Как из матрицы вычесть число

1. Арифметические операции над матрицам

Над матрицами, как над числами можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны числовым операциям, а некоторые носят особый характер.

1)Сложение матриц

Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц одинаковой размерности и называется матрица той же размерности , такая, что ,

Таким образом, чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы. Помните, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

А= ; B= ; А+B=

2) Вычитание матриц

Разностью двух матриц одинаковой размерности и называется матрица той же размерности , такая, что ,

Таким образом, чтобы из матрицы А вычесть матрицу В, нужно из элементов матрицы А вычесть соответствующие элементы матрицы В.

А= , B= , А-B= .

3)Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число k называется матрица , такая, что ,

Таким образом, чтобы умножить матрицу на число нужно все элементы данной матрицы умножить на это число.

А= , то 3А= .

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

А= , то 2А= .

Замечание. Разность матриц можно определить так: .

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

2) = A + B + C (ассоциативность);

5) (дистрибутивность относительно сложения чисел);

6) (дистрибутивность относительно сложения матриц);

7) (ассоциативность), где ; A, B, C – матрицы.

4) Произведение матриц

Произведением матриц и называется матрица, , у которой элемент равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j—го столбца матрицы В, то есть ,

Замечание. При умножении матриц количество столбцов первой матрицы А обязательно должно совпадать с количеством строк второй матрицы В.

Пример. Пусть . Найти

Решение. Здесь и , значит . Вычислим элементы матрицы С.

Свойства умножения матриц:

4) Для произвольных матриц — отсутствие коммутативности.

Например, А= и В= . Тогда , а , т.е. .

Однако существует матрица, для которой переместительный закон будет выполняться. Если матрица А— квадратная матрица порядка n и Е-единичная матрица того же порядка, то . Кроме единичной существуют и другие матрицы, для которых переместительный закон будет выполняться. Их называют перестановочными.

Например, перестановочными матрицами будут матрицы А= и В= . Для них .

Заметим, что если произведение матриц равно нулю, то совсем необязательно, чтобы какой-то из сомножителей был бы нулевой матрицей.

2. Понятие обратной матрицы и метод ее нахождения

Для каждого ненулевого число существует обратное число, такое что произведение этих чисел равно единице. Для квадратных матриц тоже существует такое понятие как обратная матрица.

Матрица называется обратной по отношению к матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получиться единичная матрица, т.е.

Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица называется дополнительной к матрице , если ее элементы есть алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

Теорема 2.2. Любая невырожденная матрица имеет обратную.

Доказательство. Докажем теорему для матрицы третьего порядка.

Пусть дана матрица третьего порядка . По условию

Рассмотрим дополнительную матрицу и ее транспонированную матрицу .

Найдем произведение матриц

Использовали 8 свойство определителей, теорема 2.1. и правило умножения матрицы на число.

Аналогично можно получить равенство

Определим обратную матрицу по формуле

и проверим, является ли она обратной к матрице А.

Из определения, найдем произведения

Таким образом, формула (2.5) обратной матрицы определена верно.

Замечание. Обратная матрица всегда единственна.

Правило нахождения обратной матрицы.

1) найти определитель матрицы ;

2) найти дополнительную матрицу ;

3) транспонировать дополнительную матрицу, т.е. найти ;

4) разделить каждый элемент транспонированной дополнительной матрицы на значение определителя исходной матрицы.

Пример 2.4. Найти обратную матрицу к матрице

1) Найдем определитель матрицы :

2) найдем дополнительную матрицу .

3) транспонируем дополнительную матрицу

4) найдем обратную матрицу, разделив каждый элемент транспонированной дополнительной матрицы на значение определителя исходной матрицы:

Проверим, что обратная матрица найдена верно. Для этого найдем произведение обратной матрицы на исходную матрицу .

Как из матрицы вычесть число

и как же тогда решить уравнение f(X) = X — 3, где X — матрица 3х3?
Пример во вложении?
Как их решать, умножение и сложение матриц решил, а вот с числом затрудняюсь.

Определение . Пусть даны две матрицы A=||a i _k|| (i=1,2. m; k=1,2. n) и B=||b i _k|| (k=1,2. n; j=1,2. p), причем число столбцов A равно числу строк B . Произведением A на B называется матрица C=||c i _k||, элементы которой находятся по формуле .
Обозначается C=A·B .
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:

а правило вычисления элемента в произведении:

Подчеркнем еще раз, что произведение A·B имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго. Проверить результат умножения можно через специальный онлайн-калькулятор.

Действия с матрицами

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Образно говоря, транспонировать – это значит взять матрицу за правый верхний угол и аккуратно повернуть её «на себя» по диагонали, «стряхивая» числа в столбцы транспонированной матрицы. Такая вот у меня ассоциация.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Умножить матрицу на матрицу
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Умножить матрицу на матрицу

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.

А пока спектакль закончен.

После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Математические операции с матрицами

Математические операции с матрицами

Матрица представляет собой двумерный массив чисел и является базовой единицей для формирования тензоров. А так как тензоры можно смело назвать пищей для нейронных сетей, то для приготовления этих самых тензоров, специалисту по работе с большими данными нужно уметь совершать простейшие манипуляции с матрицами. Поэтому предлагаю «прокачать скилы» и подробно рассмотреть возможные математические операции с матрицами.

Однако, прежде взглянем на матрицу и договоримся называть строками горизонтальные группы чисел, а столбцами — вертикальные:

Размером матрицы будем называть упорядоченную пару чисел, таких как: (число рядов матрицы, число столбцов матрицы). Таким образом, размер приведенной выше матрицы равен (3, 5).

Числа, из которых состоит матрица, будем именовать элементами матрицы. Элемент матрицы A, расположенный в i-м ряду и j-м столбце будем называть a_ij — элементом матрицы А. Например, в приведенной выше матрице, элемент, расположенный в 3-м ряду и 1-м столбце равен 8, то есть а_3,1 = 8.

Для более удобной навигации, на все разделы статьи приведены ссылки ниже. После описания каждой математической операции в статье приведен простой вариант аналогичного вычисления в Python

1. Умножение матрицы на число

Здесь все просто: при умножении матрицы на число, каждый элемент этой матрицы умножается на заданное число. Например:

Как умножить матрицу на число в Python?

Для этого нам необходимо импортировать библиотеку numpy и воспользоваться функцией dot():

2. Транспонирование матрицы

Транспонировать матрицу — это значит превратить столбцы этой матрицы в строки. Для наглядности рассмотрим пример: транспонируем матрицу A:

Обратите внимание, что при транспонировании меняется размер матрицы. На приведенном выше изображении, размер исходной матрицы (2, 3), а размер транспонированной — (3, 2).

Как транспонировать матрицу в Python?

3. Cложение матриц

Какие матрицы можно складывать?
Складывать можно только матрицы с одинаковыми размерами!

Как посчитать сумму матриц с одинаковым размером?
При суммировании матриц А и Б, получим матрицу С, элементы которой равны сумме элементов матриц А и Б, расположенных в соответствующих позициях. То есть c_1,1 = a_1,1+b_1,1, c_1,2 = a_1,2+b_1,2, c_2,1 = a_2,1+b_2,1, и так далее. Рассмотрим на примере:

Как сложить матрицы в Python?

4. Вычитание матриц

Какие матрицы можно вычитать? Вычитать можно только матрицы с одинаковыми размерами!

Как посчитать разность матриц с одинаковым размером?
При вычислении разности двух матриц A и B, получим матрицу C, элементы которой равны разностям элементов матриц А и Б, расположенных в соответствующих позициях. То есть c1,1 = a1,1 — b1,1, c1,2 = a1,2 — b1,2, c2,1 = a2,1 — b2,1 и так далее. Рассмотрим на примере:

Как вычитать матрицы в Python?

5. Умножение матриц

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы умножить две матрицы, необходимо, чтобы число столбцов первой матрицы было равно числу строк второй матрицы.

Например, на приведенном ниже изображении представлены 4 матрицы: D, E, F, G:

Перечислим все возможные произведения этих матриц:

D * G — произведение существует, так как число столбцов матрицы D равно числу строк матрицы G

E * G — число столбцов матрицы E = 3, число строк матрицы G=3

F * D — число столбцов матрицы F = 2, число строк матрицы D=2

F * E — число столбцов матрицы F = 2, число строк матрицы E=2

Нельзя умножать: D * E, D * F, E * D, E * F, F * G, G * D, G * E

Правило умножения матриц:

Рассмотрим на примере умножения матриц A и B, представленных на изображении:

Произведение матриц A*B обозначим, как матрицу С. Тогда с_ij элементы полученной матрицы С, вычисляются как:

То есть для вычисления c_ij нужно взять i-ю строку первой матрицы А, поэлементно умножить ее на j-й столбец матрицы B, и полученные произведения сложить.

Как перемножить матрицы в Python?

Для вычисления скалярного произведения матриц можно воспользоваться функцией dot():