Представление чисел в памяти компьютера.
Представление чисел в памяти компьютера имеет специфическую особенность, связанную с тем, что в памяти компьютера они должны располагаться в байтах – минимальных по размеру адресуемых ячейках памяти. В байте может содержаться произвольный код из 8 различных разрядов, и задача представления состоит в том, чтобы указать правила, как в одном или нескольких байтах записать число.
Один байт в памяти компьютера занимают целые числа от 0 до 255. Данные числа можно представить непосредственно в двоичном коде.
Для представления действительных чисел (как больших, так и малых) требуется больше одного байта. При этом бесконечные числа усекаются до определенного знака и в компьютерном представлении выступают как приближенные.
Для представления действительных чисел удобно использовать форму записи числа в виде произведения:
где m– мантисса числа,
q– основание системы счисления,
p– целое число, называемое порядком.
Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
Действительные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее существует несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру. Рассмотрим на примере числа, занимающего 4 байта (то есть 32 ячейки).
Первый бит двоичного представления используется для кодирования знака мантиссы (ноль интерпретируется как плюс, единица – как минус). Следующая группа бит кодирует порядок числа, а оставшиеся биты кодируют абсолютную величину мантиссы. Длина порядка и мантиссы фиксируются.
Вещественные числа в памяти компьютера, в зависимости от требуемой точности (количества разрядов мантиссы) и диапазона значений (количество разрядов порядка), занимают от 4 до 10 байтов. 4-х байтовое вещественное число имеет 23 разряда мантиссы (что соответствует точности числа 7-8 десятичных знаков) и 8 разрядов порядка (обеспечивающих диапазон значений 10 ±38 ). Если вещественное число занимает 10 байт, то мантиссе отводится 65 разрядов, а порядку – 14 разрядов. Это обеспечивает точность 19-20 десятичных знаков мантиссы и диапазон значений 10 ±4931 .
Представление символьных и текстовых данных в двоичном коде.
С появлением ЭВМ возникла задача представления в цифровой форме нечисловых величин, и в первую очередь – символов, слов и текстов.
Для представления символов в числовой форме был предложен метод кодирования, получивший в дальнейшем широкое распространение и для других видов представления нечисловых данных.
В 1981 г. Институт стандартизации США принял стандарт кодовой таблицы, получившей название ASCII(AmericanStandardCodeofInformationInterchange– американский стандартный код информационного обмена). В последствии данный стандарт приобрел статус международного. Данная кодовая таблица рассчитана на объем памяти 1 байт, что позволяет закодировать 256 различных символов. Таблица состоит из 2-х частей: основной и расширенной. Основная часть (первые 127 символов) содержит: управляющие символы (коды с 1 по 31), арабские цифры, буквы латинского алфавита, знаки препинания, специальные символы (таблица 1).
Основная часть кода ASCII.
Расширенная часть (символы с кодами от 128 до 255) отделена для национальных алфавитов, символов псевдографики и некоторым специальным символам. Данная часть таблицы изменяется в зависимости от национального алфавита той страны, где она используется. 256 символов не позволяют одновременно закодировать несколько алфавитов в 1 таблице.
Поэтому в 1991 г. производители программных продуктов и организации, учреждающие стандарты, пришли к соглашению о выборе единого стандарта. Этот стандарт построен по 16 битной (или 2 байтной) схеме кодирования и получило название UNICODE. Данный стандарт позволяет закодировать 2 16 = 65536 символов, которых достаточно для кодирования основных национальных алфавитов в одной таблице.
Рекомендуемая литература:
1.Основы современных компьютерных технологий. Артамонов Б. Н. и другие – СПб, Корона-принт, 1998. – 446 с.
2.Основы защиты информации. Герасименко В. А. и другие – М.: Изд-во МИФИ, 1997. – 537 с.
3.Статистический анализ данных на компьютере. Тюрин Ю. Н. и другие – М.: Изд-во МИФИ, 1998. – 528 с.
4.Информатика. Соболь Б. В. и другие – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 446 с.
5.IBMPCдля пользователя (краткий курс). Фигурнов В. Э. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 479 с.
Перевод 541 из десятичной в двоичную систему счисления
Калькулятор перевода чисел имеет одно поле для ввода. В это поле необходимо ввести число которое Вы хотите перевести.
После этого Вам обязательно нужно указать в какой системе счисления Вы его ввели. Для этого под полем ввода есть графа "Его система счисления".
Если Вы не нашли своей системы, то выберите графу "другая" и появится поле ввода . В это поле необходимо вписать основание системы одним числом без пробелов.
Далее необходимо выбрать в какую систему хотите перевести данное число. Если Вы опять не нашли нужной системы то введите ее в графе "другая".
После нажмите кнопку "ПЕРЕВЕСТИ" и результат появится в соответствующем поле. Если Вы хотите получить подробный ход решения, то нажмите на соответствующую ссылку.
После проведения расчета нажмите на кнопочку ‘Расчет не верен’ если Вы обнаружили ошибку. Или нажмите ‘расчет верный’ если ошибок нет.
Научиться переводить число из одной системы счисления в другую очень просто.
Любое число может быть легко переведено в десятичную систему по следующему алгоритму:
Каждая цифра числа должна быть умножена на основание системы счисления этого числа возведенное в степень равное позиции текущей цифры в числе справа налево, причём счёт начинается с 0.
Хранение в памяти целых чисел
Целые числа являются самыми простыми числовыми данными, с которыми работает компьютер. Целые числа хранятся в двух возможных видах: беззнаковом (для положительных целых чисел) и со знаком (для отрицательных чисел). Целые числа в компьютере хранятся в формате с фиксированной запятой.
Беззнаковые целые числа
Для беззнакового представления все разряды ячейки отводятся под представление самого числа. Поэтому, если известно, что число положительное, то выгоднее рассматривать его как беззнаковое.
Положительные целые числа занимают в памяти компьютера $1$ или $2$ байта.
В $1$-байтовом формате целые числа принимают значения от $0$ до $255$.
В $2$-байтовом формате от $0$ до $65535$.
Число $30_<10>=0001 \ 1110_2$ в $1$-байтовом формате:
Число $30_<10>=0001 \ 1110_2$ в 2-байтовом формате:
Алгоритм представления в компьютере беззнаковых целых чисел
Беззнаковое целое положительное число перевести в двоичную систему счисления.
Записать число в $8$ разрядах так, чтобы младший разряд числа соответствовал младшему разряду ячейки.
Дополнить число, если необходимо, слева нулями до нужного числа разрядов ($8$-ми, $16$-ти, $32$-х).
Получить 8-разрядное представление числа $30$.
Дополним до $8$-ми разрядов:
Целые числа со знаком
Целые числа со знаком (отрицательные) занимают в памяти компьютера $1$, $2$ или $4$ байта, при этом самый старший (знаковый) разряд содержит информацию о знаке числа.
Если число положительное, то в знаковом разряде помещается $«0»$, если число отрицательное — $«1»$.
Целые числа со знаком в разных форматах принимают соответствующие значения:
в $1$-байтовом формате — от $-128$ до $127$;
в $2$-байтовом формате — от $-32768$ до $32767$;
в $4$-байтовом формате — от $-2147483648$ до $2147483647$.
Для хранения целых чисел со знаком отводится $1$ разряд для знака, а остальные — для цифр модуля числа.
Например, для хранения числа в $1$-байтовом формате ($8$ бит) $1$ разряд отводится для знака числа, остальные $7$ разрядов — для модуля числа.
Для хранения целых чисел со знаком применяется $3$ формы кода:
Особенно широко используется обратный и дополнительный код, которые позволяют существенно облегчить элементарные операции: сложение, вычитание, умножение и деление.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображают двоичными кодами с цифрой $0$ в знаковом разряде.
У положительных чисел все коды одинаковы, т.е. прямой, обратный и дополнительный коды равны между собой.
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются по-разному.
Прямой код числа — это его модуль, переведенный в двоичную систему с измененным старшим битом, в зависимости от знака.
В знаковом разряде помещается цифра $1$, а в разрядах цифровой части числа — двоичный код модуля числа.
Числа в компьютере хранятся целыми байтами; $1$, $2$, $4$ или $8$. От количества памяти зависит количество разрядов данного числа. В $1$ байте их $8$, в $2$ — $16$ и т.д. Поэтому представляемые числа нужно дополнять нулями до необходимого количества.
Если числа будут занимать в памяти $2$ байта, то знаковым все равно будет самый старший, то есть: $-30_<10>=1001 \ 1110_2= 1000 \ 0000 \ 0001 \ 1110_2$
Обратный код. Для операций с отрицательными числами обычно не используется прямой код, поэтому для облегчения алгоритмов выполнения арифметических операций был создан обратный код.
Для получения обратного кода выполняется инвертирование всех цифр двоичного кода модуля числа: $0$ заменяется на $1$, а $1$ — на $0$. Знак разряда остается без изменений.
Дополнительный код
Для получения дополнительного кода числа к обратному коду добавляется единица к его младшему разряду.
Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа
Модуль отрицательного числа представить прямым кодом.
Значение всех бит инвертировать: все $0$ заменить на $1$, а $1$ на $0$ (кроме значения знакового разряда).
К младшему разряду полученного обратного кода прибавить единицу.
Получим $8$-разрядный дополнительный код числа $-30$:
$00011110 — \ число \mid -30\mid =30$ в прямом коде
$11100001 — \ число \ -30$ в обратном коде
$11100010 — \ число \ -30$ в дополнительном коде
Целые отрицательные числа при вводе в компьютер преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся и принимают участие в операциях. При выводе их из компьютера происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.
Представление чисел в компьютере
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Представление чисел в компьютере»
На данном уроке мы с вами узнаем, как представляются целые и вещественные числа в компьютере.
А начнём мы с вами с целых чисел.
Как вы уже знаете, целые числа – это множество чисел, которое состоит из натуральных чисел, чисел, противоположных натуральным, и нуля.
Итак, оперативная память представляет собой таблицу, то есть состоит из ячеек.
Каждая ячейка оперативной памяти представляет собой физическую систему, которая состоит из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, которые соответствуют двум числам – нулю и единице. Каждый такой элемент предназначен для хранения одного из битов – разряда двоичного числа. Поэтому каждый элемент ячейки называется битом или разрядом.
То есть, можно сказать, что каждая ячейка оперативной памяти содержит число, представленное в двоичной системе счисления, так как вся информация представлена в памяти компьютера именно в этой системе счисления. Каждая ячейка также включает в себя некоторое количество клеточек (ячеек). В каждой клеточке содержится число ноль или один. Это зависит от того, какой код соответствует изначальному числу.
Давайте рассмотрим одну ячейку, которая состоит из n разрядов.
Она разбита на n клеточек. n обозначает количество разрядов или битов, отведённых под исходное число. Первая клеточка слева – это (n-1)-й разряд. Вторая – (n-2)-й разряд и так далее. Последняя клеточка – это 0-й разряд.
Можно сказать, что разряд – это степени для числа два в двоичной системе счисления.
Для представления целых чисел в компьютере существует несколько различных способов, которые отличаются друг от друга количеством разрядов и наличием или отсутствием знакового разряда. Обычно под целые числа отводится 8, 16, 32 или 64 разряда или бита.
Существует беззнаковое и знаковое представление чисел. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных чисел, отрицательные же числа представляются только в знаковом виде.
Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек; счётчиков, например, количество символов в тексте; чисел, которые обозначают дату и время; размеров графических изображений в пикселях и много другое.
Для этих данных используется беззнаковое представление, так как они никак не могут быть отрицательными числами.
Давайте рассмотрим таблицу максимальных значений для беззнаковых целых n -разрядных чисел:
В первом столбце указано количество битов, во втором минимальное значение, а в третьем – максимальное значение.
Минимальное значение во всех строка равно нулю. А вот максимальное вычисляется по формуле 2 n – 1. То есть максимальное восьмиразрядное число будет равно 255.
2 8 – 1 = 256 – 1 = 255.
Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в том случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы.
Давайте разберёмся на примере.
Возьмём восьмиразрядную ячейку и поместим в неё максимально допустимое число 255.
Исходя из этого можем сказать, что наша ячейка состоит из 8 разрядов или клеточек. При переводе числа 255 в двоичную систему счисления получим 8 единиц. То есть в каждой клеточке будет содержаться по единице.
Число разрядов n=8. Давайте над каждой клеточкой расставим соответствующий разряд начиная с крайней левой.
Давайте вспомним общий вид нашей ячейки.
То есть ячейка из n разрядов, в нашем случае 8, состоит из n клеточек (снова из 8), а каждый разряд вычисляется по формуле n – 1, n – 2 и так далее. В зависимости от того, на каком месте находится ячейка.
А если мы возьмём все наши единицы и проставим над ними наши разряды, то мы можем перевести наше число из двоичной системы счисления в десятичную уже известным нам образом.
Если же брать число 256, то мы не сможем поместить его в восьмиразрядную ячейку, так как оно будет состоять из единицы и восьми нулей, а клеточек у нас 8.
Если мы возьмём число 65 535, то в двоичной системе счисления оно будет состоять из 16 единиц. А если шестнадцатиразрядную ячейку снова представить, как строку, состоящую из 16 клеточек и расставить соответствующие разряды, то она будет выглядеть следующим образом:
Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести его в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.
Давайте рассмотрим, как будет выглядеть число 125 в восьмиразрядном и шестнадцатиразрядном представлениях. Для этого переведём наше число в двоичную систему и получим следующее:
Наше число состоит из 7 цифр. Поместим его в восьмиразрядную ячейку.
Но ячеек 8, а цифр 7. В таком случае помещаем наше число в крайние справа семь ячеек, а в первую левую запишем ноль.
Он не повлияет на наше число, но все разряды ячейки должны быть заполнены цифрами.
А если мы поместим это же число в шестнадцатиразрядную ячейку, то получим 9 ячеек слева, заполненных нулями, а в остальных 7 будет располагаться наше число.
То есть можно сказать, что мы записываем наше число в двоичной системе счисления, а затем дополняем эту двоичную запись незначащими нулями слева в зависимости от того, из скольких разрядов состоит наше представление числа.
Это то, что касается беззнакового представления чисел.
При представлении числа со знаком (плюсом, если это положительное число, и минусом, если это отрицательное число) самый старший разряд, то есть тот, который находится слева, отводится под знак числа, а остальные разряды – под само число. Если число положительное, то в самый старший разряд (самую левую клеточку) пишется цифра 0, а если отрицательное, то 1.
Такое представление чисел называется прямым кодом. Такие коды в компьютере используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.
Например, число 56 в двоичной системе будет равно: 1110002.
Оно в себя включает 6 цифр. Запишем его в восьмиразрядную ячейку.
Две оставшиеся слева клеточки заполним нулями, так как число положительное.
А если бы наше число было отрицательным, то оно выглядело бы следующим образом.
В старший разряд мы поставили единицу, так как число отрицательное.
Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, который позволяет заменить операцию вычитания сложением.
Дополнительный код целого отрицательного числа может быть получен по следующему алгоритму:
· записать прямой код модуля числа;
· инвертировать его (заменить единицы нулями, нули – единицами);
· прибавить к инверсному коду единицу.
Давайте рассмотрим применение этого алгоритма на примере.
Нам дано число –25. При переводе в двоичную систему модуля числа получим следующее число: 110012.
Теперь смотрим на первый пункт. Нам необходимо записать прямой код модуля числа. Возьмём восьмиразрядный код. То есть наше число будет записано в клеточки, а в трёх пустых клеточках слева от него – нули.
Далее во втором пункте нам необходимо инвертировать наше число, то есть заменить единицы нулями, а нули – единицами. Получим следующее:
Теперь нам осталось, исходя из третьего пункта, прибавить к числу единицу. Получим следующее число:
Всё, что говорилось ранее, относилось к представлению целых чисел. Для представления вещественных чисел используется немного другой способ. Давайте рассмотрим его.
Любое вещественное число A может быть записано в экспоненциальной форме:
m – мантисса числа.
q – основание системы счисления.
p – порядок числа.
Возьмём для примера число 1 345 572. Его можно представить различными способами:
С экспоненциальной формой записи вы наверняка уже встречались. Например, считая на калькуляторе, вы могли получить следующее число: 1,34Е + 6.
Оно обозначает следующее: 1,34 · 10 6 . То есть знак Е – это основание десятичной системы счисления.
Из примера, можно сделать вывод, что положение запятой может изменяться.
Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, которая имеет после запятой цифру, отличную от нуля. То есть наше число 1 345 572 будет выглядеть следующим образом: 1 345 572 = 0,1345572 • 10 7 .
Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда.
То есть наша ячейка в памяти может состоять из 32 или 64 клеточек. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.
Давайте разберёмся на примере. Возьмём число 125 в десятичной системе счисления и запишем её в тридцатидвухразрядную ячейку.
Для начала нам нужно перевести число 125 в двоичную систему счисления. Получим следующее: 12510 = 11111012.
Теперь запишем это число в экспоненциальной форме.
Ставим равно. Мантиссой числа будет следующее: 0,1111101.
Ставим знак умножения. q – это основание системы счисления. В нашем случает это двоичная система счисления. Число 2 в двоичной системе счисления будет состоять из цифр 1 и 0. Запишем его.
11111012 = 0,1111101 · 10.
p – это порядок числа или же степень. Мы с вами перенесли наше число на семь знаков вправо после запятой. Значит наше p будет равно 7. При переводе числа семь в двоичную систему счисления получим следующее:
11111012 = 0,1111101 · 10 111 .
Мы с вами записали двоичное число в экспоненциальной форме.
Теперь перенесём всё в клеточки ячейки памяти, размером 32 разряда.
Под знак и порядок выделяется восемь клеточек, под знак и мантиссу двадцать четыре.
Первую клеточку слева выделяем под знак. Так как наше число положительное, то ставим цифру 0.
В разделе «Знак и порядок» запишем число 7 в двоичной системе счисления. Оставшиеся клеточки заполним нулями.
Теперь переходим к разделу «Знак и мантисса». В первой слева снова ставим цифру ноль, которая обозначает, что знак нашего числа положительный.
Далее запишем наше число, а оставшиеся клеточки заполним нулями.
Мы записали наше число в тридцатидвухразрядную ячейку.
Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка чисел, а точность – количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.
Давайте рассмотрим следующий пример:
В нём максимальное значение порядка числа составляет: 11111112 = 12710.
Следовательно, максимальное значение числа будет равно: 0,11111111111111111111111 · 10 111 .
Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Но в тоже время алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.
А теперь пришла пора подвести итоги урока.
Сегодня мы узнали, как представляются целые и вещественные числа в компьютере, а также научились преобразовывать числа в ячейки памяти, учитывая разрядность ячейки.