Что такое mod в математике

Re: [математикам]что такое mod?

Спасибо, тогда тоже пока напишу скрипт, пусть ищет.

Оператор mod — остаток от деления. Что такое mod?

Оператор mod обозначается символом % и является оператором деления по модулю. Он возвращает остаток от деления 1-го операнда на 2-й и широко используется в разных языках программирования для решения ряда задач.

Оператор mod в Java

В Java operator mod может работать как с целыми числами (byte/int/short/long), так и с плавающей точкой (byte/int/short/long). Давайте приведём пример работы оператора mod при делении:

После выполнения этой программы вы получите результат следующего вида:

Как видим, оператор mod — это прекрасный способ найти остаток от деления. Зачем это может понадобиться на практике? Например, при нахождении кратности числа и определении, является ли некоторое число, введённое с клавиатуры, чётным. Также с помощью оператора mod можно узнать, делится ли одно число на другое без остатка или определить последнюю цифру числа. В общем, оператор mod очень полезен при решении различных задач по программированию.

Оператор mod в SQL

Не менее интересно использование mod в базах данных. Аналогично, mod находит остаток от деления. При этом вместо mod можно задействовать операцию %, делающую то же самое. Синтаксис в SQL следующий:

Но можно написать и иначе, используя % :

Давайте приведём пример использования mod в базах данных. Вот, например, таблица numbers:

Найдём остаток от деления столбца number на три:

В результате запрос SQL выберет следующие строки:

Но, как мы уже говорили выше, этот же запрос можно без проблем переписать:

Идём дальше. Теперь возьмём таблицу посложнее:

Здесь найдём остаток от деления столбца number1 на number2:

Получим следующие строки:

Опять же, этот же самый запрос можно оформить иначе:

А где вы используете mod? Пишите в комментариях!

Деление чисел с остатком

Деление с остатком целых положительных чисел

Деление — это разбиение целого на равные части.

Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.

Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!

Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.

Попрактикуемся в решении.

Пример

Разделить 14671 на 54.

Выполним деление столбиком:

Неполное частное равно 271, остаток — 37.

Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:

В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.

Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.

Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».

Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.

Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):

Пример

Разделить 17 на −5 с остатком.

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.

Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное

Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:

Чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток d будет вычисляться по формуле:

d = a − b * c

Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.

Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:

Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.

Пример

Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.

Разделим заданные числа по модулю.

Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.

Так как получили 3, противоположное ему −3.

Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.

Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, c = −4, тогда:

d = a − b * c = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.

Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.

Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).

Деление с остатком целых отрицательных чисел

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:

d = a − b * c

Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.

Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

Пример

Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.

Применим алгоритм для деления с остатком.

Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим d = a − b * c = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.

Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.

Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).

Деление с остатком с помощью числового луча

Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

Пример 1

Рассмотрим выражение: 10 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.

Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).

Пример 2

Рассмотрим выражение: 11 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.

Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).

Проверка деления с остатком

Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.

Формула деления с остатком

a = b * c + d,

где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.

Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.

Пример

Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).

В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.

Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Если нам известно, что а — это делимое, тогда b — это делитель, с — неполное частное, d — остаток. И они между собой связаны. Эту связь можно описать через теорему о делимости с остатком и показать при помощи равенства.

Теорема

Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом:

где q и r — это некоторые целые числа. При этом 0 ≤ r ≤ b.

Доказательство:

Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что есть число q, и будет верно равенство a = b * q. Тогда равенство можно считать верным: a = b * q + r при r = 0.

Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b * q

Учебник. Сравнения по модулю и признаки делимости

Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m: a ≡ b (mod m).

Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой.

В том случае, если число n делится на m, то оно сравнимо с нулем по модулю m: n ≡ 0 (mod m).

Свойства сравнений по модулю вытекают из свойств арифметических операций.

Отметим, что обе части сравнения не всегда можно сократить на какой-либо множитель. Так, 6 ≡ 3 (mod 3), но 2 не сравнимо с 1 по этому же модулю.

Простейшим применением сравнений по модулю является определение делимости чисел. Дадим для начала несколько правил.

Признак делимости на 2. Число, делящееся на 2, называется чётным, не делящееся на 2 – нечётным. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 5 или 0.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

Признаки делимости на 10, 100, 1000. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 0. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Доказать, что число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Для любого натурального x верно равенство x = x₁ + 10x₂, где x₁ – число единиц, x₂ – число десятков этого числа. Пусть y = x₂ + 2x₁ (то есть y – число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц). Тогда 10y – x = 19x₁ ≡ 0 (mod 19), откуда следует, что x ≡ 0 (mod 19) тогда и только тогда, когда 10y ≡ 0 (mod 19), то есть y ≡ 0 (mod 19). Утверждение доказано.

В заключение этого параграфа приведем формулировку малой теоремы Ферма.

Пусть p – простое число, a – натуральное число. Тогда a p – a делится на p: a p ≡ a (mod p).

В частности, если p – простое число, a – натуральное число, взаимно простое с p, то a p – 1 ≡ 1 (mod p).

Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.

Воспользуемся малой теоремой Ферма: a p – 1 ≡ 1 (mod p). Положим a = 10, p = 17. Тогда 10 16 ≡ 1 (mod 17) или 10 16 – 1 ≡ 0 (mod 17). Число 10 16 – 1 состоит из 16 девяток. Это и есть одно из чисел, которые делятся на 17 без остатка.

Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства

Известно, что если из двух натуральных чисел большее не делится нацело на меньшее, то выполняют деление с остатком: 33:6 – частное будет 5, а остаток 3. 33:6=5 (ост. 3) или 33=6∙5+3, то есть число 33 при делении на 6 дает в остатке число 3.

Теоремы о делении с остатком

Теорема 1. Для любого целого числа a и натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r таких, что a=bq+r, где 0≤r<b.

где q – неполное частное при делении числа a на число b;

r – остаток при делении числа a на число b.

Покажем суть теоремы на примерах.

Для чисел a=13, b=5 существует пара q=2, r=3 → 13=5∙2+3.

Для чисел a=3, b=11существует пара q=0, r=3 → 3=11∙0+3.

Для чисел a=-3, b=7 существует пара q=-1, r=3 → -3=7∙(-1)+3.

Для чисел a=-12, b=3 существует пара q=-4, r=0 → -12=3∙(-4)+0.

Приведем доказательство теоремы.

Если одно число делится нацело на другое a⁝b, то существует единственное целое число q, при котором a=bq. Здесь остаток равен нулю. Допустим, что a не делится нацело на b. Возьмем координатную прямую со множеством чисел кратных b (рисунок 1).

Рисунок 1 – Координатная прямая со множеством чисел кратных b

Так как число a не делится нацело на число b, то если нанести на координатную прямую точку числа a, она не совпадет ни с одной из точек кратных b. Следовательно, изображение числа a находится в одном из интервалов (bq; bq+b), где q∈Z. Отсюда bq<a<bq+b (рисунок 2). Далее 0<a-bq<b. Остаток от деления r=a-bq, следовательно, 0<r<b. Тогда a=bq+r.

Для чисел a и b интервал (bq; bq+b), в котором находится число a, определяется однозначным образом. Таким образом, числа a и b определяют единственную пару чисел q и r.

Рисунок 2 – Положение точки a

Так как остаток является неотрицательным числом, и он меньше делителя, то остаток после деления любого целого числа на 3 будет равен 2, 1 или 0. Поэтому множество целых чисел можно разбить на три подмножества, которые не пересекаются. Очевидно, что их объединением будет множество целых чисел: Z=ՍՍ.

Это пример показывает, что множество целых чисел можно разбить на любое количество непересекающихся подмножеств k, при чем k>1 и является натуральным числом. Первому подмножеству будут принадлежать все числа, которые делятся на число k с остатком 0, второму – дающие в остатке 1, третьему – 2, четвертому – 3, и т.д., k-му – с остатком k-1. Запись будет следующей: Z=ՍՍ… Ս.

Теорема 2. Если два целых числа при делении на некоторое натуральное число дают одинаковые остатки, то разность этих чисел будет делиться нацело на это натуральное число: (a–b)⁝n.

Докажем теорему 2 с помощью теоремы 1: a=nq₁+r, b=nq₂+r, где q₁,q₂,r – целые числа и 0≤r<n. Отсюда a–b=n(q₁–q₂), следовательно, (a–b)⁝n.

Обратную теорему доказывают методом от противного.

Теорема 3. Если разность двух целых чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то эти числа дают одинаковые остатки при делении на это натуральное число.

Сравнения по модулю

Целые числа называют сравнимыми по модулю, который является натуральным числом, если эти числа дают одинаковые остатки при делении на модуль.
Сравнение по модулю n записывают как a≡b (mod n), а говорят: «a сравнимо с b по модулю n».

Поясним определение примерами: 6≡9 (mod 3), 7≡10 (mod 3), 24≡0 (mod 8), 7≡-1 (mod 4).

Теорема 4. Для того чтобы два целых числа были сравнимыми по модулю, который является натуральным числом, необходимо и достаточно, чтобы разность этих чисел делилась нацело на модуль.

Доказательство этой теоремы следует из теорем 2 и 3.

Перечислим основные свойства сравнений (a, b, c, d – целые числа, n, m – натуральные):