Докажите что при целом n число n2 n четно

Докажите,что при целом n число (n^2+n)-четно

sinx=-1/2+2n, где n∈Z, итак, n целое, но в данном случае, если n=-1 и меньше, то синуса не существует, так же как и при n равном 1 и больше единицы, поэтому n может принимать только значение, равное 0;

<em>Если же n=0, то sinx=-1/2, тогда х=((-1)ⁿ+¹ ) π/6+πn; где n∈Z</em>

<em>при n=0, имеем х∉указанному отрезку</em>

<em>при n=3 х∉Указанному отрезку, итак, у нас получились 2корня, которые принадлежат указанному промежутку . ЭТо </em>

Докажите что при целом n число n2 n четно

При каких натуральных n найдутся такие целые a, b, c, что их сумма равна нулю, а число a n + b n + c n – простое?

Решение

Если n чётно, то 1 n + (–1) n + 0 n = 2 – простое число.
Докажем, что при нечётном n число A = a n + b n + c n не является простым.

Первый способ. При целом x, x n – x делится на x(x² – 1) = x(x – 1)(x + 1), а это число делится на 6 (см. задачу 30359). Следовательно,
A = (a n – a) + (b n – b) + (c n – c) делится на 6.

Второй способ. Пусть A – простое, тогда n > 1 и a, b, c отличны от 0.
Поскольку b n + c n делится на b + c = – a, число A делится на a. Аналогично A делится на b и на c. Отсюда следует, что каждое из чисел a, b, c равно одному из чисел ±1, ±A. Так как среди чисел a, b, c нет двух противоположных (иначе третье было бы нулём), то среди них найдутся два равных числа. Пусть они равны d, тогда третье число равно – 2d, а A = 2d n – 2 n d n – число, делящееся на 2 n – 2 > 2. Противоречие.

Метод математической индукции

Рассмотрим бесконечную последовательность утверждений, которую можно отобразить на множество натуральных чисел, т.е., попросту, пронумеровать:
P₁, P₂, . , P_n , .

Допустим, что
1) утверждение P₁ верно (P₁ называют базой индукции );
2) для любого n доказано, что, если верно P_n, то верно P_n+1
(истинность P_n → P_n+1, ∀n называют индуктивным переходом ).
Тогда все утверждения последовательности P₁, P₂, . , P_n , . верны.

Говорят, что мы провели « доказательство утверждения P_n индукцией по n ».

Принцип математической индукции используется для доказательства различных формул.

Например:
Докажем, что сумма первых n натуральных чисел равна \(\mathrm<2>>\)
1) Для базы индукции \(\mathrm<2>=1>\) – верно
2) Допустим что при некотором \(\mathrm<2>.>\) Найдём S_n+1: \begin \mathrm< S_=(1+2+. +n)+n+1=S_n+n+1=\frac<2>+(n+1)= >\\ \mathrm< =\frac<2>=\frac<(n+1)(n+2)> <2>> \end т.е. для S_n+1 формула также справедлива. Индуктивный переход выполняется. Следовательно, по принципу математической индукции \(\mathrm<2>,\ \forall n\in \mathbb>\).
Что и требовалось доказать.

п.2. Примеры

Пример 1. Докажите, что сума кубов первых n натуральных чисел равна \(\mathrm<4>>\)
1) Для базы индукции \(\mathrm<4>=1>\) – верно
2) Допустим, что при некотором \(\mathrm<4>>\). Найдём S_n+1: \begin \mathrm< S_=\underbrace<1^3+2^3+3^3+. +n^3>_+(n+1)^3=S_n+(n+1)^3= >\\ \mathrm< =\frac<4>+(n+1)(n+1)^2=\frac <4>>\\ \mathrm< =\frac<(n+1)^2(n^2+4(n+1))><4>=\frac<(n+1)^2(n^2+4n+4)><4>=\frac<(n+1)^2(n+2)^2> <4>> \end т.е. для S_n+1 формула также справедлива. Индуктивный переход выполняется. Следовательно, по принципу математической индукции сумма кубов \(\mathrm<4>,\ \forall n\in \mathbb>\). Что и требовалось доказать.

Заметим, что согласно доказанной формуле сумма кубов является точным квадратом суммы первых степеней: $$ \mathrm< 1^3+2^3+3^3+. +n^3=\left(\frac<2>\right)^2=(1+2+3+. +n)^2 > $$

Пример 3. Докажите, что любой член последовательности a_n = 15 n + 6 делится на 7.
1) Для базы индукции n=1, a₁ = 15 + 6 = 21 – делится на 7, верно
2) Допустим, что при некотором \(\mathrm\ \frac<7>=k,\ \ k\in\mathbb>\). Рассмотрим дробь \(\mathrm<\frac><7>>\): \begin \mathrm< \frac><7>=\frac<15^+6><7>=\frac<15\cdot 15^n+6><7>=\frac<(14+1)\cdot 15^n+6><7>= >\\ \mathrm< =\frac<14\cdot 15^n+\overbrace<(15^n+6)>^<=a_n>><7>=\frac<14\cdot 15^n><7>+\frac<7>=2\cdot 15^n+k >\end Получаем натуральное число. Значит, a_n+1 также делится на 7. Индуктивный переход выполняется.
Следовательно, по принципу математической индукции a_n = 15 n + 6 делится на 7 при любом натуральном \(\mathrm>\). Что и требовалось доказать.

Пример 4. Докажите, что любой член последовательности a_n = 7 n + 12n делится на 18 с остатком 1.
1) Для базы индукции n=1, a₁ = 7 1 + 12 · 1 = 19 – делится на 18 с остатком 1, верно
2) Допустим, что при некотором $a_n=7^n+12n$ делится на 18 с остатком 1, т.е. $\frac<18>=k$, $k \in \mathbb $ Рассмотрим дробь \(\mathrm<\frac-1><18>>\): \begin \mathrm< \frac-1><18>=\frac<7^+12(n+1)-1><18>=\frac<7\cdot 7^n+12n-1+12><18>= >\\ \mathrm< =\frac<7^n + 12n-1><18>+\frac<6\cdot 7^n+12><18>=k+\frac<7^n+2> <3>>\end Решаем подзадачу. Докажем, что \(\mathrm<3>>\) всегда является натуральным числом.
1) Для базы индукции n=1, \(\mathrm<3>=3>\) – верно
2) Допустим, что при некотором \(\mathrm<3>=m \in\mathbb>\). Рассмотрим \(\mathrm>\): \begin \mathrm< b_=\frac<7^+2><3>=\frac<7\cdot 7^n+2><3>=\frac<7^n+2><3>+\frac<6\cdot 7^n><3>=m+2\cdot7^n >\end Получили натуральное число. Индуктивный переход для подзадачи выполняется.
Значит, \(\mathrm<3>>\). всегда является натуральным числом.

Возвращаемся к основной задаче: \(\mathrm<\frac-1><18>=k+\frac<7^n+2><3>=k+m\in\mathbb>\).
Значит, a_n+1 делится на 18 с остатком 1. Индуктивный переход для основной задачи выполняется.
Следовательно, по принципу математической индукции a_n = 7 n + 12n делится на 18 с остатком 1 при любом натуральном \(\mathrm>\). Что и требовалось доказать.

Докажите что при целом n число n2 n четно

Докажите, что для всех натуральных n число n 6 − n 2 делится на 10.

Заметим, что Поскольку одно из чисел n 2 или n 2 + 1 четное, то число n 6 − n 2 также является четным. Осталось показать, что это число также делится на 5. Рассмотрим все возможные случаи остатков при делении числа n на 5:

1)  n делится на 5. Тогда и число также делится на 5;

2)  n при делении на 5 имеет остаток 1, тогда делится на 5 число n 2 − 1 и, как следствие, число n 6 − n 2 ;

3)  n при делении на 5 имеет остаток 2, тогда делится на 5 число n 2 + 1 и, как следствие, число n 6 − n 2 ;

4)  n при делении на 5 имеет остаток 3, тогда делится на 5 число n 2 + 1 и, как следствие, число n 6 − n 2 ;

5)  n при делении на 5 имеет остаток 4, тогда делится на 5 число n 2 − 1 и, как следствие, число n 6 − n 2 ;

Итак, показано, что число n 6 − n 2 четное и делится на 5, следовательно, оно делится на 10.