Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Надеюсь, вы уже установили расширение, тулбар или плагин Wolfram|Alpha для вашего браузера, как это было сказано в предыдущем посте. Сделайте это, чтобы вам было удобнее использовать Wolfram Alpha, и продолжим.
Для решения уравнений и их систем в Wolfram|Alpha используется запрос solve
Вот запрос, который означает: «Решить систему линейных уравнений»:
Другой вариант (без использования solve), который также позволяет получить решение системы: достаточно просто ввести уравнения системы через запятую.
Wolfam Alpha решает не только определенные, но и неопределенные системы линейных алгебраических уравнений. Вот пример, где переменных на одну больше, чем уравнений (без solve):
То же самое, но с использованием запроса solve:
Wolfram Alpha также позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Об этом будет следующий пост на эту тему.
Научный форум dxdy
Последний раз редактировалось misha89 23.05.2014, 14:07, всего редактировалось 3 раз(а).
Пытаюсь решить систему уравнений с помощью Математики. Взял пример отсюда http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Solve.html и все работало, но стоило подставить какой-то другой набор уравнений, для проверки, так сразу что-то не так.
Вот конкретное задание
— Пт май 23, 2014 20:30:22 —
Какое правило ему надо указать? Мне необходимо это решить в с какими операциями? Может, всё-таки просто ?
arseniiv , нет, в
Цель: исследование функций математического пакета Wolfram Mathematica для решения систем линейных уравнений графическим способом.
Задачи:
изучить математический пакет Wolfram Mathematica и его онлайн версию Wolfram Alpha,
рассмотреть графический способ решения систем линейных уравнений, изучаемый в школе,
решить 10 систем линейных уравнений с помощью Wolfram Alpha и изучить полученный результат.
Просмотр содержимого документа «Проект на тему «Исследование возможностей математического пакета Wolfram Mathematica для графического способа решения систем уравнений»»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Школа № 163» городского округа Самара
Исследование возможностей математического пакета Wolfram Mathematica для графического способа решения систем уравнений
Зайцев Сергей Антонович
Платошина Екатерина Александровна
1 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 3
1.1 Математический пакет Wolfram Mathematica 5
1.2 Wolfram Alpha 7
2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 9
2.1 Графический способ решения систем уравнений 9
2.2 Решение систем линейных уравнений с помощью Wolfram Alpha 10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 18
В современном мире, когда информационные и компьютерные технологии развиваются с огромной скоростью, человек может себе позволить отдохнуть от нудных и однообразных вычислительных работ, перепоручив этим заниматься компьютеру, который не только облегчит работу человеку, но и ускорит ее.
Современные компьютеры могут выполнять миллионы операций в минуту, следовательно, скорость вычислений у них огромная. Задачу, которую человек будет решать несколько минут, машина в состоянии решить всего за пару секунд. Конечно, при условии, что компьютер прежде будет запрограммирован на решение данной задачи.
Это означает, что человеку достаточно один раз записать алгоритм для решения какого-либо типа задач, после чего компьютер решит любую задачу данного типа, человеку останется только вносить нужные исходные данные.
Программ, способных выполнять вычисления по заданной человеком программе, множество, но сейчас наибольшую популярность в научном мире набирает математический пакет Wolfram Mathematica или ее онлайн версия Wolfram Alpha. Причем вторая доступна любому: она бесплатна и гораздо более проста, чем первая.
В данном проекте исследуются функции этих программ, а именно функция решения систем линейных уравнений.
Цель: исследование функций математического пакета Wolfram Mathematica для решения систем линейных уравнений графическим способом.
изучить математический пакет Wolfram Mathematica и его онлайн версию Wolfram Alpha,
рассмотреть графический способ решения систем линейных уравнений, изучаемый в школе,
решить 10 систем линейных уравнений с помощью Wolfram Alpha и изучить полученный результат.
1 Программное обеспечение 1.1 Математический пакет Wolfram Mathematica
Mathematica — система компьютерной алгебры (обычно называется Математика, программный пакет Математика), широко используемая в научных, инженерных, математических и компьютерных областях. Изначально система была разработана Стивеном Вольфрамом, впоследствии — компанией Wolfram Research.
На протяжении трёх десятилетий система Mathematica определяет передовой край технических вычислений и обеспечивает основную среду для проведения расчётов для миллионов изобретателей, педагогов, студентов и других пользователей по всему миру.
Благодаря энергичному развитию и стабильному видению на протяжении трёх десятилетий, система Mathematica не имеет себе равных в большом диапазоне измерений и уникальна в своей поддержке современной среды и организации рабочего процесса для технических расчётов.
Система Mathematica имеет в наличии почти 5000 встроенных функций, покрывающих все области технических расчётов—все они тщательно интегрированны для идеальной совместной работы, и все они включены в полностью интегрированную систему Mathematica.
Полагаясь на три десятилетия наработок, система Mathematica превосходит во всех областях технических расчётов, включая нейронные сети, машинное обучение, обработку изображений, геометрию, теорию анализа и обработки данных, визуализацию и многое другое.
Система Mathematica строится на беспрецендентно мощных алгоритмах всех предметных областей; многие из них были созданы компанией Wolfram, используя уникальные методы развития и уникальные возможности языка Wolfram Language.
Система Mathematica построена с целью предоставления возможностей промышленной мощности, с крепкими эффективными алгоритмами во всех областях, способными решать крупномасштабные задачи с параллелизмом, вычислениями на графических процессорах и многим другим.
Система Mathematica использует свои алгоритмические возможности и тщательное проектирование языка Wolfram Language для создания уникальной в использовании системы, имеющей предиктивные рекомендации, поддержку ввода на естественном языке и многое другое.
Система Mathematica использует Wolfram Notebook Interface, который позволяет организовать всё, что Вы делаете, в богатый содержанием документ, который включает текст, выполнимый код, динамичную графику, пользовательский интерфейс и многое другое.
Благодаря когерентному дизайну и использованию интуитивных названий функций, состоящих из полных английских слов, язык Wolfram Language исключительно просто читать, использовать и изучать.
Благодаря утончённой вычислительной эстетике и отмеченному наградами дизайну, система Mathematica представляет Ваши результаты в прекрасном виде, мгновенно создавая передовые интерактивные визуализации и готовые к публикации документы.
Начните с практически любого проекта с помощью более 150000 примеров из Documentation Center и более 10000 демонстраций с открытым кодом в Wolfram Demonstrations Project и большого количества других ресурсов.
Система Mathematica имеет доступ к широкой Wolfram Knowledgebase, которая включает актуальные реальные данные из тысяч предметных областей.
1.2 Wolfram Alpha
История проекта началась в 1988 году, когда Стивен Вольфрам, британский математик, написал пять миллионов строчек алгоритма Wolfram|Alpha на придуманном им самим языке Mathematica. Прошло 20 лет, прежде чем на его основе была создана целая система, способная систематизировать все, что поддается систематизации, и находить точные ответы на миллионы фактических вопросов.
Внешне Wolfram|Alpha напоминает обычный поисковик, но, в отличие от похожих сервисов, выдает структурированные ответы, а не набор ссылок, где эти ответы еще придется поискать. С помощью сервиса можно, к примеру, составлять таблицы по характеристикам минералов или населению и экономике разных стран. Всем этим можно пользоваться прямо на уроках: у Wolfram|Alpha есть мобильные приложения для iOS и Android.
В отличие от Википедии, которую иные преподаватели просто запрещают упоминать, на Wolfram|Alpha можно безбоязненно ссылаться в научных работах. Структурированную базу знаний на протяжении нескольких лет формировали профессиональные математики, физики, историки и биологи, основываясь на авторитетных источниках. Нередко в блоге компании можно увидеть объявления, например, о том, что в систему внесли полное собрание сочинений Шекспира или возможность поворачивать 3D модели стереометрических фигур.
Если запрос касается персоналий, информация представляется в таблице — в нее можно внести сразу несколько имен для сравнения, узнать, кто был современником Байрона или какой философ XIX века дольше всех прожил.
Впрочем, случаются и забавные просчеты. Так, некоторое время Wolfram|Alpha считал президентом России Аслана Масхадова, а лучшим смартфоном по всем показателям оказывался один из аппаратов Nokia.
Запустив невероятно сложную машину знаний, создатели Wolfram|Alpha в какой-то момент поняли, что даже они сами не в состоянии быть в курсе всех ее возможностей. Использованию Wolfram|Alpha в образовании посвящен целый раздел. На уроках истории ученики ищут, какую сумму в 1950 году составляли современные $100, каким был уровень инфляции в разное время и что можно было купить, а на занятии, посвященном землетрясениям, предлагается выяснить, в какой части света чаще всего происходят землетрясения и какова вероятность их возникновения в том районе, где стоит школа. Учителей просят присылать планы занятий, на которых используется сервис, и периодически устраивают на эту тему конкурсы.
А в начале учебного года в блоге проекта опубликовали подборку из 100 скриншотов, иллюстрирующих возможности сервиса на примере синусов.
На каждый день лета приходилось по картинке — и еще несколько в качестве бонуса. Обзор заканчивался словами: «Понимая, что не все рады возвращаться к урокам, мы надеемся, что некоторым из вас все же будет чуть веселее с Wolfram|Alpha. По крайней мере, веселее, чем было долгим скучным летом».
2 Решение систем линейных уравнений 2.1 Графический способ решения систем уравнений
Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.
На рисунке 1 показан пример графического способа решения системы линейных уравнений.
Рисунок 1 – Графический способ решения системы линейных уравнений
Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.
Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).
Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).
Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.
Команда для решения системы уравнений: solve2x+7y=6, 4x+5y=2
Результат:
Рисунок 2 – Графическое решение системы уравнений
2.
Команда для решения системы уравнений: solve x+5y =7, 3x−2y=4
Результат:
Рисунок 3 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve 3x+2y=1, y-4x=-16
Результат:
Рисунок 4 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve x=2+y, 3x-2y=9
Результат:
Рисунок 5 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solvey=11-2x, 5x-4y=8
Результат:
Рисунок 6 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve x=3+2y, 5x+y=4
Результат:
Рисунок 7 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve 3x-y=5, 5x+2y=23
Рисунок 8 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve 5x+6y=13, 7x+18y=-1
Рисунок 9 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve2x+y=8, 3x+4y=7
Рисунок 10 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve 2x+5y=15, 3x+8y=-1
Рисунок 11 – Графическое решение системы уравнений
В современном мире сверхбыстрого развития информационных технологий все больше становится важна скорость вычислений. Огромная часть из них, ранее выполнявшаяся исключительно человеком, теперь может выполняться практически без его участия. Достаточно только написать однажды программу, а затем можно изменять лишь исходные данные – машина сама найдет решение той или иной типовой задачи.
Программы Wolfram Mathematica и ее онлайн версия Wolfram Alpha позволяют производить достаточно сложные вычисления с огромной точностью, без ошибки, которую может совершить человек.
В данном проекте были исследованы некоторые функции языка Wolfram, а именно – решение систем линейных уравнений. Достаточно всего одной команды, чтобы программа нашла ответ за считанные секунды.
С помощью онлайн версии математического пакета Wolfram Mathematica — Wolfram Alpha – было решено 10 систем линейных уравнений, и полученные результаты совпадают с графическим способом решения этих уравнений вручную.
Синтаксис Wolfram Alpha
Wolfram|Alpha — база знаний и набор вычислительных алгоритмов (англ. computational knowledge engine ), вопросно-ответная система. Запущена 15 мая 2009 года. Не является поисковой системой.
Содержание
Основные операции [ править ]
Сложение a + b <\displaystyle a+b>: a+b
Вычитание a − b <\displaystyle a-b>: a-b
Умножение a ⋅ b <\displaystyle a\cdot b>: a*b
Деление a b <\displaystyle <\frac >> : a/b
Возведение в степень a b <\displaystyle <^>> : a^b
Solve[Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0,x] или \Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0.
Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
x²+y²-5=0 или Solve[x²+y²-5=0,x] или Solve[x²+y²-5=0,y];
x+y+z+t+p+q=9.
Решение неравенств [ править ]
Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].
Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где j <\displaystyle j>— интересующая Вас переменная.
Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
x^2+y^3-5<0 или Solve[x^2+y^3-5<0,x] или Solve[x^2+y^3-5<0,y];
x+y+z+t+p+q>=9.
Решение различных систем неравенств и уравнений [ править ]
Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.
x^3+y^3==9&&x+y=1;
x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4&&x+y²=1;
Log[x+5]=0&&x+y+z<1.
Построение графиков функций [ править ]
Plot[x^2+x+2, ];
Plot[x^2+x+2, ,];
Plot[Sin[x]^x, ];
Plot[Sin[x]^x, ,].
Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],].
Plot[x&&x^2&&x^3, ,];
Plot[Sin[x]&&Sin[5x]&&Sin[10x]&&Sin[15x], ].
Plot[Sin[x^2+y^2],,];
Plot[xy,,].
Математический анализ [ править ]
Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.
Пределы [ править ]
Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].
Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].
Производные [ править ]
Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
D[x*E^x, x];
D[x^3*E^x, ];
D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
D[x/(x+y^4), ].
Интегралы [ править ]
Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
Integrate[Sin[x]/x², x].
Integrate[x^10*ArcSin[x], x].
Integrate[(x+Sin[x])/x, ].
Integrate[Log[x^3+1]/x^5, ].
Дифференциальные уравнения и их системы [ править ]
Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.
Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: , где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока что не поддерживается.
![$In: Solve[x + y - 2, x - y , \<x, y\>]$» /><br /><img decoding=](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/9/289c93069ee2da581aae38491699b8fb82.png)
![$Solve[z^2, y z, y^2 - z, t z, t y - 2 z, t^3, \<t, y, z\>, Complexes]$» />.<br />Вот ответное замечание со стороны Математики</p>
<p>Какое правило ему надо указать? Мне необходимо это решить в <img decoding=](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/6/2f6b6f5db586eb60784df5d86174cf8b82.png)
с какими операциями? Может, всё-таки просто 
?
