Как по графику определить функцию

Love Soft

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Функция

Понятие функции — одно из важнейших понятий математики.

Уравнение $y=2x-3$ — это пример функции.

При подстановке вместо x, скажем, числа 5, мы получим величину y, равную 7:

Функция устанавливает соответствие между двумя множествами. Например:

Множество автомобилей — это область определения, множество автомобильных номеров — область значений функции.

область определения	соответствие	область значений	Функция?
Целые числа	Число, возведенное в квадрат	Неотрицательные числа	да
Район города	В каждом районе выбраны депутаты	Депутаты	нет
Депутаты	Каждый депутат работает только в одном районе города	Район города	да
Множество многоугольников	Ставим в соответствие периметр	Все вещественные числа (множество периметров)	да
Множество чисел	Площадь прямоугольника	Множество всех прямоугольников	?

Соответствие может быть задано таблично, графиком, рисунком, словесным описанием, множеством пар (x,y) и т.д.

Большинство функций в математике описывается формулами или уравнениями вида $y=2x-3$. На входе здесь значения переменной x — любые значения из области определения функции, на выходе — результат вычисления формулы, значения из области значений функции. Внимание: не любая формула описывает функцию.

Вместо того, чтобы писать «когда переменная x=4, значение переменной y — 11», мы можем просто написать «f(4)=11» или, другими словами, когда на вход поступает 4, на выходе 11.

Можно думать о функции как о машине:

Пример. Пусть дана функция $f(x)=3x^2-2x+8$. Для нахождения значений функции можно представлять себе формулу с пустыми окошками вместо переменных: $$f(\square)=3\square^2-2\square+8$$

Задание. Вычислить f(0); f(1); f(-5); f(7a); f(q).

Функция — это шаблон, алгоритм преобразования входных данных в выходные.

Задание. Построить график функции «знак числа».

[Зорич] Любой из наших органов чувств является оператором (преобразователем) со своими областью определения и областью значений.

Иногда используется термин область отправления функции, область ее прибытия (в контексте сужения/продолжения функции)

игра — взрослый задумывает функцию. озвучивает область определения — например, фрукты. ребенок называет фрукты и должен по ответам угадавть функцию, например, желтые фрукты возвращают 1, остальные 0. Дети легко угадывают функцию y=x+1. На вход неких функций могут поступать даже другие функции.

Как по графику определить область определения функции? Представьте себе, что график функции нарисован краской. Дайте этой краске стечь на ось OX — то, что она закрасит и есть область определения. Область значений — аналогично, только краска «притягивается» к оси OY

Исторический экскурс

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения $x^2$, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца.

Математика изучает взаимосвязи величин, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

Явное и вполне сознательное применение понятия функции берет своё начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию).

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком.

Основные определения

Функция — это такая зависимость переменной у от переменной x, когда каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Например, функция может ставить в соответствие форме предмета его цвет. Функция нескольких переменных, например, зависимость массы от плотности и объема.

Понятие функции переводится на обычный язык, используя понятия «закон», «правило» или «соответствие».

Числовая функция — функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Монотонность функции

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

«Чем дальше в лес, тем больше дров» — изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

«Дальше кумы – меньше греха» — функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.

Четность и нечетность функций

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ограниченность

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

Период функции

Функция $f(x)$ — периодическая, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого x из области определения функции имеет место: $f(x+T) = f(x)$. Такое наименьшее число называется периодом функции. (подразумевается, что $x + T$ входит в область определения функции, если в нее входит $x$)

«Это сказка про белого бычка». Так говорят, когда какое-то дело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.

Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов. Примеры:

Периодическая функция не обязана иметь наименьший положительный период (например, функция, являющаяся постоянной, имеет периодом вообще любое число и, стало быть, наименьшего положительного периода у нее нет).

Композиция функций

Если отображения f: X → Y и g: Υ —> Ζ таковы, что одно из них (в нашем случае g) определено на множестве значений другого (f), то можно построить новое отображение $$g \circ f: X \rightarrow Z, $$ значения которого на элементах множества X определяются формулой $$(g \circ f)(x) := g(f(x)). $$

Построенное составное отображение называют композицией отображения f и отображения g (порядок важен).

С композицией отображений вы уже неоднократно встречались как в геометрии, рассматривая композицию движений плоскости или пространства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, полученных композицией простейших элементарных функций.

Операцию композиции иногда приходится проводить несколько раз подряд, и в этой связи полезно отметить, что она ассоциативна, т. е.

$$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f $$

и в общем случае не коммутативна.

Если в композиции $ f_n ° · · · ° f_1$ все члены одинаковы и равны $f$, то ее обозначают коротко $f^n$.

Хорошо известно, например, что корень квадратный из положительного числа а можно вычислить последовательными приближениями по формуле $$x_ = \frac 1 2 \left( x_n + \frac a \right),$$

начиная с любого начального приближения $x_0 > 0$. Это не что иное, как последовательное вычисление $f^n(x_0)$, где $f(x) = 1/2 (x + a/x)$· Такая процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге становится ее аргументом, называется итерационным процессом. Итерационные процессы широко используются в математике.

Построение графика

Обратная функция

статья в журнале Математика для школьников 2018 №04

Нередко приходится решать обратную задачу — по данному значению функции у₀ находить соответствующее значение аргумента х₀. Если каждому значению функции соответствует одно определённое значение аргумента, то можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значений функции. В таком случае функцию называют обратимой.

Если для функции у = f(x) каждому значению аргумента из области определения D(f) соответствует одно определённое значение функции из множества значений E(f), а каждому значению функции из множества значений E(f) соответствует одно определённое значение аргумента из области определения D(f), то функцию у = f(x) называют взаимно-однозначной.

Пусть у = f(х) — обратимая функция, то есть из равенства у = f(х) можно однозначно выразить х через у. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определённое значение х из области её определения, такое, что у = f(х). Это соответствие определяет функцию х от у, которую обозначим х = g(y). Поскольку аргумент функции принято обозначать как х, поменяем местами х и у. Получим: у = g(x). Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = g(х).

Легко понять, что функция, обратная к данной, единственна, если она существует. Поэтому её обозначение однозначно связывается с обозначением исходной функции: функция, обратная к f, обозначается как f -1 (по аналогии с числом, обратным к данному, — а и а -1 ).

Если бы мы не меняли местами х и у, то следовало бы поменять местами названия осей: ось Оу была бы осью абсцисс, а ось Ох — осью ординат. Но обычно меняют местами х и у, чтобы сохранить известные роли осей координат.

Графики исходной функции у = f(x) и обратной к ней функции у = g(x) связаны очень изящно: они симметричны относительно прямой у = х (биссектрисы I и III координатных углов).

Теорема. Монотонная функция является обратимой.

Пусть, например, функция у = f(х) возрастает, и пусть y0 — её значение в некоторой точке х0, то есть у0 = f(х0). Тогда если х принадлежит области определения функции, то при х > х0 выполняется неравенство f(х) > f(х0) = у0, а при х < х0 выполняется неравенство f(х) < f(х0) = у0. Следовательно, значение у0 рассматриваемая функция принимает только в одной точке, поэтому является обратимой.

Если исходная функция возрастает, то и обратная функция возрастает. Если исходная функция убывает, то и обратная к ней функция убывает.

Итак, для существования функции, обратной к данной, мы должны требовать выполнимости свойства строгой монотонности.

А как быть с функциями, не обладающими этим свойством? Например, с функцией у = х 2 ? Здесь одному положительному образу y₀ соответствуют два прообраза: $x_ <1,2>= \pm \sqrt$.

В подобных случаях искусственно ограничивают область определения исходной функции так, чтобы на новой области функция была строго монотонной, и именно на этой области определяют обратную функцию.

арксинус

На рис. 6 график функции синус. Она кусочно-монотонная. Обратная функция на всей области определения будет многозначной — рис. 7.

Ограничим область определения y = sin x отрезком $[-\pi/2; \pi/2]$, на котором функция монотонно возрастает. На этом отрезке существует обратная функция, которую называют арксинус и обозначают у = arcsin х, график её изображён на рисунке 8.

Определение. arcsin а — это такое число х, что:

Обратные тригонометрические функции называют ещё круговыми функциями, или аркфункциями (последнее название происходит от латинского arc — «дуга»).

Как составлять уравнение по графику функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х	0	2	4
y	-2	-1	0

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция	Коэффициент k	Коэффициент b
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выполнила учительница математики МБОУ Башкирский лицей № 1 муниципального района Учалинский район Республики Башкортостан Хидиятова Залифа Даутовна

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику»

На рисунке представлен график функции у = kx +b.
Записать формулу линейной функции, соответствующей данному графику.

1) Так как ордината точки пересечения графика функции с осью Оy равна 1, следовательно, b=1.
Значит, у = kx+ 1

2) Выбираем на графике произвольную точку, например, А (2;2) и определяем её координаты: если x = 2, то у = 2. Подставим в нашу формулу вместо Х и У и получим уравнение относительно k.
2 = 2k+1
2k=1
k = 0.5 Записываем формулу линейной функции: у = 0,5х + 1.

Написать ФОРМУЛУ линейной функции У= КХ+В, график которой изображен на рисунке :

Это ВПР задание 8) это ответ:

ВНИМАНИЕ : задание на сегодня 16 апреля

Внимание : вот эти следующие задания пока НЕ РЕШАТЬ.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 591 467 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

16. Линейная функция и её график

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

16.09.2020

200

11

31.03.2020

1170

30

16.03.2020

227

1

16.03.2020

191

1

08.03.2020

282

6

20.02.2020

1254

72

21.01.2020

180

0

09.12.2019

424

13

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

30.09.2020 16211

DOCX 549.2 кбайт

155 скачиваний

Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Хидиятова Залифа Даутовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 5 лет и 3 месяца

Подписчики: 0

Всего просмотров: 38959

Всего материалов: 37

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Как найти k и b по графику линейной функции?

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти $k$ и $b$ по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

В статье я расскажу про два простых способа найти $k$ и $b$, если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

Линейная функция пересекает ось $y$ в точке $b$.
Примеры:

Но не советую определять так $b$, если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

Если функция возрастает, то знак коэффициента $k$ плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то $k=0$.

Чтоб конкретнее определить $k$ надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить $k$ нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

$b=3$ – это сразу видно. Функция идет вниз, значит $k 0$. $k=+\frac =\frac =1,b=1$. $f(x)=x+1$.

Теперь перейдем к функции $g(x)$. Найдем координаты точек $D$ и $E$: $D(-2;4)$, $E(-4;1)$. Можно составить систему:

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать $b$:

$g(x)=1,5x+7$. Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем $f(x)$ и $g(x)$.

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».

Линейная функция

Функция не всегда сразу задана в виде $y=kx+b$, иногда такой вид получится только после преобразований. Например, $y=6(x-1)+10x$ — это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим $y=16x-6$.

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Чтобы в этом убедиться построим графики функций $y=2x$, $y=\frac<1><3>x-5$, $y=8$.

Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

Как меняется график при разных $k$?

Чтобы определить, как влияет на график коэффициент $k$, построим несколько функций разными $k$: $\frac<1><3>$,$-\frac<1><3>$,$2$,$-2$ и $0$. При этом во всех функциях сделаем $b$ одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
То есть, построим графики для функций: $y=\frac<1><3>x$, $y=-\frac<1><3>x$, $y=2x$, $y=-2x$, $y=0$.

Заметьте, что при $k=2$ и $\frac<1><3>$ — функция возрастает, а при $k=-2$ и $-\frac<1><3>$ — убывает. На самом деле:

При любом $k>0$ функция возрастает и при любом $k<0$ — убывает. Когда же $k=0$ — она не возрастает и не убывает, а идет параллельна оси $x$ (или совпадает с ней).

Так же можно заметить, чем больше модуль $k$, тем «круче» график.

Как по графику определить коэффициент k?

Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента $k$ плюс, если убывает – минус.

Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:

Чтобы определить значение $k$ по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях $|k|=\frac$. То есть на первом графике $k=2$,а на втором $k=-\frac<1><4>$.

Как меняется график при разных значениях $b$?

Чтобы определить, как $b$ влияет на график, построим несколько функций с разными $b$: $6$, $2$, $0$, $-3$ и $-8$. При этом $k$ пусть во всех функциях будет равен $2$.

Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на $b$ (если $b>0$) либо опускается на $|b|$ если
($b<0$).

Как по графику функции определить значение $b$?

Очень просто — прямая пересекает ось $y$ всегда в точке $b$. Вы можете это увидеть на предыдущем графике.

Пример (ОГЭ): На рисунке изображены графики функций вида $y=kx+b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$.

A. B.C.

Коэффициенты

1) $k>0$,$b>0$ 2) $k<0$, $b>0$ 3) $k<0$, $b<0$ 4) $k>0$, $b<0$

Решение:
А. – функция убывает, поэтому $k<0$. Точка пересечения оси $y$ и прямой находится выше нуля, значит $b>0$. Подходит вариант под цифрой 2).

B. — функция возрастает — $k>0$. Точка пересечения оси $y$ и прямой находится выше нуля, значит $b>0$. Подходит вариант под цифрой 1).

C. – функция убывает — $k<0$. Точка пересечения оси $y$ и прямой находится ниже нуля, значит $b<0$. Подходит вариант под цифрой 3).
Ответ: 213.

«Читерский» способ строить график линейной функции

Отмечаем точку $b$ на оси игреков.

От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю $k$, и вверх на количество клеточек равное числителю $k$ (если $k>0$) или вниз на тоже количество (если $k<0$).

Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции $y=3x+1$.

$b=1$, поэтому отмечаем точку с этим значением на оси $y$

$k=3$, а тройка это тоже самое, что $\frac<3><1>$. При этом $k>0$. Поэтому идем вправо на единицу и вверх на $3$. Ставим точку.

Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции $y=-\frac<1> <4>x-3$.

$b=-3$ отмечаем точку с этим значением на оси $y$.

$k=-\frac<1><4>$, $k<0$, числитель $1$, знаменатель $4$. Значит, идем вправо на $4$ и вниз на единицу.

Проводим через эти две точки прямую.

Немного потренируйтесь и вы сами поймете, какой это классный способ строить линейную функцию.

Возрастание и убывание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Запомните! $!$

Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых « x₁ » и « x₂ » принадлежащих данному промежутку, таких, что « x₂ > x₁ » выполняется неравенство
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Определение сложно понять без наглядного примера. Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x » соответствует бóльшее значение « y », значит, функция « y(x) » возрастает.

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Построим график функции
« y = 9x − 4 ». Так как функция
« y = 9x − 4 » линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа, поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

Отметим две полученные
точки « (0; −4) » и « (1; 5) » на координатной плоскости и проведем через них прямую.

$график линейной функции y = 9x - 4$

Докажем, что функция « y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и аналитически (по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 » «идет в гору». Другими словами, при увеличении « x » ↑ растет значение « y » ↑ .

$график линейной функции возрастает$

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

$точки А и В на графике$

У второй точки « (·)B » координаты:
x₂ = 1 ; y₂ = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что при увеличении
« x ↑ ( x₂ > x₁ ) » растет
« y ↑ ( y₂ > y₁ ) ». Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает, так как ее график «идет в гору». Но как доказать по формуле, что функция возрастает на всей своей области определения?

Запомните! $!$

Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x₂ > x₁ »
выполняется условие
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при « x₂ > x₁ » увеличивается значение функции
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x₁ ) » и « y( x₂ ) »?

Для нахождения « y( x₁ ) » и « y( x₂ ) » достаточно подставить « x₁ » и « x₂ » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

Подставим в неравенство
« y( x₂ ) > y( x₁ ) » полученные формулы
« y( x₁ ) = 9x₁ − 4 » и
« y( x₂ ) = 9x₂ − 4 » .

Разделим левую и правую часть на « 9 ».

9(x₂ − x₁) > 0 | : 9

9 (x₂ − x₁)

9

>

0

9

При делении нуля на любое число получается ноль.

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции « x₂ > x₁ ». Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».

Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

Вместо « y( x₁ ) » и « y( x₂ ) » запишем формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

13x₂ − 1 > 13x₁ − 1
13x₂ − 13x₁ > 1 − 1
13(x₂ − x₁) > 0 |: 13

13 (x₂ − x₁)

13

>

0

13

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Запомните! $!$

Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x₁ » и « x₂ » принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x₂ > x₁ » выполняется неравенство « y( x₂ ) ».

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x » ↑ растет, то « y » ↓ должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа, поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 » и « x = 1 ».

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

$график линейной функции y = 1 - 3x$

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении « x » ↑ уменьшается
значение « y » ↓ .

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле, что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Запомните! $!$

Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых « x₂ > x₁ » выполняется
« y( x₂ ) y( x₁ ) ».

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает на всей своей области определения.

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

$Как по графику функции определить возрастает или убывает функция$

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает («спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

$промежутки возрастания и убывания функции$

Запишем через знаки неравенств, какие значения принимает « x » на полученных промежутках. Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

$промежутки возрастания и убывания функции через неравенства$

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

функция убывает при
x ≤ −2; 0 ≤ x ≤ 3,5

функция возрастает при
−2 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных математических символов.

функция убывает на промежутках x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]

функция возрастает на промежутках x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m » функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких « m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в задаче. Вместо « x » подставим « x₁ » и « x₂ ».

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.

Преобразуем исходное условие убывания функции « x₂ > x₁ ». Перенесем все в левую часть.

По условию убывания функции
« x₂ − x₁ > 0 », значит, чтобы
произведение « ( x₂ − x₁) (m + 2) » было меньше нуля, требуется, чтобы множитель « (m + 2) » был меньше нуля. Так как по правилу знаков: плюс на минус даёт минус.