Что такое касательная к окружности
Определение. Касательная к окружности — это прямая на плоскости, имеющая ровно одну общую точку с окружностью.
Вот парочка примеров:
Окружность с центром O касается прямой l в точке A 
Из любой точки M за пределами окружности можно провести ровно две касательных 
Различие между касательной l, секущей BC и прямой m, не имеющей общих точек с окружностью
На этом можно было бы закончить, однако практика показывает, что недостаточно просто зазубрить определение — нужно научиться видеть касательные на чертежах, знать их свойства и вдобавок как следует попрактиковаться в применении этих свойств, решая реальные задачи. Всем этим всем мы сегодня и займёмся.
Основные свойства касательных
Для того, чтобы решать любые задачи, нужно знать четыре ключевых свойства. Два из них описаны в любом справочнике / учебнике, а вот последние два — про них как-то забывают, а зря.
1. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны
Чуть выше мы уже говорили про две касательных, проведённых из одной точки M. Так вот:
Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны.
Отрезки AM и BM равны
2. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания
Ещё раз посмотрим на картинку, представленную выше. Проведём радиусы OAи OB, после чего обнаружим, что углы OAMи OBM — прямые.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Этот факт можно использовать без доказательства в любой задаче:
Радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательным
Кстати, заметьте: если провести отрезок OM, то мы получим два равных треугольника: OAM и OBM.
3. Соотношение между касательной и секущей
А вот это уже факт посерьёзнее, и большинство школьников его не знают. Рассмотрим касательную и секущую, которые проходят через одну и ту же общую точку M. Естественно, секущая даст нам два отрезка: внутри окружности (отрезок BC — его ещё называют хордой) и снаружи (его так и называют — внешняя часть MC).
Произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной
Соотношение между секущей и касательной
4. Угол между касательной и хордой
Ещё более продвинутый факт, который часто используется для решения сложных задач. Очень рекомендую взять на вооружение.
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.
Откуда берётся точка B? В реальных задачах она обычно «всплывает» где-то в условии. Поэтому важно научиться распознавать данную конфигурацию на чертежах.
Иногда всё-таки касается 🙂
Касательная к окружности
Расскажем подробнее, что такое касательная и секущая.
Напомним, что расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной к окружности. В этом случае она имеет с окружностью ровно одну общую точку. Такую прямую называют касательной к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность в двух точках. Такую прямую называют секущей.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не имеет с окружностью общих точек.
Запишем основные теоремы о касательных. Они помогут нам при решении задач ЕГЭ и ОГЭ.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
На рисунке радиус OA перпендикулярен прямой m.
Теорема 2. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Дана окружность с центром O.
Прямые AB и AC — касательные, точки B и C — точки касания. Докажем, что
AB = AC и
Проведем радиусы OB и OC в точки касания.
По свойству касательной, и .
В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC и
Теорема 3. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Пусть из точки A к окружности проведены касательные AB и AC. Соединим точку A с центром окружности точкой O. Треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету, следовательно, AB = AC.
Теорема 4. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
Угол ACМ на рисунке равен половине угловой величины дуги AC.
Теорема 5, о секущей и касательной.
Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.
Доказательство теоремы смотрите здесь.
Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Касательная к окружности.
Угол ACO равен , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол CAO — прямой. Из треугольника ACO получим, что угол AOC равен 62 градуса. Bеличина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги AB— тоже 62 градуса.
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.
Это чуть более сложная задача. Центральный угол AOD опирается на дугу AD, следовательно, он равен 116 градусов. Тогда угол AOC равен Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол OAC — прямой. Тогда угол ACO равен
Хорда AB стягивает дугу окружности в Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Проведем радиус OB в точку касания, а также радиус OA. Угол OBC равен Треугольник BOA — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол OBA равен 44 градуса, и тогда угол CBA равен 46 градусов, то есть половине угловой величины дуги AB.
Мы могли также воспользоваться теоремой: Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника ABC складывается из периметров отсеченных треугольников.
Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:
Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.
Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку O — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.
Соедините точку O с вершинами A, B, C, D, E. Получились треугольники AOB, BOC, COD, DOE и EOA.
Очевидно, что площадь многоугольника
Треугольники АОВ, ВОС, COD, DOE и ЕОА имеют равные высоты, причем все эти высоты равны радиусу окружности.
где p — полупериметр многоугольника.
По условию, P = 10, S = 5, тогда
1. Угол ACO равен , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B . Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.
По условию, CA — касательная, A — точка касания.
. Треугольник ACO — прямоугольный, .
Угол — центральный, и он равен угловой величине дуги AB, на которую опирается. Значит, градусная мера дуги AB равна . Это меньшая дуга AB, а большая — с другой стороны от точек A и B, и она больше 180 градусов.
2. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Центральный угол AOB равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть
AC и BC — касательные, поэтому , поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Сумма углов четырехугольника ACBO равна
3. Хорда AB стягивает дугу окружности в . Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Применим теорему об угле между касательной и хордой.
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.
Значит, угол ABC равен .
4. Через концы A и B дуги окружности с центром О проведены касательные AC и BC. Угол CAB равен . Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.
Поэтому меньшая дуга AB окружности равна . Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, угол AOB равен .
Мы могли бы решить задачу и по-другому, рассматривая четырехугольник ACBO, как в задаче 2.
5. Через концы A, B дуги окружности в проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. В треугольнике ABC:
6. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точках B и D, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.
По условию, DB — диаметр окружности, поэтому дуга AВ, не содержащая точки D, равна . На эту дугу опирается центральный угол AOB, он равен . Треугольник AOC прямоугольный, так как касательная CA перпендикулярна радиусу ОA, проведенному в точку касания.
Задачи ОГЭ по теме: Касательная к окружности
1. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
Отрезок OB — радиус, проведённый в точку касания, поэтому AB и OB перпендикулярны, треугольник AOB — прямоугольный. По теореме Пифагора:
2. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный . Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому угол OКD — прямой. Тогда Треугольник OMK — равнобедренный, его стороны OК и OМ являются радиусами окружности, поэтому
3. Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, треугольник AOB — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора найдём AO:
4. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
Проведём радиус AH в точку касания. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому треугольник ABН — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдём BH:
5. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом . Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, поэтому AC=BC и треугольник ABC — равнобедренный.
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними, значит, дуга AB равна . Угол AOB — центральный, он равен дуге, на которую опирается, то есть . Треугольник AOB равнобедренный,
6. Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен , а расстояние от точки A до точки O равно 8.
Проведём радиусы OB и OC в точки касания. Треугольники AOB и AOC — прямоугольные. Эти треугольники равны по катету и гипотенузе.
OB — OC как радиусы окружности, гипотенуза общая. Значит,
Из треугольника AOB найдём OB, то есть радиус окружности.
7. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2, AC = 8. Найдите AK.
По теореме о секущей и касательной,
8. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна . Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Касательная к окружности» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Касательная к окружности
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Касательная к окружности»
Давайте вспомним, как могут располагаться окружность и прямая в зависимости от отношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности.
Напомним, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
Сегодня мы особо рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности. А общая точка окружности и прямой называется точкой касания прямой и окружности.
Давайте, на рисунке укажем касательные к окружности и назовем точки касания.
Здесь касательными к окружности будут прямые b и d, точками касания будут точки C и F.
Теперь давайте из центра окружности проведем радиусы к точкам касания. По рисунку можно предположить, что радиусы, проведенные к точке касания будут перпендикулярны касательной.
Давайте попробуем доказать или опровергнуть это утверждение.
Пусть прямая p – касательная к окружности с центром в точке О и точка А – точка касания.
Предположим, что касательная p не перпендикулярна радиусу ОА. Тогда радиус ОА – наклонная к прямой p. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую p. Поскольку перпендикуляр, проведенный из точки меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки, то получаем, что расстояние от точки О до прямой p меньше радиуса, то есть прямая и окружность пересекаются в двух точках. Но тогда прямая p – секущая, а по условию, она – касательная.
Таким образом, предположение о том, что касательная не перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, не подтвердилось.
То есть мы доказали свойство касательной к окружности. Сформулируем ее:
Теорема (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Задача. Радиус 
окружности с центром 
делит хорду 
пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку 
, параллельна хорде .
Доказательство.
равнобедренный
медиана и высота
Построим окружность, проведем хорду АB, проведем радиус ОК, который делит хорду АB пополам. Проведем касательную к окружности в точке К.
Проведем радиусы ОА и ОB и рассмотрим равнобедренный треугольник AOB. Поскольку ОК делит AB пополам, то часть этого отрезка OH будет являться медианой и высотой, то есть OH перпендикулярно AB. По свойству касательной, касательная, проведенная в точке К будет перпендикулярна ОК. Таким образом, мы получили две прямые, которые перпендикулярны радиусу ОК.
и 
Что и требовалось доказать.
Теперь давайте рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках B и C. Отрезки AB и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А. Эти отрезки обладают следующим свойством:
Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Доказательство.
и 
, 
– общая, 
– как радиусы 
Следовательно, 
, 
Что и требовалось доказать.
Это свойство запомнить не сложно, достаточно вспомнить героя сказок – Буратино. Его круглое личико мы примем за окружность. А стороны его колпачка – за касательные, проведенные из одной точки. Очевидно, что стороны колпачка равны, и если мы проведем линию из центра колпачка вертикально вниз, то углы тоже будут равны.
Задача. Через концы хорды , равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке 
. Найдите 
.
Решение. Выполним чертеж.
− равносторонний
(по свойству отрезков касательной)
(по свойству касательной)
(по свойству углов равнобедренного треугольника)
Ответ: 
Теперь, давайте попробуем сформулировать и доказать признак касательной.
Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Доказательство.
По условию теоремы, данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. А значит, он является расстоянием от центра окружности до прямой. То есть радиус окружности и расстояние до прямой равны, а, значит, окружность с прямой имеют одну общую точку. То есть, прямая является касательной к окружности, что и требовалось доказать.
Задача. Через данную точку 
окружности с центром провести касательную к этой окружности.
Построим прямую ОА. Через точку А проведем прямую p перпендикулярно прямой ОА. По признаку касательной, эта прямая будет касательной к окружности в точке А.
Задача. К окружности с радиусом 
проведена касательная из точки , удаленной от центра на расстояние, равное 
. Найти длину отрезка касательной от точки до точки касания.
Решение. Сделаем чертеж.
Рассмотрим треугольник АОB. 
(по свойству касательной) 
(по теореме Пифагора)
; 
Ответ: 
Задача. Доказать, что касательные к окружности, проведенные через концы диаметра, параллельны.
Решение. Выполним чертеж.
По свойству касательных, углы между диаметром и касательными равны 
.
Значит, по признаку параллельности прямых, получаем, что касательные параллельны.
Задача. Отрезки 
и 
являются отрезками касательных к окружности с центром , проведенными из точки . Найти 
, если середина отрезка 
лежит на окружности.
Решение. Выполним чертеж.
, 
(по свойству касательных)
Рассмотрим треугольник ОАМ. По свойству касательной – это прямоугольный треугольник с катетом равным радиусу и гипотенузой, равной двум радиусам.
и 
(по свойству отрезков касательных) 
Ответ:
Давайте повторим главное:
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойство касательной к окружности. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Еще раз сформулируем свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Сформулируем признак касательной.
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.