Почему напряженность внутри сферы равна нулю

Слободянюк А.И. Физика 10/9.7

Рассмотрим теперь с помощью теоремы Гаусса, поле, создаваемое равномерно заряженной тонкой сферической оболочки. Опять начнем с рассмотрения симметрии поля. Очевидно, что поле, также как распределение зарядов имеет сферическую симметрию. Это означает, что модуль вектора напряженности зависит только от расстояния до центра сферы (или во всех точках, находящихся от центра сферы на одном расстоянии, модуль напряженности постоянен), а направление — радиальное, от центра сферы к точке наблюдения. Выберем в качестве замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса, сферу, концентрическую с заряженной оболочкой (рис. 171).

Пусть радиус сферы r больше радиуса оболочки. Тогда во всех точках этой сферы вектор напряженности направлен вдоль нормали к поверхности, а его модуль постоянен. Поэтому поток вектора напряженности через сферу равен произведению модуля напряженности на площадь сферы \(

\Phi_E = E \cdot 4 \pi r^2\) . По теореме Гаусса это поток равен заряду сферы, деленному на электрическую постоянную \(

\Phi_E = \frac<\varepsilon_0>\) . Из равенства этих выражений получаем зависимость напряженности поля от расстояния

Полученная формула, соответствует формуле закона Кулона для точечного заряда, следовательно, вне сферы, поле равномерно заряженной сферы, совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы. Таким образом, результат, на доказательство которого И. Ньютон затратил несколько лет, получен нами почти автоматически. Подчеркнем, что для доказательства формулы (1) помимо теоремы К. Гаусса, потребовалось рассмотреть симметрию поля.

Поле внутри заряженной сферической оболочки также должно обладать сферической симметрией. Поэтому, поток вектора напряженности электрического поля через сферу, концентрическую с заряженной оболочкой и расположенную внутри нее (рис. 172) также выражается формулой \(

\Phi_E = E \cdot 4 \pi r^2\) .

Однако внутри этой сферы электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы К. Гаусса следует, что напряженность поля внутри сферы равна нулю. Подчеркнем, если бы теорема Гаусса была не справедлива, то внутри равномерно заряженной оболочки существовало бы электрическое поле.

Таким образом, функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса R, имеет вид (график этой функции показан на рисунке 173)

4. Как зависит от расстояния напряженность поля, созданного заряженной сферой? Почему внутри сферы напряженность поля равна нулю?

Внутри сферы напряженность равна нулю, потому что на поверхности сферы всегда найдутся два таких заряда, что создаваемые ими напряженности в точке внутри сферы будут равны по модулю и противоположны по направлению,

Решебник по физике за 10 класс (В.А.Касьянов, 2009 год),
задача №4
к главе «13. Силы электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. §81. Принцип суперпозиции электростатических полей. Ответы на вопросы».

Заряженная сфера. Поле внутри однородно заряженного шара

Рассмотрим полую равномерно заряженную сферу (рис. 1.8, а). Внутри этой сферы можно построить гауссову сферу, концентрическую ей и сколь угодно близко примыкающую к внутренней поверхности заряженной сферы. Внутри гауссовой сферы зарядов нет, следовательно, и поле отсутствует. Теорема Гаусса отвечает на вопрос о поле внутри заряженной сферы сразу и без расчетов.

Полезно, однако, подробнее разобраться в том, почему поле внутри сферы оказалось нулевым. Это поможет глубже понять связь между законом Кулона и теоремой Гаусса.

Рассмотрим произвольную точку А внутри тонкой полой равномерно заряженной сферической поверхности с плотностью заряда q (рис. 1.8, б). Проведем через эту точку четыре прямые линии под очень малыми углами друг к другу так, чтобы они не лежали в одной плоскости. Эти прямые образуют две тонких фигуры наподобие четырехгранных пирамид, основаниями которых будут служить маленькие прямоугольные элементы на поверхности сферы. Если расстояния от точки Л до этих элементов равны г, и г₂, то площади элементов AS_l и Д5₂ будут подчиняться пропорции

Рис. 1.8. Поля заряженной сферы и заряженного шара

Заряды прямоугольных элементов пропорциональны их площадям, и в силу малости элементов их можно считать точечными. Векторы напряженности полей от этих зарядов составят в соответствии с (1.3)

то есть будут равными по абсолютной величине, но направленными навстречу друг другу:

На такие пары уравновешивающих друг друга зарядов можно разбить всю сферу для любой точки внутри ее. Внутри тонкостенной сферы поля нет.

Положим теперь, что стенка сферы имеет конечную толщину. Тогда сферу можно представить как множество тонкостенных концентрических сфер, вложенных друг в друга наподобие кукол — матрешек. Каждая из этих сфер не создает поля внутри себя, следовательно, и все вместе они не создают поля в полости сферы конечной толщины. Таким образом, внутри полой равномерно заряженной сферы поле действительно отсутствует.

Теорему Гаусса можно использовать и для расчета поля внутри заряженных тел. Рассмотрим теперь однородно заряженный шар радиуса R с зарядом в единице объема, равным q. Из соображений симметрии понятно, что поле направлено вдоль радиусов и одинаково по абсолютной величине в точках, равноудаленных от центра шара.

§ 1.12. Поле заряженной плоскости, сферы и шара

Когда заряд распределен по какой-либо поверхности, то для расчета полей удобно ввести поверхностную плотность заряда с. Выделим на плоской поверхности маленький участок площадью ΔS. Пусть заряд этого участка равен Δq. Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда Δq к площади поверхности, по которой он распределен:

Эта плотность может непрерывно изменяться вдоль поверхности. Конечно, электрический заряд имеет дискретную (прерывную) структуру, так как сосредоточен в элементарных частицах. Но если на поверхности площадью ΔS содержится огромное число элементарных зарядов, то дискретную структуру заряда можно не принимать во внимание. Мы ведь пользуемся понятием плотности, считая, что масса непрерывно распределена в пространстве. А на самом деле все тела состоят из дискретных образований — атомов.

В случае равномерного распределения заряда q по поверхности площадью S поверхностная плотность заряда постоянна и равна:

Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Поверхностная плотность заряда σ известна. Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженности представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости. Поле бесконечной плоскости — однородное поле. Во всех точках пространства, независимо от расстояния до плоскости, напряженность поля одна и та же.

Для применения теоремы Гаусса нужно выбрать замкнутую поверхность таким образом, чтобы можно было легко вычислить поток напряженности электрического поля через эту поверхность. В данном случае удобнее всего выбрать цилиндр, образующие которого параллельны линиям напряженности электрического поля, а основания параллельны плоскости (рис. 1.43).

Тогда поток через боковую поверхность цилиндра будет равен нулю. Поэтому полный поток равен потоку через основания цилиндра А и В:

где Е_n — проекция вектора напряженности на нормаль к основанию цилиндра. Полный заряд внутри цилиндра равен σS. Согласно теореме Гаусса

Отсюда модуль напряженности равен:

В СИ эта формула принимает вид:

а в абсолютной системе

Поле равномерно заряженной сферы

Поток напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нулю, так как равен нулю заряд. Это может быть лишь в том случае, когда напряженность поля внутри сферы равна нулю.

Найдем напряженность поля вне сферы. Из соображений симметрии ясно, что линии напряженности начинаются на поверхности сферы (в случае положительного заряда), направлены по радиусам сферы и перпендикулярны ее поверхности (рис. 1.44). Поэтому модуль напряженности поля одинаков во всех точках, лежащих на одинаковых расстояниях от центра сферы.

Проведем сферическую поверхность радиусом r > R, где R — радиус заряженной сферы. Поток напряженности через эту поверхность равен:

Если заряд сферы q, то по теореме Гаусса

Следовательно, модуль напряженности поля при r > R равен:

Таким образом, поле заряженной сферы совпадает вне сферы с полем точечного заряда, расположенного в центре сферы. График зависимости Е(r) изображен на рисунке 1.45.

Поле равномерно заряженного шара

Для характеристики распределения заряда по объему используется понятие объемной плотности заряда. Объемной плотностью заряда называется отношение заряда Δq к объему ΔV, в котором он распределен:

Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд q равномерно распределен по объему V, то объемная плотность заряда постоянна и равна:

Будем считать, что шар радиусом R равномерно заряжен; плотность заряда ρ известна. Полный заряд шара

Напряженность электрического поля вне шара можно найти с помощью теоремы Гаусса точно так же, как и напряженность равномерно заряженной сферы [см. формулу (1.12.9)]:

(при условии, что r > R). Поле аналогично полю точечного заряда q, расположенного в центре шара.

Для нахождения поля внутри шара нужно применить теорему Гаусса к потоку напряженности через сферическую поверхность радиусом к < R (рис. 1.46). Заряд q₁ внутри этой поверхности равен:

Поток напряженности через эту поверхность, согласно теореме Гаусса*, равен:

Отсюда для напряженности поля внутри шара получим выражение:

Напряженность электрического поля линейно растет с увеличением расстояния вплоть до u = R. При r > R она определяется формулой (1.12.12). График модуля напряженности поля в зависимости от расстояния до центра представлен на рисунке 1.47.

Вопрос для самопроверки

1. Заряженный лист фольги имеет такие же размеры, как страница из тетради. Можно ли определить напряженность электрического поля, созданного листом, на расстоянии 0,5 см от него, используя формулу (1.12.4)?

* Мы предполагаем, что диэлектрическая проницаемость среды одинакова внутри и вне шара.