Комбинации списка в Python
Комбинация — это метод, который определяет количество возможных комбинаций в коллекции элементов. В комбинации элементов элементы выбираются в произвольном порядке.
В этом руководстве мы найдем общие комбинации элементов списка в Python.
Используйте функцию itertools.combinations() для поиска комбинаций списка в Python
Функция combinations(list_name, x) из модуля itertools принимает имя списка и число x в качестве параметров и возвращает список кортежей, каждый длиной x , содержащий все возможные комбинации одного элемента в список с другими элементами.
Отсортированный список выведет комбинированные кортежи в отсортированном порядке. Комбинирование одного элемента в списке с самим собой невозможно с помощью функции combinations() .
Используйте функцию itertools.combinations_with_replacement() для поиска комбинаций списка в Python
Функция commands_with_replacement (list_name, x) из модуля itertools принимает имя списка и число x в качестве параметров и возвращает список кортежей, каждый длиной x , содержащий все возможные комбинации элементов списка. С помощью этой функции возможно сочетание одного элемента в списке с самим собой.
Создайте определяемую пользователем функцию powerset() для поиска комбинаций списка в Python
В математике набор мощности любого набора — это набор, который содержит все возможные подмножества данного набора вместе с пустым набором. Набор мощности набора S = <2, 5, 10>: <<>, <2>, <5>, <10>, <2, 5>, <2, 10>, <5, 10>, <2, 5, 10>> . Следующая функция powerset() используется для перебора всех длин r списка и вывода всех возможных комбинаций элементов списка.
Генерация всевозможных комбинаций из набора символов — комбинаторика в Python (itertools)
Встроенный модуль itertools в Python — простой инструментарий, позволяющий генерировать полный список возможных комбинаций из заданного набора символов. Как с этим работать и справляться — далее в статье.
Что ж, в преддверии Нового года KOTOFF.net вновь расправляет крылья.
И сразу к делу. Рассмотрим всего 3 функции и их различия.
1. Нахождение всевозможных комбинаций из набора символов
Допустим, у нас есть некий алфавит из трёх букв (А, Б, В), и из него необходимо составить максимальное количество трёхзначных слов (комбинаций). Причём в данном случае буквы могут повторяться. Алфавит короткий, однако у нас получится составить целых 27 слов. На каждую позицию приходится по 3 варианта букв, соответственно, общее количество комбинаций можно посчитать так: n k (n — количество доступных символов в степени k — длина конечной комбинации) . Для нашего случая: 3 3 = 27
Теперь импортирую itertools и сгенерирую всё то, что выше считали руками, но теперь уже с помощью функции product():
Функция принимает два параметра (набор символов и длина конечного объекта). С помощью join() получили строковое представление полученной комбинации.
И, как можно заметить, в результате мы получили те самые 27 так называемых слов.
Можно добавить в цикл некий фильтр (условие). Например, сделаю так, чтобы комбинируемые слова начинались только с «X» и заканчивались на «YZY»:
Попробуем сгенерировать всевозможные автомобильные номера для одного региона. Способ, конечно, не особо рациональный, но для примера сгодится:
Кстати, если добавить в цикл счётчик, то в итоге получим цифру 1.728.000 (12*10*10*10*12*12). Именно столько номеров формата x000xx можно наклепать для одного региона 🙂
2. Перестановка символов в наборе
В отличие от предыдущего примера, теперь мы не можем использовать по несколько раз один и тот же символ. Можем только переставлять их местами. Принцип подсчёта количества комбинаций остаётся тот же: необходимо перемножить количество вариантов символов на каждую позицию слова между собой. Но поскольку по мере составления слова на каждую последующую позицию символов будет оставаться всё меньше и меньше, то и формула также меняется на: n! / (n-k)! (n — количество доступных символов, k — длина слова) . Если n = k, то можно использовать упрощённую формулу: n! (факториал числа n).
В питоне для таких целей используется функция permutations(). Принимает тоже два параметра: набор символов и длину генерируемой комбинации:
Из трёх букв будет сгенерировано 6 различных слов с неповторяющимися символами (1! = 1 * 2 * 3 = 6)
Попробуем составить трёхзначные слова в 5-символьном алфавите (5! / (5-3)! = 120 / 2 = 60):
Кстати, если в заданном «алфавите» есть повторяющиеся символы, то они будут повторяться и в комбинациях:
3. Сочетания без повторений
А если нужно составить не комбинации, а отдельные неповторяющиеся сочетания? Например, есть 6 человек. Вопрос: какими способами их можно разбить по парам? Опять же, пользуемся формулой: n! / (n-k)! / k! (n — количество доступных объектов/символов, k — количество сочетаний) . Соответственно, существует 6! / (6-2)! / 2! = 720 / 24 / 2 = 15 вариантов разбиения этих 6 персон по парам.
Теперь реализуем эту задачу на питоне с помощью функции combinations(). Принимает она два параметра — список и кол-во сочетаний:
Результат работы программы будет таков:
На этом, пожалуй, на сегодня всё. С наступающим! 
5id15- 27.12.2022
- 1 727
- 0
- 7
Перестановки и комбинации в Python
Перестановки и комбинации набора элементов в Python – это различные расположения элементов набора:
- Комбинация – это набор элементов, порядок которых не имеет значения.
- Перестановка – это расположение набора, в котором порядок имеет значение.
Рассмотрим набор как:
Перестановки вышеуказанного набора следующие:
Комбинации вышеуказанного набора, когда два элемента взяты вместе, следующие:
В этом руководстве мы узнаем, как получить перестановки и комбинации группы элементов в Python. Мы рассмотрим наборы символов и цифр.
Мы будем использовать методы combinations() и permutations() в модуле itertools.
Перестановки числовых данных
Чтобы использовать метод permutations() в модуле itertools, нам сначала нужно импортировать модуль.
Теперь давайте определим набор чисел.
Теперь, чтобы получить список перестановок, воспользуемся методом permutations().
Строка кода выше дает объект itertools. Чтобы напечатать различные перестановки, мы будем перебирать этот объект.
Мы получаем результат как:
Полный код этого раздела приведен ниже:
Перестановки строки
Далее мы узнаем, как получить перестановки символов в строке.
Мы будем использовать метод permutations(), но на этот раз мы передадим строку в качестве аргумента.
Перестановки фиксированной длины
Мы можем найти перестановки набора, в котором мы берем только указанное количество элементов в каждой перестановке. Это похоже на nPr в области математики.
Код для поиска перестановок фиксированной длины приведен ниже:
Комбинации числовых данных
Так же, как метод permutations(), мы можем использовать combinations() также в itertools для получения комбинаций набора.
При вызове combinations() нам нужно передать два аргумента: набор для поиска комбинаций и число, обозначающее длину каждой комбинации.
Комбинации строки
Мы также можем получить комбинации строки. Используйте следующий фрагмент кода:
Комбинации с заменами
В модуле itertools есть еще один метод, который называется комбинациями_with_replacement(). Этот метод также учитывает комбинацию числа с самим собой.
Посмотрим, как это работает.
Для числового набора
Вы можете видеть разницу в выводе выше и выводе для работы нормальной комбинации. Здесь у нас есть такие комбинации, как (1,1) и (2,2), которых нет в обычных комбинациях.
Комбинаторика в Python
Стандартная библиотека python, начиная с версии 2.2, предоставляет множество средств для генерирования комбинаторных объектов, но в интернете мне не удалось найти ни одной статьи, которая подробно рассказывала бы о работе с ними. Поэтому я решил исправить это упущение.
Начну с того, что расскажу о комбинаторике и ее основных формулах. Если же вы уже знакомы с этим разделом математики — можете пропустить эти абзацы.
Допустим, у нас есть строка, состоящая из n разных букв и мы хотим вычислить все способы переставить эти буквы местами так, чтобы получить новую строку. На первую позицию в строке мы можем выбрать одну из n букв, имеющихся у нас, на вторую позицию одну из n-1-ой буквы и так далее. В итоге получаем произведение n (n-1)… *1 = n! количество перестановок из n элементов без повторений.
Теперь представим, что количество букв в строке ограничено. У нас есть n доступных букв и мы хотим вычислить количество способов составить из них строку длины k, где k < n, каждую букву мы можем использовать лишь единожды. Тогда на первую позицию в строке мы можем поставить одну из n букв, на вторую позицию одну из n-1 буквы и на k-ую позицию одну из n-k+1 буквы. Общее количество строк будет равно n (n — 1) (n — 2) … (n — k + 2) (n — k + 1) = n!/(n-k)! количество размещений из n по k. Если же уникальность букв не требуется, то мы получим формулу n. nn = n^k количество размещений из n по k с повторениями.
До этого мы перебирали последовательности с учетом порядка элементов, а что если порядок для нас не имеет значения. Например, у нас есть есть n разных конфет и мы хотим выбрать k из них, чтобы подарить другу, при чем k < n. Сколько существует способов выбрать k конфет из n без учета порядка? Ответ прост, в начале найдем размещение из n по k без повторений, но тогда одинаковые наборы конфет, имеющие разный порядок их следования будут повторяться. Сколько существует способов переставить k конфет? Правильно, перестановка из k элементов без повторений. Итоговый ответ: размещения из n по k делим на перестановки из k без повторений. Формула: количество сочетаний из n по k.
Рассмотрим случай посложнее, у нас есть n коробок каждая из которых содержит множество конфет одного вкуса, но в разных коробках вкусы разные. Сколько существует способов составить подарок другу из k конфет, при чем один и тот же вкус может встречаться любое количество раз? Так как порядок для нас значения не имеет, давайте разложим подарочные сладости следующим образом: в начале будут лежать последовательно конфеты первого вкуса, затем второго и так далее, а между конфетами разных вкусов положим спички, если конфеты какого-то вкуса отсутствуют в нашем подарке — спички, которые должны были окаймлять этот вкус слева и справа будут стоять рядом. Того у нас получится последовательность, состоящая из k конфет и n-1 спички, ибо вкусов всего n, а спички разделяют их. Теперь заметим, что по расположению спичек, мы можем восстановить исходное множество. Тогда ответом будет количество способов разместить n-1 спичку в n+k-1 ячейку без учета порядка, что равно количеству сочетаний из n+k-1 по n-1, формула: количество сочетаний из n по k с повторениями.
Теперь рассмотрим несколько задач на комбинаторику, чтобы закрепить материал.
Задача 1
Есть 20 человек, сколько существует способов разбить их на пары
Решение: возьмем первого человека, сколько существует способов выбрать ему пару: , возьмем второго человека, сколько существует способов выбрать ему пару: . Ответ: 19. = 654729075
Задача 2
Есть 10 мужчин и 10 девушек, сколько существует способов разбить их на компании, состоящие из одинакового количества и мужчин и девушек, пустая компания не считается
Решение:
Cпособ 1: количество способов собрать компанию из одного мужчины и одной девушки равно произведению количества способов выбрать одну девушку и количества способов выбрать одного мужчину. Количество способов выбрать одну девушку из 10 равно сочетанию из 10 по 1 без повторений, с мужчинами аналогично, поэтому возведем в квадрат. Далее аналогично вычислим сочетания из 10 по 2, из 10 по 3 и так далее до сочетания из 10 по 10. Итоговая формула: .
Способ 2: рассмотрим множество мужчин, входящих в компанию и множество девушек, не входящих в нее. По этому множеству можно однозначно восстановить компанию, а количество людей в нем всегда равно 10, так как , k — количество мужчин в компании, — количество девушек, не вошедших в нее. Количество таких множеств равно количеству сочетаний из 20 по 10, в конечном ответе мы также вычтем единицу, чтобы не учитывать пустую компанию, когда в нашем множестве 10 девушек. Итоговая формула: .
Итак, мы разобрались с теорией, теперь научимся генерировать комбинаторные объекты с помощью стандартной библиотеки python.
Работать мы будем с библиотекой itertools
С помощью функции permutations можно сгенерировать все перестановки для итерируемого объекта.
Пример 1
Исходя из второго вызова заметим, что одинаковые элементы, стоящие на разных позициях, считаются разными.
Пример 2
Размещение отличается от перестановки ограничением на количество доступных ячеек
Пример 3
C помощью размещений с повторениями можно легко перебрать все строки фиксированной длины, состоящие из заданных символов
Пример 4
С помощью сочетаний без повторений можно перебрать все наборы не повторяющихся букв из заданной строки, массива или другого итерируемого объекта без учета порядка
Пример 5
Результат аналогичен вызову combinations, но в результат также добавлены множества с одинаковыми элементами.
Материалы:
Н.В. Горбачев «Сборник олимпиадных задач по математике»
Документация по python на русском