6). Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
Условной вероятностью 
(два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.
.
В частности, отсюда получаем 
.
Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.
7). Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.
Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от появления другого события
Теорема.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Для независимых событий теорема умножения
т. е. вероятность совместного появления двух независимыхсобытий равна произведению вероятностей этих событий.
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , . Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий 
Если события А1 , А2 , . Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
P (A) = l — q n . (**)
8). Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Для трех совместных событий:
Формула полной вероятности.
Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:
, или 
.
Так как события образуют полную группу, то можно записать .
Событие А может произойти только с одним из событий Hi, i
<1,2,…,n>, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей 
Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н1,Н2,…,Нn , образующие полную группу, называются гипотезами.
Теория вероятности. Часть 2
В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.
Сумма событий
Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:
Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:
Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:
Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).
Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.
Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть
Зависимые и независимые события
Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.
Произведение вероятностей
Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:
Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – . Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: .
Теорема умножения вероятностей. Следствия теорем сложения и умножения
Произведением двух событий A и B называют событие AB , состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если A —деталь годная, B — деталь окрашенная, то A ∙ B — деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если A , B , C —появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то A ∙ B ∙ C — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
3.2. Условная вероятность
Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S , не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S .
Условной вероятностью P A B называют вероятность события B , вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.
Пример 3.1 . В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие B ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие A ).
Решение . После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность
P A B = 3 5 .
Этот же результат можно получить по формуле
Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
P A = 3 6 = 1 2 .
Найдем вероятность P A ∙ B того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, — равно числу размещений A 6 2 =6∙5=30 . Из этого числа исходов событию A ∙ B благоприятствуют 3∙3=9 исходов. Следовательно,
P AB = 9 30 = 3 10 .
Искомая условная вероятность
P A B = P AB P A = 3 10 1 2 = 3 5 .
Как видим, получен прежний результат.
Исходя из классического определения вероятности, формулу (3.1) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.
Условная вероятность события B при условии, что событие A уже наступило, по определению, равна
P A B = P AB P A P A >0 .
3.3. Теорема умножения вероятностей
Рассмотрим два события: A и B ; пусть вероятности P A и P A B известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие A и событие B ? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.
Теорема 3.1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Доказательство . По определению условной вероятности,
P A B = P AB P A .
P A ∙ B = P A ∙ P A B .
Замечание 3.1 . Применив формулу (3.2) к событию B ∙ A , получим
или, поскольку событие B ∙ A не отличается от события A ∙ B ,
Сравнивая формулы (3.3) и (3.4), заключаем о справедливости равенства
Следствие . Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
P A 1 A 2 A 3 … A n = P A 1 ∙ P A 1 A 2 ∙ P A 1 A 2 A 3 ∙…∙ P A 1 A 2 … A n — 1 A n ,
где P A 1 A 2 … A n — 1 A n — вероятность события A n , вычисленная в предположении, что события A 1 A 2 … A n — 1 наступили. В частности, для трех событий
P ABC = P A ∙ P A B ∙ P AB C .
Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т.е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т.д.
Пример 3.2 . У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.
Решение . Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A ),
P A = 3 10 .
Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие B ), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т.е. условная вероятность
P A B = 7 9 .
По теореме умножения, искомая вероятность
P AB = P B ∙ P B A = 3 10 ∙ 7 9 = 7 30 .
Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем:
P B = 7 10 ;
P B A = 3 9 ;
P B ∙ P B A = 7 10 ∙ 3 9 = 7 30 ,
что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (3.5).
Пример 3.3 . В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие A ), при втором — черный (событие B ) и при третьем — синий (событие C ).
Решение . Вероятность появления белого шара в первом испытании
P A = 5 12 .
Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т.е. условная вероятность
P A B = 4 11 .
Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т.е. условная вероятность
P AB C = 3 10 .
P ABC = P A ∙ P A B ∙ P AB C = 5 12 ∙ 4 11 ∙ 3 10 = 1 22 .
3.4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
Пусть вероятность события B не зависит от появления события A .
Событие B называют независимым от события A , если появление события A не изменяет вероятности события B , т.е. если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:
Подставив (3.6) в соотношение (3.5), получим
P A ∙ P B = P B ∙ P B A .
P B A = P A ,
т.е. условная вероятность события A в предположении, что наступило событие B , равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события B .
Итак, если событие B не зависит от события A , то и событие A не зависит от события B ; это означает, что свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения
P AB = P A ∙ P A ( B )
т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Равенство (3.7) принимают в качестве определения независимых событий.
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.
Пример 3.4 . Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие A ) равна 0,8, а вторым (событие B ) — 0,7.
Решение . События A и B независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность
P AB = P A ∙ P B =0,7∙0,8=0,56.
Замечание 3.2 . Если события A и B независимы, то независимы также события A и B , A и B , A и B . Действительно,
A = A B + AB .
P A = P A B + P ( AB )
P A = P A B + P A ∙ P B .
P A B = P A 1- P B ,
P A B = P A ∙ P B
т.е. события A и B независимы.
Независимость событий A и B , A и B — следствие доказанного утверждения.
Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события A , B , C попарно независимы, если независимы события A и B , A и C , B и C .
Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.
Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A 1 , A 2 , A 3 независимы в совокупности, то независимы события A 1 и A 2 , A 1 и A 3 , A 2 и A 3 ; A 1 и A 2 A 3 , A 2 и A 1 A 3 , A 3 и A 1 A 2 . Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.
Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности, В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.
Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один — в красный цвет ( A ), один — в синий цвет ( B ), один — в черный цвет ( C ) и один — во все эти три цвета ( ABC ). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?
Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то
P A = 2 4 = 1 2 .
Рассуждая аналогично, найдем
P B = 1 2 ;
P C = 1 2 .
Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т.е. событие B уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т.е. изменится ли вероятность события A ?
Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события A по-прежнему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события A , вычисленная в предположении, что наступило событие B , равна его безусловной вероятности. Следовательно, события A и B независимы. Аналогично придем к выводу, что события A и C , B и C независимы. Итак, события A , B и C попарно независимы.
Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события B и C произошли, приходим к выводу, что событие A обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность P DC A =1 события А не равна его безусловной вероятности P A =1/2 . Итак, попарно независимые события A , B , C не являются независимыми в совокупности.
Приведем теперь следствие из теоремы умножения.
Следствие . Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
P A 1 A 2 … A n = P A 1 P A 2 … P A n .
Доказательство . Рассмотрим три события: A , B и C . Совмещение событий A , B и C равносильно совмещению событий AB и C , поэтому
P ABC = P AB ∙ C .
Так как события A , B и C независимы в совокупности, то независимы, в частности, события AB и C , а также A и B . По теореме умножения для двух независимых событий имеем:
P AB ∙ C = P AB ∙ P C
P AB = P A ∙ P B .
Итак, окончательно получим
P ABC = P A ∙ P B ∙ P C .
Для произвольного n доказательство проводится методом математической индукции.
Замечание 3.3 . Если события A 1 , A 2 ,…, A n независимы в совокупности, то и противоположные им события A 1 , A 2 ,…, A n также независимы в совокупности.
Пример 3.5 . Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.
Решение . Вероятность появления герба первой монеты (событие A )
P A = 1 2 .
Вероятность появления герба второй монеты (событие B )
P B = 1 2 .
События A и B независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна
P AB = P A ∙ P B = 1 2 ∙ 1 2 = 1 4 .
Пример 3.6 . Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.
Решение . Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие A ),
P A = 8 10 =0,8.
Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие B ),
P B = 7 10 =0,7.
Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие C ),
P C = 9 10 =0,9.
Так как события A , B и C независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна
P ABC = P A P B P C =0,8∙0,7∙0,9=0,504.
Приведем пример совместного применения теорем сложения и умножения.
Пример 3.7 . Вероятности появления каждого из трех независимых событий A 1 , A 2 , A 3 соответственно равны p 1 , p 2 , p 3 Найти вероятность появления только одного из этих событий.
Решение . Заметим, что, например, появление только первого события A 1 равносильно появлению события A 1 A 2 A 3 (появилось первое и не появились второе и третье события). Введем обозначения:
B 1 — появилось только событие A 1 , т. е. B 1 = A 1 A 2 A 3 ;
B 2 — появилось только событие A 2 , т. е. B 2 = A 1 A 2 A 3 ;
B 3 — появилось только событие A 3 , т. е. B 2 = A 1 A 2 A 3 .
Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий A 1 , A 2 , A 3 , будем искать вероятность P B 1 + B 2 + B 3 появления одного, безразлично какого из событий B 1 , B 2 , B 3 .
Так как события B 1 , B 2 , B 3 несовместны, то применима теорема сложения
Остается найти вероятности каждого из событий B 1 , B 2 , B 3 .
События A 1 , A 2 , A 3 независимы, следовательно, независимы события A 1 , A 2 , A 3 , поэтому к ним применима теорема умножения
P B 1 = P A 1 A 2 A 3 = P A 1 ∙ P A 2 ∙ P A 3 = p 1 q 2 q 3 .
P B 2 = P A 1 A 2 A 3 = P A 1 ∙ P A 2 ∙ P A 3 = q 1 p 2 q 3 ;
P B 3 = P A 1 A 2 A 3 = P A 1 ∙ P A 2 ∙ P A 3 = q 1 q 2 p 3 .
Подставив эти вероятности в (3.8), найдем искомую вероятность появления только одного из событий A 1 , A 2 , A 3 :
P B 1 + B 2 + B 3 = p 1 q 2 q 3 + q 1 p 2 q 3 + q 1 q 2 p 3
3.5. Вероятность появления хотя бы одного события
Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема 3.2. Вероятность появления хотя бы одного из событий A 1 , A 2 ,…, A n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением, вероятностей противоположных событий A 1 , A 2 ,…, A n :
Доказательство . Обозначим через A событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A 1 , A 2 ,…, A n . События A 1 , A 2 ,…, A n (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:
P A 1 A 2 … A n + P A 1 A 2 … A n =1
Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим
P A 1 A 2 … A n =1- P A 1 A 2 … A n =1- P A 1 ∙ P A 2 ∙…∙ P A n
P A =1- q 1 q 2 … q n .
Частный случай . Если события A 1 , A 2 ,…, A n имеют одинаковую вероятность, равную p , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
Пример 3.8 . Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p 1 =0,8; p 2 =0,7; p 3 =0,9 . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие A ) при одном залпе из всех орудий.
Решение . Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A 1 (попадание первого орудия), A 2 (попадание второго орудия) и A 3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям A 1 , A 2 и A 3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:
q 1 =1- p 1 =1-0,8=0,2;
q 2 =1- p 2 =1-0,7=0,3;
q 3 =1- p 3 =1-0,9=0,1.
P A =1- q 1 q 2 q 3 =1-0,2∙0,3∙0,1=0, 994.
Пример 3.9 . В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие A ).
Решение . События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
q =1- p =1-0,9=0,1.
P A =1- q 4 =1- 0,1 4 =0,9999.
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.
Пример 3.10 . Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Решение . Обозначим через A событие «при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы един раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т.д., независимы в совокупности, поэтому применима формула (3.10)
P A =1- q n .
Приняв во внимание, что, по условию, P A ≥0,9, p =0,4 , (следовательно, q =1-0,4=0,6 ), получим
1- 0,6 n ≥0,9;
0,6 n ≤0,1.
Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:
n ∙ lg 0,6 ≤ lg 0,1 .
Отсюда, учитывая, что lg 0,6 <0 , имеем
n ≥ lg 0,1 lg 0,6 =- 1 — 0,2218 =4,5.
Итак, n ≥5 , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.
Пример 3.11 . Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).
Решение . Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (3.10)
P A =1- q n .
По условию, P A =0,936, n =3. Следовательно,
0,936=1- q 3
q 3 =1-0,936=0,064.
q = 3 0,064 =0,4.
p =1- q =1-0,4=0,6.
3.6. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.
Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Пример 3.12 . A — появление четырех очков при бросании игральной кости; B — появление четного числа очков. События A и B – совместные.
Пусть события A и B совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события A + B , состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий A и B . Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.
Теорема 3.3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P A + B = P A + P B — P A ∙ B .
Доказательство . Поскольку события A и B , по условию, совместны, то событие A + B наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: A ∙ B , A ∙ B или A ∙ B . По теореме сложения вероятностей несовместных событий,
Событие A произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: A ∙ B или A ∙ B . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем
P A = P A ∙ B + P A ∙ B .
P B = P A ∙ B + P A ∙ B .
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если Л, В, С— появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
Условная вероятность
Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий 5, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие Л. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.
Условной вероятностью РЛ (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие Л уже наступило.
Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие Л).
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность
Этот же результат можно получить по формуле
Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
Найдем вероятность Р (ЛВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений
= б • 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3-3 = 9 исходов. Следовательно, 
Искомая условная вероятность
Как видим, получен прежний результат.
Исходя из классического определения вероятности, формулу (*) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.
Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна