!Оптика и квантовая механика / Задачи / 09 / Задачи / zan17
На какое минимальное расстояние приблизится -частица с кинетической энергией 
(при лобовом соударении):
) покоящемуся тяжелому ядру атома свинца;
б) к первоначально покоившемуся легкому свободному ядру 
Решение:
а) Так как ядро атома свинца много тяжелее 
-частицы, будем считать, что оно не двигается под действием 
-частицы. 
-частица остановится (расстояние между частицами будет минимальным), когда ее кинетическая энергия 
целиком перейдет в энергию взаимодействия с ядром атома свинца (учтем, что 
, 
— заряд 
-частицы):
б) Минимальным расстояние между частицами будет тогда, когда их скорости сравняются. Действительно, в противном случае частицы будут либо еще сближаться, либо уже отдаляться: 
. Из закона сохранения энергии:
.
Из закона сохранения импульса,
;
Т.к. до соударения частица обладала энергией 
, 
;
Согласно классической электродинамике электрон, движущийся с ускорением 
, теряет энергию на излучение по закону 
, 
-заряд электрона, 
-скорость света, 
(СИ) или 
(СГС). Оценить время, за которое энергия электрона, совершающего колебания близкие к гармоническим с частотой 
, уменьшится в 
раз.
Решение: Колебания, близкие к гармоническим (затухающие колебания), – это колебания, у которых амплитуда зависит от времени. Такие колебания описываются уравнением:
.
Продифференцируем это уравнение два раза по времени, пренебрегая слагаемыми, содержащими 
ввиду малости убывания амплитуды (колебания близки к гармоническим!), получим:
Полная энергия электрона (сумма кинетической и потенциальной энергии), как известно, выражается следующей формулой:
,
т.к. 
— коэффициент квазиупругой силы (ведь электрон совершает колебания!). В формуле 
, обозначим 
, тогда 
. Подставляя в эту формулу выражение для ускорения, получим:
Как было показано выше, 
, тогда
.
Т.к. 
и 
, можно пренебречь слагаемым 
, тогда
№6.19 Воспользовавшись формулой из задачи 6.18, оценить время, в течение которого электрон, движущийся в атоме водорода по круговой орбите радиуса 
, упал бы на ядро. Считать, что в любой момент падения электрон движется равномерно по окружности соответствующего радиуса.
Решение:
Зависимость полной энергии электрона от радиуса имеет вид:
Запишем второй закон Ньютона для движения электрона:
.
С учетом того, что 
— центростремительное ускорение, запишем:
.
Подставив полученное выражение в формулу для полной энергии электрона, получим:
.
Продифференцируем это выражение по времени и приравняем результат к формуле из условия:
Подставив выражение для ускорения, получим:
№6.23 Найти для водородоподобного иона радиус 
боровской орбиты и скорость электрона на ней. Вычислить эти величины для первой боровской орбиты атома водорода и иона 
.
Решение:
Согласно условию Бора, возможны только такие орбиты, для которых:
,
где 
. Уравнение движения электрона вокруг ядра атома имеет вид:
.
Исключив из этих уравнений v, получим:
, 
.
Для атома водорода, подставив значения 
и 
, получим:
, 
.
Для иона гелия, подставив значения 
и 
, получим:
, 
.
Определить 
-круговую частоту обращения электрона на 
круговой боровской орбите водородоподобного иона. Вычислить эту величину для иона 
при 
.
Решение:
По определению, 
. Используя результат предыдущей задачи,
.
Подставив для 
значения 
, 
, получим нужный ответ.
Определить для атома водорода и иона 
: энергию связи электрона в основном состоянии, потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны головной линии серии Лаймана.
Решение: Внутренняя энергия атома складывается из кинетической энергии электрона (ядро неподвижно) и потенциальной энергии взаимодействия с ядром:
.
Из уравнения движения электрона, 
.
.
Из условия квантования момента импульса, 
.
Подставляя это выражение в уравнение движения электрона, получим:
.
Энергия связи – это энергия, которую нужно затратить, чтобы унести электрон с первого энергетического уровня на бесконечность:
, где 
и 
или 
,
где 
— постоянная Ридберга. Теперь можно найти потенциал ионизации:
.
По определению, первый потенциал возбуждения имеет вид:
.
Головная линия серии Лаймана – переход электрона со второго уровня на первый:
, 
, тогда 
.
Какую наименьшую энергию надо сообщить иону 
, находящемуся в основном состоянии, чтобы он смог испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера?
Решение: Чтобы ион смог испустить такой фотон, надо перевести электрон на 3 уровень:
или 
.
Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на 
энергетический уровень?
Решение: Поскольку электрон в атоме водорода может перескочить с любого уровня на любой ниже, то количество спектральных линий будет равняться количеству соединений между уровнями будет равно 
.
Энергия связи электрона в основном состоянии атома 
равна 
. Найти энергию, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома.
Решение: Для того, чтобы удалить один электрон, нужно затратить энергию равную его энергии связи = 
. После удаления одного электрона, получаем водородоподобный атом в основном состоянии. Чтобы удалить второй электрон надо затратить энергию:
,
где 
, 
и 
для ядра атома гелия, т.е.
.
Итак, всего мы затратим энергию 
.