Как найти интегральные кривые дифференциального уравнения

1.3. Метод изоклин

Рассмотрим более подробно применение геометрического подхода к построению решений дифференциальных уравнений первого порядка.

определяет в каждой точке (x, y), где существует функция f(x, y), значение y’, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке.

Если в каждой точке области D задано значение некоторой величины, то говорят, что в области D задано поле этой величины.

Таким образом, дифференциальное уравнение (3.1) определяет поле направлений.

Тройка чисел (x, y, y’) определяет направление прямой, проходящей через точку (x, y). Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (3.1) может быть теперь истолковано так: найти такую прямую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Задача построения интегральной кривой часто решается с помощью метода изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным прямым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (3.1) определяется уравнением

где k – параметр. Строя достаточно густую сеть изоклин, т.е. давая k близкие числовые значения, мы можем достаточно точно построить интегральную кривую дифференциального уравнения (3.1).

З а м е ч а н и е 1. Нулевая изоклина f(x, y) = 0 дает уравнение линий, на которых могут располагаться точки максимума и минимума интегральных кривых. Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Для этого находят y’’ в силу уравнения (3.1)

и приравнивают ее нулю. Линия, определяемая уравнением

и есть геометрическое место точек перегиба, если они существуют.

З а м е ч а н и е 2. Точки пересечения двух или нескольких изоклин являются особыми точками дифференциального уравнения (3.1), так как. в них направление интегральных кривых становится неопределенным.

Например, рассмотрим уравнения . семейство изоклин определяется уравнением . Это семейство прямых, проходящих через начало координат, т. е. В начале координат, пересекаются изоклины, отвечающие различным наклонам касательных к интегральным кривым. Не трудно убедится, что общее решение данного уравнения имеет вид

y = Cx и точка (0, 0) является особой точкой дифференциального уравнения. Здесь изоклины являются интегральными кривыми уравнения (рис. 2).

Пример 1. С помощью изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения y’ = 2x – y.

Р е ш е н и е. Для получения уравнения изоклин положим y’ =k (k = const). Имеем

2x – y = k или y = 2x – k.

Изоклинами являются параллельные прямые. При k=0 получим изоклину y = 2x. Эта прямая делит плоскость XOY на две части, в каждой из которых производная y’ имеет один и тот же знак (рис. 3).

Интегральные кривые, пересекая прямую y = 2x, переходят из области убывания функции y(х) в область

возрастания, и наоборот, а значит, на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых, именно точки минимума.

Возьмем еще две изоклины:

k = -1, y = 2x +1 и k = 1, y = 2x – 1.

Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения с изоклинами k = -1 и k = 1, образуют с осью OX углы в 135 о и 45 о соответственно. Найдем далее вторую производную

y’ = 2 – y’ = 2 – 2x +y.

Прямая y = 2x –2, на которой y’’ = 0, является изоклиной, получаемой при k =2, и в тоже время интегральной линией, в чем можно убедиться подстановкой в уравнение. Так как правая часть данного уравнения f(x, y) = 2x – y удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности во всей плоскости XOY, то остальные интегральные кривые не пересекают эту изоклину. Изоклина y = 2x, на которой находятся точки минимума интегральных кривых, расположена над изоклиной y = 2x – 2, а по этому интегральные кривые, проходящие ниже изоклины y = 2x – 2, не имеют точек экстремума.

Прямая y = 2x – 2 делит плоскость XOY на две части, в одной из которых ( расположенной над прямой ) y>0, а значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, а в другой y” <0 и значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вниз. Так как. интегральные кривые не пересекают прямой y = 2x – 2, то она не является геометрическим местом точек перегиба. Следовательно, интегральные кривые данного уравнения не имеют точек перегиба.

Проведенное исследование позволяет нам приближенно построить семейство интегральных кривых уравнения (рис. 3).

Рассмотрим простейшие и наиболее распространенные в приложениях случаи, когда уравнение (3.1) интегрируемо в квадратурах.

Метод изоклин для дифференциальных уравнений 1-го порядка

Если в каждой точке области определяет направление прямой, проходящей через точку . Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Задача построения интегральной кривой часто решается введением изоклин . Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (1) определяется уравнением

где Замечание 1. Нулевая изоклина дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых.

Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Для этого находят в силу уравнения (1):

и приравнивают ее нулю. Линия, определяемая уравнением

и есть возможное геометрическое место точек перегиба.

Пример 1. С помощью изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения .

Решение. Для получения уравнения изоклин положим , тогда или .

Изоклинами являются параллельные прямые. При на две части, в каждой из которых производная имеет один и тот же знак (рис. 6).

Интегральные кривые, пересекая прямую , переходят из области убывания функции в область возрастания, и наоборот, а значит на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых, именно точки минимума.

Возьмем еще две изоклины: и .

Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения с изоклинами и , образуют с осью углы в и соответственно. Найдем далее вторую производную .

Прямая , на которой , является изоклиной, получаемой при удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности во всей плоскости , то остальные интегральные кривые не пересекают эту изоклину. Изоклина , на которой находятся точки минимума интегральных кривых, расположена над изоклиной , а поэтому интегральные кривые, проходящие ниже изоклины , не имеют точек экстремума.

Прямая делит плоскость на две части, в одной из которых (расположенной над прямой) , а значит интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, а в другой и, значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вниз. Интегральные кривые не пересекают прямой , значит, она не является геометрическим местом точек перегиба. Интегральные кривые данного уравнения не имеют точек перегиба.

Проведенное исследование позволяет нам приближенно построить семейство интегральных кривых уравнения (рис.6).

Пример 2. Методом изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения .

Решение. Полагая , где , получаем уравнение изоклин , причем . При получим , откуда

Интегральные кривые в точках пересечения с этими изоклинами имеют горизонтальные касательные.

Определим, имеют ли интегральные кривые на изоклинах экстремум. Для этого найдем вторую производную:

Если четное, то , и, значит, в точках пересечения с изоклинами , интегральные кривые имеют минимум; если же нечетное, то и интегральные кривые в точках пересечения с изоклинами имеют максимум. Находим изоклины:

Изоклинами являются параллельные прямыми с угловым коэффициентом, равным –1 , т. е. изоклины пересекают ось под углом . Легко убедиться в том, что изоклины , являются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения (для этого достаточно подставить функции в уравнение ).

Во всех точках плоскости правая часть данного уравнения, т.е. функция , удовлетворяет всем условиям теоремы существования и единственности, а поэтому интегральные кривые не пересекаются, и, следовательно, не пересекают изоклины . Производная обращается в ноль при , т.е. на изоклинах (6), и при , т. е. на изоклинах (6) и (7). При переходе (слева направо) через изоклины (7) меняет знак с плюса на минус. Например, если рассмотреть полосу, заключенную между изоклинами и , то на изоклине производная , причем под изоклиной . Значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, а над изоклиной , значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вниз. Таким образом, изоклины (7) являются геометрическим местом точек перегиба интегральных кривых. Полученные данные позволяют приближенно построить семейство интегральных кривых данного уравнения. Для более точного построения следует нанести еще несколько изоклин (рис. 7).

Пример 3. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения .

Решение. Положим . Тогда уравнение изоклин будет

Изоклинами являются параболы с вертикальной осью симметрии . Среди изоклин нет интегральных кривых. В самом деле, подставляя в данное уравнение и , будем иметь , или интегральные кривые будут иметь горизонтальные касательные. Изоклина разбивает плоскость на две части: в одной из них (решения убывают), а в другой (решения возрастают). И так как эта изоклина не является интегральной кривой, то на ней находятся точки экстремума интегральных кривых, именно на той части параболы , где — точки минимума, а на другой части этой параболы, где — точки максимума. Интегральная кривая, проходящая через точку , т.е. через вершину параболы , в этой точке не имеет экстремума. В точках изоклин и касательные к интегральным кривым имеют угловые коэффициенты, соответственно равные 1 и –1.

Для исследования направления вогнутости интегральных кривых найдем вторую производную:

Она обращается в ноль только в точках, лежащих на параболе . В точках плоскости , координаты которых удовлетворяют условию , интегральные кривые вогнуты вниз , а в точках, где , они вогнуты вверх . Точки пересечения интегральных кривых с параболой являются точками перегиба этих кривых. Итак, парабола есть геометрическое место точек перегиба интегральных кривых.

Правая часть исходного уравнения во всех точках плоскости удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, поэтому через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Используя полученные сведения, строим приближенно семейство интегральных кривых данного уравнения (рис. 8).

Замечание 2. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения (1), т.е. такими точками, в которых правая часть уравнения (1) не определена.

Рассмотрим уравнение . Семейство изоклин определяется уравнением . Это семейство прямых, проходящих через начало координат, так что в начале координат пересекаются изоклины, отвечающие различным наклонам касательных к интегральным кривым. Нетрудно убедиться, что общее решение данного уравнения имеет вид и точка является особой точкой дифференциального уравнения. Здесь изоклины являются интегральными кривыми уравнения (рис. 9).

Пример 4. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения .

Решение. Полагая , получаем уравнение семейства изоклин . Таким образом, изоклинами являются прямые, проходящие через начало координат .

При , при , при найдем изоклину , во всех точках которой интегральные кривые имеют вертикальные касательные.

В точке пересекаются все изоклины данного уравнения (особая точка уравнения). С помощью полученных изоклин строим интегральные кривые (рис. 10).

Как найти интегральные кривые дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка ý = f(x, y) имеет общее решение , которое определяет собой семейство интегральных кривых на плоскости хОу.

Если переменные х и у правой части дифференциального уравнения рассматривать как координаты точки М(х, у) плоскости хОу, то производная выражает угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке М(х, у). Таким образом, дифференциальное уравнение ý = f(x, y) определяет в каждой точке плоскости хОу, принадлежащей области существования функции , направление интегральной кривой, проходящей через эту точку, или определяет поле направлений на плоскости хОу.

Изображая направление в каждой точке области существования функции маленькой стрелкой, выходящей из этой точки, можно построить поле направлений дифференциального уравнения, которое дает приближенное представление о расположении интегральных кривых этого уравнения.

Изоклинами дифференциального уравнения ý = f(x, y) называются геометрические места точек плоскости хОу, в которых интегральные кривые уравнения имеют одно и то же направление. Уравнение является уравнением изоклины, соответствующей заданному направлению , где – параметр. Придавая близкие числовые значения, получается достаточно густая сеть изоклин – семейство изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения. Нулевая изоклина дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения, т.е. такими точками, в которых правая часть уравнения ý = f(x, y) не определена.

Метод изоклин состоит в следующем:

1. Строится достаточно густая сетка изоклин для различных значений k и на каждой изоклине изображаются небольшие отрезки с наклоном k.

2. Начиная из точки (x₀, y₀), поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x₀, y₀).

Пусть дано уравнение и требуется построить поле направлений и интегральные кривые, определяемые этим уравнением.

Сначала строятся графики изоклин. Уравнение семейства изоклин данного уравнения или . Изоклины представляют собой семейство квадратичных парабол с осями, совпадающими с осью Ох. Меняя параметр k, получается семейство графиков изоклин, на них строится поле направлений.

При k=0 получается изоклина , во всех точках которой направление поля параллельно оси Ох (Рис. 1).

При k=1 получается изоклина , во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол .

При k=-1 получается изоклина , во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол .

Рис. 1. Поле направлений уравнения .

Задается определенная точка (x₀, y₀) и поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. На рис. 2 показаны интегральные кривые, касающиеся поля направлений.

Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел. В его в основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений, и достаточно точно изобразить интегральную кривую.

Рис. 2. Интегральные кривые уравнения .

Однако, метод изоклин эффективно работает как инструмент исследования поведения решений. Он позволяет изобразить области характерного поведения интегральных кривых и как средство эскизного представления интегральных кривых сохраняет свое значение и в нынешнюю эпоху бурного развития вычислительных машин и вычислительных методов.

Как найти интегральные кривые дифференциального уравнения

Дано дифференциальное уравнение Решив его относительно у, получаем

Будем предполагать, что однозначная функция х и у, имеющая конечные первые производные по х и у. Геометрическое место точек плоскости, в которых интегральные кривые имеют крутизну (т. е. тангенс угла наклона касательной), равную это, очевидно, кривая

Ее называют изоклиной. Если построить изоклины легко (в противном случае способ не представляет интереса), можно начертить на плоскости несколько изоклин соответствующих крутизнам

Пусть точка с координатами (начальные условия) и пусть

— крутизна интегральной кривой, проходящей через эту точку; ближайшая изоклина (рис. 10.13). Требуется найти точку пересечения интегральной кривой с изоклиной Известно, что крутизна интегральной кривой в точке есть Поэтому мы заменим участок интегральной кривой на прямолинейный отрезок с крутизной, имеющей среднее значение

Проведя через прямую с такой крутизной, найдем точку как пересечение этой прямой с изоклиной Потом проведем через прямую с крутизной и в пересечении ее с изоклиной найдем точку

Гладкая кривая I, проведенная через точки будет приближать искомую интегральную кривую. При этом ломаная вписана в Описанную ломаную получим, проведя через точки прямые с крутизнами касательные к

Полезно получить некоторые сведения о форме пучка интегральных кривых, облегчающие его построение.

Место точек перегиба. На каждой изоклине может находиться точка, в которой интегральная кривая касательна к ней. В такой точке крутизна интегральной кривой, равная удовлетворяет уравнению справедливому для крутизны изоклины. Поэтому в такой точке

Так как на интегральной кривой то в рассматриваемой точке т. е. интегральная кривая имеет перегиб при условии, что отлично от нуля, чтобы имела место перемена знака кривизны).

Таким образом, О есть уравнение места точек перегиба интегральных кривых.

В случае, если дифференциальное уравнение не разрешено относительно производной место точек перегиба получается исключением из уравнений и

Место точек возврата. Положим, что пучок изоклин имеет огибающую. Тогда уравнение этой огибающейможно получить, исключив из уравнения изоклин Изоклины, касательные к огибающей, находятся вблизи нее с одной ее стороны. Интегральные кривые, проходящие вблизи огибающей, не могут ее пересечь, и в большинстве случаев точка, общая с огибающей, является для них точкой возврата.

Если изоклины имеют двойную точку, то в этой точке интегральная кривая возвращается с той же крутизной. Следовательно, это точки, где интегральные кривые касательны сами к себе. Если это имеет место, то уравнения

совместимы, и исключение дает искомое место.

Асимптоты. Если пучок интегральных кривых имеет общую асимптоту, то при бесконечном возрастании х предел и будет один и тот же.

Заменим в дифференциальном уравнении у на на Тогда

Если при бесконечно возрастающем х величина полученная из этого уравнения, имеет пределом то прямая асимптота, если значение полученное из

при бесконечно возрастающем х имеет конечный предел Если же предыдущее уравнение не зависит от х, те прямая входит в пучок интегральных кривых. Это особое решение, которое обычно входит в огибающую пучка.

В той части плоскости, где интегральных кривых нет. Через точку, где проходят две интегральные кривые, крутизны которых противоположны.

Пучок интегральных кривых симметричен по отношению к осям

1. Изоклины. Это гиперболы

2. Место точек перегиба. Из исключают Тогда

Дважды продифференцировав дифференциальное уравнение, получаем

Условие не влечет за собой Следовательно, кривая и есть место точек перегиба.

3. Для изоклин нет огибающих.

4. Место точек возврата. Исключим из Тогда получим иначе говоря, биссектрисы осей координат. Здесь изоклины не имеют двойных точек. Значит, кривая есть место точек возврата.

5. Уравнение горизонтальной касательной к интегральной кривой — это Следовательно, в точках возврата касательная горизонтальна.

6. Асимптоты. Имеем Иначе говоря, . Если х стремится к бесконечности, то стремится к Подставляем Тогда

Когда х стремится к бесконечности, стремится к 0. Следовательно, асимптоты, общие для пучка интегральных кривых, так как не удовлетворяют тождественно данному дифференциальному уравнению.

На рис. 10.14 пунктиром изображены изоклины, точечным пунктиром — место точек перегиба и сплошными линиями — несколько интегральных кривых.

Замечание. Если функция у не фигурирует в дифференциальном уравнении, то его можно записать в виде

При этом изоклины представляют собой параллели к оси Способ изоклин дает возможность графически осуществить квадратуру, т. е. начертить одну из кривых

где а — произвольная постоянная, каждому значению которой соответствует отдельная интегральная кривая. Эти кривые получаются одна из другой простым перемещением вдоль оси