Деление с остатком
Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.
Запомните!
Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело.
Деление с остатком записывают так:
Читается пример следующим образом:
« 17 » разделить на « 3 » получится « 5 » и остаток « 2 ».
Порядок решения примеров на деление с остатком.
-
Находим наибольшее число до « 17 », которое делится на « 3 » без остатка. Это « 15 ».
Запомните! 
При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если получилось, что остаток больше делителя, значит, вы неверно нашли наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.
При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число из пункта 1. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик. Покажем это на примере.
Методом подбора найдём на сколько надо умножить « 27 », чтобы получить ближайшее число к « 190 ».
Попробуем умножить на « 6 ».
Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.
Остаток больше делителя. Это означает, что « 6 » как множитель нам не подходит. Попробуем умножить делитель на « 7 ».
Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.
Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно. Запишем ответ.
Все вычисления выше можно представить в виде деления в столбик. Правила деления в столбик вы можете освежить в уроке «Деление в столбик» на нашем сайте.
Как проверить деление с остатком
- Умножить неполное частное на делитель
- Прибавить к полученному результату остаток
- Сравнить полученный результат с делимым
Проверим ответ нашего примера.
- 27 · 7 = 189
- 189 + 1 = 190
- 190 = 190
Деление с остатком выполнено верно.
Запомните!
Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, остаток равен делимому.
- 6 : 10 = 0 ост (6)
- 14 : 112 = 0 ост (14)
- 31 : 45 = 0 ост (31)
Другими словами, если вы делите меньшее число на большее, неполное частное всегда будет равно нулю.
Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка.
Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.
Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?
Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:
Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.
a=b⋅c+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.
Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.
Остаток от деления
Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.
Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.
Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.
Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8
Решение:
а) Делим столбиком: 
258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
7⋅36+6=252+6=258
б) Делим столбиком: 
1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873
Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.
Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)
Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22
б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107
Задача:
Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?
Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400
Деление с остатком
Здравствуйте, ребята. Я, Знайка, продолжаю учить вас математике.
Выражение «твердый орешек» означает трудную для решения задачу. Орешек знанья тверд, но мы не привыкли отступать, вместе его расколем. Пусть скорлупа ореха — символ знания, ядро — опыт человечества. Математика раскроет тайны деления двузначных чисел, если будем стараться. Французский ученый Декарт говорил: «Умейте использовать свой хороший ум, чтобы справиться с задачами».
Случаи деления 80 : 20, 87 : 29
Начнем с деления на двузначное число.
Приемы деления вида 80 : 20
Приемы деления вида 87 : 29
Найдите значения двух выражений:
Для решения посмотрите на цифры единиц. Делитель заканчивается на 9. Вспомните таблицу умножения девяти. Какое произведение имеет семерку на конце? 27.
Других вариантов в таблице умножения на девять нет. Ответ равен трем.
Внимательно посмотрите на цифры в единицах. Делимое заканчивается на четверку. Вспомните множитель, который при умножении шести в произведении дает последнюю цифру четверку.
Это два случая: четыре, девять. В значениях произведений четверка на конце. Какой множитель подходит? Давайте посмотрим. Девять — многовато.
Задания легко решать, если знаешь таблицу умножения.
Деление столбиком на двузначное число
Вы уже знаете, что для записи действия деления применяют математический символ в виде двоеточия (∶), обелюса (÷), дробной (–), косой (∕) черты. Сегодня мы используем знак, который похож на лежащую боком букву.
При делении столбиком очень важна аккуратность, поэтому возьмите листок в клеточку.
Как записать решение примера 32 : 16 столбиком? Запишите каждую цифру делимого 32 в отдельную клеточку. Отступите одну клеточку вправо, запишите делитель 16. Проведите вертикальную и горизонтальную черточку.
Подбираем частное. Посмотрите на цифры единиц 2 и 6. Вспомните табличные случаи.
Семерка нам не подойдет, потому что 16 ∙ 7 — это большая величина. Значит, выбираем двойку. Проверяем: 16 ∙ 2 = 32. Записываем двойку на место частного под чертой. Вычитаем 32 из делимого. Пишем нуль. 32 разделили нацело.
Хорошо. А знаете ли вы, что с древних времён замечено влияние грецкого ореха на работу мозга. Как будто природа создала его, по форме извилин напоминающим полушария головного мозга. Благодаря работе этого центрального органа мы справляемся с математическими задачами.
Деление с остатком
Ребята, я предлагаю вам отправиться в путешествие по реке на лодках. Прежде чем отплыть от берега, нам нужно разделить 9 спасательных кругов на 2 лодки. Как узнать, сколько кругов окажется в одной лодке?
Верно, надо разделить. Запишите решение. Сколько получилось в выражении?
У вас трудности. Что заметили?
9 на 2 нацело не делится.
Почему не можем найти значение данного выражения?
Потому что это не табличный случай. Мы не умеем решать такие выражения.
Ребята, оказывается, в примерах может получиться остаток. Это арифметическое действие, играющее большую роль в математике и криптографии — науке о защите информации. В компьютерной технике тоже часто решают данные выражения.
Напишите отрезок натурального ряда от 17 до 37.
Выпишите из этого отрезка числа, которые делятся на 9.
Проверьте, это — 18, 27, 36.
Остаток при делении натуральных чисел 19, 28, 37 на 9 равен единице, потому что они следующие при счете.
Запишите отрезок натурального ряда от 11 до 25. Обведите числа, которые делятся на шесть нацело.
Укажите остатки при делении на 6 тринадцати и четырнадцати. Запишите выражения.
Проверьте:
Объясните, как рассуждали.
15 — на третьем месте после 12, 16 — четвертое место, а 17 – пятое место после 12.
Какой самый большой остаток получается при делении на 6?
Это пять, так как между величинами, которые делятся на шесть нацело, находится пять чисел.
Интересно знать! В Древнем Египте кушать ядра грецких орехов могли только высшие, самые главные жрецы. Для всех остальных, особенно для простого народа — это было запрещено. Чтобы не становились умнее и не начали много думать. Но мы с вами знаем пользу орехов и хорошо соображаем, поэтому продолжаем урок.
Деление с остатком на однозначное число
Существует два способа решения примеров.
1 способ деления на 5, 6, 7, 8, 9
Первый способ подходит, когда делитель равен или больше пяти. Мы должны найти в делимом наибольшее число, чтобы разделить, например, на семерку.
Как его отыскать? Посчитайте семерками. Если бы делили на пять, то считали бы пятерками, на шесть – шестерками и так далее.
Разве 41 разделить на 7 — это пять? Нет, мы разделили только 35. Теперь найдем, сколько не разделили. Из 41 отнимите 35, получится шесть. Это искомый остаток.
Сделайте обязательный шаг — убедитесь, что остаток получился меньше чем делитель. Действительно 6 < 7. Правильное решение. Если получится больше, то нужно пересчитать заново.
Вычислите, чему равен частное и остаток при делении:
2 способ деления на 4, 3, 2 и 1
Второй способ подходит, когда делитель меньше пяти. Способ заключается в том, что делимое уменьшаем на 1 и проверяем, делится ли оно на делитель. Вы посмотрите:
Значит, вы можете применять оба способа в решении таких примеров.
Сорок пять меньше 52, а пятьдесят четыре больше. Значит, делим 45. Находим сколько осталось.
Лучше использовать второй способ. Вычитайте единицу.
Деление на двузначное число с остатком
Орешек знаний тверд, но мы его удачно раскалываем. Для решения таких примеров научимся работать не с самим числом, а с его десятками, но не с простыми, а округленными. Каким образом это работает?
Договоримся так: если количество единиц в числе меньше пяти, то есть — 1, 2, 3, 4, то количество десятков изменять не будем. Если же количество единиц в числе больше пяти, то есть — 5, 6,7, 9, то количество десятков увеличим на один.
Например, 96 разделим на 29. Каждое число округлим. У 96-и девять десятков, да шестерка даст еще один десяток. Округлим 96 до десяти десятков. 29 имеет два десятка и один десяток даст девятка, потому что она больше пяти.
Получается, что надо 10 десятков разделить на три десятка. Воспользуемся вторым способом. Уменьшим 10 на единицу, получаем 9.
Особенность в решении таких примеров в том, что не надо сразу писать ответ. Держите под рукой черновик и проверяйте решение. Чтобы проверить, не ошиблись ли, надо:
Решим следующий пример, где этот метод не работает. 77 – семь десятков да семерка в единицах дает еще один десяток. 13 округляем до десяти.
Получается, что пример сводится к делению восьми на один. Но восьмерка не подходит. 13 ∙ 7 явно больше 77. Поэтому пробуем шестерку. Видите, шестерка не подошла.
Уменьшаем еще на один. Получаем пять.
Полезно знать, что употреблять грецкие орехи нужно взрослым и детям. Важно это делать правильно и регулярно. Тогда вы получите максимальную пользу от этого ценного продукта.
Продолжим урок математики.
Деление с остатком столбиком
В 52 содержится 6 раз по 8, остаётся 4.
Пример с остатком запишите в виде деления в столбик:
- Делимое 52 напишите слева, правее — делитель 8. Между ними проведите вертикальную черту в две клетки — знак деления, горизонтальной линией подчеркните делитель.
- Сколько делителей 8 помещается в делимом 52? Вспомните табличный случай 8 ∙ 6 = 48. Запишите неполное частное 8 в форму.
- Найдите остаток. 48 вычтите из делимого. Проведите черту. Это знак равно. Запишите 4.
Напоминаю: сравните остаток и делитель. 4 < 6. Пример решили верно.
Выполните деления с остатком 51 : 7 =
Ближайшее к делимому будет табличное произведение 49.
2 < 7. Значит, пример решили правильно.
Проверка деления с остатком
Но случаются ошибки. Проверить решения можно обратными действиями.
Выполните деление с остатком и сделайте проверку:
Убедиться в правильности решения помогает проверка.
Решение задач на деление с остатком
Простые задачи легко решить, если составить модель-схему условия и решения задачи на числовом луче.
Рассмотрите пример задачи:
Повар испек 17 творожных и 19 брусничных ватрушек. На тарелки положит по три штуки одного сорта. Узнайте, сколько нужно тарелок и сколько ватрушек останется.
Решение:
Ответ: для творожных ватрушек нужно 5 тарелок, две останутся; для брусничных — 5 тарелок, одна ватрушка останется.
Составьте задачу на деление с остатком, выбрав подходящее выражение:
Проверьте рассуждение. Для задачи подойдет второе выражение, а первое и последнее – не подходят, потому что это табличные случаи.
Пример задачи: На пальто пришивается 4 пуговицы. На сколько таких пальто хватит 15 пуговиц? Сколько пуговиц останется?
Ответ: пуговиц хватит на три пальто. Останется 3 пуговицы.
Придумайте задачу к схеме:
Мама купила 21 конфету и поделила по 8 штук детям. Сколько детей в семье и сколько конфет мама оставила себе?
Решение:
Ответ: в семье двое детей. Мама оставила 5 конфет.
Умения решать задачи по математике помогают в жизни.
Незнайка отправился в магазин. У него есть 90 рублей, и он хочет купить мороженое по цене 28 рублей. Сколько стаканчиков с мороженым сможет купить Незнайка и сколько денег у него останется?
Подсказка: решить задачу можно округлив величины. 90 – это девять десятков, а 28 округлим до трех десятков.
Проверьте:
Ответ: Незнайка купит 3 стаканчика с мороженным. У него останется 6 рублей.
Случаи деления, когда делитель больше делимого
В конце урока Орешек принес интересный пример:
Делитель 9 больше делимого 7. Как решить?
Сколько раз по девять содержится в семи? Конечно — нуль раз. В частном запишите 0. Нуль умножить на девять получится нуль. Вычитаем 0. Остаток 7.
Деление с остатком
Онлайн калькулятор определит остаток от деления чисел, поможет проверить себя при решении уроков и примеров на деление. Деление с остатком (деление по модулю) — это арифметическая операция, в результате выполнения которой получается два целых числа: неполное частное и остаток от деления.
Остаток всегда должен быть меньше делителя. Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.