Как найти минимум функции с

9

Как найти точки минимума и максимума функции

Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом:

• \(y_, y_\) — минимум, максимум функции или экстремумы;
• \(x_, x_\) — точки минимума, максимума функции;
• \(y_<наиб>, y_<наим>\) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.

Точка минимума, минимум функции

Точка минимума — такая точка \(x_0\) , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство \(f(x)\geq f(x_0)\)

Минимум функции — значение функции в точке минимума \(x_0\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.

Точка максимума, максимум функции

Точка максимума — такая точка \(x_0\) , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство \(f(x)\leq f(x_0)\)

Максимум функции — значение функции в точке максимума \(x_0\)

Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.

Точки максимума и минимума на графике:

Исследование функций на экстремумы

Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке \(x=x_0,\) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.

Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:

Найти область определения функции — D(y).

Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f '(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: \(f^,(x)=\frac1<2\sqrt x>\) , производной не существует при x = 0).

Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).

Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).

Вычислить значения функции в точках экстремума.

Примеры задач

Задача 1

Исследовать на экстремумы функцию \(f(x)=x^3-3x^2.\)

Решение задачи по алгоритму:

1) \(D(y): x\in(-\infty;+\infty)\) , т.е. x — любое число.

2) Производная: \(f'(x)=3x^2-6x\) .

3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:

Приравниваем f '(x) к 0, решаем квадратное уравнение \(3x^2-6x=0\) , получаем \(x_1=0\) , \(\;x_2=2.\)

4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала \((-\infty;0)\) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда \(f'(x)=3<(-1)>^2-6(-1)=3+6=9\) . Получаем f '(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале \((2;+\infty)\) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 — точка максимума, а x=2 — минимума.

5) Найдем значение экстремумов функции.

Ответ: \(x_=2,\;y_=-4;\;x_=0,\;y_=0\) или (0;0) — минимум функции, (2;-4) — максимум.

Задача 2

Найти промежутки монотонности функции \(f(x)=\frac x\) .

3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f '(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство \(-\frac<<(x^2-4)>^2>\leq0\) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.

Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.

Ответ: f(x) убывает на промежутке \((-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)\) .

Задача 3

Докажите, что функция \(f(x)=x^5+2x^3-4\) возрастает на всех числовой прямой.

1) \(D(y): x\in\mathbb\) , значит критических точек нет.

3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\) . Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции \(f'(x)\).
2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\).
3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;
   — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

Исследуем знаки производной.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

Определим знаки производной.

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при

Если то Если , то

Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю:

Найдем знаки производной на отрезке

При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции

При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

11. Исследование функции

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

В точке возрастание сменяется убыванием, значит – точка максимума.

Задача 2. Найдите точку минимума функции

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

В точке убывание сменяется возрастанием, значит – точка минимума.

Задача 3. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем интересует только поведение функции на отрезке :

Наименьшее значение функции в данном случае * (см. замечание внизу стр.) совпадает с минимумом функции в точке .

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке :

Наибольшее значение функции в данном случае * (см. замечание внизу стр.) совпадает с максимумом функции в точке .

Задача 5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке :

Наибольшее значение функции в данном случае * (см. замечание внизу стр.) совпадает с максимумом функции в точке .

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Наибольшее значение на отрезке функция принимает в левом конце отрезка, в точке

Задача 7. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Тогда точка – точка максимума функции.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

На указанном отрезке функция возрастает, тогда наибольшее значение будет достигнуто в точке

Задача 9. Най­ди­те точку минимума функ­ции .

Нам предстоит находить производную частного:

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Стало быть, – точка минимума.

Задача 10. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции, причем нас интересует только поведение функции на отрезке :

Наименьшее значение функции в данном случае * (см. замечание внизу статьи) совпадает с минимумом функции (в точке ).

Задача 11. Найдите точку максимума функции

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Точка максимума – это

Задача 12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Задача 13. Найдите точку максимума функции

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции:

Задача 14. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на отрезке .

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции. Причем нас интересует только отрезок

Наименьшее значение функции на отрезке совпадает * с минимумом функции в точке :

Задача 15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

На отрезке мы увидим следующие знаки производной, и, соответственно, следующее поведение функции:

Наибольшее значение функции на отрезке совпадает с максимумом функции в точке :

Задача 16. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

На отрезке мы увидим следующие знаки производной, и, соответственно, следующее поведение функции:

Наименьшее значение функции на отрезке совпадает с максимумом функции в точке :

Задача 17. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

В соответствии со знаками производной указываем поведение функции. Причем нас интересует только отрезок

Наименьшее значение функции на отрезке совпадает с минимумом функции в точке :

Задача 18. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

в случае , то есть при

Очевидно, – точка минимума. В ней и будет достигаться наименьшее значение функции.

Задача 19. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

На отрезке мы видим следующее распределение знаков производной (для определения знака можно взять, например, значение из первого образовавшегося промежутка и проверить знак ):

При переходе через точку экстремума () знак производной сменится.

То есть, точка – точка максимума. В ней и достигается наибольшее значение функции на отрезке.

Задача 20. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Замечаем, что функция определена на отрезке Замечаем также, что в точке производная функции имеет знак минус, – действительно, При переходе через точки экстремума () знак производной меняется.

Становится видно, что – точка максимума, точка – точка минимума.

Для нахождения наименьшего значения функции на указанном отрезке следует взять меньшее из

То есть наименьшее значение функции на указанном отрезке –

Задача 21. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

То есть при любом Функция возрастает на на указанном отрезке в том числе.

То есть наибольшее значение будет достигнуто в точке (правом конце отрезка).

Задача 22. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Так как то Таким образом, при любом

Функция убывает при любом в том числе и на отрезке Стало быть, достигает своего наименьшего значения на указанном отрезке в правом его конце, в точке

Задача 23. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Производная неотрицательна, на указанном отрезке в том числе, заданная функция возрастает на нем, поэтому наименьшее значение достигается функцией в левом конце отрезка, в точке

Задача 24. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку .

На промежутке производная имеет один ноль – в точке

Становится видно, что при переходе через точку производная меняет знак с на . Стало быть, – точка минимума.

* Замечание. Важно!

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции на отрезке достигается на конце отрезка , а именно, в точке .

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке следует выбрать наименьшую из величин:

1) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке следует выбрать большую из величин:

1) (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.