Признак делимости на 6
Признаки делимости позволяют с первого взгляда на число сказать, на какое значение число поделится нацело, а на какое нет. Это существенно ускоряет счет, а так же ускоряет разложение на простые множители, что позволяет быстрее справляться с дробными примерами. Сегодня мы рассмотрим признак делимости на 6.
Число и цифра
В признаках делимости очень большую роль играют различия между числом и цифрой, поэтому обсудим этот факто в отдельности. Итак, цифра представляет собой знак, с помощью которого записывается число. Цифр всего 10: от нуля до 9.
10 это число, которое состоит из двух цифр 1 и 0. Цифры можно считать азбукой математики, а числа – словами. Чисел бесконечно много, а количество цифр ограниченно.
Цифра меняет свое значение в зависимости от положения в числе. Так цифра 9 может означать:
- 9 – 9 единиц;
- 90 – 9 десятков;
- 900 – 9 сотен.
Что такое признак делимости на 6
Правило признака делимости на 6 требует выполнение 2 условий:
- Число должно быть четным. То есть оканчиваться цифрами: 0,2,4,6,8.
- Число должно делиться на 3. Число делится на три, если сумма всех цифр этого числа делится на 3.
Пример
Нужно узнать, можно ли поделить число 1254789 на число 6.
Обратим внимание, что число оканчивается цифрой 9. Эта нечетное число, а значит все значение не может делиться на 6 нацело.
В любых задачах, включая тесты, может возникнуть ситуация, когда правильного ответа просто нет. Этого не нужно бояться. Такие задачи придуманы составителями специально, чтобы проверить уверенность ученика в своем ответе. Если после проверки результат остался прежним – не нужно ничего менять.
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое число и цифра, выявили разницу двух этих понятий. Привели признак делимости на 6, а также рассмотрели несколько примеров.
Признаки делимости чисел
В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.
Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).
- Признак делимости на 2
- Признак делимости на 3
- Признак делимости на 4
- Признак делимости на 5
- Признак делимости на 6
- Признак делимости на 7
- Признак делимости на 8
- Признак делимости на 9
- Признак делимости на 10
- Признак делимости на 11
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.
Примеры:
- 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
- 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.
Примеры:
- 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
- 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
- 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3
Признак делимости на 4
Двузначное число
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.
- 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
- 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а .
Число разрядов больше 2
Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.
- 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
- 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.
Примечание:
Число делится на 4 без остатка, если:
- в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
- в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.
Примеры:
- 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
- 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).
Примеры:
- 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
- 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
- 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.
- 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
- 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
- 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
- 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.
Признак делимости на 8
Трехзначное число
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.
- 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
- 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а .
Число разрядов больше 3
Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
- 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
- 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.
Примеры:
- 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
- 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Примеры:
- 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
- 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.
Признак делимости на 6, примеры, доказательство
Данная статья раскрывает смысл признака делимости на 6 . Будет введена его формулировка с примерами решений. Ниже приведем доказательство признака делимости на 6 на примере некоторых выражений.
Признак делимости на 6, примеры
Формулировка признака делимости на 6 включает в себя признак делимости на 2 и на 3 : если число оканчивается на цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , а сумма цифр делится без остатка на 3 , значит, такое число делится на 6 ; при отсутствии хотя бы одного условия заданное число на 6 не поделится. Иначе говоря, число будет делиться на 6 , когда оно поделится на 2 и на 3 .
Применение признака делимости на 6 работает в 2 этапа:
- проверка делимости на 2 , то есть число должно оканчиваться на 2 для явной делимости на 2, при отсутствии цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 в конце числа деление на 6 невозможно;
- проверка делимости на 3 , причем проверка производится при помощи деления суммы цифр числа на 3 без остатка, что означает возможность делимости всего числа на 3 ; исходя из предыдущего пункта видно, что все число делится на 6 , так как выполняются условия для деления на 3 и на 2 .
Проверить, может ли число 8 813 делиться на 6 ?
Решение
Очевидно, что для ответа нужно обратить внимание на последнюю цифру числа. Так как 3 не делится на 2 , отсюда следует, что одно условие не выполняется. Получаем, что заданное число на 6 не поделится.
Узнать, возможно ли деление числа 934 на 6 без остатка.
Решение
Обращаем внимание на последнюю цифру заданного числа. Так как 4 удовлетворяет первому признаку, то есть делится на 2 , то следует проверить на выполнимость второе условие. В данном случае сумма цифр должна поделиться на 6 . Получаем, что из числа 934 полагается сумма 9 + 3 + 4 = 16 . Так как 16 на 3 не делится, то отсюда делаем вывод, что заданное число на 6 не поделится.
Проверить делимость на 6 числа − 7 269 708 .
Решение
Переходим к последней цифре числа. Так как ее значение равняется 8 , то первое условие выполнимо, то есть 8 делится на 2 . Переходим к проверке на выполнимость второго условия. Для этого складываем цифры заданного числа 7 + 2 + 6 + 9 + 7 + 0 + 8 = 39 . Видно, что 39 делится на 3 без остатка. То есть получаем ( 39 : 3 = 13 ) . Очевидно, что оба условия выполняются, значит, что заданно число разделится на 6 без остатка.
Ответ: да, делится.
Чтобы проверить делимость на 6 , можно выполнить непосредственно деление на число 6 без проверки признаков делимости на него.
Доказательство признака делимости на 6
Рассмотрим доказательство признака делимости на 6 с необходимыми и достаточными условиями.
Для того, чтобы целое число a делилось на 6 , необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2 и на 3 .
Для начала необходимо доказать, что делимость числа a на 6 обуславливает его делимость на 2 и на 3 . Использование свойства делимости: если целое число делится на b , тогда произведение m·a с m, являющимся целым числом, также делится на b .
Отсюда следует, что при делении a на 6 можно использовать свойство делимости для того, чтобы представить равенство в виде a = 6 · q , где q является некоторым целым числом. Такая запись произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на 2 и на 3 . Необходимость доказана.
Для полного доказательства делимости на 6 , следует доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится на 2 и на 3 , то оно делится и на 6 без остатка.
Необходимо применение основной теоремы арифметики. Если произведение нескольких целых положительных и не равных единицам множителей делится на простое число p , тогда хотя бы один множитель делится на p .
Имеем, что целое число a поделится на 2 , тогда существует такое число q , когда a = 2 · q . Это же выражение делится на 3 , где 2 · q делится на 3 . Очевидно, что 2 на 3 не делится. Из теоремы следует, что q должно делиться на 3 . Отсюда получим, что имеется целое число q 1 , где q = 3 · q 1 . Значит, полученное неравенство вида a = 2 · q = 2 · 3 · q 1 = 6 · q 1 говорит о том, что число a будет делиться на 6 . Достаточность доказана.
Другие случаи делимости на 6
В данном пункте рассматриваются способы доказательств делимости на 6 с переменными. Такие случаю предусматривают другой метод решения. Имеем утверждение: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение поделится на это число. Иначе говоря, при представленном заданном выражении в виде произведения хотя бы один из множителей делится на 6 , то все выражение будет делиться на 6 .
Такие выражения проще решать при помощи подстановки формулы бинома Ньютона.
Определить, будет ли выражение 7 n — 12 n + 11 делиться на 6 .
Решение
Представим число 7 в виде суммы 6 + 1 . Отсюда получаем запись вида 7 n — 12 n + 11 = ( 6 + 1 ) n — 12 n + 11 . Применим формулу бинома Ньютона. После преобразований имеем, что
7 n — 12 n + 11 = ( 6 + 1 ) n — 12 n + 11 = = ( C n 0 · 6 n + C n 1 · 6 n — 1 + . . . + + C n n — 2 · 6 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 6 · 1 n — 1 + C n n · 1 n ) — 12 n + 11 = = ( 6 n + C n 1 · 6 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 6 2 + n · 6 + 1 ) — 12 n + 11 = = 6 n + C n 1 · 6 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 6 2 — 6 n + 12 = = 6 · ( 6 n — 1 + C n 1 · 6 n — 2 + . . . + C n n — 2 · 6 1 — n + 2 )
Полученное произведение делится на 6 , потому как один из множителей равняется 6 . Отсюда следует, что n может быть любым целым натуральным числом, причем заданное выражение поделится на 6 .
Когда выражение задается при помощи многочлена, тогда следует произвести преобразования. Видим, что требуется прибегнуть к разложению многочлена на множители. получим, что переменная n примет вид и запишется как n = 6 · m , n = 6 · m + 1 , n = 6 · m + 2 , … , n = 6 · m + 5 , число m является целым. Если делимость при каждом n будет иметь смысл, то делимость заданного числа на 6 при любом значении целого n будет доказана.
Доказать, что при любом значении целого n выражение n 3 + 5 n поделится на 6 .
Решение
Для начала разложим на множители заданное выражение и получим, что n 3 + 5 n = n · ( n 2 + 5 ) . Если n = 6 · m , тогда n · ( n 2 + 5 ) = 6 m · ( 36 m 2 + 5 ) . Очевидно, что наличие множителя числа 6 говорит о том, что выражение делится на 6 для любого целого значения m .
Если n = 6 · m + 1 , получаем
n · ( n 2 + 5 ) = ( 6 m + 1 ) · 6 m + 1 2 + 5 = = ( 6 m + 1 ) · ( 36 m 2 + 12 m + 1 + 5 ) = = ( 6 m + 1 ) · 6 · ( 6 m 2 + 2 m + 1 )
Произведение будет делиться на 6 , так как имеет множитель, равняющийся 6 .
Если n = 6 · m + 2 , то
n · ( n 2 + 5 ) = ( 6 m + 2 ) · 6 m + 2 2 + 5 = = 2 · ( 3 m + 1 ) · ( 36 m 2 + 24 m + 4 + 5 ) = = 2 · ( 3 m + 1 ) · 3 · ( 12 m 2 + 8 m + 3 ) = = 6 · ( 3 m + 1 ) · ( 12 m 2 + 8 m + 3 )
Выражение будет делиться на 6 , так как в записи имеется множитель 6 .
Таким же образом выполняется и для n = 6 · m + 3 , n = 6 · m + 4 и n = 6 · m + 5 . При подстановке придем к тому, что при любом целом значении m эти выражения будут делиться на 6 . Отсюда следует, что заданное выражение поделится на 6 при любом целом значении n .
Теперь рассмотрим на примере решения при помощи задействования метода математической индукции. Будет произведено решение по условию первого примера.
Доказать, что выражение вида 7 n — 12 n + 11 будет делиться на 6 , где примет любые целые значения выражения.
Решение
Данный пример решим по методу математической индукции. Алгоритм выполним строго пошагово.
Произведем проверку делимости выражения на 6 при n = 1 . Тогда получаем выражение вида 7 1 — 12 · 1 + 11 = 6 . Очевидно, что 6 поделится само на себя.
Возьмем n = k в исходном выражении. Когда оно будет делиться на 6 , тогда можно считать, что 7 k — 12 k + 11 будет делиться на 6 .
Перейдем к доказательству деления на 6 выражения вида 7 n — 12 n + 11 при n = k + 1 . Отсюда получим, что необходимо доказать делимость выражения 7 k + 1 — 12 · ( k + 1 ) + 11 на 6 , причем следует учитывать то, что 7 k — 12 k + 11 делится на 6 . Преобразуем выражение и подучим, что
7 k + 1 — 12 · ( k + 1 ) + 11 = 7 · 7 k — 12 k — 1 = = 7 · ( 7 k — 12 k + 11 ) + 72 k — 78 = = 7 · ( 7 k — 12 k + 11 ) + 6 · ( 12 k — 13 )
Очевидно, что первое слагаемое будет делиться на 6 , потому как 7 k — 12 k + 11 делится на 6 . Второе слагаемое также делится на 6 , потому как один из множителей равен 6 . Отсюда делаем вывод, что все условия соблюдены, а значит, что вся сумма будет делиться на 6 .
Метод математической индукции доказывает, что заданное выражение вида 7 n — 12 n + 11 будет делиться на 6 , когда n примет значение любого натурального числа.
Признаки делимости натуральных чисел
Привет) Сегодня я хочу поговорить с вами об одном важном инструменте математики. Признаки делимости натуральных чисел — один из полезных навыков для быстрого счета.
Признак делимости на 2
Число делится на два, если оно четное (оканчивается на ноль или четное число – 2,4,6,8)
Например:
172 делится на 2 , т.к. оканчивается на цифру 2 (четное число);
436 делится на 2 , т.к. оканчивается на цифру 6 (четное число);
39587268 делится на 2 , т.к. оканчивается на цифру 8 (четное число);
Признак делимости на 3
Число делится на три, если сумма его цифр делится на три.
Например:
171 делится на 3 , т.к. 1+7+1=9, а 9 делится на 3;
45132 делится на 3 , т.к. 4+5+1+3+2=15, а 15 делится на 3;
Признак делимости на 4
Число делится на четыре, если две его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.
Например:
144 делится на 4 , т.к. оканчивается на цифру 44, а 44:4=11 ;
6724 делится на 4 , т.к. оканчивается на цифру 24, а 24:4=6;
Признак делимости на 5
Число делится на пять, если оно оканчивается на 0 или 5.
Например:
135 делится на 5 , т.к. оканчивается на цифру 5;
1760 делится на 5 , т.к. оканчивается на цифру 0;
93416295 делится на 5 , т.к. оканчивается на цифру 5;
Признак делимости на 6
Число делится на шесть, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно (т.е. оно четное и сумма его цифр делится на 3).
Например:
252 делится на 6 , т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 2+5+2=9 делится на 3;
4512 делится на 6 , т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 4+5+1+2=12 делится на 3;
94834578 делится на 6 , т.к. оканчивается на четную цифру 8 и сумма его цифр 9+4+8+3+4+5+7+8=48 делится на 3;
Признак делимости на 7
1) Число делится на 7, если утроенное число его десятков, сложенное с цифрой его единиц, делится на 7.
Например:
84 делится на 7 , т.к. 8*3+4=28, а 28 делится на 7;
182 делится на 7 , т.к. 18*3+2=56, а 56 делится на 7;
2) Число делится на 7, если разность удвоения единицы числа и оставшегося числа делится на 7.
Например:
448 делится на 7 , т.к. 44-8*2=28, а 28 делится на 7;
658 делится на 7 , т.к. 65-8*2=49, а 49 делится на 7;
Признак делимости на 8
1) Число делится на 8, если три его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.
Например:
45000 делится на 8 , т.к. оканчивается на три нуля;
2136 делится на 8 , т.к. 136:8=17;
2) Трёхзначное число делится на 8, если цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой десятков и учетверённой цифрой сотен, делится на 8.
Например:
136 делится на 8 , т.к. 6+2*3+4*1=16, а 16 делится на 8;
872 делится на 8 , т.к. 2+7*2+8*4=48, а 48 делится на 8;
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Например:
459 делится на 9 , т.к. 4+5+9=18 делится на 9;
123534 делится на 9 , т.к. 1+2+3+5+3+4=18 делится на 9;
Признак делимости на 10
Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.
Например:
350 делится на 10 , т.к. оканчивается на 0;
200 делится на 10 , т.к. оканчивается на 0;
Признак делимости на 11
Число делится на 11, если группы, образующие по две цифры (начиная с единиц) делятся на 11.
Например:
121 делится на 11 , т.к. 01+21=22, а 22 делится на 11;
627 делится на 11 , т.к. 06+27=33, а 33 делится на 11;
1859 делится на 11 , т.к. 18+59=77, а 77 делится на 11;
Признак делимости на 25
Число делится на 25, если две его последние цифры нули или составляют число, которое делится на 25.
Например:
3450 делится на 25 , т.к. оканчивается на 50, которое делится на 25;
78475 делится на 25 , т.к. оканчивается на 75, которое делится на 25;
4568100 делится на 25 , т.к. оканчивается двумя нулями;
Для того, чтобы вы проверили свои умения применять признаки делимости натуральных чисел на практике, предлагаю вам поработать с тренажером:
Обязательно сохраните закладку на эту страницу, чтобы периодически напоминать себе о признаках делимости и проверять свои умения. И конечно же пишите, если возникли какие-либо вопросы, в комментариях ниже.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.