Из партии содержащей n изделий среди которых k высшего сорта

Из партии содержащей n изделий среди которых k высшего сорта

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Калужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

(Национальный Исследовательский Университет)»

(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

М10-КФ «Высшая математика»

ДОМАШНЯЯ РАБОТА №1

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Основные понятия теории вероятностей»

Выполнил: студент гр. ИУК1-41Б

Дата сдачи (защиты):

Результаты сдачи (защиты):

Вероятность того, что выстрел попадет в цель, равна p=0,66. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была больше заданного значения δ=0,99.

— выстрел попадает в цель

– одно попадание при n выстрелах.

Рассмотрим: – ни одного попадания в цель при всех выстрелах

Тогда , где q=1-p.

Умножим на -1 и выразим .

Подберём n:

Отсюда получаем ответ, что нужно сделать 5 выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была больше заданного значения δ=0,99.

Ответ: 5.

На некоторое обслуживающее устройство поступают две заявки. Каждая может поступить любой момент времени в течении T=150 минут. Время обслуживания заявки минут, второй минут. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении заявки даже в последний момент времени T, она обслуживается. Найти вероятность того, что:

А) Обе заявки будут обслужены

Б) Будет обслужена ровно одна заявка

А – обе заявки будут обслужены

В – всего одна заявка будет обслужена

Так как на устройство не может не поступить ни одной заявки, то исходы А и В являются противоположными, значит В можно будет найти из выражения .

Множество благоприятных исходов А закрашено синим цветом и представляет собой объединение двух треугольников

При это треугольник ;

При это треугольник ;

Площадь области А равна сумме площадей этих двух треугольников:

Найдём вероятность события А:

Это и будет ответ на задание а).

Это ответ на задание б).

Ответ: а) ; б) .

Задана структурная схема надёжности, состоящая из пяти элементов. Событие – отказ i-того элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы заданы: (при i=1, 3, 5) и (при i=2, 4). Все события независимы в совокупности. Событие состоит в безотказной работе всех всей системы за рассмотренный промежуток времени. Требуется:

А) выразить событие через или (i=1, 2, 3, 4, 5);

Б) найти вероятность безотказной работы системы.

А)

Рисунок 3 – Область А

Область В состоит из элементов и и т.к. элементы соединены параллельно, то её вероятность безопасной работы будет следующей:

Рисунок 4 – Область С

Область С состоит из элементов и и т.к. элементы соединены последовательно, то её вероятность безопасной работы будет следующей:

Рисунок 5 — Область D

Область D состоит из элементов и и т.к. элементы соединены параллельно, то её вероятность безопасной работы будет следующей:

Рисунок 6 — Область А

Область A состоит из элементов и и т.к. элементы соединены последовательно, то её вероятность безопасной работы будет следующей:

Раскроем все буквенные значения и таким выразим через :

Б) При вычислении будем пользоваться независимостью событий :

Ответ: А) ; Б) .

Из партии, содержащей изделий, среди которых – высшего сорта, для контроля выбирают наугад изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий ровно изделий высшего сорта, при условии, что выборка производится

А) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию);

Б) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается);

А) Для нахождения события воспользуемся формулой Бернулли:

В нашем случае независимое число испытаний – , а количество наступления события А — . Найдём вероятность попадания изделия высшего сорта из всех изделий и обратную ей величину q:

Подставим все полученные значения в начальную формулу:

Подставим в начальное уравнение:

Ответ: а) б)

Вероятность успешной сдачи экзамена на получение водительских прав равна . Найдите вероятность того, что в группе претендентов экзамен сдадут не менее человек.

Требуется найти вероятность того, что из 140 человек сдадут . Вероятность высчитаем из интегрального приближенного уравнения Лапаса:

Где , а . Найдём и по формуле:

Т.к. функция Лапласа чётная, то . будем искать в таблице значений функции Лапласа. Т.о. . в таблице отсутствует, поэтому вычислим её:

Подставим получившиеся выражения в начальное уравнение:

Ответ:

В отдел технического контроля поступает партия, содержащая изделий, среди которых имеются бракованных. Контролёр для контроля отбирает 3 изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак с вероятностью . Партия бракуется, если среди трёх отобранных для проверки обнаружится хотя бы одно бракованное изделие. Найти вероятность того, что данная партия изделий будет забракована.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Теория вероятностей. Задачи

Мне не очень повезло с преподавателем по терверу, поэтому пришлось делать задачи по учебнику без каких либо навыков. Прошу проверить и помочь по возможности (могут быть ошибки):

Задача: На некоторое обслуживающее устройство поступают 2 заявки, каждая может поступить в любой момент времени в течении T = 200 мин. Время обслуживания первой заявки: t1 = 25 мин, второй — t2 = 30 мин. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении заявки хотя бы в последний момент времени заявка обслуживается. Найти вероятности:
1) обе заявки будут обслужены
2) будет обслужена одна заявка

Решение: Вероятности равны отношения площадей A и «не» A к общей площади соответственно в 1 и во 2 случае.

Судя по решению, здесь подразумевается, что заявка отправляется единожды: если заявка поступила во время обработки другой, то она больше поступать и обрабатываться не будет. Последним моментом времени считается 200 минута.

При таких условиях задача решена верно: в вашей геометической интерпретации все точки(события) равновероятны, вы нашли области, соответствующие событиям 1 и 2, а затем посчитали вероятность как отношение площади области к общей площади.

Спасибо большое за ответ, вот еще.

Задача: Из партии, содержащей 12 деталей, среди которых 7 высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад 5 изделий. Найти вероятность того, среди выбранных изделий откажется ровно 2 высшего сорта.
а) без возвращения
б) с возвращением

Решение: Число всевозможных комбинаций: способами
3 детали обычных из 5 можно выбрать способами

Тогда

Похожие готовые решения по высшей математике:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Решение задач про выбор деталей

В ящике находится $K$ стандартных и $N-K$ бракованных деталей (всего $N$ деталей). Наудачу и без возвращения вынимают $n$ деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей.

*Поясню, что значит «примерно»: вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно «стандартными», второй — «бракованными» и используете формулу для решения, которую мы выведем ниже.

Сначала найдем общее число исходов — это число всех различных способов выбрать любые $n$ деталей из общего множества в $N$ деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).

Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ стандартных деталей из $K$ возможных — это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ бракованных деталей из $N-K$ возможных — $C_^$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию — $C_K^k \cdot C_^$.

Применяя классическое определение вероятности — поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле:

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о выборе деталей/изделий

Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?

Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.

Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе объектов из совокупности, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Сначала найдем общее число исходов — это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 12 объектов по 4: $n=C_<12>^4$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы из 4 выбранных изделий 2 были дефектные (выбираем любые 2 дефектные изделия из 5 $C_5^2$ способами) и еще 2 — стандартные (выбираем любые 2 стандартные изделия из 12-5=7 имеющихся в партии $C_7^2$ способами). Тогда всего способов выбрать 2 дефектных и 2 обычных изделия из партии будет $m = C_5^2 \cdot C_7^2$.

Нужная вероятность равна:

Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=16$ стандартных деталей, $N-K=7$ бракованных деталей, итого $N=16+7=23$ всего деталей в ящике. Из ящика извлекают $n=6$ деталей, из них должно быть $k=4$ стандартных и соответственно, $n-k=6-4=2$ бракованные. Получаем нужную вероятность:

Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.

Эта задача самую малость сложнее предыдущих. В ней помимо исходного события
$A = $ (Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное),
введем еще противоположное ему событие, которое можно записать как
$\overline = $ (Все три выбранные изделия стандартные).

Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:

Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=8-3=5$ годных деталей, $N-K=3$ бракованных, $N=8$ всего деталей у мастера. Выбираем для замены $n=2$ детали, и обе они должны оказаться годными, то есть: $k=2$, $n-k=0$. Приходим к ответу: