Как задавать график функции аналитически

2.3. Аналитический способ задания функции

Если функциональная зависимость такова, что f обозначает аналитическое выражение, т.е. совокупность математических операций, которые производятся в определенной последовательности над аргументом x, то говорят, что функция задана аналитически. Например: y = x 2 – 2; ; y = 3 – ln x 2 и т.п.

Каждое аналитическое выражение, содержащее аргумент x, имеет естественную область применения. Под этой областью понимают множество всех тех значений x, для которых выражение сохраняет смысл, т.е. имеет вполне определенное конечное действительное значение. Так, для выражения x 2 – 2 такой областью будет все множество R действительных чисел, т.е. бесконечный интервал (–∞ +∞ Для выражения эта область сведется к замкнутому промежутку  за пределами которого значение его перестает быть действительным. Напротив, выражению придется в качестве естественной области применения отнести открытый промежуток (–1,1), ибо на концах его знаменатель обращается в нуль. Иногда область значений, для которых выражение сохраняет смысл, состоит из разрозненных промежутков: для это будут промежутки (–∞,–1] и [1,+∞), для – промежутки (–∞,–1], (–1, 1) и (1, +∞) и т.д.

Если функция задана аналитически, то она может быть изображена графически на координатной плоскости хOу.

В последующем изложении нам в большинстве случаев придется рассматривать функции, заданные аналитическим выражением для которых область определения функции распространяется на всю естественную область применимости аналитического выражения. Поэтому, если в дальнейшем нет специальной оговорки, то под областью определения функции, заданной аналитически, мы будем подразумевать естественную область применимости аналитического выражения. Если же по каким-либо причинам область определения функции, заданной аналитическим выражением, ограничена множеством Р, а выражение имеет смысл и вне множества Р, выходить за пределы области определения Р функции, разумеется, все же нельзя.

Такая ситуация может возникнуть, если функция задается не одной и той же формулой для всех значений аргумента х, но для одних – одной формулой, а для других – другой. Примером такой функции, в промежутке (–∞ +∞, может служить функция, определяемая следующими двумя формулами

Здесь естественная область применения каждого выражения выходит за пределы области определения Р, на котором данное выражение задает функцию.

Другая ситуация, которая типична для рассматриваемого случая, – это установление области определения сложной функции , для которой и внешняя y = f(u), и внутренняя u = (x) функции заданы аналитическими выражениями. Областью определения такой сложной функции является или вся область определения функции u = (x), или та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения внешней функции y = f(u). Например, областью определения функции ( , u = 1– x 2 ) является отрезок [–1,1], так как u < 0 при |x| > 1 и, следовательно, функция не определена при этих значениях x (хотя функция u = 1 – x 2 определена при всех значениях x).

Определение и свойства функций

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(x) с областью определения X; пишут:

При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Для области определения функции используют также обозначение D (f). Множество всех значений функции у = f(x), , называют областью значений функции и обозначают E(f).

Если функция задана выражением, то допускается ее задание в виде у = f(x) без условия в случае, когда область определения выражения f(x) совпадает с областью определения функции.

Например, запись «функция » означает поскольку область определения выражения задается неравенством

Аналитическое задание функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f(x), где f(x) — некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

Пример 1.

Область определения этой функции — луч Чтобы найти значение функции в любой точке достаточно найти числовое значение выражения в выбранной точке. Функция задана аналитически.

Пример 2.

Функция у = f(ж) задана аналитически формулой Найти:

Решение:

а) Чтобы найти f(-x), надо в f(x) всюду вместо х подставить (-х). Получим

Пример 3.

Найти область определения функции

Решение:

Выражение определено при всех х, кроме того значения, которое обращает знаменатель в 0, — это значение х = -2. Значит, область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = — 2.

Пример 4.

Найти область определения функции

Решение:

Выражение определено при тех х, при которых т. е. при Значит, область определения функции — луч

Иногда функция задается на различных промежутках различными формулами. Такую функцию называют кусочной.

Пример 5.

Эта функция определена на отрезке [-1; 1]. Для вычисления ее значений нужно точно определить, какой формулой следует воспользоваться для заданного конкретного значения аргумента. Например, если нужно вычислить f(0,5), воспользуемся равенством f(x) = х + 2 (поскольку число х = 0,5 удовлетворяет условию ) и получим f(0,5) = 2,5. Если же нужно вычислить f(-0,5), то воспользуемся равенством f(x) = 2х + 3 (поскольку число х = 0,5 удовлетворяет условию ) и получим f(-0,5) = 2.

Табличное задание функции

На практике часто используют табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов, таблица квадратных корней.

Во многих случаях табличное задание функции оказывается удобным. Оно позволяет найти значения функции для значений аргумента, имеющихся в таблице, без всяких вычислений. На практике часто зависимость одной величины от другой находят опытным путем. В этом случае одной величине придают определенные значения, а потом из опыта для каждого из таких значений находят значение (обычно приближенное) второй величины. Таким образом, опыт позволяет составить некоторую таблицу значений функции. Существуют методы, позволяющие по такой таблице подбирать формулы, задающие функции (с определенной точностью).

Числовая плоскость. Координатная плоскость, оси координат

Множество всех пар (Под парой чисел понимают два числа, которые рассматриваются в определенном порядке.) действительных чисел называют числовой плоскостью.

Как для множества всех действительных чисел есть геометрическая модель — координатная прямая (см. п. 21), так и для множества всех пар действительных чисел есть геометрическая модель — координатная плоскость.

Координатная плоскость ху определяется двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом О и одинаковым масштабом (рис. 1.7). Точка О — начало координат. Горизонтальную прямую называют осью абсцисс или осью х, вертикальную — осью ординат или осью у.

Если отметить на координатной плоскости все точки с абсциссой , то получится прямая, параллельная оси у (рис. 1.7); говорят, что — уравнение этой прямой. Если отметить на координатной плоскости все точки с ординатой , то получится прямая, параллельная оси х (рис. 1.7); говорят, что — уравнение этой прямой.

О координатной плоскости см. также «Геометрия», п. 101.

График функции, заданной аналитически

Пусть функция задана аналитически формулой у = f(x). Если на координатной плоскости отметить все точки, обладающие следующим свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а ордината равна соответствующему значению функции, — то получится множество точек (х; f(x)) — график функции.

Например, графиком функции у = х является множество точек вида (х; х), т. е. точек, имеющих одинаковые координаты. Это множество точек есть биссектриса координатных углов I и III (рис. 1.8).

На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Пример 6.

Построить график функции

Решение:

Составим таблицу некоторых значений функции:

Нанесем найденные точки (0; 0); (0,5; 0,25); (-0,5; 0,25); (1; 1); (-1; 1); (2; 4); (-2; 4); (3; 9); (-3; 9) на координатную плоскость (рис. 1.9). Соединив эти точки плавной линией, получим график (а точнее, эскиз графика) функции (рис. 1.10). Эту линию называют параболой. Вообще параболой является график любой функции вида (см. п. 111).

Четные и нечетные функции

Функцию у = f(x), , называют четной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x).

Функцию у = f(x), , называют нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = -f(x).

Например, — четные функции, а — нечетные функции.

Если функция у = f(x) такова, что хотя бы для одной пары значений х и — х оказалось, что , и хотя бы для одной пары значений х и -х оказалось, что , то функция не является ни четной, ни нечетной.

Из определения следует, что область определения X как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если , то и (т. е. X — симметричное относительно О множество).

Пример 7.

Исследовать на четность функции:

Решение:

а) Имеем Значит, для всех х. Функция является четной.

б) Имеем Значит, для всех х. Функция является нечетной.

в) Имеем Заметим, что Не выполняется ни равенство ни равенство Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

График четной функции. График нечетной функции

Графики четной и нечетной функций обладают следующими особенностями:

Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.

Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Пример 8.

Построить график функции

Решение. Имеем Значит, функция четна, а потому ее график симметричен относительно оси ординат.

Если Графиком функции у = х при служит биссектриса первого координатного угла. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно оси у, получим график функции (рис. 1.11).

Пример 9.

Построить график функции

Решение:

Имеем Значит, функция нечетна, а потому график ее симметричен относительно начала координат.

Если Значит, при имеем Графиком будет ветвь параболы. Она изображена на рисунке 1.12. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно начала координат, получим график функции (рис. 1.13).

Периодические функции

Функцию у = f(x), , называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из области определения функции справедливо равенство f(x + Т) = f(x) = f(x — Т).

Число Т называют периодом функции у = f(x).

Из этого определения сразу следует, что если Т — период функции у = f(x), то 2Т, 3Т, AT, -Т, -2Т, -ЗТ, -4Т — также периоды функции. Значит, у периодической функции бесконечно много периодов. Если Т — период функции, то и число вида kT, где k — любое целое число, также является периодом функции.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом.

Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т — основной период функции у = f(x), то для построения ее графика достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков оси х длиной Т, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по оси х на ± Т, ± 2Т, ± ЗТ, . (рис. 1.14). Чаще всего в качестве такого промежутка длиной Т выбирают промежуток с концами в точках или (0; 0) и (Т; 0).

Примеры периодических функций с основным периодом:

Монотонные функции

Функцию у = f(x), , называют возрастающей на промежутке ( — знак включения одного множества в другое), если для любых выполняется неравенство

Функцию у = f(x), , называют убывающей на промежутке , если для любых выполняется неравенство

Иными словами, функция возрастает (убывает) на промежутке, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается (рис. 1.15), а ордината графика убывающей функции уменьшается (рис. 1.16).

Возрастающие и убывающие функции объединяют термином «монотонные функции».

Пример 10.

Исследовать на монотонность функцию

Решение:

Пусть . Тогда по свойствам числовых неравенств (см. п. 24) имеем ,

Итак, , а это значит, что функция возрастает на всей числовой прямой.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Как задавать график функции аналитически

Пусть функция задана аналитически формулой Если на координатной

плоскости отметить все точки, обладающие следующим свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а ордината равна соответствующему значению функции, то множество точек есть график функции.

Например, графиком функции является множество точек вида т. е. точек, имеющих одинаковые координаты. Это множество точек есть биссектриса I и III координатных углов (рис. 8).

На практике для построения графика функции составляют таблицу значении функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Пример. Построить график функции

Решение. Составим таблицу некоторых значений функции:

Нанесем найденные точки на координатную плоскость (рис. 9, а). Соединив эти точки плавной линией, получим график (а точнее, эскиз графика) функции (рис. 9, б). Эта линия называется параболой. Вообще параболой

Построение графика функции по точкам. Практикум по математическому анализу. Урок 6

Наглядное графическое изображение функциональной зависимости между двумя переменными и можно получить, рассматривая значения этих переменных как координаты точек на плоскости.
Графиком функции, заданной уравнением , называется совокупность всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Обычно график функции представляет некоторую плоскую линию.
Построение графика аналитически заданной функции по точкам выполняется в следующем порядке:
1) по данному аналитическому выражению функции составляется таблица соответствующих друг другу значений переменных;
2) выбирается система координат с подходящими единицами масштаба для каждой переменной.
Обычно применяется прямоугольная система координат и одна общая единица масштаба для обеих координатных осей;
3) строятся точки, координатами которых являются соответствующие друг другу значения аргумента и функции, содержащиеся в таблице;
4) полученные точки соединяются плавной линией.
Построенный этим способом график функции будет тем точнее, чем больше значений переменных содержится в таблице, чем больше точек будет нанесено на координатную плоскость.
Построение графика функции упрощается, если она является четной, нечетной или периодической. График четной функции симметричен относительно оси ; график нечетной функции симметричен относительно начала координату график периодической функции получается путем повторения части ее графика, соответствующей одному периоду.
Пример 1. Построить графики функций:
1) на отрезке [—2; 4];
2) на отрезке [—5; 5];
3) на отрезке ;
4) на отрезке [-6; 5];
5) между точками пересечения с осью .
Решение. 1) В условии задачи указано, что независимой переменной можно придавать только значения, заключенные на отрезке [—2; 4]. Учитывая это, составим следующую таблицу, беря для простоты только целые значения и вычисляя из данного уравнения соответствующие значения :

Рис.1

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рис. 1, с одинаковыми единицами масштаба, которые указаны числовыми пометками на координатных осях.
Построим точки, откладывая содержащиеся в таблице значения аргумента по оси абсцисс, а значения функции по оси ординат. Соединим полученные точки плавной кривой, которая и будет графиком данной функции. Эта кривая называется параболой.
Вообще графиком всякой квадратной функции является парабола, ось симметрии которой параллельна оси .
2) Функция — нечетная, так как для нее . Для значений аргумента, отличающихся только по знаку, значения нечетной функции будут также отличаться только по знаку. Поэтому при составлении таблицы здесь достаточно вычислить изданного уравнения значения функции только для положительных значений аргумента. Значения функции для отрицательных значений аргумента получим путем простои перемены знаков.

Выберем систему координат с одинаковыми масштабами на координатных осях (рис.2).
Построим точки для каждой пары числовых значений и , которые содержатся в строках таблицы. Соединяя эти точки плавной кривой, получим график, симметричный относительно начала координат.

Рис.2

3) Функция является четной, так как при перемене знака у любого значения аргумента значение этой функции не изменяется, . Поэтому здесь при составлении таблицы достаточно вычислить значения функции только для положительных значений аргумента; значения функции для отрицательных значений аргумента будут те же.

Составив таблицу, замечаем, что значения аргумента есть числа 1-го порядка, тогда как значения функции — числа 3-го порядка. Поэтому для построения соответствующих точек берем разные масштабы абсцисс и ординат; они показаны числовыми пометками на координатных осях (рис.3).

Рис.3

График данной четной функции симметричен относительно оси ординат.

4) Составим таблицу значений функции для значений аргумента , заключенных на отрезке [—6; 5].
Затем строим точки и, соединяя их сплошной линией, получим искомый график (рис.4).
Данная функция не является четной или нечетной. Поэтому ее график не симметричен ни относительно оси , ни относительно начала координат.

Рис.4

5) Абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью найдем из данного уравнения, зная, что в этих точках ордината . При , откуда . Далее составляем таблицу значений данной четной функции на отрезке [—4; 4] и строим ее график (рис.5).

Рис.5

Когда приближается к нулю слева или справа, значения функции и ординаты ее графика неограниченно возрастают. При функция не имеет никакого числового значения, ее график состоит из двух отдельных бесконечных ветвей.