Как быстро найти делители натурального числа без остатка
Нахождения делителей натурального числа без остатка является распространенной задачей для тех кто изучает программирование. На различных форумах можно увидеть темы о том как реализовать этот алгоритм на таких языках как C, C++ или C#. Вот пример данного алгоритма.
Не смотря на то что задача является простой, данная реализация является неудачной ��. Объясняю почему.
Допустим нужно определить все делители без остатка для числа 528.
Его делители являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 16, 22, 24, 33, 44, 48, 66, 88, 132, 176, 264 и 528. Для того что бы определить эти числа нужно проделать 528 итераций в цикле. Принимая во внимание факт того, что после числа 528 ближайшим делителем является число 264 — половина итераций идут впустую. Остается вторая половина итерация от 264 до 1, но и тут большая часть итераций идет впустую. Из 264 возможных варианта подходят только 19 — это: 264, 176, 132, 88, 66, 48, 44, 33, 24, 22, 16, 12, 11, 8, 6, 4, 3, 2, 1.
К удивлению, наши 20 «правильных» итераций, которые дают 20 чисел для ответа, можно сократить наполовину. Принимая во внимание то, что время деления делитель и частное дополняют друг друга. Как только нашли делитель без остатка, частное этого выражения тоже является делителем без остатка:
- 528 делится на 528, получается 1,
- 528 делится на 264, получается 2,
- 528 делится на 176, получается 3,
- и так далее
Можно оптимизировать текущий код добавив в него условия, но что бы этого не делать на помощь приходит факторизация!
Путем не хитрых манипуляций получаем следующие функции что бы протестировать выигрыш от нового решения. Функция divisor находит делители числа без остатка при помощи перебора. А функция divisor_by_factorization находит делители числа без остатка при помощи факторизации.
Теперь протестируем наши функции на данных. Путь оба алгоритма вычислят делители без остатка на ряде чисел от 10 до 25 000.
Итоги получаются следующие. Для метода перебора потребовалось 18 секунд. А при помощи факторизации, выполнение алгоритма заняло всего 0.9 секунд. Это в 20 раз эффективнее чем обычным перебором.
Как получить все делители номера в Python?
Состав задачи дан целочисленное число n. Получите все делители C номера n, чтобы C * для другого целого числа i. Желаемый выходной формат представляет собой список целых чисел (делитель). Вот пара примеров: # Выход: [1, 2, 5, 10] # … Как получить все делители номера в Python? Прочитайте больше “
- Автор записи
Постановка проблемы
Учитывая целое число N Отказ
Получить все делители C числа N так что слияние * для другого целого числа Я Отказ Желаемый выходной формат представляет собой список целых чисел (делитель).
Вот несколько примеров:
Метод 1: наивный подход
Целое число Я это делитель N Если N Modulo I равен нулю
Мы используем это наблюдение в функции делители () Отказ Мы создаем изначально пустую Список Результат и проверьте на каждый целочисленный номер Я между 0. и N/2 Является ли этот номер делителем N Отказ Если это так, мы присоединиться к это в список.
Следующий код Python выполняет это:
Этот подход не очень эффективен, потому что мы проходим каждое число от 0 до N/2. Отказ Если число n становится большим, таким как n = 1000000. нам нужно проверить каждый номер I = 0 . . Отказ
Сложность выполнения: Сложность выполнения вычисления делителей числа N это На) Используя этот подход, предполагая, что операция модуля может быть выполнена на одном шаге.
Можем ли мы сделать лучше? Да!
Способ 2: уменьшение количества петлевых итераций
Мы используем два наблюдения для уменьшения количества петлевых итераций «наивного алгоритма».
Наблюдение 1: Если номер Я это делитель N , номер J/I должен быть целым числом и делитель N а также потому, что Я * Отказ Это означает, что каждый раз мы находим делитель Я , мы также можем добавить дивизор N/I к списку делителей.
Наблюдение 2: Для пары N -дивизор (Я, j) Один из них должен быть меньше или равен квадратному корню N Отказ Причина проста: если оба были больше квадратного корня, умножение I * J будет больше, чем N наверняка, потому что root (n) * root (n) Отказ Таким образом, мы можем пройти потенциальные делители от I = 0 к i = root (n) И обязательно нашли все делители. Это экономит нам все итерации от i = root (n) к I = N//2 Отказ
Вот простой твик со значительными преимуществами производительности:
Этот код илетет только от 0 до квадратного корня числа N Отказ Если мы найдем делитель Я мы также добавляем н//я который является другим фактором и делитель N также.
Сложность выполнения: Сложность выполнения вычисления делителей числа N это O (n ^ 0,5) Используя этот подход, предполагающий, что операция по модулю учитывается как один шаг.
Куда пойти отсюда?
Достаточно теории, давайте познакомимся!
Чтобы стать успешным в кодировке, вам нужно выйти туда и решать реальные проблемы для реальных людей. Вот как вы можете легко стать шестифункциональным тренером. И вот как вы польские навыки, которые вам действительно нужны на практике. В конце концов, что такое использование теории обучения, что никто никогда не нуждается?
Практические проекты – это то, как вы обостряете вашу пилу в кодировке!
Вы хотите стать мастером кода, сосредоточившись на практических кодовых проектах, которые фактически зарабатывают вам деньги и решают проблемы для людей?
Затем станьте питоном независимым разработчиком! Это лучший способ приближения к задаче улучшения ваших навыков Python – даже если вы являетесь полным новичком.
Присоединяйтесь к моему бесплатным вебинаре «Как создать свой навык высокого дохода Python» и посмотреть, как я вырос на моем кодированном бизнесе в Интернете и как вы можете, слишком от комфорта вашего собственного дома.
Присоединяйтесь к свободному вебинару сейчас!
Работая в качестве исследователя в распределенных системах, доктор Кристиан Майер нашел свою любовь к учению студентов компьютерных наук.
Чтобы помочь студентам достичь более высоких уровней успеха Python, он основал сайт программирования образования Finxter.com Отказ Он автор популярной книги программирования Python одноклассники (Nostarch 2020), Coauthor of Кофе-брейк Python Серия самооставленных книг, энтузиаста компьютерных наук, Фрилансера и владелец одного из лучших 10 крупнейших Питон блоги по всему миру.
Его страсти пишут, чтение и кодирование. Но его величайшая страсть состоит в том, чтобы служить стремлению кодер через Finxter и помогать им повысить свои навыки. Вы можете присоединиться к его бесплатной академии электронной почты здесь.
Разложение на множители и простые числа.
В задачах ЕГЭ по информатике часто требуется находить множители числа и проверять, является ли данное число простым. Рассмотрим способы делать это достаточно быстро.
Разложение на множители.
Самый простой способ разложения числа на множители: проверить его делимость на все числа, начиная с 2 и кончая числом, равным половине исходного. Но этот способ — слишком медленный.
Ускорить процедуру можно, если учесть тот факт, что если число n делится на число k, то оно делится и на n//k. Тогда можно проверить лишь числа от 2 до квадратного корня из n. Когда мы находим число k, на которое делится число n, то добавляем в список делителей два делителя: k и n//k. Один тонкий момент: если число n является точным квадратом числа k, то и k, и n//k — это одинаковые числа. Поэтому нужно ввести проверку и добавлять в список делителей n//k только в том случае, если это число не равно k. Тем самым мы избежим включения в массив делителей двух одинаковых чисел.
Приведем текст функции на Питоне, которая вычисляет все делители числа n, кроме единицы и самого числа n (так называемые нетривиальные делители) и возвращает массив, содержащий эти делители.
def divisors(n):
d=[]
k=2
while k*k <= n:
if n%k == 0:
d.append(k)
k2 = n//k
if k2 > k: d.append(k2)
k += 1
return d
Условие k*k <= n прекращает выполнение цикла поиска делителей, когда k станет больше, чем квадратный корень из n. Почему мы записали его так, а не в виде k<=sqrt(n)? На это есть две причины.
Во-первых, операция умножения выполняется гораздо быстрее, чем извлечение корня. Во-вторых, функция извлечения корня возвращает вещественный результат. А операции над вещественными числами выполняются лишь приближенно, и квадратный корень из 4 при вычислениях может оказаться равным 2.0000000001, а может и 1.9999999999. Понятно, что это может сказаться на результате сравнения самым пагубным образом.
Делители в массиве не упорядочены по возрастанию. Так, для числа 60 получается следующий результат:
[2, 30, 3, 20, 4, 15, 5, 12, 6, 10]
Если требуется упорядоченность, то нужно либо отсортировать полученный массив, либо вставлять делители в массив, поддерживая его упорядоченность (например, с помощью функции insort из модуля bisect).
Проверка числа на простоту.
Проверка, является ли данное число простым, имеет много общего с поиском делителей. Если число простое, то оно не имеет нетривиальных делителей. Поэтому для данной цели можно использовать приведенную выше функцию: если результатом ее является пустой массив, то число простое.
Но можно написать для этой цели и отдельную функцию. Приведем её текст:
def isprime(n):
k=2
while k*k <= n:
if n%k == 0: return False
k += 1
return True
Функция возвращает True, если число n — простое.
Данная функция работает несколько быстрее, чем функция divisors, т.к. она завершает работу после того, как найден первый делитель, а не ищет все делители.
Существуют и более быстрые алгоритмы для решения данных задач, но они достаточно сложны, и на ЕГЭ их не имеет смысла применять.
Проверка делимости одного числа на другое на Python
Статьи
Введение
В ходе статьи напишем код на языке программирования Python для проверки делимости одного числа на другое.
Написание кода
Для начала дадим пользователю возможность ввести два числа:
Создадим условие, где проверим делимость первого числа на второе. Если первое число делится нацело на второе, то выведем соответствующую надпись, если нет, то выводим противоположную надпись:
Заключение
В ходе статьи мы с Вами научились проверять делимость одного числа на другое на Python. Надеюсь Вам понравилась статья, желаю удачи и успехов! ��