Сколько будет число грэма плюс 1

«Неисчислимое», «невыразимое» и еще более чудовищные числа Фрагмент книги «Эта странная Математика»

В конце февраля в издательстве Corpus выходит книга Дэвида Дарлинга и Агниджо Банерджи «Эта странная Математика — на краю бесконечности и за ним» (перевод Алексея Глущенко). Это популярное введение в самые современные проблемы из очень разных разделов этой гуманитарной (по убеждению В. Успенского) науки: от теории чисел до топологии, от алгоритмов до теории игр. Каждую из этих проблем авторы описывают с самого начала, абсолютно понятно и доступно даже ребенку. Но буквально за несколько первых страниц читатель не только знакомится с историей вопроса, но и успевает подняться на довольно высокий уровень абстракции, с которого можно хорошо рассмотреть пусть и не сами современные проблемы, но контекст, в котором они находятся. «Медуза» публикует фрагмент главы, где такой подход авторов наиболее очевиден: она о том, как математики на протяжении тысячелетий придумывали все более и более головокружительные числа.

Попросите ребенка назвать самое-самое большое число — и, скорее всего, услышите в ответ что-то вроде «пятьдесят тысяч миллионов миллиардов триллионов триллионов…» и так далее, пока объект расспросов не устанет нанизывать одно на другое реальные числа вперемешку с «сиксиллионами» и «мультиллиардами». По житейским меркам это и вправду очень большие числа, может быть, даже превышающие количество всех живых существ на Земле или звезд во Вселенной. Но по сравнению с умопомрачительно гигантскими числами, которые способны конструировать математики, — это просто детские шалости.

Если бы вам вдруг взбрело в голову провести остаток своей сознательной жизни, произнося «триллион триллионов триллионов триллионов…» и так далее со скоростью один «триллион» в секунду, то получившееся в итоге число было бы просто мизерным по сравнению с монстрами числового космоса, с которыми мы познакомимся в этой главе: такими как число Грэма, TREE (3) и поистине исполинское число Райо.

Известно, что одним из первых систематически начал задумываться об очень больших числах Архимед. Он родился в Сиракузах на острове Сицилия около 287 года до нашей эры и считается величайшим математиком древности и одним из самых великих в истории человечества. Он задался вопросом: сколько всего на свете песчинок и сколько вообще их можно вместить в целый мир, который, как считали древние греки, простирается до сферы «неподвижных звезд» (так, в отличие от планет, они называли звезды, видимые на ночном небе). Его трактат «Исчисление песчинок» начинается так:

Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества.

Чтобы подготовить почву для своих расчетов космического масштаба, Архимед взялся для начала расширить существовавшую в то время систему наименования больших чисел — а это основная проблема, с которой сталкивались с тех пор все математики, пытавшиеся описывать все большие и большие целые числа. Греки называли число 10 000 «мюриас», что подразумевает неисчислимость. У римлян же оно называлось « мириадой » . В качестве точки отсчета на пути в мир огромных чисел Архимед использовал «мириаду мириад», то есть 100 000 000, или, если использовать современное экспоненциальное представление, 10⁸. Число это намного превышало любое, для какого у греков нашлось бы практическое применение.

Все числа, идущие до мириады мириад, Архимед назвал «первыми». Те, что шли вплоть до мириады мириад, помноженной на мириаду мириад (то есть до единицы с 16 нулями, или 10¹⁶), он отнес ко «вторым»; потом перешел к «третьим», «четвертым» и так далее, причем каждый последующий разряд в его схеме был в мириаду мириад раз больше предыдущего. В конце концов он достиг «мириад-мириадного» разряда, то есть числа 10⁸, умноженного само на себя 10⁸раз (или 10⁸ в степени 10⁸). Таким порядком Архимеду удалось описать числа длиной вплоть до 800 000 000 знаков. Их он отнес к «числам первого периода». Само число 10⁸⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ он принял за начало второго периода, после чего повторил весь процесс снова. Для второго периода Архимед применил ту же методику, что и для первого, увеличивая каждый последующий разряд в мириаду мириад раз до тех пор, пока в конце мириад-мириадного периода не достиг колоссального числа 10⁸⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰, или мириады мириад, возведенной в степень, равную мириаде мириад, умноженной на мириаду мириад.

Как выяснилось позже, для того чтобы реализовать свой проект по подсчету песчинок, Архимед мог ограничиться и первым периодом. Согласно тогдашним представлениям о космосе, весь мир вплоть до неподвижных звезд имел объем шара с диаметром в два световых года, в центре которого находилось Солнце. Оценив размер песчинки, Архимед пришел к следующему выводу: чтобы превратить космос в гигантский песчаный пляж, потребуется 8 × 10⁶³ песчинок, то есть всего-навсего число восьмого разряда первого периода. Даже если взять рассчитанный современными учеными диаметр наблюдаемой Вселенной — 92 миллиарда световых лет, — ее объем не сможет вместить больше 10⁹⁵ песчинок, а это все равно число лишь двенадцатого разряда первого периода.

Возможно, в западном мире Архимед и был чемпионом по большим числам, но ученые мужи Востока в поисках числовых тяжеловесов уже скоро побьют все его рекорды. В написанном на санскрите индийском тексте приблизительно III века «Лалитавистара» Будда Гаутама описывает математику по имени Арджуна систему счисления, начинающуюся с «коти» — 10 000 000 на санскрите. После коти идет длинный перечень имеющих собственные названия чисел, каждое из которых в 100 раз больше предыдущего: 100 коти называются «аюта», 100 аюта называются «ниюта», и так далее, до числа «таллакшана», представляющего собой единицу с 53 нулями. Он называет и большие числа, такие как «дхваджагравати», равное 10⁹⁹, вплоть до гиганта «уттарапараманураджаправеша» — 10⁴²¹.

Другой буддийский текст идет еще дальше по пути к исполинским, чудовищно большим числам. В «Аватамсака сутре» описан целый космос, состоящий из бесконечного множества взаимопроникающих уровней. В тридцатой главе Будда вновь пространно рассуждает о больших числах начиная с 10¹⁰, после чего возводит его в квадрат, получая 10²⁰, снова возводит в квадрат, получая 10⁴⁰, и продолжает дальше, последовательно переходя к 10⁸⁰, 10¹⁶⁰, 10³²⁰, пока не достигает числа 10¹⁰¹ ⁴⁹³ ³⁹² ⁶¹⁰ ³¹⁸ ⁶⁵² ⁷⁵⁵ ³²⁵ ⁶³⁸ ⁴¹⁰ ²⁴⁰. Возведите его в квадрат, провозглашает Будда, и результат будет «неисчислимым». Однако и на этом он не останавливается. Вслед за «неисчислимым» (очевидно, основательно поработав с санскритским словарем в поисках достойных эпитетов) он продолжает перечислять все большие и большие числа, называя их «безмерным», «безграничным», «несравнимым», «бессчетным», «непостижимым», «немыслимым», «неизмеримым» и «неизъяснимым», завершая всю эту пирамиду «невыразимым», которое, как показывают расчеты, равно 10^10×(2^122) (значок ^ используется, чтобы показать, что одно число возводится в степень другого; таким образом, 10^10×(2^122) — это то же, что и 10 10×(2 в 122-й степени) ). Рядом с «невыразимым» самое большое число из упомянутых в трудах Архимеда, 10⁸⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰, кажется просто карликом. Чтобы оно попало хотя бы в ту же весовую категорию, его пришлось бы возвести в степень, примерно равную 66 000 000 000 000 000 000.

И Архимеду, и авторам буддийских сутр большие числа нужны были для того, чтобы дать представление о громадности вселенной в их понимании. Буддисты, кроме того, считали, что, дав чему-либо название, человек приобретает над этим определенную власть. Но математиков, как правило, мало интересует бесцельное изобретение новых схем для наименования и обозначения все возрастающих больших чисел. Наша система, в которой для наименования больших чисел используются слова, заканчивающиеся на «-иллион», восходит к французскому математику XV века Никола Шюке. В своем трактате Le Triparty en la Science des Nombres («Наука о числах в трех частях») он записал огромное число, разбил его на группы по шесть знаков в каждой и предложил назвать эти группы так:

…миллион, вторая отметка — биллион, третья отметка — триллион, четвертая — квадриллион, пятая — квииллион, шестая — сикслион, седьмая — септиллион, восьмая — оттиллион, девятая — нониллион, и далее так же поступать с другими числами столь долго, сколько будет угодно.

В 1920 году американский математик Эдвард Казнер попросил своего девятилетнего племянника Милтона Сиротту придумать название для числа, изображаемого единицей со ста нулями. Предложенное мальчишкой название «гугол» приобрело всеобщую известность после того, как Казнер написал о нем в своей книге «Математика и воображение» (Mathematics and the Imagination), созданной в соавторстве с Джеймсом Ньюменом. Помимо гугола юный Сиротта также предложил название «гуголплекс» для числа, записываемого как «единица со шлейфом из стольких нулей, сколько сможешь написать, пока не устанешь». Казнер решил дать числу более точное определение, поскольку «кто-то может устать раньше, кто-то позже, и не годится, чтобы Примо Карнеру [будущего чемпиона мира по боксу в тяжелом весе] считали более сильным математиком, чем доктора Эйнштейна, просто потому, что он выносливее физически». Впрочем, слово «усталость» (и это еще мягко сказано) — довольно точное описание того, что ощутит человек, которому придет в голову написать число гуголплекс. Судите сами: согласно определению Казнера, гуголплекс — это 10 в степени гугол, или единица с гуголом нулей. Число гугол нетрудно записать полностью:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Но гуголплекс неизмеримо больше. На всей планете не хватит бумаги, да что там бумаги на Земле, во всей видимой Вселенной не хватит вещества, чтобы записать все знаки гуголплекса, даже если изображать нули размером с протоны или электроны.

Гуголплекс намного больше самого огромного из чисел, каким ученые древности дали названия, включая великанское «невыразимое». И все же он не так велик, как число, которое получил в 1933 году математик из ЮАР Стэнли Скьюз, работая над проблемой в области простых чисел. Названное в честь этого ученого, число Скьюза представляет собой максимально возможное значение (верхний предел), которое получается при решении математической задачи, связанной с распределением простых чисел. Знаменитый британский математик Годфри Харолд Харди, наставник Рамануджана и автор популярной «Апологии математика», назвал его на тот момент «самым большим числом, когда-либо использованным в математике для какой-либо конкретной цели». Его значение — 10^10^10^34 , или, если точнее, 10^10^8852142197543270606106100452735038,55. Для того чтобы рассчитать этот колоссальный по величине верхний предел, Скьюзу пришлось исходить из предположения о справедливости гипотезы Римана, над которой математики до сих пор ломают голову. Два десятилетия спустя он объявил, что рассчитал еще одно число, в связи с той же задачей, но на этот раз не прибегая к предположению о верности гипотезы Римана. Оно получилось еще больше — 10^10^10^964 плюс-минус несколько триллионов.

От чистой математики не отставала и физика со своими головоломными проблемами, решение которых также время от времени приводило к появлению гигантских чисел. На этом фронте одним из первых стал французский математик, физик-теоретик и ученый-энциклопедист Анри Пуанкаре, среди многочисленных трудов которого — исследования того, сколько времени требуется физической системе, чтобы вернуться в определенное исходное состояние. Когда речь идет о вселенной, так называемое время возвращения Пуанкаре — это промежуток времени, необходимый для того, чтобы вещество и энергия, пройдя через немыслимое количество преобразований, перераспределились до состояния, которое в точности, вплоть до субатомного уровня, повторяет начальное. По оценке канадского теоретика Дона Пейджа, в прошлом аспиранта Стивена Хокинга, для наблюдаемой Вселенной время возвращения Пуанкаре составляет 10^10^10^10^2,08 лет. Это число больше гуголплекса и находится где-то посередине между малым и большим числами Скьюза. Пейдж также рассчитал максимальное время возвращения Пуанкаре для любой вселенной определенного типа. Оно еще больше — 10^10^10^10^10^1,1 лет, что превосходит и второе из чисел Скьюза. Что касается самого гуголплекса, Пейдж отметил, что тот приближенно равен количеству микросостояний в черной дыре, сравнимой по массе с галактикой Андромеды.

И «невыразимое», и гуголплекс, и числа Скьюза титанически велики для постижения разумом. Но они и рядом не стояли с числом, названным в честь американского математика Рональда Грэма, впервые описавшего его в своей статье 1977 года. Так же как и числа Скьюза, число Грэма — результат работы над серьезной математической проблемой, на этот раз связанной с теорией Рамсея.

Приближаться к числу Грэма нам придется постепенно, подобно альпинистам, покоряющим высочайшие вершины мира. Первым шагом будет знакомство с особым способом записи больших чисел, изобретенным американским ученым в области информатики Дональдом Кнутом и известным как стрелочная нотация. Она основана на том факте, что умножение всегда можно представить как многократное сложение, а возведение в степень — как многократное умножение. Например, 3 × 4 — это то же самое, что 3 + 3 + 3 + 3, а 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3. В нотации Кнута возведение в степень обозначается одиночной стрелкой, направленной вверх: например, гугол, или 10¹⁰⁰, записывается как 10↑100, а три в кубе, или 3³, — как 3↑3. Повторное возведение в степень, для которого нет специального стандартного обозначения, записывается в виде двух стрелок: таким образом, 3↑↑3 = 3^3^3 . Операция ↑↑, называемая тетрацией (поскольку она идет четвертой в иерархии после сложения, умножения и возведения в степень), — штука гораздо более сильная, чем может показаться на первый взгляд. 3↑↑3 = 3^3^3 = 3²⁷, что равно 7 625 597 484 987.

Тетрацию можно представить и в виде степенной башни (кошмар любого наборщика текста). Если с числом a требуется произвести операцию тетрации порядка k, это записывается следующим образом:

Иначе говоря, число a возводится в степень, представленную башней высотой в k — 1 этаж.

Темп, с которым растет результат математического действия при добавлении новых стрелок, просто ошеломляет: если 3 × 3 = 9, то 3↑3 дает 27, а 3↑↑3 уже больше 7,6 триллиона (13-значное число). Результат тетрации числа 4 еще поразительнее: 4↑↑4 = 4↑4↑4↑4 = 4↑4↑256, что приблизительно равно 10↑10↑154 — то есть больше гуголплекса (10↑10↑100). Перевалить за это огромное число нам удалось с помощью всего-то одной четверки и нескольких простых значков.

Но раз мы сделали такой гигантский шаг, перейдя от простого возведения в степень к тетрации, то, наверное, если добавить еще одну стрелку, можно получить что-то еще более впечатляющее? Что ж, интуиция нас не обманывает. При повторной тетрации, называемой пентацией, результат вырастает так, что аж дух захватывает! Ничем не примечательная запись 3↑↑↑3 — это то же, что 3↑↑3↑↑3, что, в свою очередь, равно 3↑↑7 625 597 484 987, или 3↑3↑3↑3…↑3, — а это уже степенная башня высотой в 7 625 597 484 987 троек. Если башни в 4 этажа достаточно, чтобы получить число, превышающее гуголплекс, только представьте себе, что получится в этом случае. Это невообразимо большое число: человеческой жизни не хватит, чтобы записать его даже в виде степенной башни. В напечатанном виде такая башня дотянется до самого Солнца.

Это число, известное как «тритри», значительно больше любого из тех, что мы упоминали до сих пор; осмыслить его нам, простым смертным, почти невозможно. А ведь мы еще только начали. Тритри, при всей своей величине, — ничтожная песчинка рядом с величественным пиком, который представляет собой число Грэма. Добавив еще одну стрелку, получим 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 = 3↑↑↑тритри. Давайте разберемся, что это значит. В нагромождении степенных башен самая первая у нас 3; вторая — 3↑3↑3, или 7 625 597 484 987; третья — 3↑3↑3↑3…↑3 c 7 625 597 484 987 тройками, то есть тритри; четвертая — 3↑3↑3↑3…↑3, где тритри троек; и так далее. 3↑↑↑↑3 — это башня под номером тритри. Добавив к трем стрелкам еще одну, мы шагнули на гигантское расстояние, так далеко, что уму непостижимо. А пришли всего лишь к g₁ — самому первому из серии чисел g, необходимых для того, чтобы добраться до вершины, то есть до самого числа Грэма.

После передышки в базовом лагере g₁ продолжаем подъем до следующего лагеря, g₂. Помните, что, добавляя в запись числа всего одну стрелку, мы каждый раз увеличиваем его на чудовищную величину. Теперь внимание! Число g₂ — это 3↑↑↑↑…↑3 с количеством стрелок, равным g₁. Даже робкая попытка осмыслить его масштаб, понять, насколько грандиозными могут быть числа, вызывает головокружение. Всего одна дополнительная стрелка увеличивает результат на феноменальную величину, а в числе g₂ таких стрелок g₁. В числе g₃, как вы уже наверняка догадались, g₂ стрелок, в числе g₄ — g₃ стрелок и так далее. А само число Грэма, G, — это g₆₄. В 1980 году оно было занесено в «Книгу рекордов Гиннесса» как самое большое число, когда-либо использованное в реальном математическом доказательстве.

Математическую проблему, из которой родилось число Грэма, фантастически сложно решить, но довольно легко сформулировать. Связана она с многомерными кубами, то есть n-мерными гиперкубами. Представьте, что все вершины такого куба попарно соединены друг с другом отрезками, окрашенными либо в красный, либо в синий цвет. Грэм задался следующим вопросом: каково наименьшее значение n, при котором для любого варианта окрашивания найдутся четыре вершины, лежащие в одной плоскости и попарно соединенные отрезками одного цвета? Ему удалось доказать, что нижний предел для числа n — 6, а верхний — g₆₄. Этот колоссальный разрыв свидетельствует о сложности задачи. Грэм смог доказать, что значение n, удовлетворяющее ее условиям, существует, но для этого ему пришлось определить верхний предел n с помощью числа умопомрачительной величины. С тех пор математики сумели сократить разрыв до более скромного (по сравнению с первоначальным) диапазона значений n: от 13 до 9↑↑↑4.

Число Грэма, наряду с гуголом и гуголплексом, часто приводят в качестве примера очень большого числа, имея о нем, однако, весьма смутное понятие. Во-первых, это уже далеко не самое большое из описанных чисел. Во-вторых, если уж искать новые «рекордные» числа и способы их представления и описания, то брать за основу число Грэма и увеличивать его с помощью традиционных математических операций не имеет никакого смысла.

В последние годы возник целый раздел занимательной математики под названием «гугология», посвященный исключительно расширению горизонтов больших чисел путем описания и наименования еще больших экземпляров. В принципе, назвать число, большее любого другого, может кто угодно. Если я назову число Грэма, вы можете сказать «число Грэма плюс 1», или «число Грэма в степени, равной числу Грэма», или даже «g₆₄↑↑↑↑…↑g₆₄ c числом стрелок, равным g₆₄» (что примерно равно g₆₅). Но такое «надстраивание» за счет повторного использования одних и тех же математических действий не влечет за собой никаких коренных изменений: в результате все равно получится некая производная числа Грэма. Иначе говоря, придуманное вами число будет построено примерно таким же способом, как и само число Грэма, с помощью аналогичных приемов. Серьезные гугологи называют такую неэлегантную мешанину из уже существующих чисел и функций, никак не затрагивающую исходное большое число по сути, «салатом» и относятся к ней крайне неодобрительно. Число Грэма — это стрелочная нотация, доведенная до предела своих возможностей. В «салате» же к числу Грэма просто применяют какое-нибудь несущественное математическое действие. Такие безыскусные игры со скромным приращением готовых чисел не для гугологов; их интересует разработка принципиально новой системы, которую можно было бы расширить до таких масштабов, чтобы число Грэма показалось пренебрежимо малым.

Одна такая бесконечно масштабируемая система уже существует. Она называется быстрорастущей иерархией, поскольку позволяет достичь феноменальных темпов роста. Что еще важнее, эта методика уже опробована математиками на практике и часто используется как эталон при разработке новых способов получения фантастически больших чисел.

Число Грэма

Если долго всматриваться в бездну, бездна начнёт всматриваться в тебя.

Число Грэма (число Грехема, англ. Graham’s number) — ебически огромное число, которое вывел внезапно Рональд Грэм как верхний предел в хуй никому не упёршейся проблемы с раскрашенными гиперкубами из теории Рамсея. То есть, предупреждая вопросы отдельных личностей «почему именно столько, а не столько плюс адын» — это не просто взятая от балды величина, это решение конкретной задачи.

Содержание

Суть [ править ]

Проблема с кубами в теории Рамсея состоит в том, что это никакая не проблема, а одна из задач в комбинаторике, где любят переставлять или красить мелкие части одного большого множества и смотреть, что интересного может получиться. В нашем случае предлагается взять n-мерный кубик, соединить его вершины линиями, и каждое получившееся ребро покрасить одним цветом из двух — либо синим, либо красным. Суть в том, чтобы понять, до какого значения n можно, по-разному закрашивая рёбра, избежать ситуации, когда одна плоскость в кубе закрашена одним цветом. То есть, мы не хотим, чтобы получался одноцветный конвертик, как на картинке. Математики посидели-позакрашивали — видят, что в обычном кубике это сделать легче лёгкого. Добавили ещё измерение (получился тессеракт), снова позакрашивали — получилось, избежать конвертика можно. Добавили пятое, шестое, седьмое — всё отлично! Но тут пришёл Грэм и сказал, что они занимаются хуитой, и он-де сразу сейчас посчитает, при каком количестве измерений одноцветный конвертик будет получаться по-любому. ИЧСХ, посчитал-таки, однако искомым решением это назвать нельзя.

Дело в том, что теорема предлагает найти наименьшее количество измерений с нарушением условия появления одноцветной плоскости. Но хитрый Грэм подумал и решил, что считать по порядку никакого терпения не хватит. Он подозревал, что количество измерений будет большим, но не бесконечным, поэтому, применив специальное кунг-фу из комбинаторики, посчитал сразу максимальное количество этих самых измерений. Этим приёмом он не нашёл решения теоремы, но обозначил верхнюю границу поисков. То есть, если вдруг начнёте решать эту задачу с гиперкубами, то размерности больше числа Грэма можете не брать. И на сегодняшний день та самая минимальная размерность гиперкуба лежит между 13-ю измерениями и, собственно, числом Грэма. Таким образом, число Грэма — это верхний предел количества измерений гиперкуба, при котором точно невозможно избежать подграфа, закрашенного одним цветом.

Эпичность [ править ]

…, ведь число риальнэ БОЛЬШОЕ. Нет, правда. На самом деле, оно больше любых самых смелых фантазий. Представьте себе цифру, написанную самым мелким шрифтом. Таким мелким, что на атоме можно нарисовать миллионы таких цифр. Представьте себе пространство, заполненное этими цифрами во всех трёх измерениях, вплотную друг к другу. Так вот, места, чтобы вместить десятичную запись числа Грэма, потребуется гораздо больше всей наблюдаемой Вселенной. Мало того, оно не вместится даже в количество Вселенных, равное количеству цифр, помещённых в нашу Вселенную. И так далее… ну ты понел. Продолжать можно, пока клавиатура не сотрётся. А когда сотрётся, сходить за новой и убить тоже. Кстати, до сих пор мы говорили только о количестве цифр, из которых состоит число Грэма, а не о самом числе (например, миллиард секунд — это почти 32 года, но в самом числе «миллиард» всего 10 цифр, которые можно пересчитать за 10 секунд)! Никакие гуголы с гуголплексами тут даже рядом не стояли.

Но все эти эпитеты и аналогии всё равно не отражают масштаба трагедии. По-настоящему заклинить свой МНУ ты можешь, попытавшись вникнуть в принцип вычисления этого числа. А чтобы не пугать честной норот простынёй непонятных знаков, мы положим его под половицу.

1. Итак, в математике существует понятие «гипероператор» для определения уровня арифметических действий. Так, сложение — это гипероператор первого уровня, а гипероператор второго уровня — умножение, которое суть повторяющееся сложение. То есть множитель — это число, которое говорит нам, сколько раз надо сложить умножаемую величину. Например: 3 · 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Следующий гипероператор — возведение в степень, x n = х^n, что по сути является повторяющимся умножением. Пример: 3 3 = 3 · 3 · 3 = 27. Запись 3 3 в нотации Кнута будет выглядеть как 3↑3. Здесь для ясности следует сказать, что первая цифра в выражении 3↑3 — это значение, с которым мы и производим действие, а количество стрелочек между цифрами — это арифметическое действие; в данном случае одна стрелочка означает возведение в степень. Вторая цифра означает то, в какую степень надо возвести первую цифру (сколько раз перемножить на себя). Соответственно, выражение 7↑4 означает семь в четвёртой степени. Иначе говоря, 7 нужно умножить на 7 четыре раза.

2. Гипероператор четвёртого уровня — тетрация, повторяющееся возведение в степень. В записи Кнута — две стрелки между цифрами. Пример: 3↑↑3 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. То есть вторая цифра при наличии двух стрелок означает, что столько раз нужно возвести в степень самого себя первое число. Другими словами, показывает нам высоту степенной башни из первой цифры. Например, запись 5↑↑8 означает башню из восьми пятёрок, нагромождённых друг на друга, как кубики.

Тем, чей мозг совсем заплыл жиром или занят лишь мыслями о том, как найти тян, вкачать своего эльфа или избавиться от прыщей, следует запомнить, что в тетрации выражения высчитываются сверху вниз, или справа налево. Проще говоря, 3 3 3 равняется нихуя не 27 3 , а как раз-таки 3 27 . Теперь ты видишь, мой маленький мохнатый друг, что тетрация — уже довольно мощный способ записи, позволяющий коротеньким выражением записывать числа в 100500 раз бо́льшие, чем само 100500. Но это ещё не всё, ибо она является недостаточно мощным гипероператором для вычисления числа Грэма.

3. Идём дальше: гипероператор пятого уровня — пентация (повторяющаяся тетрация). Три стрелочки между цифрами. Вот здесь-то и начинается пиздец, от которого люди, не являющиеся профессиональными математиками, плюют на всю эту лабуду и больше не пытаются её понять. Но ведь ты не такой, как они? Если ты подумал, что пентация числа 3 раскладывается на 3 в степени 7 625 597 484 987, то ты ошибаешься. Ты даже не представляешь, НАСКОЛЬКО ошибаешься. Ибо 3 в степени 7 625 597 484 987 — это всего лишь 3↑↑4. А пентация — это 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑(7 625 597 484 987) = 3↑3…(количество возведений в степень — 7 625 597 484 987 раз)…↑3. То есть, степенная башня из троек получается высотой в более чем семь с половиной триллионов этажей! Иначе говоря, вторая цифра при наличии трёх стрелочек означает, какой высоты будет башня тетраций первой цифры. Для большей наглядности: 3↑↑↑4 можно записать как 3 3 3 3, либо 3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)). И здесь главное — понять, что эта башня из тетраций не есть башня из степеней, тут эскалация намного стремительнее. 3↑↑↑4 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Понял, наконец, сука?! 3↑↑↑4 равняется 3 в тетрации числа, которое получается в результате вычисления степенной башни из цифры 3 высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Соответственно, если 3↑↑↑4 записать как степенную башню из троек, то количество этажей в этой башне будет равняться числу, которое получится при вычислении степенной башни высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Представил? Не представил, конечно, такие величины с наскоку не осмыслить.

Если ты всё-таки начал потихоньку не понимать, что за херня здесь происходит, то заново перечитай пункт 2.

4. И последний нужный нам гипероператор — гексация. Как вы уже догадались, четыре стрелочки между тройками. Это, соответственно, повторяющаяся пентация. Вторая цифра при наличии четырёх стрелочек означает, какой высоты будет уже «пентационная» башня. 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑3↑↑3…3↑↑3, где количество тетраций — результат вычисления пентации 3↑↑↑3. Если опять ничего не понял, то заново прочитай пункты 3 и 2.
Если мы переместимся в самый конец этой немыслимой цепочки тетраций и начнём её вычислять, то уже вторая с конца тройка будет в тетрации равна 7 625 597 484 987. А результатом тетрации третьей тройки с конца будет число, полученное пентацией тройки в предыдущем пункте. А перед нами — ещё гуголплексы и гуголплексы повторяющихся тетраций цифры 3. Тут уже бесполезно что-то пытаться осмыслить, как-то охватить результат… И тут вы, возможно, спросите: «Неужели это число Грэма? Надо же, насколько громадное!» Но нет, это не число Грэма. Это была только математическая присказка, и она ничтожно, неизмеримо мала по сравнению с числом Грэма.

Стало быть, гексация — это всего лишь добавление к пентации одной ссаной стрелочки, но результат оказывается больше в невообразимое количество порядков. А теперь, собственно, вычисление числа Грэма. Цифра три в примерах была использована не просто так, ибо число Грэма по сути и есть перемноженные тройки. Итак, назовём результат нашей гексации (3↑↑↑↑3) G1. Это какбэ был первый шаг вычислений. Только первый. А следующий шаг ускоряет прогрессию так, что добавление одной, десяти, МИЛЛИОНА стрелок между цифрами — топтание на месте. Шаг второй — вычисление G2: теперь мы берём результат нашей гексации тройки и пишем выражение, где число стрелочек сверхстепени будет равно этому результату. G2 = 3↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑…(количество стрелочек сверхстепени — G1)…↑↑↑↑↑↑↑3. Интересно, как называется гипероператор ТАКОГО уровня.

Запись не то что результата, но даже этого гипероператора уже невозможна без сокращения. А число, получившееся при его вычислении (если, конечно, его возможно было бы вычислить), заполнило бы своими цифрами и Вселенную, и параллельные миры, и подпространство, и всяческий другой астрал. И не забываем, что в G1 количество стрелочек было равно четырём — и это уже число, недоступное для вычисления и записи обычным способом! А в G2 это число — только количество сверхстепеней. Вот так-то. Прогрессия невероятно стремительная. И это только начало. Следующим шагом идёт вычисление числа G3, где количество стрелочек сверхстепени будет равно G2! Подобным образом после этого следует ещё 62 шага вычислений, где результат каждого шага будет лишь количеством стрелок сверхстепени следующего шага, и число Грэма есть G64!

Ваистену, матан иногда штырит похлеще любых наркотиков.

Мякотка числа также в том, что, несмотря на невозможность записать число полностью, вполне возможно вычислить его последние цифры. Нерды от матана, сперва немного охуев от масштаба числа, взяли себя в руки и высчитали более 500 цифр с конца этого числа. Вот десять самых последних: …2464195387. А какая цифра первая? Ну, калькулятор вам в руки, только имейте в виду, что тепловая смерть Вселенной прервёт ваши вычисления в самом начале.

Moar [ править ]

Но время идёт, математики не сидят сложа руки, и невозможное для осознания число Грэма больше не является чем-то особенным. В настоящее время самым большим числом является величина под названием «Число Райо» (Rayo’s number). У него даже есть формула и алгоритм вычисления, только вот посчитать как-то не удаётся: мощностей не хватает (и вряд ли когда-нибудь хватит). Поэтому, чтобы хоть как-то его определять, для него придумали следующую языковую конструкцию: «Самое маленькое число, большее, чем любое конечное число, определённое выражением на языке теории множеств с использованием гугола символов или меньше». Аплодисменты.

nagato

В прошлый раз досчитали до порядков гуголплекса — наибольших чисел, которые как бы можно записать в десятичной нотации. Да, нам потребуется нанокарандаш и вся Вселенная, но, теоретически хотя бы можно представить, как бы мы его записывали. Но на этом счёт не заканчивается, и за гуголплексами, гугоплексами в степени гуголплекс и факториалами всего этого добра, живут такие чудища, которые невозможно ни представить, ни понять. При этом, эти чудища являются решениями вполне себе определённых задач и имеют практический смысл.

Вводная
На определённом этапе у нас закончатся возможности для записи чисел. Сначала мы будем использовать десятичную нотацию, потом сложение и мультипликацию, потом записывать числа в виде степеней, потом в виде степенных башен. Но для чисел, о которых пойдёт речь далее нам уже не хватит Вселенной (и мультивселенной тоже), чтобы записать степенную башню так, если бы размер каждой цифры был планковским!

Итак, друзья мои, начнём:
Вот сложение: a + b = a + 1 + 1 + . и так b раз;
Вот умножение: a × b = a + a + a + . и так b раз;
Вот степень: a b = a × a × a × . и так b раз;

Функция пока прирастает довольно вяло, а дальше мы можем использовать только , а после этого средства записи чисел, о которых имеет представление большинство, заканчиваются. Поэтому для записи истинно неимоверных чисел используется другая нотация — стрелочная, за авторством Дональда Кнута.

Стрелочная нотация Кнута
a ↑ b = a b = a × a × a × . и так b раз — это понятно;

a ↑↑ b = a ↑ (a ↑ b), то есть a ↑ (a ↑ (. b раз . ↑ a)), — это степенная башня. Пока всё хорошо, но нужен пример, для того, чтобы понимать порядки:
3 ↑↑ 2 = 3 3 = 27;
3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987;
3 ↑↑ 4 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 (стандарный калькулятор уже выдаёт ошибку);
3 ↑↑ 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987

Смотрите, функция растёт очень быстро, при изменении одного из аргументов «всего лишь на единичку», мы уже вышли за гуголплекс, но это только начало.

a ↑↑↑ b = a ↑↑ (a ↑↑ (. b раз . ↑↑ a)), то есть,
3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) = 3 ↑↑ 7 625 597 484 987 = 3 3 . 7 625 597 484 987 раз. 3 . Для понимания масштаба трагедии: эта степенная башня из троек высотой до Марса. Подчёркиваю красным: не число длиной до Марса, а высота башни степеней до Марса. Понять и представить сколько это в штуках невозможно. Можно лишь расслабиться и получать удовольствие, но я с долей садизма напомню, что 3 ↑↑ 5 уделывает гуголплекс, а 3 ↑↑ 9 вообще не может быть рассчитано, на совокупной мощности всех земных компьютеров.

3 ↑↑↑ 4 — эта хрень относится уже к наглым издевательствам над здравым смыслом. Если раньше можно было ещё хоть как-нибудь пытаться представить, как выглядела бы степенная башня из троек до Марса и сделать вид, что такое число можно осознать, то тут — всё. Нескольких Вселенных уже будет недостаточно, чтобы организовать башню высотой из 7 625 597 484 987 башен до Марса. Но, всё же, пока мы ещё оперируем хоть какими-то категориями. Дальше они заканчиваются, потому что.

От g₁ до числа Грэма
a ↑↑↑↑ b. или a ↑↑↑ (a ↑↑↑ (. b раз . ↑↑↑ a)). Осознавать, представлять и описывать какое-нибудь 3 ↑↑↑↑ 3 (а это и есть число g1) нет смысла. Сравнить это просто не с чём. Аналогии становятся неуместными, и можно только изобретать эпитеты.

А дальше, как несложно догадаться будет a ↑↑↑↑↑ b или a ↑ 5 b и так далее. При этом важно помнить, что каждая новая стрелочка добавит взрывной рост не самого числа, а описания высоты степенной башни, которая используется для записи этого числа. Поэтому откинемся на спинку кресла и продолжим.

Итак, число g₁ — это 3 ↑↑↑↑ 3. А g₂ — это ни хрена не 3 ↑↑↑↑↑ 3, а 3 ↑ g₁ 3. Бабах! То есть вся вот эта вот дичь нужна была лишь для того, чтобы показать количество стрелок в числе g₂. Но дальше-то будет g₃ = 3 ↑ g₂ 3 и, чтобы немного отдохнуть от этих монстров, нужно бы сделать небольшое отступление и рассказать, зачем все эти «жэ» нужны. Нужно бы, но, так называемой проблемы Грэма, я не понимаю: вернее, я не понимаю, на кой чёрт это могло понадобиться, но попробую описать.

Есть куб, все вершины которого соединены отрезками красного или синего цвета. Цвета отрезков нужно подобрать так, чтобы не получилось, что 4 вершины, лежащие в одной плоскости, соединены отрезками одного цвета (см. картинку ниже, нижняя фигура — это то, чего в результате комбинирования цветов отрезков получиться не должно).

Для обычного 3-мерного куба задача решается, если и не в уме, то на бумаге геометрическим построением. Для 4-мерного куба уже нужно применить комбинаторику. Для 5-мерного и 6-мерного тоже. И так далее до 13-мерного куба: это нижняя граница измерений куба для которой доказано, что подобную комбинацию цветов отрезков соединяющих вершины подобрать можно, хотя сам Грэм запоролся уже на 7-мерном. А как быть с верхней границей? Грэм в своё доказал, что задача разрешима между 6 и неким большим числом. То есть в этом диапазоне измерений куба обязательно найдётся такой, где покрасить отрезки так, чтобы условие задачи выполнилось, будет невозможно. То самое «некое большое число» и было названо числом Грэма. И значение его G = g₆₄ = 3 ↑ g₆₃ 3.

Занавес! Хотя, а вдруг можно больше? Нет, не в смысле, G + 1 или G ↑ G G, а так чтобы число можно было бы реально для чего-нибудь применить? И такие числа есть. Причём, они уделывают G так же, как в своё время какое-то ссаное g₁ уделало гуголплекс в самом начале вычислений.

Число Райо
Вообще, сразу стоит отметить, что даже число Грэма — это хрень, высосанная из двадцать первого пальца. Кому и зачем это в здравом уме может понадобиться я, честно говоря, не очень представляю. И даже не представляю, возможно ли теоретически, чтобы когда-то и кому-то это могло понадобиться в здравом уме. Но всё же, оно знаковое. Это первое самое большое число, появившееся при доказательстве чего-либо, а дальше просто пошла математическая гонка, кто напишет наиболее быстрорастущую функцию. Ты мне G!, а я тебе G ↑ G. А ещё кто-то родит какой-нибудь G₁ = G ↑ G G и уже дальше будет оперировать им. Грубо, конечно, но что-то подобное имело место, и если изначальное число Грэма имело какой-то практический смысл, то вся последующая байда стала именно гонкой роста функций, нивелировавшей величие числа, которое даже в начале вычислений уже невозможно представить или понять.

Собственно, вся проблема осталась только в способах записи. От степенных башен был переход к нотации Кнута, которая позволила хотя бы описать число Грэма. Потом случились цепочки Конвея, массивные и матричные нотации и вот это вот всё, что позволяет описать сколь угодно большое число, когда для предыдущего способа записи вставала проблема количества условных стрелочек. Не буду их тут описывать, во всяком случае сейчас. Всё-таки, напоминаю, что серия статей о больших числах носит информационно-развлекательный характер, и не хочется превращать её во всякое.

В итоге, вся эта дичь дошла до числа Райо. Это уже чистая философия, полученная на каком-то математическом конкурсе на запись самого большого числа на ограниченном пространстве доски, без использования бесконечности и всяких фокусов типа «самое большое число плюс один». В итоге, получилось, что число Райо — это самое маленькое число, большее, чем любое конечное число, определённое на языке теории множеств, с использованием гугол символов или меньше. Если вы поняли хоть что-то о порядке этого числа, вернее, нижней границы чисел Райо, то вы либо профессиональный математик, и не очень понятно, зачем вы дочитали до этого места, либо, как и я, врёте о том, что хоть что-то поняли.

А вот теперь держитесь, хорошего вам настроения и всего доброго. В следующей серии мы выйдем за пределы бесконечности, а там будет всё ещё добрее и веселее, хотя и несколько проще для понимания, чем то же число Райо. Или нет.

masterok

“Я вижу скопления смутных чисел, которые скрывается там, в темноте, за небольшим пятном света, которое дает свеча разума. Они шепчутся друг с другом; сговариваясь кто знает о чем. Возможно, они нас не очень любят за захват их меньших братишек нашими умами. Или, возможно, они просто ведут однозначный числовой образ жизни, там, за пределами нашего понимания’’.
Дуглас Рэй

Продолжаем нашу рубрику САМОГО САМОГО. Сегодня у нас числа .

Каждого рано или поздно мучает вопрос, а какое же самое большое число. На вопрос ребенка можно ответить миллион. А что дальше? Триллион. А еще дальше? На самом деле, ответ на вопрос какие же самые большие числа прост. К самому большому числу просто стоит добавить единицу, как оно уже не будет самым большим. Процедуру эту можно продолжать до бесконечности. Т.е. получается нет самого большого числа в мире? Это бесконечность?

А если же задаться вопросом: какое самое большое число существует, и какое у него собственное название? Сейчас мы все узнаем .

Существуют две системы наименования чисел — американская и английская.

Американская система постороена довольно просто. Все названия больших чисел строятся так: в начале идет латинское порядковое числительное, а в конце к ней добавляется суффикс -иллион. Исключение составляет название "миллион" которое является названием числа тысяча (лат. mille) и увеличительного суффикса -иллион (см. таблицу). Так получаются числа — триллион, квадриллион, квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион и дециллион. Американская система используется в США, Канаде, Франции и России. Узнать количество нулей в числе, записанном по американской системе, можно по простой формуле 3·x+3 (где x — латинское числительное).

Английская система наименования наиболее распространена в мире. Ей пользуются, например, в Великобритании и Испании, а также в большинстве бывших английских и испанских колоний. Названия чисел в этой системе строятся так: так: к латинскому числительному добавляют суффикс -иллион, следущее число (в 1000 раз большее) строится по принципу — то же самое латинское числительное, но суффикс — -иллиард. То есть после триллиона в английской системе идёт триллиард, а только затем квадриллион, за которым следует квадриллиард и т.д. Таким образом, квадриллион по английской и американской системам — это совсем разные числа! Узнать количество нулей в числе, записанном по английской системе и оканчивающегося суффиксом -иллион, можно по формуле 6·x+3 (где x — латинское числительное) и по формуле 6·x+6 для чисел, оканчивающихся на -иллиард.

Из английской системы в русский язык перешло только число миллиард (10 9 ), которое всё же было бы правильнее называть так, как его называют американцы — биллионом, так как у нас принята именно американская система. Но кто у нас в стране что-то делает по правилам! 😉 Кстати, иногда в русском языке употребляют и слово триллиард (можете сами в этом убедиться, запустив поиск в Гугле или Яндексе ) и означает оно, судя по всему, 1000 триллионов, т.е. квадриллион.

Кроме чисел, записанных при помощи латинских префиксов по американской или англйской системе, известны и так называемые внесистемные числа, т.е. числа, которые имеют свои собственные названия безо всяких латинских префиксов. Таких чисел существует несколько, но подробнее о них я расскажу чуть позже.

Вернемся к записи при помощи латинских числительных. Казалось бы, что ими можно записывать числа до бессконечности, но это не совсем так. Сейчас объясню почему. Посмотрим для начала как называются числа от 1 до 10 33 :

И вот, теперь возникает вопрос, а что дальше. Что там за дециллионом? В принципе, можно, конечно же, при помощи объединения приставок породить такие монстры, как: андецилион, дуодециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, октодециллион и новемдециллион, но это уже будут составные названия, а нам были интересны именно собственные названия чисел. Поэтому собственных имён по этой системе, помимо указанных выше, ещё можно получить лишь всего три — вигинтиллион (от лат. viginti — двадцать), центиллион (от лат. centum — сто) и миллеиллион (от лат. mille — тысяча). Больше тысячи собственных названий для чисел у римлян не имелось (все числа больше тысячи у них были составными). Например, миллион (1 000 000) римляне называли decies centena milia , то есть "десять сотен тысяч". А теперь, собственно, таблица:

Таким образом, по подобной системе числа больше, чем 10 3003 , у которого было бы собственное, несоставное название получить невозможно! Но тем не менее числа больше миллеиллиона известны — это те самые внесистемные числа. Расскажем, наконец-то, о них.

Самое маленькое такое число — это мириада (оно есть даже в словаре Даля), которое означает сотню сотен, то есть — 10 000. Слово это, правда, устарело и практически не используется, но любопытно, что широко используется слово "мириады", которое означает вовсе не определённое число, а бесчисленное, несчётное множество чего-либо. Считается, что слово мириада (англ. myriad) пришло в европейские языки из древнего Египта.

Насчёт происхождения этого числа существуют разные мнения. Одни считают, что оно возникло в Египте, другие же полагают, что оно родилось лишь в Античной Греции. Как бы то ни было на самом деле, но известность мириада получила именно благодаря грекам. Мириада являлось названием для 10 000, а для чисел больше десяти тысяч названий не было. Однако в заметке "Псаммит" (т.е. исчисление песка) Архимед показал, как можно систематически строить и называть сколь угодно большие числа. В частности, размещая в маковом зерне 10 000 (мириада) песчинок, он находит, что во Вселенной (шар диаметром в мириаду диаметров Земли) поместилось бы (в наших обозначениях) не более чем 10 63 песчинок. Любопытно, что современные подсчеты количества атомов в видимой Вселенной приводят к числу 10 67 (всего в мириаду раз больше). Названия чисел Архимед предложил такие:
1 мириада = 10 4 .
1 ди-мириада = мириада мириад = 10 8 .
1 три-мириада = ди-мириада ди-мириад = 10 16 .
1 тетра-мириада = три-мириада три-мириад = 10 32 .
и т.д.

Гугол (от англ. googol) — это число десять в сотой степени, то есть единица со ста нулями. О "гуголе" впервые написал в 1938 году в статье "New Names in Mathematics" в январском номере журнала Scripta Mathematica американский математик Эдвард Каснер (Edward Kasner). По его словам, назвать "гуголом" большое число предложил его девятилетний племянник Милтон Сиротта (Milton Sirotta). Общеизвестным же это число стало благодаря, названной в честь него, поисковой машине Google. Обратите внимание, что "Google" — это торговая марка, а googol — число.

Эдвард Каснер (Edward Kasner).

В интернете вы часто можете встретить упоминание, что Гугол самое большое число в мире — но это не так .

В известном буддийском трактате Джайна-сутры, относящегося к 100 г. до н.э., встречается число асанкхейя (от кит. асэнци — неисчислимый), равное 10 140 . Считается, что этому числу равно количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны.

Гуголплекс (англ. googolplex ) — число также придуманное Каснером со своим племянником и означающее единицу с гуголом нулей, то есть 10 10 100 . Вот как сам Каснер описывает это "открытие":

Words of wisdom are spoken by children at least as often as by scientists. The name "googol" was invented by a child (Dr. Kasner's nine-year-old nephew) who was asked to think up a name for a very big number, namely, 1 with a hundred zeros after it. He was very certain that this number was not infinite, and therefore equally certain that it had to have a name. At the same time that he suggested "googol" he gave a name for a still larger number: "Googolplex." A googolplex is much larger than a googol, but is still finite, as the inventor of the name was quick to point out.

Mathematics and the Imagination (1940) by Kasner and James R. Newman.

Еще большее, чем гуголплекс число — число Скьюза (Skewes' number) было предложено Скьюзом в 1933 году (Skewes. J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) при доказательстве гипотезы Риманна, касающейся простых чисел. Оно означает e в степени e в степениe в степени 79, то есть e e e 79 . Позднее, Риел (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference П(x)-Li(x)." Math. Comput. 48 , 323-328, 1987) свел число Скьюза к e e 27/4 , что приблизительно равно 8,185·10 370 . Понятное дело, что раз значение числа Скьюза зависит от числа e, то оно не целое, поэтому рассматривать мы его не будем, иначе пришлось бы вспомнить другие ненатуральные числа — число пи, число e, и т.п.

Но надо заметить, что существует второе число Скьюза, которое в математике обозначается как Sk 2 , которое ещё больше, чем первое число Скьюза (Sk 1 ). Второе число Скьюза , было введённо Дж. Скьюзом в той же статье для обозначения числа, для которого гипотеза Риманна не справедлива. Sk 2 равно 10 10 10 10 3 , то есть 10 10 10 1000 .

Как вы понимаете чем больше в числе степеней, тем сложнее понять какое из чисел больше. Например, посмотрев на числа Скьюза, без специальных вычислений практически невозможно понять, какое из этих двух чисел больше. Таким образом, для сверхбольших чисел пользоваться степенями становится неудобно. Мало того, можно придумать такие числа (и они уже придуманы), когда степени степеней просто не влезают на страницу. Да, что на страницу! Они не влезут, даже в книгу, размером со всю Вселенную! В таком случае встаёт вопрос как же их записывать. Проблема, как вы понимаете разрешима, и математики разработали несколько принципов для записи таких чисел. Правда, каждый математик, кто задавался этой проблемой придумывал свой способ записи, что привело к существованию нескольких, не связанных друг с другом, способов для записи чисел — это нотации Кнута, Конвея, Стейнхауза и др.

Рассмотрим нотацию Хьюго Стенхауза (H. Steinhaus. Mathematical Snapshots, 3rd edn. 1983), которая довольно проста. Стейн хауз предложил записывать большие числа внутри геометрических фигур — треугольника, квадрата и круга:

— означает n n .
— означает "n в n треугольниках".
— означает "n в n квадратах".

Стейнхауз придумал два новых сверхбольших числа. Он назвал число — Мега , а число — Мегистон.

Математик Лео Мозер доработал нотацию Стенхауза, которая была ограничена тем, что если требовалаось записывать числа много больше мегистона, возникали трудности и неудобства, так как приходилось рисовать множество кругов один внутри другого. Мозер предложил после квадратов рисовать не круги, а пятиугольники, затем шестиугольники и так далее. Также он предложил формальную запись для этих многоугольников, чтобы можно было записывать числа, не рисуя сложных рисунков. Нотация Мозера выглядит так:

= "n треугольнике" = n n = n[3].
= "n в квадрате" = n[4] = "n в n треугольниках" = n[3] n .
= "n в пятиугольнике" = n[5] = "n в n квадратах" = n[4] n .
n[k+1] = "n в nk-угольников" = n[k] n .

Таким образом, по нотации Мозера стейнхаузовский мега записывается как 2[5], а мегистон как 10[5]. Кроме того, Лео Мозер предложил называть многоугольник с числом сторон равным меге — мегагоном. И предложил число "2 в Мегагоне", то есть 2[2[5]]. Это число стало известным как число Мозера (Moser's number) или просто как мозер .

Но и мозер не самое большое число. Самым большим числом, когда-либо применявшимся в математическом доказательстве, является предельная величина, известная как число Грэма (Graham's number), впервые использованная в 1977 года в доказательстве одной оценки в теории Рамсея. Оно связано с бихроматическими гиперкубами и не может быть выражено без особой 64-уровневой системы специальных математических символов, введённых Кнутом в 1976 году.

К сожалению, число записанное в нотации Кнута нельзя перевести в запись по системе Мозера. Поэтому придётся объяснить и эту систему. В принципе в ней тоже нет ничего сложного. Дональд Кнут (да, да, это тот самый Кнут, который написал "Искусство программирования" и создал редактор TeX) придумал понятие сверхстепень, которое предложил записывать стрелками, направленными вверх:

23 = 2 2 2 .
84 = 8 8 8 8 .
23 = 222 = 24 = 65536.
Гугол = 10102.
Гоголплекс = 10 гугол = 1010102.

В общем виде это выглядит так:

Думаю, что всё понятно, поэтому вернёмся к числу Грэма. Грэм предложил, так называемые G-числа:

G 1 = 3..3, где число стрелок сверхстепени равно 33.
G 2 = ..3, где число стрелок сверхстепени равно G 1 .
G 3 = ..3, где число стрелок сверхстепени равно G 2 .
.
G 63 = ..3, где число стрелок сверхстепени равно G 62 .

Число G 63 стало называться числом Грэма (обозначается оно часто просто как G). Это число является самым большим известным в мире числом и занесёно даже в "Книгу рекордов Гинесса". А, вот тут лежит доказательство, что число Грэма больше числа Мозера.

Так есть числа больше, чем число Грэма? Есть, конечно, для начала есть число Грэма + 1. Что касается значащего числа… хорошо, есть некоторые дьявольски сложные области математики (в частности, области, известной как комбинаторика) и информатики, в которых встречаются числа даже большие, чем число Грэма. Но мы почти достигли предела того, что можно разумно и понятно объяснить.

А вот знаете, что я вам еще напомню про числа ? Вот например существует число "ФИ" , а вот волшебные ЧЕТЫРЕ ЧЕТВЕРКИ . Я вам еще рассказывал вот про такое удивительное число Шенона , а так же вот циклическое число и ЧИСЛО ЗВЕРЯ . Ну и еще к нашей теме можно отнести закон Бенфорда и такое известие, что оказывается великая теорема Ферма ДОКАЗАНА