а) Окружность 
; б) гипербола
, новое начало в точке (2; 3); в) точка (2; 1); г) мнимый эллипс
,Х = х, Y = у + 1; д) гипербола 
, φ = 135º; е) эллипс
, φ = 135º;5) (5; –4); 6) у = 
х; 7) 4х + у +3 = 0.