Как найти присоединенный вектор

матрица — Присоединенный вектор

Здравствуйте! Есть матрица A
4 6 -15
1 3 -5
1 2 -4
У неё собств значение, равное 1, кратности три.
Решая (A-E)X=0 находим два собств вектора: a=(-2 1 0) и b=(5 0 1)
Как найти присоединенные? Какой из данных собственных выбирать?
Да и вообще, проблема в том, что ни одна из систем (A-E)X=a и (A-E)X=b не является совместной.

задан 5 Ноя ’18 0:11

1 ответ

Присоединённый ищется к некоторому собственному вектору из подпространства, образованного двумя найденными векторами. то есть решаете систему $$ (A-\lambda E)h = \alpha \begin-2 \\ 1 \\ 0\end + \beta\begin5 \\ 0 \\ 1\end $$ и ищите $%\alpha,\beta$% при которых система совместна.

отвечен 5 Ноя ’18 0:36

@all_exist, спасибо Почему тогда когда собственный вектор один, то мы ищем ровно в том виде, к-ыы записан выше? То есть в ваших обозначениях полагая альфа единицей

@all_exist, не подскажете ещё, пожалуйста, где почитать теорию по этому? На первой странице поиска «присоединённый вектор» во всех ссылках не нашлось той формулы, которую вы написали

@Ghosttown, ну, если собственное подпространство одномерно, то ищем присоединённый для единственного базисного вектора этого подпространства.

А если подпространство не одномерно, то не для всех векторов есть присоединённые. вот и ищите тот, для которого присоединённый есть.

По поводу «почитать про эту формулу». сейчас более модно рассматривать ядро оператора $%(A-\lambda E)^2$%. а потом восстанавливать требуемый собственный вектор.

§10. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме.

1. Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования.

Пусть — некоторое собственное значение преобразования_{. Мы уже имели раньше такое определение.}

_{Определение 1. Вектор называется собственным вектором преобразования , отвечающим собственному значению , если}

, т.е. .

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном . Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства.

Мы обозначим его . Легко видеть, чтоинвариантно относительно преобразования(проверьте!).

Заметим, что подпространство состоит из всех собственных векторов преобразования, отвечающих собственному значению, к которым добавлен еще нулевой вектор.

_{Определение 2. Вектор называется присоединенным вектором первого порядка преобразования , отвечающим собственному значению , если вектор является собственным вектором преобразования .}

_Пусть — собственное значение преобразования. Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов, для которых выполнено условие

,

_{т.е. ядро преобразования} . Обозначим это подпространство;является инвариантным подпространством пространства. В самом деле, пусть, т.е.. Нам надо доказать, что и вектор, т.е. что. Но преобразованиеперестановочно с, т.е..

Рассмотрим несколько более подробно структуру пространства . В нем есть векторы двух типов.

Если , т.е., то подавно и, т.е.. Таким образом,целиком содержится в. Если, но, т.е.,, то— присоединенный вектор первого порядка. Действительно, в этом случае _{есть собственный вектор.}

_{Таким образом, подпространство} получается, если к подпространствудобавить присоединенные векторы первого порядка.

Аналогично вводим подпространство , состоящее из всех векторов, для которых

.

Это подпространство инвариантно относительно преобразования . Ясно, что подпространствосодержит предыдущее подпространство.

_{Определение 3. Вектор называется присоединенным вектором -го порядка, если вектор является присоединенным вектором — го порядка.}

По индукции можно показать, что если _{— присоединенный вектор -го порядка, то} ,. Другими словами, присоединенным вектором_{-го порядка называется вектор, принадлежащий} и не принадлежащий.

Пример. Пусть пространство многочленов степении преобразование— дифференцирование:. Легко видеть, чтоесть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор. Найдем для этого преобразования пространства. По определениюсостоит из всех многочленов, для которых, т.е.. Это будут все многочлены, степень которых не превышает. Присоединенными векторами будут многочлены, степень которых в точности равна.

В этом примере размерность каждого из подпространств равнаи она растет отдовместе с ростом. Подпространствоуже совпадает со всем пространством, и если мы захотим определить,и т.д., то все эти подпространства будут совпадать с.

Легко видеть также, что в этом примере . Это следует из того, что каждый многочлен степениесть производная от многочлена степени.

Упражнение. Показать, что для любого линейного преобразования имеет место включение.

Пусть — линейное преобразование, а— его собственное значение. Покажем, что подпространствасначала строго возрастают с ростом индекса, а затем, начиная с некоторого номера, этот рост прекращается, т.е.(смотрите приведенный в этом пункте пример).

Мы уже показали, что каждое подпространство содержит, т.е. что с увеличением номера подпространства, а значит и из размерности, могут только увеличиваться.

Так как наше пространство конечномерно, то для какого-то мы впервые получим, что.

Докажем, что в этом случае , т.е. что дальнейшего возрастания подпространства не будет.

Действительно, предположим противное, а именно, что , но для некоторогоподпространствострого больше, чем. Тогда существует вектортакой, что,. Это значит, что

, но .

Обозначим через вектор. Тогда первое из выражений (4) означает, что, а второе, что, что невозможно, так как подпространстваипо предположению совпадают.

Итак, пусть — некоторое собственное значение преобразования. Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства, состоящего из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению. Его называют корневым подпространством, соответствующим собственному числу. Кроме того, в п. 3 нам понадобится более детальная структура. А именно, обозначая черезподпространство, состоящее из присоединенных векторов порядка, мы получили возрастающую цепочку инвариантных подпространств

.

Все члены этой цепочки различны. Подпространство состоит при этом из всех векторов, для которых, т.е. это есть ядро преобразования.

Преобразование переводит каждое из подпространств цепочки (5) в предшествующее.

Метод присоединенных векторов

Как известно, в общем случае собственные векторы квадратной матрицы нс образуют базиса пространства R», зато его образует жорданов базис, среди элементов которого, наряду с собственными векторами, присутствуют так называемые присоединенные векторы. Покажем, как, имея присоединённый вектор, построить решение линейной однородной системы.

Пусть X — собственный корень характеристического уравнения однородной системы кратности 2 и Р, — его единственный собственный вектор

Определение 3.5. Присоединённым вектором к собственному вектору Р! называется вектор Р₂, являющийся решением уравнения

Покажем, что вектор

является решением однородной системы

Учитывая (3.65), (3.66), получаем

Нетрудно также убедиться, что К, и У₂ линейно независимы.

В общем случае корню характеристического уравнения Л кратности к > 1, имеющему один собственный вектор Р_и соответствует к линейно независимых решений

где Р₂,Р_>. Р_к — векторы, присоединённые к собственному вектору Р_<. Они являются последовательными решениями следующих алгебраических систем

Если корню характеристического уравнения Л кратности к > 1, имеет несколько линейно независимых собственных векторов, то каждый из них может порождать цепочку присоединенных векторов. При этом число всех собственных и присоединенных к ним векторов равняется кратности корня.

Пр нмер 3.6. Решить методом присоединенных векторов

Решение. Данная система рассматривалась в примере 3.5, где было установлено, что характеристическое уравнение имеет единственный корень А = 2 кратности 2, которому соответствует единственный собственный вектор

Найдем присоединенный к нему вектор Р₂

где р₂1 и р₂₂ — элементы вектора Р₂. Имеем

Решая эту систему, находим

Таким образом, у нас имеется некоторый произвол в выборе вектора Р₂. Полагая р_2] = 0, получаем р₂₂ = 1. Следовательно,

По формулам (3.68) находим фундаментальный набор решений системы

Нетрудно убедиться, что оно совпадает с решением, полученным в примере 3.5 (см. соотношение (3.64)).

П.6.3. Линейные стационарные системы разностных уравнений

Для решения примеров данного раздела практикума будем руководствоваться теорией, изложенной в параграфах 7.5, 7.6.

Решим систему разностных уравнений Решение. Составим характеристическое уравнение:

Итак, X, = Х₂ = А₃ = 2. Найдем жорданов базис. Для нахождения собственных векторов выпишем систему уравнений = Х5₍, 5₍ Ф 0. Матрица этой системы

Решаем систему уравнений, выполняя элементарные преобразования над ее матрицей. Поставим третью строчку на первое место. Теперь умножим новую первую строчку на 2 и вычтем из второй строчки. Умножим первую строчку на 3 и вычтем из третьей строчки. Вычтем из третьей строчки вторую. Имеем

Таким образом, в качестве собственного вектора мы можем взять,

например, 5 1 = 2 .

Найдем присоединенный вектор высоты 1, т.е. присоединенный вектор 5₂, координаты которого удовлетворяют системе уравнений AS₂ = T.S₂ + 5,, где 5, — собственный вектор. Расширенная матрица этой системы имеет вид

Решаем систему, выполняя элементарные преобразования над ее расширенной матрицей. Поставим третью строчку на первое место. Теперь умножим новую первую строчку на 2 и вычтем из второй строчки. Умножим первую строчку на 3 и вычтем из третьей строчки. Вычтем из третьей строчки вторую. Имеем

Получилось Х = х₃ + 1, х₂ = 2х₃ + 1. В качестве присоединенного век- тора мы можем выбрать, например, S₂= -1 .

Будем искать присоединенный вектор высоты 2, т.е. присоединенный вектор 5₃, координаты которого удовлетворяют системе уравнений Л5₃ = А5₃ + 5₂, где 5₂ — присоединенный вектор высоты 1. Расширенная матрица этой системы имеет вид

Решаем систему, выполняя элементарные преобразования над ее расширенной матрицей. Поставим третью строчку на первое место. Теперь умножим новую первую строчку на 2 и вычтем из второй строчки. Умножим первую строчку на 3 и вычтем из третьей строчки. Вычтем из третьей строчки вторую. Имеем

Получилось х_г = лг₃ — 1, х₂ = — 2 + 2х₃. Таким образом, в качестве

присоединенного вектора мы можем выбрать, например, 5₃ = 0 . Итак,

матрица перехода 5= 2 -1 0 , жорданова форма нашей исходной

матрицы системы уравнений J = 0 2 1 , поэтому

а фундаментальная матрица решений нашей системы SJ k . Другими словами, фундаментальная система решений нашей системы уравнений:

Решим систему разностных уравнений

Решение. Выпишем характеристическое уравнение:

Таким образом, собственные числа = 1, Я₂ = 3. Для нахождения собственного вектора 5_1? соответствующего первому собственному числу, выпишем систему уравнений AS _<= S _<Ф 0. Матрица этой системы

так что в качестве собственного вектора можно взять, например,

Sj = . Для нахождения сооственного вектора S₂, соответствующего

второму собственному числу, выпишем систему уравнений AS₂ =

S₂ Ф 0. Матрица этой системы

так что в качестве собственного вектора S₂ можно взять, например,

S₂ = . Таким образом, общее решение линейной однородной системы

имеет вид

Найдем частное решение нашей линейной неоднородной системы.

cos —h/sin— = 3i не является корнем характеристического

полинома и степень полинома от k в правой части второго из уравнений системы равна нулю (полином в данном случае — это константа 5), частное решение будем искать в виде

Константы а, b, с> d найдем методом неопределенных коэффициентов. Имеем и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях, получаем систему

Решая данную систему уравнений, находим а = -^, b = ——, с = , d = .

Таким образом, общее решение нашей неоднородной разностной системы имеет вид

Решим систему уравнений

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

Для корня X = 2 + i найдем собственный вектор (а, b):

( 1 ^

Можно положить а- , b = +i. Имеем собственный вектор 5, = .

Так как наша разностная система уравнений имеет только вещественные коэффициенты, то собственный вектор 5₂, соответствующий собственному числу X — 2 — i, будет комплексно-сопряженным с найден-

ным собственным вектором S: S₂ = ^ . • Общее комплексное решение

системы имеет вид

где С и С₂ — произвольные комплексные постоянные. Чтобы получить два вещественных решения, надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решения. Имеем

Общее вещественное решение заданной системы имеет вид

где C_t и С₂ — произвольные вещественные постоянные.

Пример П.101

Решим неоднородную систему разностных уравнений Решение. Сначала для однородной системы

Находим собственный вектор, соответствующий первому собственному числу, для этого решаем систему уравнений

Исходя из данной системы, в качестве собственного вектора можем

Найдем собственный вектор, соответствующий второму собственному числу, для этого решим систему уравнений

Исходя из данной системы, в качестве собственного вектора можем

Линейно независимыми решениями линейной однородной системы являются

Частное решение нашей неоднородной системы будем искать в виде

методом неопределенных коэффициентов. Получаем

Сокращая на 3* и преобразовывая уравнения, находим

откуда b = -1, а = 1. Таким образом, общее решение заданной неоднородной разностной системы

Решим систему разностных уравнений

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

откуда = ЗД₂ = А,₃ = 0. Для простого корня Х_< = 3 находим собственный вектор (а, Ь, с), решая систему

Матрица данной системы имеет вид

Решаем систему уравнений, выполняя элементарные преобразования над ее матрицей. Умножим первые две строчки на -1, затем вычтем из третьей строчки первую. После этого вычтем из третьей строчки вторую, а к первой строчке прибавим вторую. Имеем

Таким образом, в качестве собственного вектора можем взять, напри- мер, = 4 . Для кратного корня Л = 0 найдем жорданов базис. Для нахож-

дения собственных векторов выпишем систему уравнений AS^ = XS, 5j ф 0. Матрица этой системы

Решаем систему уравнений, выполняя элементарные преобразования над ее матрицей. Поменяем местами первую и третью строки и разделим вторую строку на 2. Теперь вычтем из третьей строки первую, умноженную на 2. После этого вычтем из третьей строки вторую. Имеем

Таким образом, в качестве собственного вектора мы можем выбрать,

например, 5₂ = -2 . Найдем присоединенный вектор. Выпишем систему

Расширенная матрица этой системы имеет вид

Решаем систему, выполняя элементарные преобразования над ее расширенной матрицей. Поменяем местами первую и третью строчки, а вторую строчку разделим на 2. Теперь вычтем из третьей строчки первую строчку, умноженную на два. После этого вычтем из третьей строчки вторую. Имеем

Получилось х, = 1 +х₃,х₂ = -1 — 2х₃. Таким образом, в качестве присое-

диненного вектора мы можем выбрать, например, 5₃ = -1 . Итак, матрица

перехода 5=4 -2 -1 , жорданова форма нашей исходной матрицы

системы уравнений 1-0 0 1 , поэтому

фундаментальная матрица решений нашей системы SJK Другими словами, фундаментальная система решений нашей системы уравнений

а общее решение имеет вид

Исследуем устойчивость нулевого положения равновесия линейной однородной стационарной системы разностных уравнений

Решение. Найдем собственные числа матрицы системы А =

_{т Л} , -1 ±71^2 1 i

1огда собственные числа матрицы А₁₂ =—= —±—.

Таким образом, |А,[| = |Х₂1 = ^- 1, |Х₂| > 1. Следовательно, нулевое положение равновесия неустойчиво.

Требуется найти все значения параметра b* 1, при которых асимптотически устойчиво нулевое положение равновесия линейной системы разностных уравнений

(Ъ -О

Тогда характеристическое уравнение

Решение. Матрица системы имеет вид А =

Собственные числа матрицы

Посмотрим, при каких значениях параметра b квадратный трехчлен Ь 2 + 2Ь — 3 положителен, а при каких отрицателен. Корни этого трехчлена: b_l=-3,b₂ = 1. Значит, при -3 1 — положителен.

Пусть сначала -3 1. Посмотрим, при каких значениях b собственные числа матрицы А по модулю меньше единицы: