Как найти cos зная tg

Тригонометрические формулы

Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.

1. Основное тригонометрическое тождество: $$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$
2. Определение тангенса и котангенса через синус и косинус: $$tg(\alpha)=\frac<\sin(\alpha)><\cos(\alpha)>;$$ $$ctg(\alpha)=\frac<\cos(\alpha)><\sin(\alpha)>;$$
3. Cвязь тангенса и котангенса: $$tg(\alpha)=\frac<1>;$$ $$tg(\alpha)*ctg(\alpha)=1;$$
4. Тангенс через косинус. Котангенс через синус: $$tg(\alpha)^2+1=\frac<1><\cos(\alpha)^2>;$$ $$ctg(\alpha)^2+1=\frac<1><\sin(\alpha)^2>;$$
5. Синус суммы и разности: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$
6. Косинус суммы и разности: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$
7. Тангенс суммы и разности: $$tg(\alpha+\beta)=\frac<1-tg(\alpha)*tg(\beta)>;$$ $$tg(\alpha-\beta)=\frac<1+tg(\alpha)*tg(\beta)>;$$
8. Котангенс суммы и разности: $$сtg(\alpha+\beta)=\frac<-1+сtg(\alpha)*ctg(\beta)>;$$ $$сtg(\alpha-\beta)=\frac<-1-сtg(\alpha)*ctg(\beta)>;$$
9. Двойной угол: $$\cos(2*\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=1-2*\sin(\alpha)^2=2*\cos(\alpha)^2-1;$$ $$\sin(2*\alpha)=2*\sin(\alpha)*\cos(\alpha);$$ $$tg(2*\alpha)=\frac<2*tg(\alpha)><1-tg(\alpha)^2>;$$ $$ctg(2*\alpha)=\frac<2*ctg(\alpha)>;$$
10. Тройной угол: $$\cos(3*\alpha)=\cos(\alpha)^3-3*\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=-3*\cos(\alpha)+4*\cos(\alpha)^3;$$ $$\sin(3*\alpha)=3*\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=3*\sin(\alpha)-4*\sin(\alpha)^3;$$ $$tg(3*\alpha)=\frac<3*tg(\alpha)-tg(\alpha)^3><1-3*tg(\alpha)^2>;$$ $$ctg(3*\alpha)=\frac<3*ctg(\alpha)^2-1>;$$
11. Формулы половинного угла: $$\sin(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1-\cos(\alpha)><2>;$$ $$\cos(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1+\cos(\alpha)><2>;$$ $$tg(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1-\cos(\alpha)><1+\cos(\alpha)>;$$ $$ctg(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1+\cos(\alpha)><1-\cos(\alpha)>;$$
12. Понижение степени: $$\sin(\alpha)^2=\frac<1-\cos(2*\alpha)><2>;$$ $$\cos(\alpha)^2=\frac<1+\cos(2*\alpha)><2>;$$ $$\sin(\alpha)^3=\frac<3*\sin(\alpha)-\sin(3*\alpha)><4>;$$ $$\cos(\alpha)^3=\frac<3*\cos(\alpha)+\cos(3*\alpha)><4>;$$ $$\sin(\alpha)^4=\frac<3-4*\cos(2*\alpha)+\cos(4*\alpha)><8>;$$ $$\cos(\alpha)^4=\frac<3+4*\cos(2*\alpha)+\cos(4*\alpha)><8>;$$
13. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций: $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right);$$ $$\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2*\cos\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\sin\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\cos(\alpha)-\cos(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\sin\left(\frac<\beta-\alpha><2>\right);$$ $$tg(\alpha)+tg(\beta)=\frac<\sin(\alpha+\beta)><\cos(\alpha)*\cos(\beta)>;$$ $$tg(\alpha)-tg(\beta)=\frac<\sin(\alpha-\beta)><\cos(\alpha)*\cos(\beta)>;$$ $$ctg(\alpha)+ctg(\beta)=\frac<\sin(\alpha+\beta)><\sin(\alpha)*\sin(\beta)>;$$ $$ctg(\alpha)-ctg(\beta)=\frac<\sin(\beta-\alpha)><\sin(\alpha)*\sin(\beta)>;$$
14. Преобразование произведения тригонометрических функций: $$\sin(\alpha)*\sin(\beta)=\frac<1><2>*\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right);$$ $$\cos(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*\left(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right);$$ $$\sin(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*\left(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\right);$$
15. Формулы подстановки тангенса: $$\sin(\alpha)=\frac<2*tg(\frac<\alpha><2>)><1+tg(\frac<\alpha><2>)^2>;$$ $$\cos(\alpha)=\frac<1-tg(\frac<\alpha><2>)^2><1+tg(\frac<\alpha><2>)^2>;$$ $$tg(\alpha)=\frac<2*tg(\frac<\alpha><2>)><1-tg(\frac<\alpha><2>)^2>;$$ $$ctg(\alpha)=\frac<1-tg(\frac<\alpha><2>)^2><2*tg(\frac<\alpha><2>)>;$$
16. Формулы приведения можно найти в отдельной статье

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.

Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.

Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.

Основное тригонометрическое тождество

Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

Пример 1 Найдите \(3\sqrt<2>*\sin(\alpha)=?\), если \(\cos(\alpha)=\frac<1><3>\) и \(\alpha\in(0;\frac<\pi><2>)\). (ЕГЭ)

Чтобы найти значение выражения \(3\sqrt<2>*\sin(\alpha)\) необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество: $$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$ Просто подставим в нее известное значение косинуса $$\sin(\alpha)^2+\left(\frac<1><3>\right)^2=1;$$ $$\sin(\alpha)^2+\frac<1><9>=1;$$ $$\sin(\alpha)^2=1-\frac<1><9>;$$ $$\sin(\alpha)^2=\frac<8><9>;$$ $$\sin(\alpha)=\pm\sqrt<\frac<8><9>>=\pm\frac<2\sqrt<2>><3>;$$ Обратите внимание на знак \(\pm\), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие на \(\alpha\in(0;\frac<\pi><2>)\), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз \(\alpha\) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса: $$\sin(\alpha)=\frac<2\sqrt<2>><3>;$$ И подставим найденное значение в искомое выражение: $$3\sqrt<2>*\sin(\alpha)=3\sqrt<2>*\frac<2\sqrt<2>><3>=4.$$

Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Основные связи тригонометрических функций

А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус: $$\mathbf<\cos(\alpha)>;>$$ $$\mathbf<\sin(\alpha)>;>$$ Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.

Пример 2 Найдите \(tg(\alpha)\) и \(ctg(\alpha)\), если \(\cos(\alpha)=\frac<\sqrt<10>><10>\) и \(\alpha \in (\frac<3\pi><2>;2\pi)\).

Сначала находим значение синуса: $$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$ $$\sin(\alpha)^2+\left(\frac<\sqrt<10>><10>\right)^2=1;$$ $$\sin(\alpha)^2+\frac<1><10>=1;$$ $$\sin(\alpha)^2=1-\frac<1><10>;$$ $$\sin(\alpha)^2=\frac<9><10>;$$ $$\sin(\alpha)=\pm\sqrt<\frac<9><10>>=\pm\frac<3><\sqrt<10>>;$$ Так как по условию задачи \(\alpha \in (\frac<3\pi><2>;2\pi)\), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то \(\sin(\alpha) Упростить выражение \(sin(\frac<\pi><2>+\alpha)\).

Воспользуемся формулой синуса суммы: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\frac<\pi><2>+\alpha)=\sin(\frac<\pi><2>)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\frac<\pi><2>)=$$ $$=1*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*0=\cos(\alpha);$$

Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

Пример 4 Найдите значение \(\sin(15^o)=?\)

\(15^o\) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим \(15^o\) в виде разности стандартных углов \(15^o=45^o-30^o\). И воспользуемся формулой синуса разности: $$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(15^o)=\sin(45^o-30^o)=\sin(45^o)*\cos(30^o)-\sin(30^o)*\cos(45^o)=$$ $$=\frac<\sqrt<2>><2>*\frac<\sqrt<3>><2>-\frac<1><2>*\frac<\sqrt<2>><2>=$$ $$=\frac<\sqrt<6>><4>-\frac<\sqrt<2>><4>=\frac<\sqrt<6>-\sqrt<2>><4>;$$ Вот мы наши синус \(15^o\). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

Пример 5 Найдите значение \(\cos(75^o)=?\)

\(75^o\) можно представить в виде суммы стандартных углов \(75^o=30^o+45^o\). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(30^o)*\cos(45^o)-\sin(30^0)*\sin(45^0)=$$ $$=\frac<\sqrt<3>><2>*\frac<\sqrt<2>><2>-\frac<1><2>*\frac<\sqrt<2>><2>=$$ $$=\frac<\sqrt<6>><4>-\frac<\sqrt<2>><4>=\frac<\sqrt<6>-\sqrt<2>><4>;$$ У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что \(\cos(75^o)=\sin(15^o)\). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол \(2\alpha\) через \(\alpha\). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) : $$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha+\alpha)=\cos(\alpha)*\cos(\alpha)-\sin(\alpha)*\sin(\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2;$$ Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу: $$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=1-\sin(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=1-2\sin(\alpha)^2;$$ $$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=\cos(\alpha)^2-(1-\cos(\alpha)^2)=2\cos(\alpha)^2-1;$$ Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы: $$\sin(2\alpha)=\sin(\alpha)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha);$$

В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:

Пример 6 Найти значение \(24\cos(2\alpha)=?\), если \(\sin(\alpha)=-0,2.\)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $$\cos(2\alpha)=1-2\sin(\alpha)^2;$$ $$24\cos(2\alpha)=24(1-2\sin(\alpha)^2)=24-48\sin(\alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся. $$\cos(3*\alpha)=\cos(\alpha)^3-3*\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=-3*\cos(\alpha)+4*\cos(\alpha)^3;$$ $$\sin(3*\alpha)=3*\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=3*\sin(\alpha)-4*\sin(\alpha)^3;$$ $$tg(3*\alpha)=\frac<3*tg(\alpha)-tg(\alpha)^3><1-3*tg(\alpha)^2>;$$ $$ctg(3*\alpha)=\frac<3*ctg(\alpha)^2-1>;$$

Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла: $$\cos(3*\alpha)=\cos(2\alpha+\alpha)=\cos(2\alpha)*\cos(\alpha)-\sin(2\alpha)*\sin(\alpha)=$$ $$=(\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2)*\cos(\alpha)-2\sin(\alpha)*\cos(\alpha)*\sin(\alpha)=$$ $$=\cos(\alpha)^3-\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)-2\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=$$ $$=\cos(\alpha)^3-3\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha);$$

Если расписать \(sin(\alpha)^2=1-\cos(\alpha)^2\), то получим еще один вариант формулы тройного угла: $$\cos(3*\alpha)=cos(\alpha)^3-3\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=cos(\alpha)^3-3(1-\cos(\alpha)^2)*\cos(\alpha)=$$ $$=4\cos(\alpha)^3-3\cos(\alpha);$$

Аналогично выводится формула синуса тройного угла: $$\sin(3\alpha)=\sin(2\alpha+\alpha)=\sin(2\alpha)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(2\alpha)=$$ $$=2\sin(\alpha)*\cos(\alpha)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*(\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2)=$$ $$=2\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2+\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=3\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3;$$ Распишем по основному тригонометрическому тождеству \(\cos(\alpha)^2=1-\sin(\alpha)^2\) и подставим: $$\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=$$ $$=3\sin(\alpha)*(1-\sin(\alpha)^2)-\sin(\alpha)^3=3\sin(\alpha)-4\sin(\alpha)^3;$$

Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.

Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.

Формулы половинного угла (двойного аргумента)

Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол \(\alpha\) всегда можно представить в виде удвоенного угла \(\frac<\alpha><2>\): $$\alpha=2*\frac<\alpha><2>;$$ Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла: $$\cos(\alpha)=1-2*\sin(\frac<\alpha><2>)^2;$$ Выразим отсюда \(\sin(\frac<\alpha><2>)\): $$\sin(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1-\cos(\alpha)><2>;$$ Иногда эту формулу записывают без квадрата: $$\sin(\frac<\alpha><2>)=\pm\sqrt<\frac<1-\cos(\alpha)><2>>;$$ Плюс минус возникает при избавлении от квадрата. Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла: $$\cos(\alpha)=2*\cos(\frac<\alpha><2>)^2-1;$$ $$\cos(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<\cos(\alpha)+1><2>;$$ $$\cos(\frac<\alpha><2>)=\pm\sqrt<\frac<\cos(\alpha)+1><2>>;$$

Пример 9 При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать \(\cos(15^o)\):

$$\cos(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1+\cos(\alpha)><2>;$$ $$\cos(15^o)^2=\frac<1+\cos(30^o)><2>=\frac<1+\frac<\sqrt<3>><2>><2>=\frac<2+\sqrt<3>><4>;$$ $$\cos(15^o)=\sqrt<\frac<2+\sqrt<3>><4>>.$$ Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы \(\alpha\), а левой \(\frac<\alpha><2>\). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза: $$\sin(5\alpha)=\pm\sqrt<\frac<1-\cos(10\alpha)><2>>;$$

Формулы понижения степени

Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.

Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:

Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.

Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.

Обратите внимание, что любой угол \(\alpha\) можно представить в таком странном виде: $$\alpha=\frac<\alpha><2>+\frac<\alpha><2>+\frac<\beta><2>-\frac<\beta><2>=\frac<\alpha+\beta><2>+\frac<\alpha-\beta><2>;$$ Аналогично угол \(\beta\): $$\beta=\frac<\alpha+\beta><2>-\frac<\alpha-\beta><2>;$$ Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание. А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла \(\alpha\) и \(\beta\) по формулам выше: $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=\sin(\frac<\alpha+\beta><2>+\frac<\alpha-\beta><2>)+\sin(\frac<\alpha+\beta><2>-\frac<\alpha-\beta><2>); \qquad (*)$$ Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности: $$\sin(\gamma+\sigma)=\sin(\gamma)*\cos(\sigma)+\sin(\sigma)*\cos(\gamma);$$ $$\sin(\gamma-\sigma)=\sin(\gamma)*\cos(\sigma)-\sin(\sigma)*\cos(\gamma);$$ Только у нас под синусами будут стоять не \(\gamma\) и \(\sigma\), а целые выражения. Пусть: $$\gamma=\frac<\alpha+\beta><2>;$$ $$\sigma=\frac<\alpha-\beta><2>;$$ Применим формулы синуса суммы и разности в (*): $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=\sin(\frac<\alpha+\beta><2>+\frac<\alpha-\beta><2>)+\sin(\frac<\alpha+\beta><2>-\frac<\alpha-\beta><2>)=$$ $$=\left(\sin(\frac<\alpha+\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha-\beta><2>)+\sin(\frac<\alpha-\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha+\beta><2>)\right)+$$ $$+\left(\sin(\frac<\alpha+\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha-\beta><2>)-\sin(\frac<\alpha-\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha+\beta><2>)\right)=$$ $$=2*\sin(\frac<\alpha+\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha-\beta><2>); $$ В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.

Аналогично выводятся все остальные формулы.

Пример 10 Вычислить \(\sin(165)+\sin(75)=?\)

\(165^o\) и \(75^o\) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов: $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\sin(165^o)+\sin(75^o)=2*\sin\left(\frac<165^o+75^o><2>\right)*\cos\left(\frac<165^o-75^o><2>\right)=$$ $$=2*\sin(120^o)*\cos(45^o)=2*\frac<\sqrt<3>><2>*\frac<\sqrt<2>><2>=\frac<\sqrt<6>><2>.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций

В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.

Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$

Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей: $$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha)+\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ Приводим подобные слагаемые: $$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2*\cos(\alpha)*\cos(\beta);$$ Отсюда получаем: $$\cos(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta));$$ Формула произведения косинусов доказана.

Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на \((-1)\): $$-\cos(\alpha+\beta)=-\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ Косинус разности оставим без изменений: $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ Сложим опять эти две формулы: $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha)-\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2*\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\sin(\beta)*\sin(\alpha)=\frac<1><2>*(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta));$$ Произведение синусов тоже доказано.

Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ Сложим их: $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2*\sin(\alpha)*\cos(\beta);$$ $$\sin(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta));$$

Пример 11 Вычислить \(\sin(75^o)*\cos(15^o)=?\)

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: $$\sin(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta));$$ $$\sin(75^o)*\cos(15^o)=\frac<1><2>*(\sin(75^o+15^o)+\sin(75^o-15^o))=$$ $$=\frac<1><2>*(\sin(90^o)+\sin(60^o))=\frac<1><2>*(1+\frac<\sqrt<3>><2>)=\frac<2+\sqrt<3>><4>.$$

Формулы связи тригонометрических функций. Примеры из ЕГЭ

Внимание! Эти формулы работают только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.

\(sin^2⁡ 776^° +cos^2⁡ 776^° =1\)
\(tg\, 3x\cdot ctg\, 3x=1\)

\(sin^2⁡x+cos^2⁡3x≠1\)
\(tg\, x\cdot ctg\, y≠1\)

Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями (подробности в этих видео). Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.

Примеры применения формул связи

Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения , заменяя одну функцию другой и так далее.

Пример. Найдите \(5sin⁡\,α\), если \(cos\,⁡α=\frac<2\sqrt<6>><5>\) и \(α∈(\frac<3π><2>;2π)\).
Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

Подставим вместо косинуса его значение:

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида \(x^2=a\) (при \(a>0\)) два корня \(x_1=\sqrt\) и \(x_2=-\sqrt\). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение \(\frac<1><5>\) , а может \(-\) \(\frac<1><5>\) . И какое значение нам надо выбрать — с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что \(α∈(\frac<3π><2>;2π)\). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок \((\frac<3π><2>;2π)\).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае \(sin\,⁡α=-\frac<1><5>\) т.е. \(5sin\,⁡α=5\cdot(-\frac<1><5>)=-1\).

Пример.Найдите \(tg\,α\), если \(cos\,⁡α=\) \(\frac<\sqrt<10>><10>\) и \(α∈(\frac<3π><2>;2π)\).
Решение. Есть 2 пути решения этой задачи:

— напрямую вычислить тангенс через формулу \(tg^2α+1=\) \(\frac<1>\) ;
— сначала с помощью тождества \(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1\) найти \(sin⁡\,α\), а потом через формулу \(tg\,α=\) \(\frac\) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Пример. Известно, что \(tg\,α=-\frac<3><4>\) и \(\frac<π><2><α<π\). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла \(α\).
Решение. Проще всего из тангенса найти котангенс:

Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:

Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок \((\frac<π><2>;π)\) на тригонометрической окружности и посмотрим какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.

Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит \(cos\,⁡α=-\) \(\frac<4><5>\) .

Осталось найти синус:

Опять используем круг, чтобы определить знак.

Пример (ЕГЭ). Найдите \(tg^2 α\), если \(5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\).
Решение. Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве \(5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\) синус заменим на косинус:

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения \(tg^2α\) хорошо подходит формула \(tg^2α+1=\) \(\frac<1>\) :

Теперь еще одна задача из ЕГЭ, для наглядности мы ее решение оформили картинкой.

Пример. Упростите выражение \(\frac<1>\) \(-ctg^2 α-cos^2 β\).
Решение.

Самое очевидное, что можно сделать – это представить котангенс как отношение косинуса к синусу.

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы — элементарные функции, которые выражают зависимость всех сторон прямоугольного треугольника от острых углов при гипотенузе (или зависимость хорд и высот от его центрального угла в круге).

Тригонометрия — наука, которая изучает свойства тригонометрических формул (trigwnon — треугольник, а metrew — измеряю).

К прямым функциям тригонометрии относят: sin x (синус), cos x (косинус). К производным: tg x (тангенс), ctg x (котангенс). А также другие тригонометрические функции: sec x (секанс) и cosec x (косеканс).

Косинус и синус в тригонометрии являются Вещественнозначными функциями, которые неограниченно дифференцируются и являются периодически непрерывными. Остальные же наоборот дифференцируются в области определении, однако, как и прямые тригонометрические функции есть непрерывными.

Значения функция для некоторых углов представлены в следующей таблице. Обозначение «∞» говорит о том, что функция в данной точке не определена и стремится к бесконечности.

Основные тригонометрические тождества:

1. При известном синусе или косинусе числа можно найти его тангенс или котангенс: tg a = sin a/cos a
2. Можно найти синус числа, если известен его косинус и наоборот: sin2 a + cos2 a = 1
3. Найти тангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + tg2 a = 1/cos2 a
4. Найти котангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + 1/tg2 a = 1/sin2
5. sin(90o – a ) = cos a
6. cos(90o – a ) = sin a

Формулы двойного аргумента позволяют выразить sin2x, cos2x, tg2x через tg x, cos x и sin x . Соответственно формулы тройного аргумента выражают sin2x, cos2x, tg2x . Всем известно, что любая формула в математике может применяться не только слева на право, но и наоборот. В тригонометрии это действует во время преобразования суммы в произведение или же при переходе от произведения к сумме.

Переход от произведения к сумме:

Переход от суммы к произведению:

Возникновение тригонометрии и тригонометрических формул связанно с астрономией, строительным делом и землемерием. Не смотря на то, что некоторые факты и понятия были

известны еще две тысячи лет назад, сам термин тригонометрия появился относительно недавно. Впервые способ решать зависимости между сторонами треугольника нашли Гиппарх и Клавдий Птолемеи (ІІ н.е.). Только намного позже эти зависимости стали называть тригонометрическими формулами.

Основное тригонометрическое тождество

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций»).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

. Для любого угла α верно утверждение:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны (для получения тангенса) (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Задача. Найдите sin α , если известно следующее:

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол то в градусной мере это записывается так:

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому

Задача. Найдите cos α , если известно следующее:

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, принадлежит промежутку Переведем углы из радианной меры в градусную — получим:

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому

Задача. Найдите tg α , если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем Известно, Переведем углы из радианной меры в градусную — получим

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому

Задача. Найдите cos α , если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒

Знак определяем по углу. Имеем: Переведем углы из градусной меры в радианную: это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно,

Задача. Найдите sin α , если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол В градусной мере это записывается так: I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому