Обратные тригонометрические функции — Inverse trigonometric functions
В математике, обратные тригонометрические функции (иногда также называемые функции дуги, антитригонометрические функции или циклометрические функции ) — это функции, обратные для тригонометрических функций (с соответствующим ограничением домены ). В частности, они являются обратными значениями синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и функции косеканса и используются для получения угла из любого из тригонометрических используемых угла. Обратные тригонометрические функции широко используются в инженерии, навигации, физике и геометрии.
Содержание
- 1 Обозначение
- 2 Базовые свойства
- 2.1 Основные значения
- 2.2 Общие решения
- 2.2.1 Равные идентичные тригонометрические функции
- 3.1 Производные обратные тригонометрические функции
- 3.2 Выражение в виде определенных интегралов
- 3.3 Бесконечный ряд
- 3.3.1 Непрерывные дроби для арктангенса
- 3.4.1 Пример
- 4.1 Логарифмические формы
- 4.1.1 Обобщение
- 4.1.2 Пример доказательства
- 5.1 Приложение: поиск угла прямоугольного треугольника
- 5.2 В информ атангенса и техники
- 5.2.1 Двухаргументный вариант от арктангенса
- 5.2.2 арктангенса с параметром местоположения
- 5.2.3 Числовая точность
Обозначение
Существуют несколько обозначений для обратных тригонометрических функций. Наиболее распространенным соглашением является обозначение обратных тригонометрических функций с использованием префикса arc-: arcsin (x), arccos (x), arctan (x) и т. Д. (Это соглашение используется в этой статье). Это обозначение происходит из следующих геометрических отношений: при измерении в радианах угол θ радиан будет соответствовать дуге, длина которой равна rθ, где r — радиус круга. Таким образом, в единичном круге «дуга, косинус равенства x», совпадает с «углом, косинус которого равен x», потому что длина дуги окружности в радиусах равна измеренной углу в радианах. На языках компьютерного программирования обратные тригонометрические функции обычно называются сокращенными формами asin, acos, atan.
Обозначения sin (x), cos (x), tan (x) и т. Д. автор Джон Гершель в 1813 году, также используются в русскоязычных источниках — соглашениях, часто с обозначением обратной функции . Это может логически противоречить общей семантике для таких выражений, как sin (x), которые относятся к числовой мощности, и не к композициям функций, и поэтому могут привести к путанице между мультипликативным обратным обратным или обратным и композиционная инверсия. Путаница несколько смягчается тем фактом, что каждая из взаимных тригонометрических функций имеет имя, например, (cos (x)) = sec (x). Тем не менее некоторые авторы не рекомендуют использовать его из-за его двусмысленности. Еще одно соглашение, используемое другим авторами, заключается в использовании первой буквы верхнего регистра вместе с надстрочным индексом: Sin (x), Cos (x), Tan (x) и т. Д. Это позволяет избежать путаницы с мультипликативным инверсия, которая должна быть представлена как sin (x), cos (x) и т. д.
С 2009 года в стандарте ISO 80000-2 указан только префикс «arc» для обратные функции.
Основные свойства
Основные значения
Ни одна из шести тригонометрических функций не является взаимно однозначной, они должны быть ограничены, чтобы иметь обратные функции. Следовательно, диапазоны обратных функций являются собственными подмножествами доменов исходных функций.
Например, используя функцию в смысле многозначных функций, точно так же, как квадратный корень функция y = √x может быть определена из y = x, функция y = arcsin (x) определяется так, что sin (y) = x. Для данного действительного числа x с −1 ≤ x ≤ 1 существует несколько (фактически, счетно бесконечных) чисел y, таких что sin (y) = x; например, sin (0) = 0, но также sin (π) = 0, sin (2π) = 0 и т. д. Когда требуется только одно значение, функция может быть ограничена его главной ветвью. С ограничением для каждого x в домене выражение arcsin (x) будет оценивать только одно значение, называемое его основным значением. Эти свойства применяются ко всем обратным тригонометрическим функциям.
Таблица инверсии в следующей таблице.
Имя Обычное обозначение Определение Домен x для реального результата Диапазон обычного основного значения. (радиан ) Диапазон обычного главного значения. (градусов ) арксинус y = arcsin (x) x = sin (y) −1 ≤ x ≤ 1 −π / 2 ≤ y ≤ π / 2 −90 ° ≤ y ≤ 90 ° arccosine y = arccos (x) x = cos (y) −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0 ° ≤ y ≤ 180 ° арктангенс y = arctan (x) x = tan (y) все действительные числа — π / 2 Условие Решение где. sin θ = y ⇔ θ = (-1) arcsin (y) + π k для некоторого k ∈ ℤ ⇔ θ = arcsin (y) + 2 π k или. θ = — arcsin (y) + 2 π k + π для некоторого k ∈ ℤ csc θ = r ⇔ θ = (-1) arccsc (r) + π k для некоторого k ∈ ℤ ⇔ θ = arccsc (y) + 2 π k или. θ = — arccsc (y) + 2 π k + π для некоторого k ∈ ℤ cos θ = x ⇔ θ = ± arccos (x) + 2 π k для некоторого k ∈ ℤ ⇔ θ = arccos (x) + 2 π k или. θ = — arccos (x) + 2 π k + 2 π для некоторого k ∈ ℤ sec θ = r ⇔ θ = ± arcsec (r) + 2 π k для некоторого k ∈ ℤ ⇔ θ = arcsec (x) + 2 π k или. θ = — arcsec (x) + 2 π k + 2 π для некоторого k ∈ ℤ tan θ = s ⇔ θ = arctan (s) + π k для некоторого k ∈ ℤ кроватка θ = r ⇔ θ = arccot (r) + π k для некоторого k ∈ ℤ Равно идентичные тригонометрические функции
В таблице ниже мы показываем, как два угла θ и φ должн ы быть связаны, если их значения при заданной тригонометрической равны или отрицательны Активы друг друга.
Равенство Решение где. Также решение sin θ = sin φ ⇔ θ = (-1) φ + π k для некоторого k ∈ ℤ csc θ = csc φ cos θ = cos φ ⇔ θ = ± φ + 2 π k для некоторого k ∈ ℤ сек θ = сек φ tan θ = tan φ ⇔ θ = φ + π k для некоторого k ∈ ℤ детская кроватка θ = детская кроватка φ — sin θ = sin φ ⇔ θ = (-1) φ + π k для некоторого k ∈ ℤ csc θ = — csc φ — cos θ = cos φ ⇔ θ = ± φ + 2 π k + π для некоторого k ∈ ℤ сек θ = — sec φ — tan θ = tan φ ⇔ θ = — φ + π k для некоторого k ∈ ℤ детская кроватка θ = — детская кроватка φ | грех θ | = | sin φ | ⇔ θ = ± φ + π k для некоторого k ∈ ℤ | tan θ | = | tan φ | ⇕ | csc θ | = | csc φ | | cos θ | = | cos φ | | сек θ | = | сек φ | | детская кроватка θ | = | детская кроватка φ | Соотношения между тригонометрическими функциями и обратными тригонометрическими функциями
Тригонометрические функции обратных тригонометрических функций, представленных в таблице ниже. Быстрый способ — рассмотреть геометрию прямоугольного треугольника, одна сторона которого равна 1, а другая — длина x, применить теорему Пифагора и определения тригонометрических источников. Чисто алгебраические производные длиннее.
θ грех (θ) cos (θ) загар (θ) Диаграмма arcsin (x) грех (arcsin (Икс)) знак равно Икс соз (arcsin (х)) = 1 — х 2 <\ Displaystyle \ cos (\ arcsin (x)) = <\ sqrt <1 -x ^ <2>>>> загар (arcsin (x)) = x 1 — x 2 <\ displaystyle \ tan (\ arcsin (x)) = <\ frac <\ sqrt < 1-x ^ <2>>>>> arccos (x) sin (arccos (x)) = 1 — x 2 <\ displaystyle \ sin (\ arccos (x)) = <\ sqrt <1-x ^ <2>>>> соз (arccos (x)) = x загар (arccos (х)) = 1 — х 2 х <\ displaystyle \ tan (\ arccos (x)) = <\ frac <\ sqrt <1-x ^ <2>>> >> arctan (x) грех (arctan (x)) = x 1 + x 2 <\ displaystyle \ sin (\ arctan (x)) знак равно <\ frac <\ sqrt <1 + x ^ <2>>>>> соз (arctan (x)) = 1 1 + x 2 <\ displaystyle \ cos (\ arctan (x)) = <\ frac <1><\ sqrt <1 + x ^ <2>>>>> загар (arctan (x)) = x arccot (x) <\ displaystyle \ operatorname (x)> грех (arccot (x)) = 1 1 + x 2 <\ displaystyle \ sin (\ operatorname (x)) = <\ frac <1><\ sqrt <1 + x ^ <2>>>>> соз (arccot (x)) = x 1 + икс 2 <\ displaystyle \ cos (\ operatorname (x)) = <\ frac <\ sqrt <1 + x ^ <2>>>>> загар (arccot ( х)) знак равно 1 Икс <\ Displaystyle \ загар (\ operatorname (x)) = <\ frac <1> >> arcsec (x) <\ displaystyle \ operatorname ( x)> грех (arcsec (x)) = x 2 — 1 x <\ displaystyle \ sin (\ operatorname -1>> >> cos (arcsec (x)) = 1 x <\ displaystyle \ cos (\ operatorname (x)) = <\ frac <1> > > загар (arcsec (x)) = x 2 — 1 <\ displaystyle \ tan (\ operatorname (x)) = <\ sqrt -1>>> arccsc (x) <\ displaystyle \ operat orname (x) > грех (arccsc (x)) = 1 x <\ displaystyle \ sin (\ operatorname (x)) = <\ frac <1> >> соз (arccsc (x)) знак равно x 2 — 1 x <\ displaystyle \ cos (\ operatorname (x)) = <\ frac <\ sqrt -1>> >> загар (arccsc (x)) = 1 x 2 — 1 <\ displaystyle \ tan (\ operatorname (x)) = <\ frac <1> <\ sqrt -1> >>> Отношения между обратными тригонометрическими функциями
Обычные главные значения функций arcsin (x) (красный) и arccos (x) (синий), отображаемые на декартовой плоскости. Обычные главные значения функций arctan (x) и arccot (x), отображаемые на декартовой плоскости. Основные значения функций arcsec (x) и arccsc (x), отображаемые на декартовой плоскости.
arccos (x) = π 2 — arcsin (x) arccot (x) = π 2 — arctan (x) arccsc (x) = π 2 — arcsec (х) <\ displaystyle <\ begin
\ arccos (x) = <\ frac <\ pi><2>> — \ arcsin (x) \\ [0.5em] \ operatorname (x) = <\ frac <\ pi><2>> — \ arctan (x) \\ [0.5em] \ operatorname (x) = <\ frac <\ pi><2>> — \ operatorname < arcsec>(x) \ end <выровнено>>> arcsin (- x) = — arcsin (x) arccos (- x) = π — arccos (x) arctan (- x) = — arctan (x) arccot (- x) = π — arccot (x) arcsec (- x) = π — arcsec (x) arccsc (- x) = — arccsc (x) <\ displaystyle <\ begin <выровнено>\ arcsin (-x) = — \ arcsin (x) \\\ arccos (-x) = \ pi — \ arccos (x) \\\ arctan (-x) = — \ arctan (x) \ \\ operatorname
(- x) = \ pi — \ operatorname (x) \\\ operatorname (- x) = \ pi — \ operatorname (x) \\\ operatorname (- x) = — \ operatorname (x) \ end >> arccos (1 x) = arcsec (x) arcsin (1 x) = arccsc (x) arctan (1 x) = π 2 — arctan (x) = arccot (x), если x>0 arctan (1 x) = — π 2 — arctan (x) = arccot (x) — π, if x 0 arccot (1 x) = 3 π 2 — arccot (x) = π + arctan (x), если x 0 \\ [0.3em] \ arctan \ left ( <\ frac <1>
> \ right) = — <\ frac <\ pi><2>> — \ arctan (x) = \ operatorname (x) — \ pi \,, <\ text > x 0 \\ [0.3em] \ operatorname \ left ( <\ frac <1> > \ right) = <\ frac <3 \ pi>< 2>> — \ operatorname (x) = \ pi + \ arctan (x) \,, <\ text > x П олезные соединения, если есть только фрагмент таблицы синусов:
arccos (x) = arcsin (1 — x 2), если 0 ≤ x ≤ 1, из которого вы получите arccos (1 — x 2 1 + x 2) = arcsin (2 x 1 + x 2), если 0 ≤ x ≤ 1 arccos (x) = 1 2 arccos (2 x 2 — 1), если 0 ≤ x ≤ 1 arcsin (x) = 1 2 arccos (1-2 x 2), если 0 ≤ x ≤ 1 arcsin (x) = arctan (x 1 — x 2) arctan (x) = arcsin (x 1 + x 2) arccot (х) = arccos (x 1 + x 2) <\ displaystyle <\ начать <выровнено>\ arccos (x) = \ arcsin \ left (<\ sqrt <1-x ^ <2>>> \ right) \,, <\ text
> 0 \ leq x \ leq 1 <\ text <, из которого вы получаете>> \\\ arccos \ left (<\ frac <1-x ^ <2>> <1 + x ^ <2>>> \ right) = \ arcsin \ left ( <\ frac <2x><1 + x ^ <2>>> \ right) \,, <\ text > 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arccos (x) = <\ frac <1><2>> \ arccos \ left (2x ^ <2>-1 \ right) \,, <\ text > 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arcsin (x) = <\ frac <1><2>> \ arccos \ left (1-2x ^ <2>\ right) \,, <\ text > 0 \ leq x \ leq 1 \\\ дуги in (x) = \ arctan \ left ( <\ frac <\ sqrt <1-x ^ <2>>>> \ right) \\\ arctan (x) = \ arcsin \ left ( <\ frac <\ sqrt <1 + x ^ <2>>>> \ right) \\\ operatorname (x) = \ arccos \ left ( <\ frac <\ sqrt <1 + x ^ <2>>>> \ right) \ end >> Всякий раз, когда здесь используется квадратный корень из комплексного числа, мы выбираем корень с положительной действительной частью (или положительной мнимой части, если квадрат был отрицательным действительным).
Полезная форма, которая следует непосредственно из приведенной выше таблицы, —
Это получается путем признания того, что соз (arctan (x)) = 1 1 + x 2 = cos (arccos (1 1 + x 2)) <\ displaystyle \ cos \ left (\ arctan \ left (x \ right) \ right) = <\ sqrt <\ frac <1><1 + x ^ <2>>>> = \ cos \ left (\ arccos \ left (<\ sqrt <\ frac <1>) <1 + x ^ <2>>>> \ right) \ right)> .
arcsin (x) = 2 arctan (x 1 + 1 — x 2) arccos (x) = 2 arctan (1 — x 2 1 + x), если — 1
Формула сложения арктангенса
Это выводится из касательной сложения
α = arctan (u), β = arctan (v).
В исчислении
Производные обратные тригонометрические функции
The производные для комплексных значений z имеют следующий вид:
ddz arcsin (z) = 1 1 — z 2; z ≠ — 1, + 1 d d z arccos (z) = — 1 1 — z 2; z ≠ — 1, + 1 d d z arctan (z) = 1 1 + z 2; z ≠ — i, + i d d z arccot (z) = — 1 1 + z 2; z ≠ — i, + i d d z arcsec (z) = 1 z 2 1 — 1 z 2; z ≠ — 1, 0, + 1 d d z arccsc (z) = — 1 z 2 1 — 1 z 2; z ≠ — 1, 0, + 1 <\ displaystyle <\ begin
<\ frac > \ arcsin (z) <> = <\ frac <1><\ sqrt <1-z ^ <2>>>> \ ;; z <> \ neq -1, + 1 \\ <\ frac > \ arccos (z) <> = — <\ frac <1><\ sqrt <1-z ^ <2 >>>> \ ;; z <> \ neq -1, + 1 \\ <\ frac > \ arctan (z) <> = <\ frac <1><1 + z ^ <2>>> \ ;; z <> \ neq -i, + i \\ <\ frac > \ operatorname (z) <> = — <\ frac <1><1 + z ^ <2 >>> \ ;; z <> \ neq -i, + i \\ <\ frac > \ operatorname (z) <> = <\ frac <1> <\ sqrt <1 - <\ frac <1> >>>>>> \ ;; z <> \ neq -1, 0, + 1 \\ <\ frac > \ operatorname (z) <> = — <\ frac <1> <\ sqrt <1 - <\ frac <1> >>>>>> \ ;; z <> \ neq -1,0, + 1 \ end >> Только для реальных значений x:
Для примера вывода: если θ = arcsin (x) <\ displaystyle \ theta = \ arcsin (x)>, мы получаем:
Выражение в виде определенных интегралов
Интегрирование деформаций и фиксация значений в одной точке дает выражение для обратной тригонометрической функции в виде определенного интеграла:
arcsin (x) = ∫ 0 x 1 1 — z 2 dz, | х | ≤ 1 arccos (x) = ∫ x 1 1 1 — z 2 dz, | х | ≤ 1 arctan (Икс) знак равно ∫ 0 Икс 1 Z 2 + 1 dz, arccot (x) = ∫ x ∞ 1 z 2 + 1 dz, arcsec (x) = ∫ 1 x 1 zz 2 — 1 dz = π + ∫ x — 1 1 zz 2 — 1 dz, x ≥ 1 arccsc (x) знак равно ∫ x ∞ 1 zz 2 — 1 dz = ∫ — ∞ x 1 zz 2 — 1 dz, x ≥ 1 <\ displaystyle <\ begin
\ arcsin (x) < >= \ int _ <0>^ <\ frac <1><\ sqrt <1-z ^ <2>>>> \, dz \;, | х | <> \ leq 1 \\\ arccos (x) <> = \ int _ ^ <1> <\ frac <1><\ sqrt <1-z ^ <2>>>> \, dz \ ;, | х | <> \ leq 1 \\\ arctan (x) <> = \ int _ <0>^ <\ frac <1> +1>> \, dz \ ;, \ \\ operatorname (x) <> = \ int _ ^ <\ infty> <\ frac <1> +1>> \, dz \ ;, \\\ имя оператор (x) <> = \ int _ <1>^ <\ frac <1> -1>>>> \, dz = \ pi + \ int _ ^ <- 1> <\ frac <1> -1>>>> \, dz \;, x <> \ geq 1 \\\ operatorname (x) <> = \ int _ ^ <\ infty> <\ frac <1> — 1>>>> \, dz = \ int _ <- \ infty>^ <\ frac <1> -1>>>> \, dz \ ;, x <> \ geq 1 \\\ end >> Когда x равно 1, интегралы с ограниченной областью определения являются несобственными интегралами, но все же четко определены.
Бесконечный ряд
Подобно функциям синуса и косинуса, обратные тригонометрические функции также могут быть вычислены с использованием степенного ряда следующим образом. Для арксинуса может быть получен путем раскрытия его производной, 1 1 — z 2 <\ textstyle <\ tfrac <1><\ sqrt <1-z ^ <2>>>>> , как биномиальный ряд, интегрированное почленно (используя определение интеграла, как указано выше). Аналогичным образом можно получить ряд для арктангенса, расширив его производную 1 1 + z 2 <\ textstyle <\ frac <1><1 + z ^ <2>>>> в геометрический ряд, и применяя приведенное выше определение интеграла (см. ряд Лейбница ).
arcsin (z) = z + (1 2) z 3 3 + (1 ⋅ 3 2 ⋅ 4) z 5 5 + (1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6) z 7 7 + ⋯ = ∑ п знак равно 0 ∞ (2 п — 1)! ! (2 п)! ! Z 2 N + 1 2 N + 1 знак равно ∑ N знак равно 0 ∞ (2 N)! (2 N N!) 2 Z 2 N + 1 2 N + 1; | z | ≤ 1 <\ displaystyle <\ begin
\ arcsin (z) = z + \ left ( <\ frac <1><2>> \ right) <\ frac > <3>> + \ left ( <\ frac <1 \ cdot 3><2 \ cdot 4>> \ right) <\ frac > <5>> + \ left ( <\ frac <1 \ cdot 3 \ cdot 5><2 \ cdot 4 \ cdot 6>> \ right) <\ frac > <7>> + \ cdots \\ [5pt] = \ sum _ ^ < \ infty> <\ frac <(2n-1) !!><(2n) !!>> <\ frac > <2n + 1>> \\ [5pt] = \ sum _ ^ <\ infty> <\ frac <(2n)!> <(2 ^ n!) ^ <2>>> <\ frac > <2n + 1>> \,; \ qquad | z | \ leq 1 \ end >> arctan (z) = z — z 3 3 + z 5 5 — z 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ (- 1) nz 2 n + 1 2 n + 1; | z | ≤ 1 Z ≠ я, — я <\ displaystyle \ arctan (z) = z - <\ frac > <3>> + <\ frac > <5>> — < \ frac > <7>> + \ cdots = \ sum _ ^ <\ infty> <\ frac <(-1) ^ z ^ <2n + 1>> <2n + 1>> \,; \ qquad | z | \ leq 1 \ qquad z \ neq i, -i> Ряды для других обратных тригонометрических функций могут быть заданы в терминах этих функций в соответствии с приведенными выше соотношениями. Например, arccos (x) = π / 2 — arcsin (x) <\ displaystyle \ arccos (x) = \ pi / 2- \ arcsin (x)>, arccsc (x) = arcsin (1 / x) <\ displaystyle \ operatorname
(x) = \ arcsin (1 / x)> и так далее. Другой ряд определяется выражением: Леонард Эйлер нашел ряд для арктангенса, который сходится быстрее, чем его Тейлор ряд :
(Член в сумме для n = 0 — это пустой продукт, то же самое и 1.)
В качестве альтернативы это можно выразить как
Другой ряд для функции арктангенса задается как
arctan (z) знак равно я ∑ N знак равно 1 ∞ 1 2 N — 1 (1 (1 + 2 я / z) 2 N — 1-1 (1-2 я / z) 2 N — 1), <\ Displaystyle \ arctan (г) = i \ sum _
^ <\ infty> <\ frac <1><2n-1>> \ left ( <\ frac <1><(1 + 2i / z) ^ <2n-1 >>> — <\ frac <1><(1-2i / z) ^ <2n-1>>> \ right),> Непрерывные дроби для арктангенса
Две альтернативы степенному ряду для арктангенса: эти обобщенные непрерывные дроби :
Второй из них действительно в разрезе комплексной плоскости. Есть два разреза: от — i до бесконечно удаленной точки по мнимой оси и от i до бесконечно удаленной точки по той же оси. Он лучше всего работает для действительных чисел от -1 до 1. Частичные знаменатели — это нечетные натуральные числа, а частичные числители (после первого) равны (nz), причем каждый полный квадрат встречается один раз. Первый был разработан Леонардом Эйлером ; второй — Карл Фридрих Гаусс, использующий гипергеометрический ряд Гаусса.
Неопределенные интегралы обратных тригонометрических функций
Для действительных и комплексных значений z:
∫ arcsin ( z) dz = z arcsin (z) + 1 — z 2 + C ∫ arccos (z) dz = z arccos (z) — 1 — z 2 + C ∫ arctan (z) dz = z arctan ( z) — 1 2 ln (1 + z 2) + C ∫ arccot (z) dz = z arccot (z) + 1 2 ln (1 + z 2) + C ∫ arcsec (z) dz = z arcsec (z) — ln [z (1 + z 2 — 1 z 2)] + C ∫ arccsc (z) dz = z arccsc (z) + ln [z (1 + z 2 — 1) z 2)] + С <\ displaystyle <\ begin
\ int \ arcsin (z) \, dz <> = z \, \ arcsin (z) + <\ sqrt <1-z ^ <2>>> + C \\\ int \ arccos (z) \, dz <> = z \, \ arccos (z) — <\ sqrt <1-z ^ <2>>> + C \\\ int \ arctan (z) \, dz <> = z \, \ arctan (z) — <\ frac <1><2>> \ ln \ left (1 + z ^ <2>\ right) + C \\\ int \ operatorname (z) \, dz <> = z \, \ operatorname (z) + <\ frac <1><2>> \ ln \ left (1 + z ^ <2>\ right) + C \ \\ int \ operatorname (z) \, dz <> = z \, \ operatorname (z) — \ ln \ left [z \ left (1 + <\ sqrt <\ frac -1> >>> \ right) \ right] + C \\\ int \ operatorname (z) \, dz <> = z \, \ operatorname (z) + \ ln \ left [z \ left (1 + <\ sqrt <\ frac -1>) >>> \ right) \ right] + C \ end >> Для действительного x ≥ 1:
∫ arcsec (x) dx = x arcsec (x) — пер (Икс + Икс 2-1) + С ∫ arccsc (Икс) dx = Икс arccsc (х) + пер (х + х 2-1) + С <\ Displaystyle <\ begin <выровнено>\ int \ operatorname
(x) \, dx <> = x \, \ operatorname (x) — \ ln \ left (x + <\ sqrt -1>> \ right) + C \\\ int \ operatorname (x) \, dx <> = x \, \ operatorname (x) + \ ln \ left (x + <\ sqrt -1>> \ right) + C \ end >> Для всех действительных x не между -1 и 1:
∫ arcsec (x) dx = x arcsec (x) — sgn (x) ln (| х + х 2 — 1 |) + C ∫ arccsc (x) dx = x arccsc (x) + sgn (x) ln (| x + x 2-1 |) + C <\ displaystyle <\ begin
\ int \ operatorname (x) \, dx <> = x \, \ operatorname (x) — \ operatorname (x) \ ln \ left (\ left | x + <\ sqrt ) -1>> \ right | \ right) + C \\\ int \ operatorname (x) \, dx <> = x \, \ operatorname (x) + \ operatorname (x) \ ln \ left (\ left | x + <\ sqrt -1>> \ right | \ right) + C \ end >> Абсолютное значение необходимо для компенсации как отрицательных и положительные значения функций арксеканса и арккосеканса. Знаковая функция также необходима из-за абсолютных значений в производных двух функций, которые создают два разных решения для положительных и отрицательных значений x. Их можно дополнительно упростить, используя логарифмические определения обратных гиперболических функций :
∫ arcsec (x) dx = x arcsec (x) — arcosh (| x |) + C ∫ arccsc (x) dx знак равно x arccsc (x) + arcosh (| x |) + C <\ displaystyle <\ begin
\ int \ operatorname (x) \, dx <> = x \, \ operatorname (x) — \ operatorname (| x |) + C \\\ int \ operatorname (x) \, dx <> = x \, \ operatorname (x) + \ operatorname < arcosh>(| x |) + C \\\ end >> Абсолютное значение в аргументе функции arcosh создает отрицательную половину ее графика, что делает его идентичным показанной выше знаковой логарифмической функции.
Все эти первообразные могут быть получены с использованием интегрирования по частям и простых производных форм, показанных выше.
Пример
u = arcsin (x) dv = dxdu = dx 1 — x 2 v = x <\ displaystyle <\ begin
u = \ arcsin (x) dv = dx \\ du = <\ frac <\ sqrt <1-x ^ <2>>>> v = x \ end >> которое простой заменой w = 1 — x 2, dw = — 2 xdx <\ displaystyle w = 1-x ^ <2>, \ dw = -2x \, dx> дает окончательный результат:
Продолжение до комплексной плоскости
A Римана поверхность в качестве аргумента отношения tan z = x. Оранжевый лист посередине — это основной лист, представляющий арктангенс x. Синий лист выше и зеленый лист ниже смещены на 2π и −2π соответственно.
Поскольку обратные тригонометрические функции являются аналитическими функциями, их можно продолжить с вещественной линии на комплексную плоскость. Это приводит к функциям с несколькими листами и точками ветвления. Один из возможных способов определения расширения:
arctan (z) = ∫ 0 zdx 1 + x 2 z ≠ — i, + i <\ displaystyle \ arctan (z) = \ int _ <0>^
<\ frac <1 + x ^ <2>>> \ quad z \ neq -i, + i> где часть мнимой оси, которая не лежит строго между точками ветвления (−i и + i) — это отрезок ветви между основным листом и другими листами. Путь интеграла не должен пересекать срез ответвления. Если z не находится на разрезе ветки, таким путем является прямой путь от 0 до z. Для z на разрезе ветви путь должен приближаться от Re [x]>0 для верхнего разреза ветви и от Re [x] arcsin (z) = arctan (z 1 — z 2) z ≠ — 1, + 1 <\ displaystyle \ arcsin (z) = \ arctan \ left (<\ frac
<\ sqrt <1-z ^ <2>>>>> \ right) \ quad z \ neq -1, + 1> где (функция квадратного корня имеет разрез по отрицательной действительной оси и) часть действительной оси, которая не лежит строго между -1 и + 1 — ветвь, разрезанная между основным листом арксина и другими листами;
arccos ( z) = π 2 − arcsin ( z) z ≠ − 1, + 1 <\displaystyle \arccos(z)=<\frac <\pi ><2>>-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1>
which has the same cut as arcsin;
which has the same cut as arctan;
arcsec ( z) = arccos ( 1 z) z ≠ − 1, 0, + 1 <\displaystyle \operatorname
(z)=\arccos \left(<\frac <1> >\right)\quad z\neq -1,0,+1> where the part of the real axis between −1 and +1 inclusive is the cut between the principal sheet of arcsec and other sheets;
arccsc ( z) = arcsin ( 1 z) z ≠ − 1, 0, + 1 <\displaystyle \operatorname
(z)=\arcsin \left(<\frac <1> >\right)\quad z\neq -1,0,+1> which has the same cut as arcsec.
Logarithmic forms
These functions may also be expressed using complex logarithms. This extends their domains to the complex plane in a natural fashion. The following identities for principal values of the functions hold everywhere that they are defined, even on their branch cuts.
arcsin ( z) = − i ln ( 1 − z 2 + i z) = i ln ( 1 − z 2 − i z) = arccsc ( 1 z) arccos ( z) = − i ln ( i 1 − z 2 + z) = π 2 − arcsin ( z) = arcsec ( 1 z) arctan ( z) = − i 2 ln ( i − z i + z) = − i 2 ln ( 1 + i z 1 − i z) = arccot ( 1 z) arccot ( z) = − i 2 ln ( z + i z − i) = − i 2 ln ( i z − 1 i z + 1) = arctan ( 1 z) arcsec ( z) = − i ln ( i 1 − 1 z 2 + 1 z) = π 2 − arccsc ( z) = arccos ( 1 z) arccsc ( z) = − i ln ( 1 − 1 z 2 + i z) = i ln ( 1 − 1 z 2 − i z) = arcsin ( 1 z) <\displaystyle <\begin
\arcsin(z)<>=-i\ln \left(<\sqrt <1-z^<2>>>+iz\right)=i\ln \left(<\sqrt <1-z^<2>>>-iz\right)<>=\operatorname \left(<\frac <1> >\right)\\[10pt]\arccos(z)<>=-i\ln \left(i<\sqrt <1-z^<2>>>+z\right)=<\frac <\pi ><2>>-\arcsin(z)<>=\operatorname \left(<\frac <1> >\right)\\[10pt]\arctan(z)<>=-<\frac <2>>\ln \left(<\frac \left(<\frac <1> >\right)\\[10pt]\operatorname (z)<>=-<\frac <2>>\ln \left(<\frac >\right)=-<\frac <2>>\ln \left(<\frac >\right)\\[10pt]\operatorname (z) <> = — i \ ln \ left (i <\ sqrt <1 - <\ frac <1> >>>> + <\ frac <1> > \ right) = <\ frac <\ pi><2>> — \ operatorname (z) <> = \ arccos \ left ( <\ frac <1> > \ right) \\ [ 10pt] \ operatorname (z) <> = — i \ ln \ left ( <\ sqrt <1 - <\ frac <1> >>>> + <\ frac > \ right) = i \ ln \ left ( <\ sqrt <1 - <\ frac <1> >>>> — <\ frac > \ right) <> = \ arcsin \ left ( <\ frac <1> > \ right) \ end >> Обобщение
Поскольку все обратные тригонометрические функции выводят угол прямоугольный треугольник, их можно обобщить, используя формулу Эйлера, чтобы образовать прямоугольный треугольник на комплексной плоскости. Алгебраически это дает нам:
ce θ i = c cos (θ) + ci sin (θ) <\ displaystyle ce ^ <\ theta i>= c \ cos (\ theta) + ci \ sin (\ theta)>
где a <\ displaystyle a>— смежная сторона, b <\ displaystyle b>— противоположная сторона, а c <\ displaystyle c>— гипотенуза. Отсюда мы можем найти θ <\ displaystyle \ theta>.
e ln (c) + θ i = a + bi ln c + θ i = ln (a + bi) θ = Im (пер (а + би)) <\ Displaystyle <\ begin <выровнено>е ^ <\ пер (с) + \ тета я>= а + би \\\ пер с + \ тета я = \ пер (а + bi) \\\ theta = \ operatorname
\ left (\ ln (a + bi) \ right) \ end >> θ = — i ln (a + bic) знак равно я пер (ca + bi) <\ displaystyle \ theta = -i \ ln \ left (<\ frac
> \ right) = i \ ln \ left ( <\ frac < c>> \ right)> Простое взятие мнимой части работает для любых вещественных a <\ displaystyle a>и b <\ displaystyle b >, но если a <\ displaystyle a>или b <\ displaystyle b>имеет комплексные значения, мы должны использовать окончательное уравнение, чтобы не исключить действительную часть результата. Поскольку длина гипотенузы не меняет угол, игнорирование действительной части ln (a + bi) <\ displaystyle \ ln (a + bi)>также удаляет c <\ displaystyle c>из уравнения. В окончательном уравнении мы видим, что угол треугольника в комплексной плоскости можно найти, указав длины каждой стороны. Установив одну из трех сторон равной 1, а одну из оставшихся сторон равной нашему входу z <\ displaystyle z>, мы получим формулу для одной из обратных триггерных функций для всего шесть уравнений. Поскольку обратные триггерные функции требуют только одного входа, мы должны поместить последнюю сторону треугольника в терминах двух других, используя соотношение теоремы Пифагора
В таблице ниже показаны значения a, b и c для каждой из обратных триггерных функций и эквивалентные выражения для θ <\ displaystyle \ theta>, что результат добавления приведенных выше уравнений и упрощения.
abc θ θ упрощенное θ a, b ∈ R arcsin (z) 1 — z 2 z 1 — i ln (1 — z 2 + zi 1) = — i ln (1 — z 2 + zi) Im (ln (1 — z 2 + zi)) arccos (z) z 1 — z 2 1 — i ln (z + i 1 — z 2 1) = — i ln (z + z 2 — 1) Im (ln (z + z 2 — 1)) arctan (z) 1 z 1 + z 2 i ln (1 + z 2 1 + zi) = i 2 ln (i + zi — z) Im (ln (1 + zi)) arccot (z) z 1 z 2 + 1 i ln (z 2 + 1 z + i) = i 2 ln (z — iz + i) Im (ln (z + i)) arcsec (z) 1 z 2 — 1 z — i ln (1 + iz 2 — 1 z) = — i ln (1 z + 1 z 2 — 1) Im (ln (1 + 1 — z 2)) arccsc (z) z 2 — 1 1 z — i ln (z 2 — 1 + iz) = — i ln (1 — 1 z 2 + iz) Я (пер (z 2 — 1 + я)) <\ displaystyle <\ begin <выровнено>a b c \ theta \ theta _ <упрощенный>\ theta _
\ left (\ ln \ left (<\ sqrt <1-z ^ <2>>> + zi \ right) \ right) \\\ arccos (z) \ \ z <\ sqrt <1-z ^ <2>>> 1 — i \ ln \ left (<\ frac >>> <1>> \ right) = — i \ ln \ left (z + <\ sqrt -1>> \ right) \ operatorname \ left (\ ln \ left (z + <\ sqrt -1>> \ right) \ right) \\\ arctan (z) \ \ 1 z <\ sqrt <1 + z ^ <2>>> i \ ln \ left (<\ frac <\ sqrt <1 + z ^ <2>>> <1 + zi>> \ right) = <\ frac <2>> \ ln \ left ( <\ frac > \ right) \ operatorname \ left (\ ln \ left (1 + zi \ right) \ right) \\\ имя оператора (z) \ \ z 1 <\ sqrt +1>> i \ ln \ left ( <\ frac <\ sqrt +1>> > \ right) = <\ frac <2>> \ ln \ left ( <\ frac > \ right) \ operatorname \ left (\ ln \ left (z + i \ right) \ right) \\\ operatorname (z) \ \ 1 <\ sqrt — 1>> z — i \ ln \ left ( <\ frac <1 + i <\ sqrt -1>>> > \ right) = — i \ ln \ left ( <\ f rac <1> > + <\ sqrt <<\ frac <1>) >> — 1>> \ right) \ operatorname \ left (\ ln \ left (1 + <\ sqrt <1-z ^ <2>>> \ right) \ right) \\\ Имя оператора (z) \ \ <\ sqrt -1>> 1 z — i \ ln \ left ( <\ frac <<\ sqrt -1>)> + i> > \ right) = — i \ ln \ left ( <\ sqrt <1 - <\ frac <1> >>>> + <\ frac > \ right) \ operatorname \ left (\ ln \ left ( <\ sqrt -1>> + i \ right) \ right) \\\ end >> В этом смысле все обратные триггерные функции могут быть рассмотрены как частные случаи комплекснозначных функций журнала. Это определение работает для любого комплексного значения z <\ displaystyle z>, это определение допускает гиперболические углы в качестве выходных данных и может помочь для дальнейшего определения обратные гиперболические функции. Элементарные доказательства выполнения также продолжаться через разложение до экспоненциальной формы тригонометрических функций.
Пример доказательства
Используя экспоненциальное определение синуса, получаем
(положительная ветвь выбрана)
ϕ знак равно arcsin (z) знак равно — я пер (iz + 1 — z 2) <\ displaystyle \ phi = \ arcsin (z) = - я \ ln \ left (iz + <\ sqrt <1-z ^ <2>>)> \ right)>
Графики цветового круга обратных тригонометрических функций на комплексной плоскости
arcsin (z) arccos (z) arctan (z) arccot (z) <\ displaystyle \ operatorname (z)> arcsec (z) <\ displaystyle \ operatorname (z)> arccsc (z) <\ displaystyle \ operatorname (z)> Приложения
Приложение: определение угла треугольника
прямоугольный треугольник.
Обратные тригонометрические функции полезны при попытке определить два оставшихся угла прямоугольного треугольника , когда длина сторон треугольника известны. Вспоминая определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, следует, что
Часто гипотенуза неизвестна, и ее необходимо вычислить перед использованием арксинуса или арккосинуса с помощью теоремы Пифагора : a 2 + b 2 = час 2 < \ displaystyle a ^ <2>+ b ^ <2>= h ^ <2>> , где h <\ displaystyle h>— длина гипотенуза. В этой ситуации может пригодиться арктангенс, поскольку длина гипотенузы не нужна.
Например, предположим, что крыша опускается на 8 футов, когда она заканчивается 20 футов. Крыша составляет угол θ с горизонталью, где θ можно вычислить следующим образом:
θ = arctan (напротив соседнего) = arctan (подъем) = arctan (8 20) ≈ 21,8 ∘. <\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left (<\ frac <\ text <напротив>> <\ text <свойный>>> \ right) = \ arctan \ left (<\ frac <\ text
> <\ text >> \ right) = \ arctan \ left ( <\ frac <8><20>> \ right) \ приблизительно 21,8 ^ <\ circ>\,.> В информатике и инженерии
Вариант арктангенса с двумя аргументами
Функция с двумя аргументами atan2 вычисляет арктангенс y / x для заданных y и x, но с диапазоном (-π, π]. Другими словами, atan2 ( y, x) — это угол между положительной осью x плоскости и точка (x, y) на ней, с положительным знаком для угла против часовой стрелки (верхняя полуплоскость, y>0), и отрицательный знак для угла по часовой стрелке (нижняя полуплоскость), y atan2 (y, x) =
0 arctan (yx) + π y ≥ 0, x 0, x = 0 — π 2 y 0 \\\ arctan ( <\ frac >) + \ pi \ qua d y \ geq 0 \ ;, \; х 0 \ ;, \; x = 0 \\ — <\ frac <\ pi><2>> \ quad y Оно также равно главному значению аргумента комплексного числа х + я у.
Эта функция также может быть определена с использованием формулы касательного полуугла следующим образом:
atan2 (y, x) = 2 arctan (yx 2 + y 2 + x) < \ displaystyle \ operatorname
(y, x) = 2 \ arctan \ left ( <\ frac <<\ sqrt + y ^ <2>>> + x>> \ right) > при условии, что либо x>0, либо y 0. Однако это не удается, если задано x ≤ 0 и y = 0, поэтому выражение не подходит для использования в вычислениях.
Приведенный выше порядок аргументов (y, x) кажется наиболее распространенным, в частности, используется в стандартах ISO, таких как язык программирования C, но некоторые авторы могут использовать противоположное соглашение (x, y), поэтому следует соблюдать осторожность. Эти варианты развития в atan2.
Функция арктангенса с параметрами местоположения
Во многих приложениях решения y <\ displaystyle y>уравнения x = загар (y) <\ displaystyle x = \ tan (y)>должен максимально приблизиться к заданному значению — ∞ . Адекватное решение получается с помощью функций арктангенса с измененным параметром
y = arctan η (x): = arctan (x) + π ⋅ rni (η — arctan (x) π). <\ displaystyle y = \ arctan _ <\ eta>(x): = \ arctan (x) + \ pi \ cdot \ operatorname
\ left ( <\ frac <\ eta - \ arctan (x)><\ pi>> \ right) \,.> Функция rni <\ displaystyle \ operatorname
> округляет до ближайшего целого числа. Числовая точность
Для углов, близких к 0 и π, арккосинус плохо обусловлен и, таким образом, будет вычислять угол с пониженной точностью в компьютерной реализации (из-за ограниченное количество цифр). Точно так же арксинус неточен для углов, близких к −π / 2 и π / 2.
Acos что это в математике
Функции рассчитывают значение арктангенса аргумента x. Значение полученного угла представляется в радианах.
Аргумент и возвращаемое значение функции atan являются числами с плавающей точкой двойной точности (тип double, точность не менее десяти значащих десятичных цифр, разрядность — 64).
Аргумент и возвращаемое значение функции atanf являются числами с плавающей точкой (тип float, точность не менее шести значащих десятичных цифр, разрядность — 32).
Аргумент и возвращаемое значение функции atanl являются числами с плавающей точкой повышенной точности (тип long double, точность не менее десяти значащих десятичных цифр, разрядность — 80).
В примере рассчитывается арктангенс от 0.43 с помощью функций atan, atanf и atanl, и результат выводится на консоль. Обратите внимание на точность полученных результатов. У арктангенса, рассчитанного с помощью функции atanf, будет самая маленькая точность, а у рассчитанного с помощью функции atanl – самая большая.
Аргумент: 0.43
atanf : 0.40609806776046752930
atan : 0.40609805831761563999
atanl : 0.40609805831761564221Определение
Возвращает угол, тангенс которого равен указанному числу. Returns the angle whose tangent is the specified number.
Параметры
Число, представляющее тангенс. A number representing a tangent.
Возвращаемое значение
Угол θ, измеренный в радианах, такой, что -π/2 ≤θ≤π/2. An angle, θ, measured in radians, such that -π/2 ≤θ≤π/2.
-или- -or- Значение NaN, если d равно NaN, -π/2, округленное до двойной точности (–1,5707963267949), если d равно NegativeInfinity, или π/2, округленное до двойной точности (1,5707963267949), если d равно PositiveInfinity. NaN if d equals NaN, -π/2 rounded to double precision (-1.5707963267949) if d equals NegativeInfinity, or π/2 rounded to double precision (1.5707963267949) if d equals PositiveInfinity.
Примеры
В следующем примере показано, как вычислить арктангенс значения и отобразить его на консоли. The following example demonstrates how to calculate the arctangent of a value and display it to the console.
Комментарии
Положительное возвращаемое значение представляет собой угол против часовой стрелки от оси x; Отрицательное возвращаемое значение представляет собой угол по часовой стрелке. A positive return value represents a counterclockwise angle from the x-axis; a negative return value represents a clockwise angle.
- assert.h
- complex.h (C99)
- ctype.h
- errno.h
- fenv.h (C99)
- float.h
- inttypes.h (C99)
- iso646.h
- limits.h
- locale.h
- math.h
- setjmp.h
- signal.h
- stdalign.h (C11)
- stdarg.h
- stdatomic.h (C11)
- stdbool.h (C99)
- stddef.h
- stdint.h (C99)
- stdio.h
- stdlib.h
- stdnoreturn.h (C11)
- string.h
- tgmath.h
- threads.h (C11)
- time.h
- uchar.h (C11)
- wchar.h
- wctype.h
math.h — заголовочный файл стандартной библиотеки языка программирования С, разработанный для выполнения простых математических операций. Большинство функций привлекают использование чисел с плавающей точкой. C++ также реализует данные функции для обеспечения совместимости, все они содержатся в заголовочном файле cmath.
Все эти функции принимают double , если не определено иначе. Для работы с типами float и long double используются функции с постфиксами f и l соответственно. Все функции, принимающие или возвращающие угол, работают с радианами.
Содержание
Базовые функции [ править | править код ]
Имя Описание abs Возвращает абсолютную величину целого числа acos арккосинус asin арксинус atan арктангенс atan2 арктангенс с двумя параметрами ceil округление до ближайшего большего целого числа cos косинус exp вычисление экспоненты fabs абсолютная величина (числа с плавающей точкой) floor округление до ближайшего меньшего целого числа fmod вычисление остатка от деления нацело для чисел с плавающей точкой frexp разбивает число с плавающей точкой на мантиссу и показатель степени. ldexp умножение числа с плавающей точкой на целую степень двух log натуральный логарифм log10 логарифм по основанию 10 modf(x,p) извлекает целую и дробную части (с учетом знака) из числа с плавающей точкой pow(x,y) результат возведения x в степень y, x y sin синус sinh гиперболический синус cosh гиперболический косинус sqrt квадратный корень tan тангенс tanh гиперболический тангенс Функции стандарта C++ [ править | править код ]
Имя Описание acosh гиперболический ареакосинус asinh гиперболический ареасинус atanh гиперболический ареатангенс cbrt кубический корень copysign(x,y) возвращает величину, абсолютное значение которой равно x , но знак которой соответствует знаку y erf функция ошибок erfc дополнительная функция ошибок exp2(x) значение числа 2, возведённого в степень x , 2 x expm1(x) значение функции e x − 1 fdim(x,y) вычисление положительной разницы между x и y , fmax(x−y, 0) fma(x,y,z) значение функции (x * y) + z (см. FMA) fmax(x,y) наибольшее значение среди x и y fmin(x,y) наименьшее значение среди x и y hypot(x,y) гипотенуза, sqrt(x² + y²) ilogb экспонента числа с плавающей точкой, конвертированная в int lgamma натуральный логарифм абсолютного значения гамма-функции llrint округление до ближайшего целого (возвращает long long ) lrint округление до ближайшего целого (возвращает long ) llround округление до ближайшего целого в направлении от нуля (возвращает long long ) lround округление до ближайшего целого в направлении от нуля (возвращает long ) log1p(x) натуральный логарифм 1 + x log2 логарифм по основанию 2 logb целочисленная часть логарифма x по основанию 2 nan(s) возвращает нечисловое значение ‘Not a Number’ nearbyint округление аргумента до целого значения в формате числа с плавающей точкой nextafter(x,y) следующий ближайшее представимое для x (по направлению к y) nexttoward(x,y) то же, что и nextafter , но y имеет тип long double remainder(x,y) вычисляет остаток от деления согласно стандарту IEC 60559 remquo(x,y,p) то же, что и remainder , но сохраняет коэффициент по указателю p (как int ) rint округление до целого (возвращает int ) с вызовом ошибки inexact , если результат отличается от аргумента. round округление до целого (возвращает double ) scalbln(x,n) x * FLT_RADIX n (n is long ) scalbn(x,n) x * FLT_RADIX n (n is int ) tgamma гамма-функция trunc отбрасывание дробной части Расширения XSI [ править | править код ]
Эти функции не описаны в стандартах ANSI или ISO C, но могут присутствовать в системах в качестве расширений X/Open.
Имя Описание j0(x) значение функций Бесселя первого рода порядков 0 для аргумента x j1(x) значение функций Бесселя первого рода порядков 1 для аргумента x jn(n,x) значение функций Бесселя первого рода порядка n scalb(x,y) x * FLT_RADIX y (x и y типа double ) y0(x) значение функций Бесселя второго рода порядков 0 для аргумента x y1(x) значение функций Бесселя второго рода порядков 1 для аргумента x yn(n,x) значение функций Бесселя второго рода порядка n Использование функций конвертации double -string ecvt , fcvt и gcvt не рекомендуется в пользу sprintf .
libm [ править | править код ]
Под Linux и FreeBSD математические функции (объявленные в math.h ) хранятся отдельно в математической библиотеке libm . Таким образом, если любая из этих инструкций используется, при сборке компоновщику должна быть передана опция -lm .
Правила ввода математических выражений
Целые числа вводятся обычным способом, например: 4 ; 18 ; 56
Для ввода отрицательного числа необходимо поставить знак минус: -19 ; -45 ; -90
Рациональные числа вводятся с использованием символа / , например: 3 / 4 ; -5 / 3 ; 5 / (-19)
Вещественные числа вводятся с использованием точки в качестве разделителя целой и дробной частей: 4.5 ; -0.4Ввод переменных и констант:
Переменные и константы вводятся латинскими буквами, например: x ; y ; z ; a ; b .
Константы π и e вводятся как pi и e — соответственно.
Символ бесконечности ∞ вводится двумя маленькими латинскими буквами oo или словом inf .
Соответственно, плюс бесконечность задается как +oo, и минус бесконечность как -oo.Сумма и разность:
Сумма и разность задаются при помощи знаков + и — соответственно, например: 3 + a ; x + y ; 5 — 4 + t ; a — b + 4 ; ВНИМАНИЕ! Никаких пробелов между операндами быть не должно, например ввод: x + a — неправильный , правильно вводить так: x + a — без пробелов.
Умножение:
Умножение задается знаком * , например: 3 * t ; x * y ; -5 * x .
ВНИМАНИЕ! Ввод знака * необходим всегда, т.е. запись типа: 2 x — недопустима . Следует всегда использовать знак * , т.е правильная запись: 3 * x .Деление:
Деление задается знаком / , например: 15 / a ; y / x ;.
Степень:
Степень задается знаком ^ , например: x ^ 2 ; 4 ^ 2 ; y ^ (-1 / 2) .
Приоритет операций:
Для указания (или изменения) приоритета операций необходимо использовать скобки () , например: ( a + b ) / 4 — тут вначале будет произведено сложение a + b , а потом сумма разделится на 4 , тогда как без скобок: — сначала b разделится на 4 и к полученному прибавится a . ВНИМАНИЕ! В непонятных случаях лучше всегда использовать скобки для получения нужного результата, например: 2 ^ 4 ^ 3 — неясно как будет вычислено это выражение: cначала 2 ^ 4 , а затем результат в степень 3 , или сначала 4 ^ 3 = 64 , а затем 2 ^ 64 ? Поэтому, в данном случае, необходимо использовать скобки: (2 ^ 4) ^ 3 или 2 ^ (4 ^ 3) — смотря что нужно.
Также распространенной ошибкой является запись вида: x ^ 3 / 4 — непонятно: вы хотите возвести x в куб и полученное выражение разделить на 4 , или хотите возвести x в степень 3 / 4 ? В последнем случае необходимо использовать скобки: x ^ (3 / 4) .Ввод функций:
Функции вводятся с использованием маленьких латинских букв: sin ; cos ; tan ; log .
ВНИМАНИЕ! Аргумент функции всегда берется в скобки () , например: sin( 4 ) ; cos( x ) ; log( 4 + y ) .
Запись типа: sin 4 ; cos x ; log 4 + y — недопустима . Правильная запись: sin( 4 ) ; cos( x ) ; log( 4 + y ) .
Если необходимо возвести функцию в степень, например: синус x и все это в квадрате, это записывается вот так: (sin( x )) ^ 2 . Если необходимо возвести в квадрат аргумент, а не функцию (т.е синус от x ^ 2 ), тогда это выглядит вот так: sin( x ^ 2) . Запись типа: sin ^ 2 x — недопустима .Acos что это в математике
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6e0e9b0c484c2d5b • Your IP : 88.135.219.175 • Performance & security by Cloudflare
Excel функция ACOS
Microsoft Excel функция ACOS возвращает арккосинус (в радианах) числа.
Функция ACOS — это встроенная в Excel функция, которая относится к категории математических / тригонометрических функций.
Её можно использовать как функцию рабочего листа (WS) в Excel.
Как функцию рабочего листа, функцию ACOS можно ввести как часть формулы в ячейку рабочего листа.Синтаксис
Синтаксис функции ACOS в Microsoft Excel:
Аргументы или параметры
Возвращаемое значение
Функция ACOS возвращает числовое значение.
Применение
- Excel для Office 365, Excel 2019, Excel 2016, Excel 2013, Excel 2011 для Mac, Excel 2010, Excel 2007, Excel 2003, Excel XP, Excel 2000
Тип функции
- Функция рабочего листа (WS)
Пример (как функция рабочего листа)
Рассмотрим несколько примеров функции ACOS чтобы понять, как использовать Excel функцию ACOS в качестве функции рабочего листа в Microsoft Excel:
Hа основе электронной таблицы Excel выше, будут возвращены следующие примеры функции ACOS:Acos что это в математике
Функция Excel ACOS
Функция ACOS вычисляет арккосинус (арккосинус) числа и возвращает угол в радианах в диапазоне от 0 (ноль) до π (пи).
Синтаксис
=ACOS( number )
аргументы
- номер (обязательно): Значение, для которого вы хотите вычислить арккосинус. Примечание: Число должно быть между -1 и 1.
Возвращаемое значение
Функция ACOS возвращает числовое значение.
Примечания к функциям
- Результатом является угол, выраженный в радианах. Чтобы преобразовать угол из радиан в градусы, используйте ГРАДУСОВ функции или умножьте результат на 180 /ПИ().
- ACOS возвращает #NUM! ошибка если число <-1 или число > 1.
- ACOS возвращает #СТОИМОСТЬ! ошибка если номер не числовой.
Пример
Чтобы вычислить арккосинус (арккосинус) чисел, перечисленных в таблице, как показано ниже, скопируйте или введите приведенную ниже формулу в верхнюю ячейку (D6) списка результатов и нажмите Enter чтобы получить результат. Затем выберите ячейку результата и перетащите маркер заполнения (маленький квадрат в правом нижнем углу выбранной ячейки) вниз, чтобы применить формулу к ячейкам ниже.
=АКОС( B6 )
Вместо ссылки на ячейку вы можете ввести фактическую номер значение в формуле, как показано ниже.
=АКОС( -1 )
Обратите внимание, что результаты представляют собой углы, выраженные в радианах. Вы можете вложить функцию ACOS в ГРАДУСОВ Функция для преобразования углов из радианов в градусы, как показано ниже.
=ГРАДУСЫ(ACOS( -1 ))
Кроме того, вы можете умножить ACOS на 180 /ПИ().
=АКОС( -1 )*180/PI()
Связанные функции
Функция ACOSH возвращает аркгиперболический косинус числа.
Функция ГРАДУСЫ преобразует угол в радианах в угол в градусах.
Функция PI возвращает число 3.14159265358979 математической константы, называемой pi.
Лучшие инструменты для работы в офисе
Kutools for Excel — поможет вам выделиться из толпы
Хотите быстро и качественно выполнять свою повседневную работу? Kutools for Excel предлагает мощные расширенные функции 300 (объединение книг, суммирование по цвету, разделение содержимого ячеек, преобразование даты и т. д.) и экономит для вас 80% времени.