3.2.3 Построение касательных к двум окружностям
При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.
Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точкиO1 описывают окружность радиусомR – r(рисунок 47, а). Находят середину отрезкаO2O1 – точкуO3и из нее проводят вспомогательную окружность радиусомO3O2 илиO3O1.Обе проведенные окружности пересекаются в точкахA иВ. ТочкиO1 иB соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусомR определяют точку касанияD (рисунок 47, б). Из точкиO2параллельно прямойO1D проводят линию до пересечения с окружностью радиусомrи получают вторую точку касанияC. ПрямаяCDявляется искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямаяEF).
Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точкиO1, описывают окружность радиусомR +r (рисунок 48, а). Разделив отрезокO2O1 пополам, получают точкуO3. Из точкиO3как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусомO3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.
3.3 Сопряжения с помощью дуги окружности
3.3.1 Сопряжение двух прямых дугой окружности
Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случаях необходимо построить центр сопрягающей дуги.
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданным радиусом Rc (рисунок 49, а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусуRc. Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиусаRcи в пересечении этих прямых отмечают точкуO – центр сопрягающей дуги. Из точкиОопускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точкиA иB – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом, указанным на рисунке 49, б.
Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рисунок 50). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому, построив биссектрису угла, из точки касанияA восстанавливают перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую прямую, получают вторую точку касания В и радиусом Rc= OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.
Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рисунок 51). Из точкиA восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точкуB. ОтрезокAB делят пополам и получают точкуО– центр сопрягающей дуги радиусом
.
Как построить касательную двух окружностей
При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.
Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r (рис. 180). Из центра окружности большего радиуса – точки O1 описывают окружность радиусом R – r (рис 180 а). Находят середину отрезка O2O1 – точку O3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O3O2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O1 и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиуса R определяют точку касания D (рис. 180 б). Из точки O2 параллельно прямой O1D проводят линию до пересечения с окружностью радиуса r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).
Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рис. 48). Из центра любой окружности, например: точки O1, описывают окружность радиусом R + r (рис. 181 а). Разделив отрезок O2O1 пополам, получают точку O3. Из точки O3, как из центра, описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рис. 181 б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.
СОПРЯЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ
Сопряжение двух прямых дугой окружности
Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случае необходимо построить центр сопрягающей дуги.
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса Rc (рис. 182 а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусу Rc. Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиуса Rc и в пересечении этих прямых отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Из точки О опускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точки A и B – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом указанным на рисунке 182 б.
Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рис. 183). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому построив биссектрису угла, из точки касания A восставляют перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую: прямую, получают вторую точку касания В и радиусом Rc = OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания.
Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рис. 183). Из точки A восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точку B. Отрезок AB делят пополам и получают точку О – центр сопрягающей дуги радиуса .
Рис. 183 Рис. 184
Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса
Могут встретиться два случая такого сопряжения: внешнее касание сопрягающей дуги с заданной и внутреннее касание. В обоих случаях задача сводится к определению центра сопрягающей дуги и точек касания.
При внешнем касании (рис. 185 а) из центра заданной дуги – точки O1 проводят вспомогательную дугу радиусом R + Rс. На расстоянии, равном радиусу Rc сопрягающей дуги, параллельно заданной прямой проводят прямую. Точка О пересечения вспомогательной дуги и прямой есть центр сопрягающей дуги. На пересечении прямой, соединяющей точки О и O1 с заданной дугой, отмечают точку касания A. Вторую точку касания В определяют как точку пересечения заданной прямой с перпендикуляром, опущенным на нее из точки О.
При внутреннем касании (рис. 185 б) определение центра сопрягающей дуги и точек касания аналогичны предыдущему случаю с той лишь разницей, что радиус вспомогательной дуги равен Rc – R,
Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса
Различают три вида такого сопряжения:
1) внешнее сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с двумя заданными;
2) внутреннее сопряжение при внутреннем касании сопрягающей дуги с двумя заданными;
3) смешанное сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с одной заданной и внутреннем касании с другой.
При внешнем сопряжении (рис. 186 а) центр сопрягающей дуги точка O располагается в точке пересечения вспомогательных дуг радиусов r + Rc и R + Rc, проведенных соответственно из центров сопрягаемых дуг – точек O2 и O1. Точки касания A и B определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми OO1 и OO2.
Внутреннее сопряжение дуг радиусов r и R дугой радиус Rc показано на рисунке 186 б. Для определения центра сопрягающей дуги – точки О проводят вспомогательные дуги радиусами Rc – r и Rc – R соответственно из центров заданных дуг – точек O2 и O1. Точка О пересечения этих дуг и явится центром сопрягающей дуги. Из точки О через точки O1 и O2 проводят прямые до пересечения с заданными дугами и получают соответственно две точки касания – A и B.
При смешанном сопряжении центр сопрягающей дуги – точка О определяется как точка пересечения двух вспомогательных дуг радиусов Rc + R и Rс – r (рис. 186 в) или Rс – R и Rс + r, проведенных соответственно из центров заданных дуг – точек O1 и O2. Для определения точек касания сопрягающей дуги с заданными проводят две прямые: одну через точки О и O1, другую через точки О и O2. Точки пересечения каждой из них с заданными дугами дают искомые точки касания A и B.
Сопряжения Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда: линий, в большинстве своем плавно переходящих одна в другую. Примером плавных переходов могут служить контуры различных видов художественных изделий, посуды, рисунки орнаментов и т.п.
Вычерчивание контуров деталей Последовательность вычерчивания контуров деталей, в основном, зависит от их формы. Поэтому можно указать только на некоторые общие положения, справедливые для всех случаев.
Плоские кривые Кривые, у которых все точки расположены в одной плоскости, называют плоскими. Часть плоских кривых, состоящих из дуг окружностей, образует группу циркульных кривых. Дуги циркульных кривых касаются друг друга, поэтому построение их основано на правилах сопряжения и выполняется при помощи циркуля.
Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
| Взаимное расположение двух окружностей |
| Общие касательные к двум окружностям |
| Формулы для длин общих касательных и общей хорды |
| Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды |
Взаимное расположение двух окружностей
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости |  |
Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Каждая из окружностей лежит вне другой
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
| Фигура | Рисунок | Формула |
| Внешняя касательная к двум окружностям |  |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать.
Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле
Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,
Построение касательной к окружности
Построение касательной к окружности
Касательную из точки А к окружности можно провести следующим образом:
1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA];
2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;
Построение внешней касательной к двум дугам окружности
Внешнее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:
1. Проводят окружность радиусом R-r из центра О дуги большего радиуса;
2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;
3. На продолжении луча ОМ отмечаем точку касания 1;
4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ до пересечения с дугой и отмечаем точку касания 2;
Построение внутренней касательной к двум дугам окружности
Внутреннее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:
1. Проводят окружность радиусом R+r из центра О дуги большего радиуса;
2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;
3. На луче ОМ отмечаем точку касания 1 — точка пересечения луча с дугой радиуса R;
4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ до пересечения с дугой радиуса r и отмечаем точку касания 2;
Построение касательных
Проведение касательной из точки к окружности (рис. 25).
Касательную нельзя проводить, просто приложив к окружности линейку. Необходимо предварительно построить точки касания. Построения выполняем на основе известных из курса геометрии теорем.
- • Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
- • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, есть прямой.
Соединяем точку А с центром О окружности (рис. 25). Отрезок ОА
делим пополам и, приняв его за диаметр, строим на нем вспомогательную окружность. Точки В и С, полученные в пересечении вспомогательной окружности с данной, являются искомыми точками касания. Через них и проводим касательные.
Для проверки точности построения убедитесь в том, что радиус OB _L АВ, а радиус ОС ± АС.
Построение касательных к двум окружностям
Внешняя касательная (рис. 26).
Если обе окружности расположены по одну сторону касательной, то такая касательная называется внешней. Точки касания определяем с помощью двух вспомогательных окружностей. Одна из них проходит через центры 0 и 02 заданных окружностей, другая — с центром 02 и радиусом, равным разности R2-R.
Построение выполняем в следующей последовательности.
- • Соединяем центры 0 и 02 и делим полученный отрезок пополам.
- • Через 0 и 02 проводим окружность с центром в середине отрезка 002.
- • Проводим вторую окружность с центром в точке 02 и радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей R2 -R.
- • Отмечаем точки В и С пересечения вспомогательных окружностей.
- • Через центр 02 и построенные точки В и С проводим радиусы, продолжив их до пересечения с данной окружностью. Получаем точки касания F и Е.
- • Через центр 0 проводим прямые, параллельные O2F и 02Е. На пересечении их с окружностью получаем вторую пару точек касания D и К.
- • Соединяем D с F и К с Е. Прямые DF и КЕ — внешние касательные к двум данным окружностям.
При точном построении должно быть DF _L 02F, КЕ ± 02Е.
Внутренняя касательная (рис. 27).
Если окружности расположены по разные стороны касательной, то такая касательная называется внутренней. Построение выполняем также с помощью двух вспомогательных окружностей в следующей последовательности.
- • Соединяем центры 0 и 02 и делим полученный отрезок пополам.
- • Через 0 и 02 проводим первую вспомогательную окружность с центром в середине отрезка 02.
- • Из любого центра (либо Оь либо 02) проводим вторую вспомогательную окружность радиусом, равным сумме R + R2 радиусов заданных окружностей.
- • Отмечаем точки В и С пересечения вспомогательных окружностей и соединяем их с центром второй вспомогательной окружности.
- • На пересечении проведённых радиусов с заданной окружностью отмечаем точки касания ЕиЕ.
- • Через центр другой окружности проводим радиусы, параллельные проведённым ранее, но в противоположном направлении. Так, на рис. 27 радиус 02В направлен вверх, а параллельный ему радиус 0К — вниз, 02С — вниз, а параллельный ему радиус 0D — вверх. Получаем вторую пару точек касания D и К.
- • Соединяем D с F и К с Е. Прямые DF и КЕ — внутренние касательные к двум данным окружностям.
Точки касания можно выделять аккуратными либо полыми кружочками, либо коротким тонким штрихом.
Если обе окружности имеют одинаковый радиус, то внутренняя касательная к ним строится так же, как показано на рис. 27. Построение внешней касательной значительно упрощается. Оно показано на рис. 28.
Соединяем центры окружностей и проводим через 0 и 02 прямые, перпендикулярные линии центров. Пересечение их с окружностями определяет точки касания А, В и С, D. Соединив А с С и В с D, получим внешние касательные.
§ 18. Провести к данным двум окружностям общую внешнюю касательную
а) Если радиусы данных окружностей равны между собой, задача всегда имеет два решения (рис.1). Через центры А и В проводим диаметры КК’ и LL’, получаем искомые решения.
б) Пусть радиусы данных окружностей не равны: R > r; из центра большого круга проводим окружность радиусом AC=R – r (рис.2). К ней проводим касательную ВС из центра В меньшего круга (см. §17). Центр А соединяем с точкой касания С прямой. Продолжаем ее и получаем на большей окружности точку D.
Проводим ВЕ перпендикулярно к ВС до пересечения в точке Е с меньшей окружностью. Через точку D и Е проводим прямую. Прямая DE – искомая касательная. Задача допускает два решения (DE и D’E’), если меньший круг не лежит целиком внутри большего. Если меньший круг лежит внутри большего (рис.3) , задача не имеет решений.
В промежуточном случае, когда окружности имеют внутреннее касание (рис.4), задача имеет одно решение: через точку внутреннего касания М проводим KL ⊥ AM