4.3. Расчет траектории полета
Конечные значения высоты Нки числаМполетаМквыбираются из условия минимума километрового расхода в установившемся горизонтальном полете (см. п. 4.2 графикqкмmin (H)). При этом в целях упрощения дальнейших расчетов в качестве конечной высотыНквыбираем значениеНкнаиболее близкой к узловой расчетной точкиНi. ВеличинаМктакже определяется графически по зависимостиqкм (М,Нi)для минимального значенияqкмmin. В итоге имеем следующие конечные условия:
qкмmin, кг/км
Характеристики набора высоты:
угол наклона траектории θнаб;
вертикальная скорость Vунаб;
время tнаб;
дальность Lнаб;
расход топлива mТнаб.
Эти характеристики определяются по следующим формулам:
В этих формулах размерность энергетичекой высоты Нэв метрах, м.
Для вычисления указанных характеристик необходимо знать программу набора высоты Мнаб(Н). В качестве программы принимается зависимость, соответствующая максимальной энергетической скороподъемности
=Vнаб (Н). Данная программа близка оптимальным программам набора высоты по критериям минимума расхода топлива или набора времени.
Программа набора высоты содержит три участка: разгон на постоянной высоте Н=0отМ0=1,2Мminдопдо скорости набора высотыМ(Viymax); набор высоты наНiк; разгон (или торможение) на высотеНiкдо числаМполетаМк(qкмmin). Вычисление интегралов производится методом трапеций:
Н i э– энергетическая высота в узловой точке, м;V i – скорость, соответствующая 
(Н i )при наборе высоты, м/с; для участков разгонаViсоответствует узловой точке поМ.
Се– удельный часовой расход топлива при наборе высоты (R=1), кг/(Н*ч). ВеличиныРр,
,
определяются для точки(Мнаб,Н i )по графикам, построенным в п. 4.2. ЧислоМнабнаходится по графикам
(М,Н i )(для участка набора высоты).
Производная dV/dHвычисляется по формуле
Из всего выше сказанного зададимся программой набора высоты (таблица № 4.35).
М2(
)
Баллистическое движение
Расчет неизвестных параметров баллистического движения по известным. Параметры: дальность полета, высота полета, длительность полета, угол броска, начальная скорость.
Калькулятор ниже предназначен для решении задач школьного курса физики на баллистическое движение. Баллистическое движение — движение тела в пространстве под действием внешних сил, в данном случае речь идет только о силе тяжести.
Параметры баллистического движения изображены на картинке, это:
дальность полета ,
максимальная высота полета ,
длительность полета ,
угол броска ,
начальная скорость .
Основные формулы, определяющие баллистическое движение:
, ,
Формулы выводятся из формул для скорости и расстояния при равноускоренном движении, в предположении, что по оси х на тело не действует никакое ускорение, а по оси y на тело действует ускорение свободного падения g.
Калькулятор позволяет рассчитать неизвестные параметры баллистического движения по известным.
То есть, если задать угол броска и начальную скорость, то калькулятор найдет дальность полета, время полета и максимальную высоту, на которую поднимется тело. Если задать время полета и дальность полета, то калькулятор найдет начальную скорость, угол броска и максимальную высоту, и так далее.
Единственная неопределенная комбинация — это время полета и высота полета. Зная только эти параметры, рассчитать остальные невозможно.
Калькулятор движения снаряда
Наш калькулятор движения тела — это инструмент, который поможет вам проанализировать параболическое движение тела. Он может определить время полета, а также компоненты скорости, дальность полета и максимальную высоту полета. Продолжайте читать, если вы хотите понять, что такое движение тела, познакомьтесь с определением движения и определите вышеупомянутые значения с помощью уравнений движения тела.
Что такое движение тела (снаряда)? Определение движения снаряда
Представьте себе лучника, посылающего в воздух стрелу. Она начинает двигаться вверх и вперед при некотором наклоне к земле. Чем дальше она летит, тем медленнее она поднимается — и, наконец, она начинает снижаться, двигаясь теперь вниз и вперед и, наконец, снова ударяясь о землю. Если бы вы могли проследить ее путь, это была бы кривая, называемая траекторией в форме параболы. Любой объект, движущийся таким образом, движется как снаряд.
На снаряд действует только одна сила — сила тяжести. Сопротивление воздуха всегда не учитывается. Если вы начертите диаграмму свободного тела такого объекта, вам нужно будет нарисовать только один направленный вниз вектор и обозначить его «гравитация». Если бы на тело действовали какие-либо другие силы, то — по определению движения снаряда — это не был бы снаряд.
Анализ движения снаряда
Движение снаряда довольно логично. Предположим, вы знаете начальную скорость объекта V, угол запуска α и начальную высоту h. Наш калькулятор движения снаряда выполняет следующие действия, чтобы найти все оставшиеся параметры:
1. Вычислите составляющие скорости.
- Скорость и ее горизонтальная и вертикальная составляющие
Горизонтальная составляющая скорости Vx равна V * cos (α).
Вертикальная составляющая скорости Vy равна V * sin (α).
Три вектора — V, Vx и Vy — образуют прямоугольный треугольник.
Если вертикальная составляющая скорости равна 0, то это случай горизонтального движения снаряда. Если дополнительно α = 90 °, то это случай свободного падения.
2. Запишите уравнения движения.
Расстояние
- Пройденное расстояние по горизонтали можно выразить как x = Vx * t, где t — время.
Вертикальное расстояние от земли описывается формулой y = h + Vy * t — g * t² / 2, где g — ускорение свободного падения.
- Горизонтальная скорость равна Vx.
Вертикальную скорость можно выразить как Vy — g * t.
- Горизонтальное ускорение равно 0.
Вертикальное ускорение равно -g (потому что на снаряд действует только сила тяжести).
3.Рассчитайте время полета.
График движения снаряда: время полета
Полет заканчивается, когда снаряд попадает в землю. Можно сказать, что это происходит, когда вертикальное расстояние от земли равно 0. В случае, когда начальная высота равна 0, формулу можно записать как: Vy * t — g * t² / 2 = 0. Тогда из это уравнение, мы находим, что время полета
t = 2 * Vy / g = 2 * V * sin (α) / g.
Однако, если мы бросаем объект с некоторой возвышенности, тогда формула не так хорошо сокращается, как раньше, и мы получаем квадратное уравнение для решения: h + Vy * t — g * t² / 2 = 0. После решения этой задачи уравнение, получаем:
t = [V * sin (α) + √ ((V * sin (α)) ² + 2 * g * h)] / g
4. Рассчитайте дальность полета снаряда.
График движения снаряда: дальность
Дальность полета снаряда — это общее горизонтальное расстояние, пройденное за время полета. Опять же, если мы запускаем объект с земли (начальная высота = 0), то мы можем записать формулу как R = Vx * t = Vx * 2 * Vy / g. Его также можно преобразовать в форму: R = V² * sin (2α) / g
Ситуация усложняется для начального значения высоты, отличного от 0. Затем нам нужно заменить длинную формулу из предыдущего шага на t:
R = Vx * t = V * cos (α) * [V * sin (α) + √ (V * sin (α)) ² + 2 * g * h)] / g
5. Рассчитайте максимальную высоту.
График движения снаряда: максимальная высота
Когда снаряд достигает максимальной высоты, он перестает двигаться вверх и начинает падать. Это означает, что его вертикальная составляющая скорости изменяется с положительной на отрицательную, другими словами, она равна 0 на короткий момент времени t (Vy = 0).
Если Vy — g * t (Vy = 0) = 0, то мы можем переформулировать это уравнение к t (Vy = 0) = Vy / g.
Теперь мы просто находим расстояние по вертикали от земли в это время: hmax = Vy * t (vy = 0) — g * (t (Vy = 0)) ² / 2 = Vy² / (2 * g) = V² * sin (α) ² / (2 * г)
К счастью, в случае запуска снаряда с некоторой начальной высоты h нам нужно просто добавить это значение в окончательную формулу: hmax = h + V² * sin (α) ² / (2 * g)
Уравнения движения снаряда
Уфф, это было много вычислений! Подведем итог, чтобы сформировать наиболее важные уравнения движения снаряда:
Запуск объекта с земли (начальная высота h = 0)
- Составляющая горизонтальной скорости: Vx = V * cos (α)
Вертикальная составляющая скорости: Vy = V * sin (α)
Время полета: t = 2 * Vy / г
Дальность полета снаряда: R = 2 * Vx * Vy / g
Максимальная высота: hmax = Vy² / (2 * g)
Запуск объекта с некоторой высоты (начальная высота h> 0)
- Составляющая горизонтальной скорости: Vx = V * cos (α)
Вертикальная составляющая скорости: Vy = V * sin (α)
Время полета: t = [Vy + √ (Vy² + 2 * g * h)] / g
Дальность полета снаряда: R = Vx * [Vy + √ (Vy² + 2 * g * h)] / g
Максимальная высота: hmax = h + Vy² / (2 * g)
Использование нашего калькулятора движения снаряда наверняка сэкономит вам много времени. Он также может работать «наоборот». Например, введите время полета, расстояние и начальную высоту и смотрите, как он выполняет все вычисления за вас!
Часто задаваемые вопросы
Должен ли снаряд перемещаться горизонтально?
Нет, движение снаряда и его уравнения охватывают все движущиеся объекты, где единственной силой, действующей на них, является гравитация. Сюда входят объекты, которые подбрасываются прямо вверх, те, которые выбрасываются горизонтально, те, которые имеют горизонтальный и вертикальный компонент, и те, которые просто отбрасываются.
Как может снаряд упасть вокруг Земли?
На снаряд действует только одна сила — сила тяжести. Это означает, что объект в конечном итоге упадет на Землю. Но что делать, если объект движется по горизонтали так быстро, что к тому времени, как он достигает земли, земли уже нет? Это принцип, по которому работают спутники.
Как найти ускорение при движении снаряда?
На объект в метательном движении действует только одна сила — гравитация. Это означает, что любое изменение вертикальной скорости происходит из-за ускорения свободного падения, которое на Земле составляет 9,81 м / с 2 . В горизонтальном направлении скорость не изменяется, так как сопротивление воздуха считается незначительным, поэтому ускорение равно 0.
Какие факторы влияют на движение снаряда, выпущенного горизонтально?
Начальная скорость, начальная высота, с которой запускается снаряд, и сила тяжести будут влиять на снаряд, запущенный горизонтально. Сопротивление воздуха также будет иметь влияние в реальной жизни, но для большинства теоретических расчетов оно незначительно и поэтому игнорируется. Если у снаряда есть крылья, это также повлияет на его движение, так как он будет скользить.
Что такое снаряд?
Снаряд — это объект, который движется в воздухе и не имеет силы, действующей на него, кроме ускорения свободного падения (это означает, что он не может быть самоходным). Вы, наверное, можете вспомнить множество примеров: брошенный мяч или камень, стрела из лука. Даже Луна — это снаряд по отношению к Земле!
Каковы характеристики движения снаряда?
Свойства движения снаряда заключаются в том, что горизонтальная скорость объекта не изменяется, что его вертикальная скорость постоянно изменяется из-за силы тяжести, что форма его траектории будет параболой и что на объект не влияет сопротивление воздуха.
Кто первым и когда точно описал движение снаряда?
Галилей был первым человеком, который точно описал движение снаряда, разбив движение на горизонтальную и вертикальную составляющие и осознав, что график движения любого объекта всегда будет параболой. Он описал это в своей книге «О движении», опубликованной примерно в 1590-х годах.
Почему снаряд летит по кривой?
Объект следует параболе из-за того, что гравитация влияет на две его составляющие движения — горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая вообще не подвержена влиянию силы тяжести, поэтому изменяется линейно. Однако вертикальная часть постоянно находится под действием силы тяжести, поэтому она будет увеличиваться в высоте, а затем уменьшаться, ускоряясь под действием силы тяжести.
Почему 45 градусов — оптимальный угол для снарядов?
Уравнение для расстояния, пройденного снарядом под действием силы тяжести, имеет вид sin (2θ) v2 / g, где θ — угол, v — начальная скорость, а g — ускорение свободного падения. Предполагая, что v2 / g постоянна, наибольшее расстояние будет, когда sin (2θ) будет максимальным, то есть когда 2θ = 90 градусов. Это означает θ = 45 градусов.
Как рассчитать движение снаряда: 3 важных понятия
Когда объект запускается, он следует параболическому пути и движению, известному как движение снаряда. В этом посте мы рассмотрим параметры и способы их расчета. движение снаряда в подробном анализе.
Когда объект запускается и движется по симметричной параболической траектории, движение называется движением снаряда, а параболический путь объекта называется его траекторией. В этом случае объект перемещается одновременно по вертикали и горизонтали. В результате движение снаряда становится двумерным. При движении снаряда вам нужно только приложить силу в начале траектории; после этого на объект действует только сила тяжести.
Теперь давайте посмотрим, как рассчитать движение снаряда:
Предположим, вы стреляете пушечным ядром. Он начинает двигаться вверх и вперед, пока не достигнет максимальной высоты. С этого момента он будет продолжать двигаться вперед, но в нисходящем направлении. Он отслеживает этот изогнутый маршрут, известный как траектория, имеющая форму параболы. Любой объект, движущийся таким образом, называется движущимся снарядом. Поскольку траектория движения снаряда всегда параболическая, она представляется как:
у = ах + bx 2
Прежде чем достичь Земли, пушечное ядро во время своего путешествия пойдет по параболическому маршруту. Компания скорость по оси X остается постоянной на протяжении всего движения, тогда как скорость по оси Y изменяется в зависимости от его положения. Только ускорение свободного падения 9.8 м / с 2 , управляет этим типом движения. Ускорение, направленное вниз, остается постоянным во время полета ядер.
Кинематические уравнения движения снаряда:
Формула начальной скорости:
Предположим, что начальная скорость равна u, а угол полета снаряда равен. У начальной скорости есть две составляющие: горизонтальная и вертикальная.
Горизонтальная составляющая начальной скорости ux и предоставлено:
ux = ты ᐧ потому что��
Вертикальная составляющая начальной скорости равна uy и определяется выражением:
Снаряд Движение
Время полета снаряда:
Время полета снаряда — это промежуток времени между запускаемым объектом и достижением земли. Величина стартовой скорости и угол полета снаряда определяют время полета, которое обозначается T.
Формула ускорения:
В горизонтальном направлении ускорение отсутствует, поскольку горизонтальная составляющая ускорения остается постоянной на протяжении всего движения. Единственное ускорение в вертикальном направлении происходит за счет силы тяжести.
Отрицательный знак означает ускорение вниз.
Формула скорости в момент времени t:
На протяжении всего движения горизонтальная составляющая скорости остается постоянной. Однако, поскольку вертикальное ускорение постоянно, вертикальная составляющая скорости изменяется линейно.
В результате скорость может быть рассчитана в любой момент времени t по следующей формуле:
vy = u ᐧ sin�� — g ᐧ t
Используя теорему Пифагора, можно найти величину скорости.
Формула смещения в момент времени t:
В момент времени t смещение может быть определено как:
y = (u ᐧ sin��) ᐧ t — ½ (gt 2 )
Формула параболической траектории:
Мы можем использовать уравнения смещения в направлениях x и y, чтобы вывести уравнение для параболической формы движения снаряда:
Формула дальности снаряда:
Общее горизонтальное расстояние, пройденное объектом за время полета, определяется как его дальность. Если объект запускается с земли (начальная высота = 0), формула выглядит следующим образом:
Согласно приведенному выше уравнению, максимальная дальность полета по горизонтали может быть получена при угле полета снаряда �� = 45 °. Rm представляет собой максимальный диапазон.
Формула максимальной высоты:
Когда вертикаль составляющая скорости равна нулю, vy = 0, максимальная высота может быть достигнута. Поскольку время полета — это полное время снаряда, для достижения максимальной высоты потребуется половина этого времени. Таким образом, время для достижения максимальной высоты составляет:
Таким образом, из уравнения перемещения максимальная высота может быть определена как:
Формула движения снаряда по горизонтали:
Горизонтальный снаряд Движение — это тип движения снаряда, при котором объект запускается горизонтально с возвышенной плоскости, а не с земли.
Горизонтальное движение снаряда
Угол запуска указывать не нужно, поскольку он параллелен земле (т. Е. Угол равен 0 °). В результате у нас есть только одна начальная составляющая скорости: Vx = V, тогда как Vy = 0.
В этом случае уравнения движения следующие:
Скорость горизонтального движения снаряда:
Горизонтальная скорость: vx = V
И вертикальная скорость: vx = -g ᐧ т
Расстояние, пройденное объектом при горизонтальном движении снаряда:
В этом случае горизонтальное расстояние рассчитывается следующим образом:
А расстояние по вертикали можно определить как:
y = — (g ᐧ t 2 ) / 2
Ускорение при горизонтальном движении снаряда:
Вертикальное ускорение аy = -г
Уравнение траектории горизонтального движения снаряда:
Уравнение траектории в этом случае может быть задано следующим образом:
Время полета при горизонтальном движении снаряда:
Время полета в этом случае может быть определено как:
Дальность полета снаряда при горизонтальном движении снаряда:
Дальность полета снаряда при горизонтальном движении снаряда составляет:
Поскольку мы запускаем объект с максимальной высоты, нам не нужно рассчитывать максимальную высоту в этом сценарии.
Давайте посмотрим на некоторые проблемы движения снаряда.
Проблема 1: Каким будет θmax, при котором расстояние от частицы до метателя всегда увеличивается до конца пути снова у земли?
Решение: Горизонтальное расстояние, пройденное объектом, называется его горизонтальным диапазоном и определяется по формуле:
Максимальная дальность полета может быть достигнута при угле выстрела 45 °.
Таким образом, для максимального угла Rm θmax = 45 °.
Задача 2: Если мяч брошен вертикально вверх со скоростью u, расстояние, пройденное за последние t секунд его всплытия, будет:
Решение: Поскольку мяч брошен вертикально, угол полета снаряда �� = 90 °.
Где Tm — время, необходимое объекту для достижения максимальной высоты.
Предположим, что h представляет собой расстояние, пройденное объектом за последние t секунд его подъема. Затем скорость в этот момент рассчитывается следующим образом:
Таким образом, расстояние, пройденное за последнюю t секунду, составляет:
3 задачи: Частица проецируется под углом 60 ° над горизонтом со скоростью 10 м / с. Через некоторое время скорость составит угол 30 ° от горизонтали. Скорость частицы в этот момент составляет?
Решение: Горизонтальная составляющая скорости определяется как:
vx = ты ᐧ потому что��
Здесь в первом случае угол проекции составляет 60 °, а начальная скорость u = 10 м / с. Таким образом,
Теперь вертикальная составляющая скорости vy изменяется во время движения, но vx остается постоянным. Таким образом,
Где ��2 = 30 °, а v — скорость, когда объект составляет угол �� = 30 ° с горизонтом.